기둥 집합

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1. 개요

기둥 집합은 위상 벡터 공간의 부분 집합으로, 전사 연속 선형 변환과 보렐 집합을 사용하여 정의된다. 곱집합이나 위상 벡터 공간에서 정의될 수 있으며, 유한 합집합, 교집합, 여집합에 대해 닫혀 있지만, 일반적으로 가산 무한 합집합이나 교집합에 대해서는 닫히지 않아 시그마 대수를 이루지 못한다. 기둥 집합은 힐베르트 공간, 이산 위상 공간의 곱집합 등에서 예시를 찾을 수 있으며, 기호 역학, 측도론, 거리 정의, p-진수 이론, 추상 비너 공간 등 다양한 분야에 응용된다.

기둥 집합

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 위상 벡터 공간에서의 정의
- 2.2. 곱집합에서의 정의
3. 성질
4. 예
- 4.1. 힐베르트 공간
- 4.2. 이산 위상 공간의 곱집합
5. 응용

2. 정의

기둥 집합은 위상 벡터 공간에서의 정의와 곱집합에서의 정의 등 여러 가지 방법으로 정의될 수 있다.

원기둥 집합이 유한 개의 열린 원기둥의 교집합이어야 한다는 제약은 중요하다. 무한 교집합을 허용하면 일반적으로 더 세밀한 위상이 생성된다. 후자의 경우, 결과 위상은 상자 위상이며, 원기둥 집합은 힐베르트 큐브가 될 수 없다.

2.1. 위상 벡터 공간에서의 정의

위상 벡터 공간 $V$ 의 기둥 집합 $C\subseteq V$ 은 다음과 같은 꼴로 표현되는 부분 집합이다.

: $C = \phi^{-1}(S)$

여기서
* $\phi\colon V \to \mathbb R^n$ 은 어떤 전사 연속 선형 변환이다.
* $S \subseteq\mathbb R^n$ 는 보렐 집합이다.

즉, 어떤 $\phi_1,\dotsc,\phi_n\in V^*$ 에 대하여

: $C = \{x\in V\colon (\phi_1(x),\dotsc,\phi_n(x)) \in S\}$

가 된다. (여기서 $(-)^*$ 는 연속 쌍대 공간을 뜻한다.)

$V$ 의 기둥 집합들의 족을 $\operatorname{Cyl}(V)$ 라고 표기한다.

유한 또는 무한 차원 벡터 공간 $V$ 가 체 K (예: 실수 또는 복소수) 위에 주어졌을 때, 원통 집합은 다음과 같이 정의될 수 있다.

: $C_A[f_1, \ldots, f_n] = \{x \in V : (f_1(x),f_2(x),\ldots,f_n(x)) \in A \}$

여기서 $A \subset K^n$ 은 $K^n$ 의 보렐 집합이며, 각 $f_j$ 는 $V$ 에 대한 선형 범함수이다. 즉, $f_j\in (V^*)^{\otimes n}$ 이며, 이는 $V$ 의 대수적 쌍대 공간이다. 위상 벡터 공간을 다룰 때는 대신 $f_j \in (V')^{\otimes n}$ 인 원소에 대해 정의가 이루어진다. 즉, 범함수 $f_j$ 는 연속 선형 범함수로 간주된다.

2.2. 곱집합에서의 정의

집합 $S$ 의 모음이 주어졌을 때, 모든 집합의 데카르트 곱 $X = \prod_{Y\in S} Y$ 를 생각해보자. 일부 $Y\in S$ 에 대한 표준 사영은 곱의 모든 원소를 해당 $Y$ 구성 요소에 매핑하는 함수 $p_{Y} : X \to Y$ 이다. 원기둥 집합은 표준 사영의 역상이거나 이러한 역상의 유한한 교집합이다. 이는 다음과 같은 형태의 집합으로 나타낼 수 있다.

: $\bigcap_{i=1}^n p_{Y_i}^{-1} \left(A_i\right) = \left\{ \left(x\right) \in X \mid p_{Y_1}(x) \in A_1, \dots, p_{Y_n}(x) \in A_n\right\}$

여기서 $n$ 은 임의로 선택 가능하고, $Y_1,...Y_n\in S$ 는 유한 집합의 수열이며, $1 \leq i \leq n$ 에 대해 $A_{i} \subseteq Y_i$ 는 부분 집합이다.

$S$ 의 모든 집합이 위상 공간일 때, 곱 위상은 구성 요소의 열린 집합에 해당하는 원기둥 집합에 의해 생성된다. 즉, 각 $i$ 에 대해 $U_i$ 가 $Y_i$ 에서 열린 집합인 $\bigcap_{i=1}^n p_{Y_i}^{-1} \left(U_i\right)$ 형태의 원기둥 집합으로 생성된다. 가측 공간의 경우, 원기둥 σ-대수는 구성 요소의 가측 집합에 해당하는 원기둥 집합에 의해 생성된다.

원기둥 집합이 유한 개의 열린 원기둥의 교집합이어야 한다는 제약은 중요하다. 무한 교집합을 허용하면 일반적으로 더 세밀한 위상이 생성된다.

3. 성질

기둥 집합은 유한 합집합 · 유한 교집합 · 여집합에 대하여 닫혀 있다. 특히, 공집합(0개의 집합들의 합집합)과 전체 집합은 기둥 집합이다.

정의에 따라, 모든 기둥 집합은 보렐 집합이다.

기둥 집합은 일반적으로 가산 무한 합집합 또는 교집합에 대하여 닫혀 있지 않으며, 따라서 시그마 대수를 이루지 못한다. 그러나 $\operatorname{Cyl}(V)$ 로 생성되는 시그마 대수 $\sigma(\operatorname{Cyl}(V))$ 를 생각할 수 있다. 만약 $V$ 가 분해 가능 바나흐 공간이라면, 기둥 집합의 족으로 생성되는 시그마 대수는 $V$ 의 보렐 시그마 대수와 일치한다. 그러나 이는 분해 불가능 바나흐 공간에 대하여 성립하지 않는다.

4. 예

기둥 집합의 예는 다음과 같다.

* 힐베르트 공간에서의 기둥 집합
* 이산 위상 공간의 곱집합에서의 기둥 집합

이 밖에도 기둥 집합은 p-진수 이론, 동역학적 시스템 이론, 추상 비너 공간의 정의 등에서 사용된다.

4.1. 힐베르트 공간

임의의 집합 $S$ 에 대하여, 이를 정규 직교 기저로 갖는 힐베르트 공간 $H = \ell^2(S)$ 을 생각하자. 이 공간이 분해 가능 공간일 필요 충분 조건은 $S$ 가 가산 집합인 것이다.

이제, 어떤 기수 $\kappa$ 에 대하여, 다음과 같은 집합족을 생각하자.
: $\mathcal S(\kappa) \subseteq\operatorname{Pow}(H)$
: $\mathcal S(\kappa) = \{ \pi_A^{-1}(T) \colon A\subseteq S,\;|A|<\kappa,\;T\in\operatorname{Borel}(\ell^2(A))\}$
여기서
* $\pi_A\colon\ell^2(S) \to \ell^2(A)$ 는 자연스러운 사영 사상이다.
* $\operatorname{Borel}(-)$ 은 보렐 시그마 대수이다.
그렇다면,
* 정의에 따라 $\mathcal S(\aleph_0) = \operatorname{Cyl}(H)$ 이다.
* $\mathcal S(\aleph_1) = \sigma(\operatorname{Cyl}(H))$ 이다.
* 자명하게 $\mathcal S(|S|^+) = \operatorname{Borel}(H)$ 이다. 여기서 $|S|^+$ 는 $S$ 바로 다음의 기수이다.
특히, 유한 차원 힐베르트 공간(=유클리드 공간, $|S|<\aleph_0$ )의 경우
: $\operatorname{Cyl}(\mathbb R^n) = \sigma(\operatorname{Cyl}(\mathbb R^n)) = \operatorname{Borel}(\mathbb R^n)$
이며, 분해 가능 무한 차원 힐베르트 공간( $|S|=\aleph_0$ )의 경우
: $\operatorname{Cyl}(H) \subsetneq \sigma(\operatorname{Cyl}(H)) = \operatorname{Borel}(H)$
이지만, 분해 불가능 힐베르트 공간의 경우
: $\operatorname{Cyl}(H) \subsetneq \sigma(\operatorname{Cyl}(H)) \subsetneq \operatorname{Borel}(H)$
이다.

4.2. 이산 위상 공간의 곱집합

$S = \{1, 2, \ldots, n\}$ 를 n개의 객체 또는 문자를 포함하는 유한 집합이라고 하자. 이 문자들로 이루어진 모든 무한 이중 문자열의 집합은 다음과 같이 표기한다.

$S^\mathbb{Z} = \{ x = (\ldots, x_{-1}, x_0, x_1, \ldots) :x_k \in S \; \forall k \in \mathbb{Z}\}.$

$S$ 에 대한 자연적인 위상은 이산 위상이다. 이산 위상의 기본 열린 집합은 개별 문자로 구성된다. 따라서 $S^\mathbb{Z}$ 에 대한 곱 위상의 열린 기둥은 다음과 같다.

$C_t[a]= \{x \in S^\mathbb{Z} : x_t = a \}.$

5. 응용

원기둥 집합은 종종 $S^\mathbb{Z}$ 의 부분 집합인 집합에 위상을 정의하는 데 사용되며, 예를 들어 유한 타입의 서브시프트와 같이 기호 역학 연구에서 자주 발생한다. 원기둥 집합은 콜모고로프 확장 정리를 사용하여 측도를 정의하는 데 자주 사용된다. 예를 들어, 길이 m의 원기둥 집합의 측도는 또는 $\frac{1}{2^m}$ 로 주어질 수 있다.

원기둥 집합은 공간에 거리를 정의하는 데 사용될 수 있다. 예를 들어, 두 문자열의 문자 중 1−ε의 비율이 일치하면 두 문자열이 ε-가깝다고 말한다.

$S^\mathbb{Z}$ 의 문자열은 p-진수로 간주될 수 있으므로, p-진수의 일부 이론은 원기둥 집합에 적용될 수 있으며, 특히 p-진 측도 및 p-진 거리의 정의가 원기둥 집합에 적용된다. 이러한 유형의 측도 공간은 동역학적 시스템 이론에 나타나며 비특이 오도미터라고 불린다. 이러한 시스템의 일반화는 마르코프 오도미터이다.

위상 벡터 공간에 대한 원기둥 집합은 추상 비너 공간의 정의에서 핵심적인 요소인데, 이는 양자장론의 파인만 경로 적분 또는 함수 적분 및 통계 역학의 분배 함수에 대한 형식적 정의를 제공한다.