극점 (기하학)

1. 개요

극점(Extreme point)은 실수 벡터 공간의 볼록 집합에서 특정 조건을 만족하는 점을 의미한다. 볼록 집합 S의 부분 집합 F가 공집합이 아니고, S의 임의의 두 점 x, y와 0
극점은 볼록 집합의 중요한 특징을 나타내며, 크레인-밀만 정리, 밀만 정리, 쇼케 정리 등 여러 정리와 관련되어 연구된다. 크레인-밀만 정리는 콤팩트 볼록 집합이 극점들의 볼록 폐포와 일치한다는 내용을 담고 있으며, 밀만 정리는 콤팩트 볼록 집합의 부분 집합 T를 포함하는 최소 볼록 닫힌 집합이 K일 때 K의 모든 극점이 T의 폐포에 속한다는 것을 보여준다. 쇼케 정리는 거리화 가능 콤팩트 볼록 집합에서 극점의 집합이 보렐 집합이며, 각 점을 무게 중심으로 갖는 확률 측도가 존재한다는 것을 의미한다.

2. 정의

실수 벡터 공간에서 정의되는 볼록 집합과 그 극점에 대한 내용은 다음과 같다.

* 면(Face), 극점(Extreme Point), 극점 계수(Extreme Rank)의 개념이 정의되어 있다.
* 극점은 0-극점과 동일하며, 극점 계수에 따라 n-극점으로 분류된다.

하위 섹션에서 면, 극점, 극점 계수에 대한 정의를 다루고 있으므로, 여기서는 간략하게 개념만 언급한다.

2.1. 면 (Face)

실수 벡터 공간 $V$ 속의 볼록 집합 $S$의 부분 집합 $F\backslash subseteq\; S$가 다음 두 조건을 만족시킨다면, 면(face^영어)이라고 한다.

* 공집합이 아니다.
* 임의의 두 $x,y\backslash in\; S$ 및

2.2. 극점 (Extreme Point)

실수 벡터 공간 $V$ 속의 볼록 집합 $S$의 점 $x\backslash in\; S$가 $S$의 면 $\backslash \{x\backslash \}$를 가지면, $x$를 $S$의 극점이라고 한다. $S$의 극점 집합은 $\backslash mathcal\; E(S)$로 표기한다.

$X$가 실수 또는 복소수 벡터 공간일 때, 임의의 $p,\; x,\; y\; \backslash in\; X$에 대해 $x\; \backslash neq\; y$이고 이 존재하여 $p\; =\; t\; x\; +\; (1-t)\; y$이면, $p$는 $x$와 $y$ 사이에 있다고 한다.

$K$가 $X$의 부분집합이고 $p\; \backslash in\; K$일 때, $p$가 $K$의 두 서로 다른 점 사이에 있지 않으면 $K$의 극점이라고 한다. 즉, $x,\; y\; \backslash in\; K$ 이고, 이며, $x\; \backslash neq\; y$이고 $p\; =\; t\; x\; +\; (1-t)\; y$인 경우가 존재하지 않으면 극점이다. $K$의 모든 극점 집합은 $\backslash operatorname\{extreme\}(K)$로 표시한다.

벡터 공간의 부분집합 $S$에서, 0차원 지지 다양체를 $S$의 극점이라고 한다.

2.3. 극점 계수 (Extreme Rank)

실수 벡터 공간 $V$ 속의 볼록 집합 $S$ 속의 점 $x\backslash in\; S$의 극점 계수(extreme rank^영어)는 다음과 같은 자연수이다.
:$\backslash operatorname\{ext\}(x)=\backslash min$
\left\{
k\colon
x=\sum_{i=0}^kt_iy_i,\;
k\in\mathbb Z^+,\;
y_0,\dotsc,y_k\in S,\;
(t_0,\dotsc,t_k)\in\operatorname{int}(\Delta^k)
\right\}
여기서, 임의의 양의 정수 $k\backslash in\backslash mathbb\; Z^+$에 대하여
:$\backslash operatorname\{int\}(\backslash Delta^k)\backslash subseteq(\backslash mathbb\; R^+)^\{k+1\}$
:$(t\_0,\backslash dotsc,t\_k)\backslash in\backslash operatorname\{int\}(\backslash Delta^k)\backslash overset\{\backslash text\{def\}\}\backslash iff\; t\_0+\backslash dotsb+t\_k=1$
는 $k$차원 단체의 내부이다. 특히, $\backslash operatorname\{int\}(\backslash Delta^0)=\backslash \{1\backslash \}$이며, 임의의 $x\backslash in\; S$는 $x=1x$로 나타내어지므로 항상 $\backslash operatorname\{ext\}(x)\backslash ge0$이다.

이 경우, 만약 $\backslash operatorname\{ext\}(x)=n$이라면 $x$를 $n$-극점이라고 한다. 즉, 극점의 개념은 0-극점의 개념과 같다.

어떤 볼록 집합 S 내의 점은 $k$차원 볼록 집합 내부에 위치하지만 $S$ 내의 $k\; +\; 1$차원 볼록 집합 내부에는 위치하지 않는 경우 $k$-극점이라고 한다. 따라서 극점은 $0$-극점이기도 하다. $S$가 다면체인 경우, $k$-극점은 정확히 $S$의 $k$차원 면의 내부 점이다. 더 일반적으로, 임의의 볼록 집합 $S$에 대해 $k$-극점은 $k$차원 열린 면으로 분할된다.

민코프스키(Minkowski)에 의해 증명된 유한 차원 크레인-밀만 정리(Krein–Milman theorem)는 $k$-극점의 개념을 사용하여 빠르게 증명할 수 있다. 만약 $S$가 닫혀 있고, 유계이며, $n$차원이고, $p$가 $S$ 내의 점이면, $p$는 $k\; \backslash leq\; n$에 대해 $k$-극점이다. 이 정리는 $p$가 극점의 볼록 조합임을 주장한다. 만약 $k\; =\; 0$이면 즉시 성립한다. 그렇지 않으면 $p$는 $S$ 내의 선분 위에 있으며, 이는 최대로 확장될 수 있다(왜냐하면 $S$는 닫혀 있고 유계이기 때문이다). 선분의 끝점이 $q$와 $r$이면, 그들의 극점 순위는 $p$의 극점 순위보다 작아야 하며, 이 정리는 귀납법에 의해 성립한다.

3. 성질

실수 벡터 공간의 볼록 집합의 면들의 교집합은 공집합이 아니면 항상 면이다. 하우스도르프 실수 국소 볼록 공간 속의, 공집합이 아닌 콤팩트 볼록 집합의 닫힌 면에는 그 면에 속하는 극점이 적어도 하나 이상 존재한다.

콤팩트 볼록 집합의 극점은 (부분 공간 위상을 갖는) 베어 공간을 형성하지만, 이 집합이 닫혀있지 않을 수도 있다.

크레인-밀만 정리는 극점에 관한 가장 잘 알려진 정리 중 하나이다. 크레인-밀만 정리에 따르면, 국소 볼록 위상 벡터 공간에서 볼록하고 콤팩트인 집합은 극점의 닫힌 볼록 폐포이다. 특히, 이러한 집합은 극점을 갖는다.

요람 린덴스트라우스의 정리에 따르면, 라돈-니코딤 성질을 갖는 바나흐 공간에서, 비어있지 않은 닫힌 유계 집합은 극점을 갖는다. (무한 차원 공간에서, 콤팩트성의 성질은 닫혀있고 유계라는 두 성질을 합친 것보다 더 강하다.)

위상 벡터 공간의 닫힌 볼록 부분 집합에서 모든 (위상적) 경계점이 극점일 경우, 이 집합을 강볼록 집합이라고 한다. 모든 힐베르트 공간의 단위 구는 강볼록 집합이다.

3.1. 면의 교집합

임의의 실수 벡터 공간 $V$의 볼록 집합 $K\backslash subseteq\; V$의 면들의 족 $(F\_i)\_\{i\backslash in\; I\}$에 대하여, 그 교집합 $\backslash textstyle\backslash bigcap\_\{i\backslash in\; I\}F\_i$이 공집합이 아니라면 항상 면이다.

3.2. 극점의 존재성

하우스도르프 실수 국소 볼록 공간 $V$ 속의, 공집합이 아닌 콤팩트 볼록 집합 $\backslash varnothing\backslash ne\; K\backslash subseteq\; V$의 닫힌 면 $F\backslash subseteq\; K$에 대하여, $F$에 속하는 $K$의 극점이 적어도 하나 이상 존재한다.

3.3. 극점의 볼록 폐포

크레인-밀만 정리에 따르면, 하우스도르프 실수 국소 볼록 공간 속의 콤팩트 볼록 집합은 그 극점들의 볼록 폐포와 일치한다.

증명:

:$K=\backslash varnothing$은 자명하므로 $K\backslash ne\backslash varnothing$이라고 가정한다. $K$의 극점 집합 $\backslash mathcal\; E(K)\backslash subseteq\; K$를 생각한다. 자명하게 $\backslash operatorname\{co\}(\backslash mathcal\; E(K))\backslash subseteq\; K$이다. (여기서 $\backslash operatorname\{co\}(-)$는 볼록 폐포이다.) 따라서 $K\backslash subseteq\backslash operatorname\{co\}(\backslash mathcal\; E(K))$를 보이면 충분하다.

귀류법을 사용하여, $x\backslash in\; K\backslash setminus\backslash operatorname\{co\}(\backslash mathcal\; E(K))$라고 가정한다. 한-바나흐 정리에 의하여, $\backslash \{x\backslash \}$와 $\backslash operatorname\{co\}(\backslash mathcal\; E(K))$를 분리하는, 즉
:$\backslash inf\_\{e\backslash in\backslash operatorname\{co\}(\backslash mathcal\; E(K))\}\backslash phi(e)>\backslash phi(x)$
가 성립하는 실수 값 선형 범함수
:$\backslash phi\backslash colon\backslash mathbb\; R^n\backslash to\backslash mathbb\; R$
가 존재한다. $K$가 콤팩트 볼록 집합이므로 그 상 $\backslash phi(K)$ 역시 콤팩트 볼록 집합, 즉 닫힌구간 $[s,t]\backslash subseteq\backslash mathbb\; R$이며, $s\backslash le\backslash phi(e)c\backslash le\; t$이다. 즉, $F=\backslash phi^\{-1\}(t)$는 $K$의 닫힌 면이며, 정의에 따라 $F\backslash cap\backslash operatorname\{co\}(\backslash mathcal\; E(K))=\backslash varnothing$이다. 그런데 $F$에 속하는 $K$의 극점이 존재한다. 즉, $\backslash varnothing\backslash ne\; F\backslash cap\; \backslash mathcal\; E(K)\backslash subseteq\; F\backslash cap\backslash operatorname\{co\}(\backslash mathcal\; E(K))$이며, 이는 모순이다.

체르멜로-프렝켈 집합론과 불 대수 소 아이디얼 정리를 가정할 때, 하우스도르프 국소 볼록 공간에 대한 크레인-밀만 정리는 선택 공리와 동치이다.

또한, 에드거 정리(Edgar’s theorem^영어)에 따르면, 반사 바나흐 공간 속의 임의의 유계 볼록 닫힌집합은 스스로의 극점의 볼록 폐포와 일치한다. (일반적으로, 유계 닫힌집합인 것은 콤팩트 집합인 것보다 더 약한 조건이다.)

밀만 정리(Milman’s theorem^영어)에 따르면, 하우스도르프 실수 국소 볼록 공간 속의 콤팩트 볼록 집합의 부분 집합에 대하여, 만약 그 부분 집합을 포함하는 최소의 볼록 닫힌집합이 원래의 콤팩트 볼록 집합과 같다면, 원래 콤팩트 볼록 집합의 모든 극점은 그 부분 집합의 폐포에 속한다.

3.4. 극점 위의 측도

하우스도르프 실수 국소 볼록 공간 $V$와 $V$ 속의 거리화 가능 콤팩트 볼록 집합 $K\backslash subseteq\; V$가 주어졌을 때, 쇼케 정리(Choquet’s theorem^영어)에 따르면 다음이 성립한다.
* $K$의 극점의 집합 $\backslash mathcal\; E(K)$는 $K$의 보렐 집합이다.
* 임의의 $x\backslash in\; K$에 대하여, $x$를 무게 중심으로 갖는 확률 측도 $\backslash mu\backslash colon\backslash operatorname\{Baire\}(\backslash mathcal\; E(K))\backslash to[0,1]$가 존재한다.

4. 예시

유클리드 공간에서 닫힌 공의 0-극점은 초구이고, 나머지 점(열린 공)은 1-극점이다. 인 두 실수 $a$, $b$는 구간 $[a,\; b]$의 극점이지만, 열린 구간 $(a,\; b)$는 극점이 없다.

$\backslash R$의 모든 열린 구간은 극점이 없지만, $\backslash R$과 같지 않은 비퇴화 닫힌 구간은 극점(닫힌 구간의 끝점)을 갖는다. 유한 차원 유클리드 공간 $\backslash R^n$의 모든 열린 집합은 극점이 없다.

$\backslash R^2$에서 닫힌 단위 원판의 극점은 단위 원이다. 평면 상의 모든 볼록 다각형의 둘레는 해당 다각형의 면이고, 꼭짓점은 해당 다각형의 극점이다.

단사 선형 사상 $F\; :\; X\; \backslash to\; Y$는 볼록 집합 $C\; \backslash subseteq\; X$의 극점을 볼록 집합 $F(X)$의 극점으로 보낸다. 이는 단사 아핀 사상에도 적용된다.

4.1. 한원소 집합

한원소 집합의 유일한 점은 0-극점이다.

4.2. 유클리드 공간

유클리드 공간 $\backslash mathbb\; R^n$에서 닫힌 공
:$\backslash operatorname\{cl\}(\backslash operatorname\{ball\}\_\{\backslash mathbb\; R^n\}(\backslash vec\; 0,1))=\backslash left\backslash \{\backslash vec\; v\backslash in\backslash mathbb\; R^n\backslash colon\; \backslash |\backslash vec\; v\backslash |\backslash le1\backslash right\backslash \}$
의 0-극점들은 초구
:$\backslash mathbb\; S^\{n-1\}=\backslash \{\backslash vec\; v\backslash in\backslash mathbb\; R^n\backslash colon\backslash |\backslash vec\; v\backslash |=1\backslash \}$
이며, 나머지 모든 점(열린 공)은 1-극점이다. 만약 가 두 실수라면 $a$와 $b$는 구간 $[a,\; b]$의 극점이다. 하지만 열린 구간 $(a,\; b)$는 극점을 갖지 않는다.

$\backslash R$의 모든 열린 구간은 극점을 갖지 않지만, $\backslash R$과 같지 않은 비퇴화 닫힌 구간은 극점(즉, 닫힌 구간의 끝점)을 갖는다. 더 일반적으로, 유한 차원 유클리드 공간 $\backslash R^n$의 모든 열린 집합은 극점을 갖지 않는다.

$\backslash R^2$에서 닫힌 단위 원판의 극점은 단위 원이다. 평면 상의 모든 볼록 다각형의 둘레는 해당 다각형의 면이다. 평면 $\backslash R^2$의 모든 볼록 다각형의 꼭짓점은 해당 다각형의 극점이다.

단사 선형 사상 $F\; :\; X\; \backslash to\; Y$는 볼록 집합 $C\; \backslash subseteq\; X$의 극점을 볼록 집합 $F(X)$의 극점으로 보낸다. 이는 단사 아핀 사상에도 적용된다.

4.3. 비유계 집합

실수선 $\backslash mathbb\; R$ 속의 닫힌 반직선
:$\backslash mathbb\; R\_\{\backslash ge\}=\backslash \{t\backslash in\backslash mathbb\; R\backslash colon\; t\backslash ge0\backslash \}$
은 닫힌집합이며 볼록 집합이지만 유계 집합이 아니다. 그 속의 0-극점은 $0\backslash in\backslash mathbb\; R\_\{\backslash ge\}$ 밖에 없으며, 나머지 점들은 모두 1-극점이다. 이 경우 $\backslash \{0\backslash \}$의 볼록 폐포는 $\backslash \{0\backslash \}\backslash ne\backslash mathbb\; R\_\{\backslash ge\}$이므로, 크레인-밀만 정리가 실패한다.

보다 일반적으로, $n$차원 유클리드 공간 속의 닫힌 반공간
:$\backslash mathbb\; R\_\{\backslash ge\}\backslash times\backslash mathbb\; R^\{n-1\}\backslash subseteq\backslash mathbb\; R^n$
은 $k\backslash le\; n-2$일 경우 $k$-극점을 갖지 않는다. 구체적으로, 경계의 점
:$x\backslash in\backslash partial(\backslash mathbb\; R\_\{\backslash ge\}\backslash times\backslash mathbb\; R^\{n-1\})=\backslash \{0\backslash \}\backslash times\backslash mathbb\; R^\{n-1\}$
은 $n-1$-극점이며, 나머지 점들은 $n$-극점이다.

4.4. 비(非) 국소 볼록 공간

완비 거리화 가능 실수 위상 벡터 공간 중에는 크레인-밀만 정리가 성립하지 않는 콤팩트 볼록 집합을 가지는 경우가 있다.

5. k-차원 극점

어떤 볼록 집합 $S$ 내의 점이 $k$차원 볼록 집합의 내부에는 속하지만, $k+1$차원 볼록 집합의 내부에는 속하지 않으면, 그 점을 $k$-차원 극점 (또는 줄여서 k-극점)이라고 한다. 따라서 극점은 0-차원 극점이기도 하다. $S$가 폴리토프이면, 그 $k$-차원 극점 전체는 $S$의 $k$-차원 면의 내점 전체와 정확히 일치한다. 보다 일반적으로, 임의의 볼록 집합 $S$에 대해, 그 $k$-극점 전체가 이루는 집합은 $k$-차원 열린 면으로 분할할 수 있다.

민코프스키에 의한 유한 차원 크레인-밀만의 정리는 k-극점의 개념을 사용하여 빠르게 증명할 수 있다. S가 닫혀 있고, 유계이며, n-차원이고, p가 S 내의 어떤 점이라면, 어떤 k < n에 대해 p는 k-극점이 된다. 이 정리는 p가 극점의 볼록 결합임을 주장한다. k = 0이면, 이것은 명백히 참이다. 그렇지 않은 경우, p는 S 내의 (S는 닫혀 있고 유계이므로) 최대까지 확장할 수 있는 선분 위에 있다. 그 선분의 종점을 q와 r이라고 할 때, 그것들의 단점으로서의 랭크는 p보다 작아야 한다. 이후, 귀납적으로 정리를 증명할 수 있다.

6. 역사

헤르만 민코프스키는 20세기 초에 유클리드 공간에 대한 크레인-밀만 정리를 증명하였다.

마르크 크레인과 다비트 핀후소비치 밀만(Дави́д Пи́нхусович Ми́льман^러시아어)은 1940년에 바나흐 공간에 대한 크레인-밀만 정리를 증명하였다.

밀만 정리는 밀만이 1947년에 증명하였다.

쇼케 정리는 귀스타브 쇼케(Gustave Choquet^프랑스어)가 증명하였다.