리 대응

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1. 개요

리 대응은 리 군과 리 대수 사이의 관계를 설명하는 이론이다. 리 군 G 위의 왼쪽 불변 벡터장의 집합과 G의 항등원에서의 접공간 사이에는 표준적인 동형이 존재하며, 이 실수 벡터 공간을 리 대수 Lie(G)라고 한다. 리 대응은 리 군의 범주에서 실수 리 대수의 범주로 가는 함자이며, 리 군의 차원은 대응하는 리 대수의 차원과 같다. 리 대응은 리 군의 직접곱을 리 대수의 직합으로, 리 군의 닫힌 부분군을 리 대수의 부분 리 대수로 대응시킨다. 리의 제3 정리에 따르면, 모든 유한 차원 실수 리 대수는 어떤 단일 연결 리 군의 리 대수이다.

리 대응

서론

주제	리 군과 리 대수 사이의 대응 관계
설명	리 군의 군론적 구조와 리 대수의 대수적 구조를 연결하는 핵심적인 개념

주요 내용

핵심 아이디어	리 군의 항등원에서의 접공간은 리 대수를 이룸
리 대수	리 군의 국소적인 구조를 결정
리 군 준동형 사상	리 대수 준동형 사상을 유도
지수 사상	리 대수에서 리 군으로의 사상
연결된 리 군	리 대수가 동형이면 국소적으로 동형
단일 연결 리 군	리 대수가 동형이면 전역적으로 동형

지수 사상

정의	리 대수의 원소를 리 군의 원소로 대응시키는 사상
표현	exp:mathfrak{g}rightarrow G
성질	국소적인 미분 동형 사상 리 대수의 덧셈을 리 군의 곱셈으로 변환
응용	리 군의 원소를 리 대수에서 계산 가능하게 함

리 대수 준동형 사상

정의	두 리 대수 사이의 선형 사상으로, 리 괄호를 보존
유도	리 군 준동형 사상으로부터 유도 가능
표현	phi:Grightarrow H일 때, dphi:mathfrak{g}rightarrow mathfrak{h}
성질	리 군의 구조를 반영

연결성과 단일 연결성

연결 리 군	임의의 두 점을 연속적인 경로로 연결할 수 있는 리 군
단일 연결 리 군	임의의 닫힌 경로를 점으로 연속적으로 변환할 수 있는 리 군
중요성	리 군-리 대수 대응에서 중요한 역할
전역적 성질	단일 연결 리 군은 리 대수에 의해 완전히 결정

추가 정보

참고	불 대수와 유사한 대응
활용	미분기하학, 물리학 등 다양한 분야에서 활용

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2. 정의

리 군 $G$ 위에 각 $g\in G$ 에 대하여 다음과 같은 자기 함수를 정의할 수 있다.

: $\mathsf L_g\colon G\to G\qquad(g\in G)$
: $\mathsf L_g\colon h\mapsto gh$

$G$ 위의 매끄러운 벡터장 $X\in\Gamma^\infty(X)$ 가 다음 조건을 만족시키면, 왼쪽 불변 벡터장이라고 한다.

: $\mathsf L_{g*}(X^\mu(h))=X^\mu(gh)\qquad\forall g,h\in G$

여기서
* $\mathsf L_{g*}\colon\mathrm T_hG\to\mathrm T_{gh}G$ 는 $\mathsf L_g$ 에 대한 벡터장의 밂이다.

$G$ 위의 왼쪽 불변 벡터장들의 벡터 공간과 $G$ 의 항등원 $1\in G$ 에서의 접공간 $T_1G$ 사이에는 표준적인 동형이 존재하며, 이 실수 벡터 공간을 $\operatorname{Lie}(G)$ 라고 한다.

$\operatorname{Lie}(G)$ 는 (왼쪽 불변 벡터장의) 리 미분

: $[X,Y]=\mathcal L_XY$

에 대하여 닫혀 있다. 따라서, 이를 부여하면 $\operatorname{Lie}(G)$ 는 리 대수를 이룬다. 이를 리 대응이라고 한다. 만약 $G$ 가 복소수 리 군이라면, $\operatorname{Lie}(G)$ 는 자연스럽게 복소수 벡터 공간을 이루며, 따라서 복소수 리 대수가 된다.

두 리 군 사이의 매끄러운 군 준동형

: $f\colon G\to H$

및 $G$ 위의 왼쪽 불변 매끄러운 벡터장 $X\in\operatorname{Lie}(G)$ 에 대하여, 밂 $f_*X \in \Gamma^\infty(G)$ 는 $H$ 의 왼쪽 불변 매끄러운 벡터장을 정의한다. 이는 리 대수의 준동형

: $\operatorname{Lie}(f) = \mathrm df\restriction \operatorname{Lie}(G) \colon \operatorname{Lie}(G)\to\operatorname{Lie}(H)$

를 정의한다.

통상적으로, 주어진 리 군의 리 대수는 리 군의 이름의 흑자체 소문자로 쓴다. 예를 들어 SO(5)의 리 대수는 $\operatorname{Lie}(\operatorname{SO}(5)) = \mathfrak{so}(5)$ 이다.

2.1. 리 군과 관련된 리 대수

리 군 G의 리 대수는 좌불변 벡터장을 이용하여 구성할 수 있다. G 위의 벡터장 X가 좌이동 불변이려면, G의 임의의 원소 g, h에 대해 다음 조건을 만족해야 한다.

: $(dL_g)_h(X_h) = X_{gh}$

여기서 $L_g: G \to G$ 는 $L_g(x) = gx$ 로 정의되고, $(dL_g)_h: T_h G \to T_{gh} G$ 는 접공간 사이의 $L_g$ 의 미분이다.

$\operatorname{Lie}(G)$ 를 G상의 모든 좌이동 불변 벡터장의 집합이라고 하면, 이는 실수 벡터 공간이다. 또한 리 괄호에 대해 닫혀 있다. 즉, X, Y가 좌이동 불변이면 $[X, Y]$ 도 좌이동 불변이다. 따라서 $\operatorname{Lie}(G)$ 는 G상의 모든 벡터장의 리 대수의 리 부분 대수이며, G의 리 대수라고 불린다.

리 대수는 항등원에서의 접공간으로 생각할 수 있다. 좌불변 벡터장이 주어지면 항등원에서 그 값을 취할 수 있고, 항등원에서 접벡터가 주어지면 이를 좌불변 벡터장으로 확장할 수 있다. 이 대응은 양방향으로 일대일 대응(전단사)이므로, 리 대수는 항등원에서의 접공간 $T_e G$ 와 같다. $T_e G$ 에서 X와 Y의 괄호는 이를 좌불변 벡터장으로 확장하고, 벡터장의 괄호를 취한 다음, 결과를 항등원에서 평가하여 계산할 수 있다.

2.2. 행렬 리 군

행렬 리 군 G가 일반선형군 GL(n;C)의 닫힌 부분군이라고 하면, 닫힌 부분군 정리에 의해 G는 리 군이 된다. 이때 G의 리 대수는 다음과 같이 계산할 수 있다.

Lie^영어(G) = { X ∈ M(n;複^중국어) | e^영어^{tX^영어} ∈ G (모든^한국어 t^영어 ∈ ℝ^한국어) }.

이 기준을 사용하여 고전적 콤팩트 군에 대한 대응을 확립할 수 있다.

3. 성질

리 대응은 리 군의 범주에서 실수 리 대수의 범주로 가는 충실한 함자를 정의하며, 여러 연산과 호환된다.

* 차원 보존: $n$ 차원 리 군은 $n$ 차원 실수 리 대수에 대응된다. 즉, $\dim\operatorname{Lie}(G)=\dim G$ 이다.
* 반대군: 리 군의 반대군은 리 괄호에 −1을 곱한 리 대수에 대응된다. 즉, $\operatorname{Lie}(G^{\operatorname{op}}) = (\operatorname{Lie}(G))^{\operatorname{op}}$ 이며, $(V,[-,-]_V)^{\operatorname{op}} = (V,-[-,-]_V)^{\operatorname{op}}$ 이다.
* 직접곱: 리 군의 직접곱은 리 대수의 직합에 대응된다. 즉, $\operatorname{Lie}(G\times H) = \operatorname{Lie}(G)\oplus\operatorname{Lie}(H)$ 이다.
* 짧은 완전열: 리 군의 짧은 완전열은 실수 리 대수의 짧은 완전열에 대응된다.
: $1\to K\to G\to G/H\to1$
: $0\to\operatorname{Lie}(K)\to\operatorname{Lie}(G)\to\frac{\operatorname{Lie}(G)}{\operatorname{Lie}(K)}\to0$

하지만, 리 대응 함자는 전사 함수도, 단사 함수도 아니다. 단사성이 성립하지 않는 이유는 리 대수가 국소적인 정보만을 담고 있기 때문이다. 예를 들어, SO(3)과 SU(2)는 같은 리 대수 $\mathfrak{so}(3)\cong\mathfrak{su}(2)$ 를 갖지만 서로 다른 군이다. 전사성은 무한 차원에서 성립하지 않을 수 있다.

그러나 리 제3 정리에 따르면, 유한 차원 연결 단일 연결 리 군으로 범위를 좁히면, 이 함자는 범주의 동치를 이룬다. 즉, 연결 단일 연결 리 군의 동형류와 실수 유한 차원 리 대수의 동형류 사이에 일대일 대응이 존재한다.

리 군의 표현은 대응하는 리 대수의 표현으로 나타낼 수 있으며, 단일 연결 리 군의 경우 그 역도 성립한다. 예를 들어 SO(3)의 경우, 홀수 차원 리 대수 표현만이 군의 표현에서 나온다. 이는 정수 스핀과 반정수 스핀의 구별과 관련이 있다.

3.1. 함자성

Lie^영어는 리 군의 범주에서 실수 리 대수의 범주로 가는 충실한 함자를 정의한다.

: $\operatorname{Lie}\colon\operatorname{LieGrp} \to \operatorname{LieAlg}_{\mathbb R}$

만약

: $f: G \to H$

가 리 군 준동형 사상이라면, 항등원에서의 미분

: $df = df_e: \operatorname{Lie}(G) \to \operatorname{Lie}(H)$

는 리 대수 준동형 사상 (괄호는 괄호로 간다)이며, 다음과 같은 성질을 갖는다.

* 모든 Lie^영어(G)의 X에 대해 $\exp(df(X))=f(\exp(X))$ 이 성립하며, 여기서 "exp"는 지수 사상이다.
* $\operatorname{Lie}(\ker(f)) = \ker(df)$ .
* 만약 f의 상이 닫혀있다면, $\operatorname{Lie}(\operatorname{im}(f)) = \operatorname{im}(df)$ 가 성립하고, 제1 동형 정리가 성립한다. 즉, f는 다음의 리 군의 동형 사상을 유도한다.
* $G/\ker(f) \to \operatorname{im}(f).$
* 연쇄 법칙이 성립한다: 만약 $f: G \to H$ 와 $g: H \to K$ 가 리 군 준동형 사상이라면, $d(g \circ f) = (dg) \circ (df)$ 이다.

특히, 만약 H가 리 군 G의 닫힌 부분군이라면, $\operatorname{Lie}(H)$ 는 $\operatorname{Lie}(G)$ 의 리 부분 대수이다. 또한, 만약 f가 단사라면, f는 침투이며, 따라서 G는 H의 침투된 (리) 부분군이라고 한다. 예를 들어, $G/\ker(f)$ 는 H의 침투된 부분군이다. 만약 f가 전사라면, f는 퇴화 사상이며, 게다가 G가 콤팩트라면, f는 그 핵을 구조군으로 하는 주다발이다. (Ehresmann의 보조 정리)

3.2. 연산과의 호환

리 대응은 차원을 보존한다. 즉, $n$ 차원 리 군에 대응되는 실수 리 대수는 $n$ 차원 실수 리 대수이다.
: $\dim\operatorname{Lie}(G)=\dim G$

리 대응에서 반대군은 리 괄호에 −1을 곱하는 것에 대응한다.
: $\operatorname{Lie}(G^{\operatorname{op}}) = (\operatorname{Lie}(G))^{\operatorname{op}}$
: $(V,[-,-]_V)^{\operatorname{op}} = (V,-[-,-]_V)^{\operatorname{op}}$

리 대응은 리 군의 직접곱을 리 대수의 직합으로 대응시킨다.
: $\operatorname{Lie}(G\times H) = \operatorname{Lie}(G)\oplus\operatorname{Lie}(H)$

리 대응은 리 군의 (닫힌 부분군에 대한) 짧은 완전열을 실수 리 대수의 짧은 완전열로 대응시킨다.
: $1\to K\to G\to G/H\to1$
: $0\to\operatorname{Lie}(K)\to\operatorname{Lie}(G)\to\frac{\operatorname{Lie}(G)}{\operatorname{Lie}(K)}\to0$

3.3. 전사성 · 단사성

함자 $\operatorname{Lie}\colon\operatorname{LieGrp} \to \operatorname{LieAlg}_{\mathbb R}$ 는 대상의 동형류에 대하여 단사 함수도, 전사 함수도 아니다.

* 단사성은 리 대수가 국소적인 정보만을 담기 때문이다. 예를 들어 SO(3)과 SU(2)는 국소적으로 같으므로 (SU(2)는 SO(3)의 범피복군) 같은 리 대수 $\mathfrak{so}(3)\cong\mathfrak{su}(2)$ 를 지닌다.
* 전사성의 실패는 무한 차원에서 일어난다. 모든 유한 리 대수에 대하여 대응되는 리 군이 존재하지만, 이는 무한 차원 리 대수에 대해서는 성립하지 않는다.

그러나 리 제3 정리(Lie's third theorem^영어)에 따르면, 이 함자를 유한 차원 리 대수 및 (유한 차원) 연결 단일 연결 리 군에 국한한다면, 이 함자는 (동형을 무시하면) 범주의 동치를 이룬다. 즉, 다음 두 집합 사이에 표준적인 전단사 함수가 존재한다.

* 연결 단일 연결 리 군의 동형류
* 실수 유한 차원 리 대수의 동형류

이 함수는 구체적으로 $G\mapsto\operatorname{Lie}(G)$ 이다. 또한, 임의의 두 연결 단일 연결 리 군 $G$ , $H$ 에 대하여, 다음과 같은 표준적인 전단사 함수가 존재한다.

: $\hom(G,H)\to\hom(\operatorname{Lie}(G),\operatorname{Lie}(H))$

여기서 좌변은 두 리 군 사이의 매끄러운 군 준동형의 집합이며, 우변은 두 실수 리 대수 사이의 리 대수 준동형의 집합이다.

만약

: $f: G \to H$

가 리 군 준동형 사상이라면, 항등원에서의 미분

: $df = df_e: \operatorname{Lie}(G) \to \operatorname{Lie}(H)$

는 리 대수 준동형 사상 (괄호는 괄호로 간다)이며, 다음과 같은 성질을 갖는다.

* 모든 Lie(G)의 X에 대해 $\exp(df(X))=f(\exp(X))$ 이 성립하며, 여기서 "exp"는 지수 사상이다.
* $\operatorname{Lie}(\ker(f)) = \ker(df)$ .
* 만약 f의 상이 닫혀있다면, $\operatorname{Lie}(\operatorname{im}(f)) = \operatorname{im}(df)$ 가 성립하고, 제1 동형 정리가 성립한다. 즉, f는 다음의 리 군의 동형 사상을 유도한다.
* : $G/\ker(f) \to \operatorname{im}(f).$
* 연쇄 법칙이 성립한다: 만약 $f: G \to H$ 와 $g: H \to K$ 가 리 군 준동형 사상이라면, $d(g \circ f) = (dg) \circ (df)$ 이다.

특히, 만약 H가 리 군 G의 닫힌 부분군이라면, $\operatorname{Lie}(H)$ 는 $\operatorname{Lie}(G)$ 의 리 부분 대수이다. 또한, 만약 f가 단사라면, f는 침투이며, 따라서 G는 H의 침투된 (리) 부분군이라고 한다. 예를 들어, $G/\ker(f)$ 는 H의 침투된 부분군이다. 만약 f가 전사라면, f는 퇴화 사상이며, 게다가 G가 콤팩트라면, f는 그 핵을 구조군으로 하는 주다발이다. (Ehresmann의 보조 정리)

3.4. 부분 리 대수에 대응하는 부분군

리 군 $G$ 의 부분군 $H\le G$ 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 군을 해석적 부분군(analytic subgroup^영어) 또는 몰입 부분군(immersed subgroup^영어)이라고 한다.
* $H$ 에 적절한 위상을 주면 연결 리 군 $\tilde H$ 으로 만들 수 있으며, 이 경우 포함 함수 $\tilde H\to G$ 는 매끄러운 다양체의 매끄러운 몰입을 이룬다.
* $H$ 에 부분 공간 위상을 주면, $H$ 는 경로 연결 공간이다.
만약 $G$ 가 연결 단일 연결 리 군일 경우, 리 제2 정리(Lie’s second theorem^영어)에 따르면, 다음 두 집합 사이에 표준적인 전단사 함수가 존재한다.
* $G$ 의 해석적 부분군들의 집합
* $G$ 의 리 대수 $\mathfrak g$ 의 부분 리 대수들의 집합
구체적으로, $G$ 의 해석적 부분군 $H\le G$ 에 대응하는 부분 리 대수는 $H$ 위에 다른 위상을 주어 리 군 $\tilde H$ 로 만들었을 때, $\tilde H$ 의 리 대수 $\mathfrak h$ 이다.

3.5. 리 군 표현에 대응하는 리 대수 표현

리 군의 유한 차원 표현 $\rho\colon G\to\operatorname{GL}(n;K)$ 를 생각할 수 있다. 여기서 $K$ 는 유한 차원 실수 결합 대수를 이루는 나눗셈환이다 (즉, $K\in\{\mathbb R,\mathbb C,\mathbb H\}$ 이다).

이 경우, 이에 대응하는 실수 리 대수 준동형 $\operatorname{Lie}(\rho)\colon\operatorname{Lie}(G)\to\mathfrak{gl}(n;K)$ 를 정의할 수 있다. 이는 $\rho$ 에 대응하는 리 대수의 표현이다.

일반 선형군 $GL_n(\mathbb{C})$ 는 (실수) 리 군이며, 모든 리 군 준동형사상 $\pi: G \to GL_n(\mathbb{C})$ 은 리 군 G의 표현이다. 미분 $d\pi: \mathfrak{g} \to \mathfrak{gl}_n(\mathbb{C})$ 는 리 대수 표현이라고 하는 리 대수 준동형사상이다. (미분 $d \pi$ 는 종종 $\pi'$ 로 간단히 표기된다.)

$G$ 가 리 대수가 $\mathfrak{g}$ 인 단일 연결 리 군이면, $\mathfrak{g}$ 의 모든 표현은 G의 표현에서 나온다. G가 단일 연결이라는 가정은 필수적이다. 예를 들어, 단순 연결이 아닌 회전군 SO(3)을 생각해 보자. 리 대수의 기약 표현이 각 차원마다 하나씩 있지만, 리 대수의 홀수 차원 표현만 군의 표현에서 나온다. (이 관찰은 양자 역학에서 정수 스핀과 반정수 스핀의 구별과 관련이 있다.) 반면에 군 SU(2)는 리 대수가 SO(3)의 리 대수와 동형인 단순 연결이므로, SO(3)의 리 대수의 모든 표현은 SU(2)의 표현을 생성한다.

4. 리 대응

리 군과 리 대수 사이의 대응은 리 제1, 2, 3 정리를 통해 구체화된다. 이 대응 관계는 다음과 같은 세 가지 주요 결과를 포함한다.

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정리	내용
리 제3정리	모든 유한 차원 실수 리 대수는 어떤 단일 연결 리 군의 리 대수이다.
준동형사상 정리	$\phi \colon \operatorname{Lie}(G) \to \operatorname{Lie}(H)$ 가 리 대수 준동형사상이고 G가 단일 연결이면, $\phi = df$ 를 만족하는 (유일한) 리 군 준동형사상 $f \colon G \to H$ 가 존재한다.
부분군-부분대수 정리	G가 리 군이고 $\mathfrak{h}$ 가 $\operatorname{Lie}(G)$ 의 리 부분대수이면, 리 대수가 $\mathfrak{h}$ 인 G의 (필요한 것은 아니지만 닫힌) 유일한 연결 리 부분군 H가 있다.

SO(3)와 SU(2)의 리 대수는 동형이지만, SO(3)에서 SU(2)로의 대응 준동형사상은 없다. 오히려 준동형사상은 단일 연결 군 SU(2)에서 비단일 연결 군 SO(3)으로 간다. G와 H가 둘 다 단일 연결이고 동형 리 대수를 가진다면, G와 H는 동형이다.

범주론 관점에서 이 대응 관계는 연결된 (실수) 리 군의 범주에서 유한 차원 (실수) 리 대수의 범주로의 함자

Lie

로 요약된다. 이 함자는 (유한 차원) 리 대수에서 리 군으로의 수반 함자

\Gamma

를 갖는다.

4.1. 리 제2 정리

리 군 $G$ 가 연결 단일 연결 리 군일 경우, 리 제2 정리(Lie’s second theorem^영어)에 따르면, 다음 두 집합 사이에 표준적인 전단사 함수가 존재한다.
* $G$ 의 해석적 부분군들의 집합
* $G$ 의 리 대수 $\mathfrak g$ 의 부분 리 대수들의 집합

구체적으로, $G$ 의 해석적 부분군 $H\le G$ 에 대응하는 부분 리 대수는 $H$ 위에 다른 위상을 주어 리 군 $\tilde H$ 로 만들었을 때, $\tilde H$ 의 리 대수 $\mathfrak h$ 이다.

4.2. 리 제3 정리

모든 유한 차원 실수 리 대수는 어떤 단일 연결 리 군의 리 대수이다. 이는 아도 정리를 사용하여 증명할 수 있는데, 아도 정리는 (임의의 표수 체에 대한) 모든 유한 차원 리 대수가 정사각 행렬의 리 대수 $\mathfrak{gl}_n$ 의 리 부분 대수라는 것을 보여준다.

증명 과정은 다음과 같다. 아도 정리에 의해, $\mathfrak{g} \subset \mathfrak{gl}_n(\mathbb{R}) = \operatorname{Lie}(GL_n(\mathbb{R}))$ 가 리 부분 대수라고 가정한다. G를 $e^{\mathfrak{g}}$ 에 의해 생성된 $GL_n(\mathbb{R})$ 의 닫힌 부분군으로 두고, $\widetilde{G}$ 를 G의 단일 연결 덮개라고 한다. $\widetilde{G}$ 가 리 군이고 덮개 사상이 리 군 준동형사상임을 보이는 것은 어렵지 않다. $T_e \widetilde{G} = T_e G = \mathfrak{g}$ 이므로, 증명이 완료된다.

예를 들어 리 대수 $\mathfrak{g} = \operatorname{Lie}(G)$ 의 각 원소 X는 리 대수 준동형사상 $\mathbb{R} \to \mathfrak{g}, \, t \mapsto tX$ 를 생성한다. 리의 제3 정리에 의해, 이 준동형사상은 어떤 G의 부분군 H에 대한 리 군 준동형사상 $\mathbb{R} \to H$ 의 미분이다. 1-매개변수 부분군이라고 불리는 이 리 군 준동형사상은 정확히 지수 사상 $t \mapsto \exp(tX)$ 이며, H는 그 이미지이다. $\mathfrak{g}$ 와 G의 1-매개변수 부분군의 집합 사이에는 표준적인 전단사 대응이 있다.

4.3. 준동형사상 정리

리 대수 준동형사상 $\phi \colon \operatorname{Lie}(G) \to \operatorname{Lie}(H)$ 가 주어지고, 정의역 리 군 $G$ 가 단일 연결이면, $\phi = df$ 를 만족하는 (유일한) 리 군 준동형사상 $f \colon G \to H$ 가 존재한다.

이 정리는 바커-캠벨-하우스도르프 공식을 사용하여 증명할 수 있다. 구체적으로, 리 대수 준동형사상 $\phi$ 가 $\operatorname{Lie}(G)$ 에서 $\operatorname{Lie}(H)$ 로 주어졌을 때, 다음과 같은 공식을 사용하여 $f \colon G \to H$ 를 국소적으로(즉, 항등원의 근방에서) 정의할 수 있다.

: $f(e^X) = e^{\phi(X)}$

여기서 $e^X$ 는 G에 대한 지수 사상이며, 항등원 근처에서 정의된 역을 갖는다. 이제 f가 국소 준동형사상임을 보이기 위해, 항등원 $e^X$ 와 $e^Y$ 근처의 두 원소(X와 Y가 작음)가 주어지면, 이들의 곱 $e^X e^Y$ 를 고려한다. 바커-캠벨-하우스도르프 공식에 따르면, $e^X e^Y = e^Z$ 이며, 여기서

: $Z = X + Y + \frac{1}{2}[X,Y] + \frac{1}{12}[X,[X,Y]] + \cdots$

$\cdots$ 는 X와 Y를 포함하는 반복된 교환자로 표현된 다른 항들을 나타낸다. 따라서,

: $f\left(e^X e^Y\right) = f\left(e^Z\right) = e^{\phi(Z)} = e^{\phi(X)+\phi(Y) + \frac{1}{2}[\phi(X),\phi(Y)] +\frac{1}{12}[\phi(X),[\phi(X),\phi(Y)]]+\cdots}$

$\phi$ 가 리 대수 준동형사상이므로. 바커-캠벨-하우스도르프 공식을 다시 사용하여, 이번에는 군 H에 대해 이 마지막 표현은 $e^{\phi(X)}e^{\phi(Y)}$ 가 되며, 따라서 다음을 얻는다.

: $f\left(e^X e^Y\right) = e^{\phi(X)} e^{\phi(Y)} = f\left(e^X\right) f\left(e^Y\right)$

따라서, f는 적어도 X와 Y가 충분히 작을 때 준동형사상 속성을 갖는다. 이 주장은 국소적일 뿐인데, 지수 사상은 G의 항등원의 작은 근방에서만 가역적이며, 바커-캠벨-하우스도르프 공식은 X와 Y가 작을 때만 성립하기 때문이다.

f를 국소 준동형사상에서 전역 준동형사상으로 확장하는 것은 경로를 따라 f를 정의한 다음, G의 단일 연결성을 사용하여 정의가 경로 선택에 독립적임을 보여줌으로써 이루어진다.

5. 예

n차원 아벨 리 군에 대응하는 리 대수는 아벨 리 대수 $\mathbb R^n$ 이다.

(0차원 리 군으로 간주되는) 이산군에 대응하는 리 대수는 0차원 실수 리 대수 $0$ 이다.

$K\in\{\mathbb R,\mathbb C,\mathbb H\}$ 일 때, $n\times n$ 직교 행렬의 리 군 $\operatorname O(n;K)$ 의 리 대수는 $n\times n$ 반대칭 행렬의 리 대수 $\mathfrak o(n;\mathbb K)$ 이다.

5.1. 닫힌집합이 아닌 해석적 부분군

원환면 리 군 $\operatorname U(1)\times\operatorname U(1)=\{(\exp(i\alpha),\exp(i\beta))\colon\alpha,\beta\in\mathbb R\}$ 에서, 임의의 실수 $c$ 에 대하여 부분군 $\{(\exp(i\alpha),\exp(ic\alpha))\colon\alpha\in\mathbb R\}$ 를 정의할 수 있다. $c$ 가 유리수가 아닐 경우, 이 부분군은 닫힌집합이 아닌 해석적 부분군이다.

6. 관련 구조

리 군 G와 관련된 리 대수 $\operatorname{Lie}(G)$ 는 다음과 같이 정의할 수 있다. $A(G)$ 를 항등원에 지지된 G상의 분포의 대수(곱셈은 합성곱)라 하면, $A(G)$ 는 호프 대수이다. G의 리 대수는 $\mathfrak{g} = \operatorname{Lie}(G) = P(A(G))$ 로, $A(G)$ 의 원시 원소의 리 대수이다. Milnor–Moore 정리에 따르면, $\mathfrak{g}$ 의 보편 포락 대수와 $A(G)$ 사이에는 $U(\mathfrak{g}) = A(G)$ 의 표준 동형 사상이 존재한다.

7. 역사

소푸스 리가 리 대응 및 리의 제2·제3 정리를 도입하였다.

8. 콤팩트 리 군

유한 중심을 갖는 연결 리 군 G가 있을 때, 다음은 동치이다.

* G는 콤팩트하다.
* (바일) G의 단일 연결 덮개 $\widetilde{G}$ 는 콤팩트하다.
* 수반 군 $\operatorname{Int}\mathfrak{g}$ 는 콤팩트하다.
* 닫힌 부분군으로서 $G \hookrightarrow O(n, \mathbb{R})$ 의 포함이 존재한다.
* $\mathfrak{g}$ 위의 킬링 형식은 음의 정부호이다.
* $\mathfrak{g}$ 의 각 X에 대해, $\operatorname{ad}(X)$ 는 대각화 가능 행렬이고 0 또는 순허수 고유값을 갖는다.
* $\mathfrak{g}$ 위에 불변 내적이 존재한다.

앞선 조건들의 동치성이 G가 유한 중심을 갖는다는 가정 하에서만 성립한다는 것을 강조하는 것이 중요하다. 따라서 예를 들어, G가 유한 중심을 가진 콤팩트 군이면, 보편 덮개 $\widetilde{G}$ 역시 콤팩트하다. 분명히, 이러한 결론은 G가 무한 중심을 갖는 경우, 예를 들어 $G=S^1$ 인 경우에는 성립하지 않는다. 위의 마지막 세 조건은 본질적으로 리 대수적이다.

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좌우로 밀어서 보기

콤팩트 리 군, 관련 리 대수의 복소화, 루트계
콤팩트 리 군	관련 리 대수의 복소화	루트계
SU(n+1)	$\mathfrak{sl}(n+1, \mathbb{C})$	A_n
SO(2n+1)	$\mathfrak{so}(2n+1, \mathbb{C})$	B_n
Sp(n)	$\mathfrak{sp}(n, \mathbb{C})$	C_n
SO(2n)	$\mathfrak{so}(2n, \mathbb{C})$	D_n

G가 콤팩트 리 군이면,
:

H^k(\mathfrak{g}; \mathbb{R}) = H_{\text{dR}}(G)

여기서 좌변은

\mathfrak{g}

의 리 대수 코호몰로지이고 우변은 G의 드람 코호몰로지이다. (대략적으로, 이는 G 위의 모든 미분 형식이 좌불변으로 만들 수 있다는 사실의 결과이다.)

9. 아벨 리 군

연결 리 군 G^영어의 리 대수가 아벨 군일 때에만 G^영어가 아벨 군이다. G^영어 중심의 리 대수는 G^영어 리 대수의 중심이기 때문이다. (이전 절 참조)

만약 G^영어가 아벨 군이라면, 지수 사상 $\exp: \mathfrak{g} \to G$ 는 전사 군 준동형사상이다. 그 핵은 G^영어의 정수 격자라고 불리는 이산군이며, $\Gamma$ 로 표시한다. 제1 동형 정리에 의해, $\exp$ 는 동형사상 $\mathfrak{g}/\Gamma \to G$ 를 유도한다.

10. 수반 표현

리 군 G의 각 원소 g는 켤레를 통해 G의 자기 동형 사상을 정의한다. 즉, $c_g(h) = ghg^{-1}$ 이다. 이 자기 동형 사상의 미분 $dc_g$ 는 리 대수 $\mathfrak{g}$ 의 자기 동형 사상이다. 이러한 방식을 통해 표현 $\operatorname{Ad}: G \to GL(\mathfrak{g}), \, g \mapsto dc_g$ 를 얻을 수 있으며, 이를 수반 표현이라고 한다.

수반 표현에 해당하는 리 대수 준동형 사상 $\mathfrak{g} \to \mathfrak{gl}(\mathfrak{g})$ 은 $\mathfrak{g}$ 의 수반 표현이라고 하며, $\operatorname{ad}$ 로 나타낸다. $\operatorname{ad}(X)(Y) = [X, Y]$ 가 성립하며, 이는 $\mathfrak{g}$ 의 리 괄호가 G의 군 법칙에 의해 결정됨을 의미한다.

리의 세 번째 정리에 의해, 리 대수가 $\operatorname{ad}(\mathfrak{g})$ 인 $GL(\mathfrak{g})$ 의 부분군 $\operatorname{Int}(\mathfrak{g})$ 가 존재한다. 이를 $\mathfrak{g}$ 의 수반 군이라고 한다. G가 연결되어 있다면, 다음이 성립한다.

: $0 \to Z(G) \to G \xrightarrow{\operatorname{Ad}} \operatorname{Int}(\mathfrak{g}) \to 0$

여기서 $Z(G)$ 는 G의 중심이다. 만약 G의 중심이 이산적이라면, Ad는 덮개 사상이다.

연결된 리 군 G는 모든 G의 원소 g에 대해 $\operatorname{Ad}(g)$ 의 행렬식이 1일 때, 그리고 그때만 단일 모듈이다.

G를 매끄러운 다양체 X에 작용하는 리 군이라고 하고, X의 점 x의 안정자군을 G_x라고 하자. $\rho(x): G \to X, \, g \mapsto g \cdot x$ 로 정의하면 다음이 성립한다.

* $\operatorname{Lie}(G_x) = \ker(d \rho(x): T_eG \to T_x X)$
* 만약 궤도 $G \cdot x$ 가 국소적으로 닫혀 있다면, 궤도는 X의 부분 다양체이고 $T_x (G \cdot x) = \operatorname{im}(d \rho(x): T_eG \to T_x X)$ 이다.

$\mathfrak{g}$ 또는 G의 부분 집합 A에 대해, A의 리 대수 중심화자와 리 군 중심화자는 다음과 같이 정의된다.

: $\mathfrak{z}_{\mathfrak{g}}(A) = \{ X \in \mathfrak{g} \mid \operatorname{ad}(a)X = 0 \text{ 또는 } \operatorname{Ad}(a)X = 0 \text{ for all } a \text{ in } A\}$
: $Z_G(A) = \{ g \in G \mid \operatorname{Ad}(g)a = 0 \text{ 또는 } ga = ag \text{ for all } a \text{ in } A \}$

이때, $\operatorname{Lie}(Z_G(A)) = \mathfrak{z}_{\mathfrak{g}}(A)$ 이다.