기약 다항식

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 체 계수 기약 다항식
- 2.2. 원시 다항식
3. 성질
4. 체 위의 기약 다항식
5. 예
6. 판정법
7. 응용
- 7.1. 대수적 체 확대
- 7.2. 다항식 인수분해 알고리즘
참조

1. 개요

기약 다항식은 정역 R에 대해 정의되며, 0이 아니고 가역원이 아니며, 두 다항식의 곱으로 표현될 경우 그 곱하는 다항식 중 하나는 가역원이어야 하는 다항식이다. 체인 경우, 1 이상의 차수를 가지며 더 낮은 차수의 두 다항식의 곱으로 나타낼 수 없는 다항식을 기약 다항식이라고 정의할 수 있다. 복소수체에서는 1차 다항식만 기약 다항식이며, 실수체에서는 1차 다항식과 판별식이 음수인 2차 다항식이 기약 다항식이다. 정수 계수 다항식의 경우, $\mathbb{Z}[x]$ 에서의 기약성과 $\mathbb{Q}[x]$ 에서의 기약성은 다른 개념이며, 가우스 보조정리와 같은 정리를 통해 기약성을 판단할 수 있다. 기약 다항식은 대수적 체 확대, 다항식 인수분해 알고리즘 등 다양한 분야에 응용된다.

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기약 다항식
정의
정의	가환환 R의 다항식환 R[x]의 영이 아닌 다항식 f가 다음 조건을 만족시키면, f는 R 위에서 기약(旣約, irreducible)이라고 한다. * R[x]의 상수 다항식이 아닌 두 다항식의 곱 f = gh로 나타낼 수 없다.
예시
예시	예를 들어, 다항식 x² − 2는 정수환 ℤ 위에서는 기약 다항식이지만, 실수체 ℝ 위에서는 (x − √2)(x + √2)로 인수 분해되므로 기약 다항식이 아니다.
성질
성질	유일 인수 분해 정역 R에 대하여, R[x]의 영이 아닌 다항식 f에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치다. * f는 R[x]의 기약 다항식이다. * f는 R의 분수체 Frac(R)[x]의 기약 다항식이며, R의 원소로 나눌 수 없다.
기약성의 판별법	기약 다항식은 일반적으로 판별하기 어렵다. 다음은 기약성을 판별하는 데 도움이 되는 몇 가지 정리이다. * (아이젠슈타인 판별법) 정수 계수 다항식 f(x) = aₙxⁿ + aₙ₋₁xⁿ⁻¹ + ⋯ + a₁x + a₀에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 소수 p가 존재하면, f는 유리수체 위에서 기약 다항식이다. * p는 aₙ을 나누지 못한다. * p는 aₙ₋₁, aₙ₋₂, …, a₁, a₀을 모두 나눈다. * p²은 a₀을 나누지 못한다.
참고 문헌	* (영어) Mac Lane, Saunders; Birkhoff, Garrett (1999). Algebra (3판). AMS Chelsea. ISBN 0-8218-1646-2. * (영어) Gallian, Joseph A. (2012). Contemporary Abstract Algebra (8판). Brooks Cole. ISBN 978-1-133-59970-8. * Nagata, Masayoshi (1995). Field Theory. Marcel Dekker. ISBN 0-8247-9654-8.

2. 정의

정역 $R$ 을 계수로 하는 다항식 $p(x)\in R[x]$ 가 다음 세 조건을 모두 만족시키면, '''기약 다항식'''이라고 한다.

$p\ne0$
$p$ 는 가역원이 아니다.
임의의 $q,r\in R[x]$ 에 대하여, 만약 $p(x)=q(x)r(x)$ 라면, $q$ 가 가역원이거나 $r$ 가 가역원이다.

정수 계수 다항식(유리수 계수 다항식) f(x)가 두 개의 1차 이상의 정수 계수 다항식(유리수 계수 다항식) g(x), h(x)의 곱으로 인수분해할 수 있을 때, 즉 f(x) = g(x) h(x) 의 형태로 표현할 수 있는 것을 가약, 그렇지 않은 것을 기약으로 하여 다항식의 성질을 조사하였다. 이후 계수의 범위를 일반화하여 특정 무리수나 복소수의 사칙연산으로 얻어지는 계수로의 인수분해를 생각하고 기약성을 도입한 것은 닐스 아벨이다.

정수환이나 실수체, 복소수체와 같은 유일 인수 분해 정역의 경우, 기약 다항식은 다항식환에서의 소원이기도 하므로, 이는 정수환에서의 소수와 유사하다.

2. 1. 체 계수 기약 다항식

체 F 위에서 0이 아닌 상수 다항식은 가역원이므로, 다음 두 조건은 동치이다.

p는 기약 다항식이다.
다음 두 조건을 만족시킨다.
* $\deg p\ge1$
* p는 더 낮은 차수의 두 다항식의 곱으로 나타낼 수 없다. 즉, 만약 $q,r\in R[x]$ 이며 $p(x)=q(x)r(x)$ 라면, $\deg q=\deg p$ 이거나 $\deg r=\deg p$ 이다.

만약 ''F''가 체라면, 상수항이 아닌 다항식이 '''''F''에서 기약'''이라는 것은 그 계수가 ''F''에 속하고, ''F''에 속하는 계수를 가진 두 개의 상수항이 아닌 다항식의 곱으로 인수분해될 수 없을 때를 말한다.

2. 2. 원시 다항식

유일 인수 분해 정역

R

을 계수로 하는 다항식

p(x)\in R[x]

의 '''내용'''(content^영어)은 다항식 계수들의 최대 공약수이다.

:

\operatorname c(p(x))=\gcd\{p_0,\dots,p_{\deg p}\}

'''원시 다항식'''(primitive polynomial^영어)은 내용이 가역원인 다항식이다. 즉, 계수들이 자명하지 않은 공약수를 가지지 않는 다항식이다.

3. 성질

대수학의 기본 정리와 유일 인수 분해 정역의 성질에 따라, 기약 다항식의 성질은 계수의 종류에 따라 달라진다.

3. 1. 복소수 계수 기약 다항식

대수학의 기본 정리에 따라, 복소수체 위에서의 기약 다항식은 1차 다항식뿐이다.^[1] 복소수체 위에서, 그리고 더 일반적으로 대수적으로 닫힌 체 위에서, 일변수 다항식은 그 차수가 1일 때에만 기약 다항식이 된다.^[1] 이 사실은 복소수의 경우 대수학의 기본 정리로 알려져 있으며, 일반적으로 대수적으로 닫혀 있다는 조건으로 알려져 있다.^[1]

따라서 모든 비상수 일변수 다항식은 다음과 같이 인수분해될 수 있다.^[1]

:a(x - z₁) ... (x - z_n)^영어

여기서 n^영어은 차수이고, a^영어는 최고차항의 계수이며, z₁, ..., z_n^영어는 다항식의 근이다(반드시 서로 다를 필요는 없으며, 반드시 명시적인 대수적 표현을 가질 필요도 없다).^[1]

복소수 위에는 모든 차수의 기약 다변수 다항식이 존재한다.^[1] 예를 들어,

:xⁿ + yⁿ - 1^영어

는 페르마 곡선을 정의하며, 모든 양의 ''n''에 대해 기약 다항식이다.^[1]

3. 2. 실수 계수 기약 다항식

실수체 위의 모든 기약 다항식은 1차 다항식과 판별식이 0보다 작은 2차 다항식뿐이다.

1차 다항식의 기약성: 어떤 실수 계수 1차 다항식이 기약 다항식이 아니라고 가정하면, 이 다항식은 두 1차 이상의 다항식의 곱으로 분해되므로 2차 이상이게 되며, 이는 모순이다.
판별식이 0보다 작은 2차 다항식의 기약성: 어떤 판별식이 0보다 작은 2차 다항식이 기약 다항식이 아니라고 가정하면, 이 다항식은 두 실수 계수 1차 다항식으로 분해되므로 실수 영점을 가지며, 판별식은 0보다 작지 않게 되며, 이는 모순이다.
판별식이 0보다 작지 않은 2차 다항식의 비기약성: 판별식이 0보다 작지 않은 2차 다항식은 실수 영점을 가지며, 두 1차 다항식의 곱으로 분해되므로 기약 다항식이 아니다.
3차 이상의 다항식의 비기약성: $p(x)\in\mathbb R[x]$ 가 3차 이상의 다항식이라고 하자. 그렇다면, 대수학의 기본 정리에 따라 복소수 영점 $z\in\mathbb C$ 가 존재한다. 만약 $z\in\mathbb R$ 라면, $\mathbb R[x]\ni x-z\mid p(x)$ 이므로 $p(x)$ 는 기약 다항식이 아니다. 만약 $z\not\in\mathbb R$ 이라면, 그 켤레 복소수 $\bar z$ 역시 영점인데, 이는 $p(\bar z)=\bar p(\bar z)=\overline{p(z)}=\bar 0=0$ 이기 때문이다. 따라서, $\mathbb R[x]\ni(x-z)(x-\bar z)\mid p(x)$ 이므로, $p(x)$ 는 기약 다항식이 아니다.

3. 3. 정수 계수 기약 다항식

정수환은 유일 인수 분해 정역의 특수한 경우이며, 정수환에 대한 결과들은 유일 인수 분해 정역에서도 유사하게 나타난다.

두 원시 다항식의 곱은 원시 다항식이다. 즉, 유일 인수 분해 정역

R

을 계수로 하는 다항식

p(x), q(x) \in R[x]

에 대하여, 다음이 성립한다.

:

\operatorname c(p(x)q(x))=\operatorname c(p(x))\operatorname c(q(x))

이를 '''가우스 보조정리'''(Gauß補助定理, Gauss's lemma^영어)라고 한다.^[3]

유일 인수 분해 정역

R

을 계수로 하는 다항식

p(x) \in R[x]

에 대하여, 다음 두 조건은 서로 동치이다.

$p(x)$ 는 $(\operatorname{Frac}R)[x]$ 의 기약원이다. ( $\operatorname{Frac}R$ 는 분수체)
$p(x)$ 는 더 낮은 차수의 두 $R$ 계수 다항식의 곱으로 나타낼 수 없다.

또한, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

$p(x)$ 는 $R[x]$ 의 기약원이다.
다음 두 조건 가운데 하나가 성립한다.
* $p$ 는 $R$ 의 기약원이다.
* $p(x)$ 는 원시 다항식이며, $(\operatorname{Frac}R)[x]$ 의 기약원이다.

정수 계수 다항식의 기약성을 판정하는 방법에는 다음이 있다.

정수

\mathbb{Z}

위의 기약 다항식은

p

개의 원소를 갖는 유한체

\mathbb{F}_p

위에서의 기약성과 관련이 있다(소수

p

에 대해). 특히,

\mathbb Z

위의 일변수 다항식

f

가

f

의 최고차항 계수를 나누지 않는 어떤 소수

p

에 대해

\mathbb{F}_p

위에서 기약적이라면,

f

는

\mathbb{Z}

위에서 기약적이다(즉, 정수 계수를 갖는 두 개의 상수 아닌 다항식의 곱으로 표현되지 않는다). 아이젠슈타인 판정법은

p^2

에서의 기약성도 포함하는 이 성질의 변형이다.

그러나 그 역은 성립하지 않는다. 정수 위에서 기약적이고 모든 유한체 위에서 가약적인 임의로 큰 차수의 다항식이 존재한다.^[3] 이러한 다항식의 간단한 예는

x^4 + 1

이다.

4. 체 위의 기약 다항식

소수 거듭제곱 $q$ 에 대해 체 $\mathbb{F}_q$ 위에서 차수 $n$ 인 기약 모닉 다항식의 개수는 모로 목걸이 함수로 주어진다.^[4]^[5]

: $M(q, n) = \frac{1}{n}\sum_{d\mid n} \mu(d)q^\frac{n}{d},$

여기서 $\mu$ 는 뫼비우스 함수이다. $q = 2$ 에 대해, 이러한 다항식들은 일반적으로 의사 난수 이진 시퀀스를 생성하는 데 사용된다.

원소의 개수 $q$ 의 유한체 상의 모닉 $n$ 차 기약 다항식의 총 개수는 다음 식으로 주어진다.^[11]

: $\frac{1}{n}\sum_{d \mid n}\mu\left(\frac{n}{d}\right)q^d$

단, $\mu$ 는 뫼비우스 함수를 나타낸다. (넥클리스 다항식도 참조)

5. 예

체의 경우, 모든 1차 다항식은 기약 다항식이다. 유리수 계수 다항식 p(x)=x²-1=(x-1)(x+1)은 유리수체에 대한 기약 다항식이 아니다. 유리수 계수 다항식 q(x)=x²-2=(x-√2|루트 2^영어)(x+√2|루트 2^영어)은 유리수체에 대한 기약 다항식이지만, 실수체에 대하여 기약 다항식이 아니다. r(x)=x²+1=(x-i)(x+i)는 실수체에 대한 기약 다항식이지만, 복소수체에 대하여 기약 다항식이 아니다.

다음 여섯 개의 다항식은 기약 다항식과 가약 다항식의 몇 가지 기본적인 속성을 보여준다.

:p₁(x) = x² + 4x + 4 = (x + 2)²

:p₂(x) = x² - 4 = (x - 2)(x + 2)

:p₃(x) = 9x² - 3 = 3(3x² - 1) = 3(x√3|루트 3^영어 - 1)(x√3|루트 3^영어 + 1)

:p₄(x) = x² - 4/9|9분의 4^영어 = (x - 2/3|3분의 2^영어)(x + 2/3|3분의 2^영어)

:p₅(x) = x² - 2 = (x - √2|루트 2^영어)(x + √2|루트 2^영어)

:p₆(x) = x² + 1 = (x - i)(x + i)

정수에 대해, 처음 세 개의 다항식은 가약 다항식이다(세 번째는 인자 3이 정수에서 가역적이지 않기 때문에 가약 다항식이다). 마지막 두 개는 기약 다항식이다. (네 번째는 정수에 대한 다항식이 아니다.)

유리수에 대해, 처음 두 개와 네 번째 다항식은 가약 다항식이지만, 다른 세 다항식은 기약 다항식이다(유리수에 대한 다항식으로서, 3은 단원이며, 따라서 인자로 간주되지 않는다).

실수에 대해, 처음 다섯 개의 다항식은 가약 다항식이지만, p₆(x)는 기약 다항식이다.

복소수에 대해, 여섯 개의 모든 다항식은 가약 다항식이다.

정수환 위의 일변수 다항식 X² + 1는 기약 다항식이다.
정수환 위의 일변수 다항식 X² - 1는 X² - 1 = (X + 1)(X - 1)이므로 가약 다항식이다.
유한체 '''F'''₂ 위의 일변수 다항식 X² + 1는 X² + 1 = (X + 1)²이므로 가약 다항식이다.
원분 다항식 Φ_d(X) ∈ '''Q'''[X]는 기약 다항식이다.
최소 다항식은 기약 다항식이다.

6. 판정법

유일 인수 분해 정역을 계수로 하는 다항식이 기약 다항식일 충분조건을 제시하는 정리들은 다음과 같다.

아이젠슈타인 판정법은 정수 계수 다항식의 기약성을 판정하는 데 유용하다.^[3] 정역 $R$의 소 아이디얼 $P$와 모닉 다항식

:

f(X) = X^n + a_1X^{n - 1} + \dotsb + a_n \in R[X]

를 생각한다. 이때 다음 두 조건을 만족하면

$a_1, \dots, a_n \in P$
$a_n \notin P^2$

다항식 $f$는 기약 다항식이다.

예를 들어 소수 $p$와 자연수 $m$에 대해 정수환 위의 일변수 다항식 $X^m - p$는 기약 다항식이다. 단, 이것은 기약 다항식일 필요 조건은 아니다. 실제로 예시로 든 $X^2 + 1 \in \mathbb{Z}[X]$는 이 판정법으로 기약성을 판별할 수 없다.

정수 $\mathbb{Z}$ 위의 기약 다항식은 $p$개의 원소를 갖는 유한체 $\mathbb{F}_p$ 위에서의 기약성과 관련이 있다(소수 $p$에 대해). 특히, $\mathbb Z$ 위의 일변수 다항식 $f$가 $f$의 최고차항 계수를 나누지 않는 어떤 소수 $p$에 대해 $\mathbb{F}_p$ 위에서 기약적이라면, $f$는 $\mathbb{Z}$ 위에서 기약적이다(즉, 정수 계수를 갖는 두 개의 상수 아닌 다항식의 곱으로 표현되지 않는다). 아이젠슈타인 판정법은 $p^2$에서의 기약성도 포함하는 이 성질의 변형이다.

그러나, 그 역은 성립하지 않는다. 정수 위에서 기약적이고 모든 유한체 위에서 가약적인 임의로 큰 차수의 다항식이 존재한다.^[3] 이러한 다항식의 간단한 예는 $x^4 + 1$이다.

7. 응용

기약 다항식은 대수적 체 확대와 밀접하게 연관되어 있으며, 다항식 인수분해 알고리즘에도 응용된다.

체 ''K''의 체 확대 ''L''의 원소 ''x''가 ''K'' 계수를 가지는 영이 아닌 다항식의 근이면 ''대수적''이라고 한다. ''x''가 근인 다항식 중 모닉 다항식이면서 차수가 가장 낮은 것이 유일하게 존재하며, 이를 ''x''의 최소 다항식이라고 한다.

$P(X) \in K[X]$ 가 체 ''K'' 위의 일변수 다항식일 때, $L = K[X]/P(X)$ 를 다항식환 $K[X]$ 를 ''P''에 의해 생성된 아이디얼로 나눈 몫환이라고 하자. 그러면 ''P''가 ''K'' 위에서 기약일 때만 ''L''은 체가 된다.

정수, 유리수, 유한체 위에서의 다항식 인수분해 알고리즘은 유한체 위에서의 인수분해를 서브루틴으로 사용한다.^[8] 현재까지 구현된 모든 알고리즘은 유한체 위에서의 인수분해를 서브루틴으로 사용한다.^[3]

7. 1. 대수적 체 확대

기약 다항식과 대수적 체 확대는 밀접하게 연관되어 있다.

체 ''K''의 체 확대 ''L''의 원소 ''x''가 ''K'' 계수를 가지는 영이 아닌 다항식의 근이면 ''대수적''이라고 한다. ''x''가 근인 다항식 중 모닉 다항식이면서 차수가 가장 낮은 것이 유일하게 존재하며, 이를 ''x''의 최소 다항식이라고 한다. ''L''의 대수적 원소 ''x''의 최소 다항식은 기약 다항식이며, ''x''를 근으로 가지는 유일한 모닉 기약 다항식이다. ''x''의 최소 다항식은 ''x''를 근으로 갖는 모든 다항식을 나눈다 (이는 아벨의 기약성 정리이다).

반대로,

P(X) \in K[X]

가 체 ''K'' 위의 일변수 다항식일 때,

L = K[X]/P(X)

를 다항식환

K[X]

를 ''P''에 의해 생성된 아이디얼로 나눈 몫환이라고 하자. 그러면 ''P''가 ''K'' 위에서 기약일 때만 ''L''은 체가 된다. 이 경우, ''x''가 ''X''의 ''L''에서의 이미지이면, ''x''의 최소 다항식은 ''P''를 최고차항 계수로 나눈 몫이다.

위의 예시는

\mathbb{C} = \mathbb{R}[X]\;/\left(X^2 + 1\right).

와 같은 복소수의 표준 정의이다.

다항식 ''P''가 차수가 1보다 큰, ''K''에 대한 기약 인자 ''Q''를 갖는 경우, 대수적 확장의 앞선 구성을 ''Q''에 적용하여, ''K''에서보다 ''P''가 적어도 하나의 더 많은 근을 갖는 확대를 얻을 수 있다. 이 구성을 반복하면, 결국 ''P''가 선형 인수로 인수분해되는 체를 얻는다. 이 체는 환 동형 사상까지 유일하며, ''P''의 분해체라고 한다.

7. 2. 다항식 인수분해 알고리즘

정수, 유리수, 유한체 위에서의 다항식 인수분해 알고리즘은 유한체 위에서의 인수분해를 서브루틴으로 사용한다.^[8] 현재까지 정수와 유리수 위에서의 인수분해와 기약성을 위한 모든 구현된 알고리즘은 유한체 위에서의 인수분해를 서브루틴으로 사용한다.^[3]

참조

_[1] 인용
_[2] 인용
_[3] 서적 Abstract Algebra https://archive.org/[...] Wiley
_[4] 서적 Basic Algebra I http://www.math.toro[...] W. H. Freeman and Company 1985
_[5] 간행물 Counting Irreducible Polynomials over Finite Fields Using the Inclusion-Exclusion Principle https://www.maa.org/[...] 2023-04-03
_[6] 간행물 Irreducibility of random polynomials of large degree
_[7] 웹사이트 In the Universe of Equations, Virtually All Are Prime https://www.quantama[...] 2019-01-13
_[8] 간행물 On the factorisation of polynomials in a finite number of steps
_[9] 문서
_[10] 인용
_[11] 인용 Counting irreducible polynomials over finite fields using the inclusion-exclusion principle https://arxiv.org/ab[...] 2011

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