베지에 곡선

1. 개요

베지에 곡선은 컴퓨터 그래픽스에서 부드러운 곡선을 모델링하는 데 널리 사용되는 곡선으로, 제어점 집합에 의해 정의된다. 1912년 베른슈타인 다항식으로 수학적 기초가 확립되었으며, 1959년 시트로엥의 수학자 폴 드 카스텔자우에 의해 컴퓨터 지원 설계에 처음 적용되었다. 1960년대에는 르노의 엔지니어 피에르 베지에가 독립적으로 베지에 곡선을 개발하여 널리 알려지게 되었다. 베지에 곡선은 제어점의 볼록 껍질 안에 포함되며, 아핀 변환을 통해 곡선에 적용할 수 있다. 이차 및 삼차 베지에 곡선이 가장 일반적이며, 복잡한 모양을 위해 낮은 차수의 곡선이 합성되어 사용되기도 한다. 베지에 곡선은 컴퓨터 그래픽스, 애니메이션, 폰트 디자인, 로봇 공학 등 다양한 분야에서 활용되며, 유리 베지에 곡선은 원호와 같은 원뿔 곡선을 정확하게 나타내는 데 사용된다. 여러 개의 베지에 곡선을 연결한 복합 베지에 곡선은 세그먼트 간의 연결에 따라 연속성이나 매끄러움을 가질 수 있으며, 앵커 포인트, 방향 핸들, 방향선 등의 용어로 설명된다.

2. 역사

베지에 곡선은 프랑스의 자동차 제조사 시트로엥사의 폴 드 카스텔요^프랑스어와 르노사의 피에르 베지에에 의해 독립적으로 고안되었다. 드 카스텔요가 먼저 개발했지만, 그의 논문이 공표되지 않아 베지에의 이름이 붙여졌다.

2.1. 발명

베지에 곡선의 수학적 기초는 1912년 베른슈타인 다항식으로 확립되었지만, 실제로 그래픽에 적용된 것은 약 50년 후였다. 1959년 프랑스 자동차 제조사 시트로엥의 수학자 폴 드 카스텔자우가 곡선을 평가하기 위한 드 카스텔자우 알고리즘을 개발하면서부터이다. 이 알고리즘은 수치적으로 안정적인 방법이었다. 드 카스텔자우의 방법은 프랑스에서 특허를 받았지만 1980년대까지 공개되지 않았다. 1960년대에는 프랑스의 엔지니어 피에르 베지에가 르노에서 자동차 차체 설계에 베지에 곡선을 독립적으로 발견하고 사용하면서 널리 알려지게 되었다.

베지에 곡선은 프랑스의 자동차 제조사 시트로엥사의 폴 드 카스텔요^프랑스어와 르노사의 피에르 베지에에 의해 독립적으로 고안되었다. 드 카스텔요가 먼저 개발했지만, 그의 논문이 공표되지 않아 베지에의 이름이 붙여졌다.

3. 정의

베지에 곡선은 여러 개의 제어점에 의해 정의되는 매개변수 곡선이다. 제어점의 개수에 따라 곡선의 차수가 결정되며, 일반적으로 2차, 3차 베지에 곡선이 널리 사용된다.

베지에 곡선은 P₀부터 P_n까지의 제어점 집합에 의해 정의되며, 여기서 n은 곡선의 차수이다(선형의 경우 n = 1, 2차의 경우 2, 3차의 경우 3 등). 첫 번째와 마지막 제어점은 항상 곡선의 끝점이지만, 중간 제어점은 일반적으로 곡선 위에 있지 않다. 아핀 결합에서는 계수의 합은 1이다.

다음 요소를 전제로 한다.

* 차수: $N\; \backslash in\; \backslash Bbb\{N\}$
* 매개변수: $t\; \backslash in\; \backslash Bbb\{R\},\; \backslash \; 0\; \backslash leq\; t\; \backslash leq\; 1$
* 제어점: $N+1$개의 벡터 $\backslash \{$
\mathbf{B}_i
\ | \
i \in \{0, 1, ..., N \}
\}

이들을 사용하여 $N$차 베지어 곡선 $\backslash mathbf\{P\}(t)$는 여러 표현으로 정의된다.

3.1. 일반적인 정의

n차 베지에 곡선은 n+1개의 제어점 $\backslash mathbf\{P\}\_0,\; \backslash mathbf\{P\}\_1,\; ...,\; \backslash mathbf\{P\}\_n$에 의해 정의된다. 이 곡선은 다음과 같은 재귀적 정의로 표현할 수 있다.

:$\backslash mathbf\{B\}\_\{\backslash mathbf\{P\}\_0\}(t)\; =\; \backslash mathbf\{P\}\_0$ 이고,

:$\backslash mathbf\{B\}(t)\; =\; \backslash mathbf\{B\}\_\{\backslash mathbf\{P\}\_0\backslash mathbf\{P\}\_1\backslash ldots\backslash mathbf\{P\}\_n\}(t)\; =\; (1-t)\backslash mathbf\{B\}\_\{\backslash mathbf\{P\}\_0\backslash mathbf\{P\}\_1\backslash ldots\backslash mathbf\{P\}\_\{n-1\}\}(t)\; +\; t\backslash mathbf\{B\}\_\{\backslash mathbf\{P\}\_1\backslash mathbf\{P\}\_2\backslash ldots\backslash mathbf\{P\}\_n\}(t)$

즉, 차수가 n-1인 두 베지에 곡선에서 대응되는 점들을 선형 보간하여 얻어진다.

또한, 다음과 같이 명시적인 형태로도 표현할 수 있다.

:$\backslash mathbf\{B\}(t)\; =\; \backslash sum\_\{i=0\}^n\; \{n\backslash choose\; i\}(1\; -\; t)^\{n\; -\; i\}t^i\backslash mathbf\{P\}\_i\; =\; (1\; -\; t)^n\backslash mathbf\{P\}\_0\; +\; \{n\backslash choose\; 1\}(1\; -\; t)^\{n\; -\; 1\}t\backslash mathbf\{P\}\_1\; +\; \backslash cdots\; +\; \{n\backslash choose\; n\; -\; 1\}(1\; -\; t)t^\{n\; -\; 1\}\backslash mathbf\{P\}\_\{n\; -\; 1\}\; +\; t^n\backslash mathbf\{P\}\_n$ (단, $0\; \backslash leqslant\; t\; \backslash leqslant\; 1$)

여기서 $\backslash scriptstyle\; \{n\; \backslash choose\; i\}$는 이항 계수이다.

예를 들어, n = 5일 때는 다음과 같다.

:$\backslash mathbf\{B\}(t)\; =\; (1\; -\; t)^5\backslash mathbf\{P\}\_0\; +\; 5t(1\; -\; t)^4\backslash mathbf\{P\}\_1\; +\; 10t^2(1\; -\; t)^3\; \backslash mathbf\{P\}\_2\; +\; 10t^3\; (1-t)^2\; \backslash mathbf\{P\}\_3\; +\; 5t^4(1-t)\; \backslash mathbf\{P\}\_4\; +\; t^5\; \backslash mathbf\{P\}\_5$ (단, $0\; \backslash leqslant\; t\; \backslash leqslant\; 1$)

베지에 곡선은 베른슈타인 다항식을 기저 함수로 사용하여 표현할 수도 있다.

:$\backslash mathbf\{B\}(t)\; =\; \backslash sum\_\{i=0\}^n\; b\_\{i,\; n\}(t)\backslash mathbf\{P\}\_i$ (단, $0\; \backslash le\; t\; \backslash le\; 1$)

여기서 $b\_\{i,n\}(t)\; =\; \{n\; \backslash choose\; i\}\; t^i\; (1\; -\; t)^\{n\; -\; i\}$는 n차 베른슈타인 기저 다항식이다.

이러한 베지에 곡선의 정의는 "베지어 곡선의 번스타인 표현"이라고도 불린다.

번스타인 기저 함수 $J\_\{N,j\}(t)$를 사용하면, $N$차 베지어 곡선은 다음과 같이 정의된다.

:$\backslash mathbf\{P\}(t)\; =\; \backslash sum\_\{i=0\}^\{N\}\; \backslash mathbf\{B\}\_i\; J\_\{N,i\}(t)\; =\; \backslash sum\_\{i=0\}^\{N\}\; \backslash mathbf\{B\}\_i\; \{N\; \backslash choose\; i\}\; t^i\; (1-t)^\{N-i\}$

점 P_i는 베지에 곡선의 제어점이라고 하며, 이 점들을 선분으로 연결하여 형성된 다각형은 베지어 다각형(또는 제어 다각형)이라고 한다. 베지어 다각형의 볼록 껍질은 베지어 곡선을 포함한다.

3.2. 2차 베지에 곡선

조절점 A, B, C에 대한 2차 베지에 곡선은 다음과 같이 정의되는 점 P(t)의 자취이다.

:$\backslash mathbf\{P\}(t)\; =\; (1\; -\; t)^\{2\}\backslash mathbf\{A\}\; +\; 2t(1\; -\; t)\backslash mathbf\{B\}\; +\; t^\{2\}\backslash mathbf\{C\}\backslash quad\; \backslash text\{단\; ,\; \}\backslash \; 0\backslash leq\; t\; \backslash leq\; 1$

위 식을 바꾸어 보면 베지에 곡선의 기하학적 의미를 다음과 같이 설명할 수 있다.

:$\backslash mathbf\{P\}(t)\; =\; (1\; -\; t)\backslash \{(1\; -\; t)\; \backslash mathbf\{A\}\; +\; t\; \backslash mathbf\{B\}\backslash \}\; +\; t\backslash \{(1\; -\; t)\backslash mathbf\{B\}\; +\; t\; \backslash mathbf\{C\}\backslash \}\backslash quad\; \backslash text\{단\; ,\; \}\backslash \; 0\backslash leq\; t\; \backslash leq\; 1$

여기서 첫 번째 괄호로 묶인 (1 -t) A + t B는 A와 B를 잇는 선분을 t:(1-t) 로 나누는 내분점임을 알 수 있고, 두 번째 괄호로 묶인 점도 마찬가지로 B와 C의 t:(1-t) 내분점이다. 그리고 P(t)는 이 두 내분점을 다시 t:(1-t) 로 나누는 내분점이다.

2차 베지에 곡선은 다음과 같이 재귀적인 방식으로 구성될 수 있다.

1. A, B, C를 각각 시작점, 조절점, 끝점이라고 하자.
2. 선분 AB의 중점을 D라고 한다.
3. 선분 BC의 중점을 E라고 한다.
4. 선분 DE의 중점을 F라고 하면, F는 베지에 곡선상의 점이다.
5. A = A, B = D, C =F 로 치환하여 위 조작을 반복한다.
6. A = F, B = E, C =C 로 치환하여 위 조작을 반복한다.

2차 베지에 곡선은 점 P₀, P₁, P₂가 주어졌을 때, 다음 함수 B(t)에 의해 그려지는 경로이다.

:$\backslash mathbf\{B\}(t)\; =\; (1\; -\; t)[(1\; -\; t)\; \backslash mathbf\; P\_0\; +\; t\; \backslash mathbf\; P\_1]\; +\; t\; [(1\; -\; t)\; \backslash mathbf\; P\_1\; +\; t\; \backslash mathbf\; P\_2],\backslash \; 0\; \backslash le\; t\; \backslash le\; 1$

이는 각각 P₀에서 P₁까지, 그리고 P₁에서 P₂까지의 선형 베지에 곡선 상의 해당 점들의 선형 보간으로 해석될 수 있다. 위의 식을 재정렬하면 다음과 같다.

:$\backslash mathbf\{B\}(t)\; =\; (1\; -\; t)^\{2\}\backslash mathbf\{P\}\_0\; +\; 2(1\; -\; t)t\backslash mathbf\{P\}\_1\; +\; t^\{2\}\backslash mathbf\{P\}\_2,\backslash \; 0\; \backslash le\; t\; \backslash le\; 1$

이는 P₁에 대한 대칭성을 강조하는 방식으로 쓸 수 있다.

:$\backslash mathbf\{B\}(t)\; =\; \backslash mathbf\{P\}\_1+(1\; -\; t)^\{2\}(\backslash mathbf\{P\}\_0\; -\; \backslash mathbf\{P\}\_1)\; +\; t^\{2\}(\backslash mathbf\{P\}\_2-\backslash mathbf\{P\}\_1),\backslash \; 0\; \backslash le\; t\; \backslash le\; 1$

이로부터 바로 베지에 곡선의 t에 대한 도함수를 얻을 수 있다.

:$\backslash mathbf\{B\}\text{'}(t)\; =\; 2\; (1\; -\; t)\; (\backslash mathbf\{P\}\_1\; -\; \backslash mathbf\{P\}\_0)\; +\; 2\; t\; (\backslash mathbf\{P\}\_2\; -\; \backslash mathbf\{P\}\_1)$

이를 통해 P₀과 P₂에서의 곡선에 대한 접선이 P₁에서 교차한다는 것을 알 수 있다. t가 0에서 1로 증가함에 따라 곡선은 P₁ 방향으로 P₀에서 출발하여, P₁ 방향에서 P₂에 도달하도록 굽어진다.

베지에 곡선의 t에 대한 이계 도함수는 다음과 같다.

:$\backslash mathbf\{B\}$(t) = 2(\mathbf{P}_2 - 2 \mathbf{P}_1 + \mathbf{P}_0)

이차 베지에 곡선은 또한 포물선의 일부이다. 포물선은 원뿔 곡선이므로 일부 자료에서는 이차 베지에 곡선을 "원뿔 호"라고 부른다. 오른쪽 그림을 참조하면, 포물선의 중요한 특징은 다음과 같이 유도할 수 있다.

1. 곡선의 끝점(A와 B)에서 포물선에 대한 접선은 제어점(C)에서 교차한다.
2. D가 AB의 중점이면, CD에 수직인 곡선에 대한 접선(청록색 파선)이 꼭짓점(V)을 정의한다. 대칭축(청록색 쇄선)은 V를 지나고 접선에 수직이다.
3. E는 CD에 대해 45°의 접선을 갖는 곡선 위의 점이다(녹색 파선). G가 이 접선과 축의 교차점이면, G를 지나 CD에 수직인 선이 준선이다(녹색 실선).
4. 초점(F)은 축과 E를 지나 CD에 수직인 선의 교차점에 있다(노란색 점선). 랫터스 렉텀은 곡선 내의 선분이다(노란색 실선).

quadratic Bézier curve^영어은 3개의 제어점으로 구성된 베지에 곡선이다.

2차 베지에 곡선은 다음 식으로 정의된다.

:$\backslash begin\{align\}$
\mathbf{P}(t)
& = \sum_{i=0}^2 \mathbf{B}_i J_{2,i}(t) \\
& = (1-t)^2 \mathbf{B}_0 + 2 t (1-t) \mathbf{B}_1 + t^2 \mathbf{B}_2 \\
& = ( \mathbf{B}_0 - 2 \mathbf{B}_1 + \mathbf{B}_2) t^2 + (-2 \mathbf{B}_0 + 2 \mathbf{B}_1) t + \mathbf{B}_0 \\
\end{align}

위 식으로부터 베지에 곡선의 성질을 만족함을 쉽게 확인할 수 있다. t''의 차수로부터 2차 베지에 곡선은 기껏해야 2차 곡선임을 확인할 수 있으며, 대입을 통해 P(0) = B₀과 P(1) = B₂에서 양 끝 제어점을 지남을 확인할 수 있다.

3.3. 3차 베지에 곡선

3차 베지에 곡선은 4개의 점 P₀, P₁, P₂, P₃으로 정의된다. 곡선은 P₀에서 시작하여 P₁ 방향으로 향하고, P₂ 방향에서 와서 P₃에 도착한다. 일반적으로 P₁ 또는 P₂를 통과하지 않으며, 이 점들은 방향 정보를 제공하기 위해서만 존재한다. P₁과 P₂ 사이의 거리는 곡선이 P₂ 방향으로 꺾이기 전에 P₁ 방향으로 "얼마나 멀리" 그리고 "얼마나 빨리" 움직이는지를 결정한다.

3차 베지에 곡선은 다음과 같은 식으로 표현할 수 있다.

:$\backslash mathbf\{B\}(t)\; =\; (1-t)^3\backslash mathbf\{P\}\_0+3(1-t)^2t\backslash mathbf\{P\}\_1+3(1-t)t^2\backslash mathbf\{P\}\_2+t^3\backslash mathbf\{P\}\_3,\backslash \; 0\; \backslash le\; t\; \backslash le\; 1.$

P₁과 P₂를 적절히 선택하면 곡선이 자기 자신과 교차하거나 첨점을 포함할 수 있다.

4개의 서로 다른 점의 임의의 시퀀스는 4개의 모든 점을 차례로 통과하는 3차 베지에 곡선으로 바꿀 수 있다. 어떤 3차 베지에 곡선의 시작점과 끝점, 그리고 t = 1/3 및 t = 2/3에 해당하는 곡선 위의 점들이 주어지면, 원래 베지에 곡선의 제어점을 복구할 수 있다.

t에 대한 3차 베지에 곡선의 도함수는 다음과 같다.

:$\backslash mathbf\{B\}\text{'}(t)\; =\; 3(1-t)^2(\backslash mathbf\{P\}\_1\; -\; \backslash mathbf\{P\}\_0)\; +\; 6(1-t)t(\backslash mathbf\{P\}\_2\; -\; \backslash mathbf\{P\}\_1)\; +\; 3t^2(\backslash mathbf\{P\}\_3\; -\; \backslash mathbf\{P\}\_2)\; \backslash ,.$

t에 대한 베지어 곡선의 이계 도함수는 다음과 같다.

:$\backslash mathbf\{B\}\text{'}\text{'}(t)\; =\; 6(1-t)(\backslash mathbf\{P\}\_2\; -\; 2\; \backslash mathbf\{P\}\_1\; +\; \backslash mathbf\{P\}\_0)\; +\; 6t(\backslash mathbf\{P\}\_3\; -\; 2\; \backslash mathbf\{P\}\_2\; +\; \backslash mathbf\{P\}\_1)\; \backslash ,.$

4. 성질

* 곡선은 $\backslash mathbf\; P\_0$에서 시작하여 $\backslash mathbf\; P\_n$에서 끝난다. 이것은 '끝점 보간' 속성이라고 불린다.
* 곡선은 모든 제어점이 공선일 경우에만 선이다.
* 곡선의 시작과 끝은 각각 베지어 다각형의 첫 번째와 마지막 부분에 접선이다.
* 곡선은 임의의 지점에서 두 개의 하위 곡선 또는 임의의 많은 하위 곡선으로 분할할 수 있으며, 각 하위 곡선도 베지어 곡선이다.
* 원과 같이 단순해 보이는 일부 곡선은 베지어 또는 구간별 베지어 곡선으로 정확하게 설명할 수 없다. 비록 4조각 세제곱 베지어 곡선은 원을 근사할 수 있으며(복합 베지어 곡선 참조), 각 내부 제어점(또는 오프라인 점)이 단위 원의 외부 제어점으로부터 가로 또는 세로로 $\backslash textstyle\backslash frac\{4\backslash left(\backslash sqrt\; \{2\}-1\backslash right)\}\{3\}$ 거리에 있을 때 천 분의 일 미만의 최대 반경 오차를 갖는다. 더 일반적으로, 각 내부 제어점이 단위 원의 외부 제어점에서 $\backslash textstyle\backslash frac\{4\}\{3\}\backslash tan(t/4)$ 거리에 있을 때, n 조각 세제곱 베지어 곡선은 원을 근사할 수 있으며, 여기서 $t\; =\; 2\backslash pi/n$(즉, $t=360^\backslash circ/n$)이고, $n>2$이다.
* 모든 이차 베지어 곡선은 세제곱 베지어 곡선이며, 더 일반적으로, 모든 n차 베지어 곡선은 m > n에 대해 m차 곡선이다.
* 베지어 곡선은 변동 감소 속성을 갖는다. 이것은 베지어 곡선이 제어점의 다각형보다 더 많이 "요동치지" 않으며, 실제로 그보다 덜 "요동칠" 수 있다는 것이다.
* n차 베지어 곡선에는 국소 제어가 없다. 즉, 제어점에 대한 변경은 곡선 전체의 측면을 다시 계산하고 영향을 미쳐야 하지만, "변경된 제어점으로부터 멀리 떨어져 있을수록 곡선의 변화는 작아집니다".
* 2차보다 높은 차수의 베지어 곡선은 제어점을 특정 방식으로 선택하면 자체적으로 교차하거나 첨점을 가질 수 있다.
* $N$차 베지어 곡선의 시작점은 끝점의 제어점 $\backslash mathbf\{B\}\_0$과, 종점은 다른 쪽 끝점의 제어점 $\backslash mathbf\{B\}\_\{N\}$과 일치한다.

번스타인 기저 함수는 $J\_\{N,i\}(0)\; =\; \backslash delta\_\{i,0\}$, $J\_\{N,i\}(1)\; =\; \backslash delta\_\{i,N\}$이다(⇒번스타인 다항식#번스타인 기저 함수의 특성). 따라서 베지어 곡선을 구성하는 대부분의 항은 단점에서 0이 되며 $\backslash mathbf\{P\}(0)=\backslash mathbf\{B\}\_0\; 1$, $\backslash mathbf\{P\}(1)=\backslash mathbf\{B\}\_\{N\}\; 1$이 된다. 즉, 시작점 $\backslash mathbf\{P\}(0)$이 $\backslash mathbf\{B\}\_0$과, 종점 $\backslash mathbf\{P\}(1)$이 $\backslash mathbf\{B\}\_N$과 일치한다.
--
베지어 곡선은 제어점 좌표의 가중 평균으로 간주할 수 있다.

번스타인 기저 함수는 항상 합이 1이며 (⇒번스타인 다항식#1의 분할), 또한 $0\; \backslash leq\; t\; \backslash leq\; 1$에서 비음수이다 (⇒번스타인 다항식#구간 비음수). 따라서 베지어 곡선상의 점 $\backslash mathbf\{P\}(t=T)$는 각 제어점 $\backslash mathbf\{B\}\_i$가 $J\_\{n,\; i\}(T)$로 가중된 가중 평균으로 간주할 수 있다. 이러한 의미에서 각 번스타인 기저 함수는 혼합비라고도 불린다.
베지어 곡선의 [단점]을 제외한 영역은 해당 좌표가 모든 제어점의 좌표로부터 영향을 받는다.

베지어 곡선은 제어점 좌표의 가중 평균이며(⇒#제어점의 가중 평균), 그 가중치인 번스타인 기저 함수는 에서 항상 양수이다(⇒번스타인 다항식#구간 양수). 따라서 [단점] 이외의 지점에서는 모든 제어점의 좌표가 크든 작든 곡선의 각 점에 반영된다. [단점]은 예외이며, 단일 제어점의 좌표에 의해서만 결정된다.
베지어 곡선은 일반적으로 양 끝점을 제외한 제어점은 통과하지 않는다.

5. 구성

드 카스텔조 알고리즘을 사용하면 베지에 곡선을 구성할 수 있다. 이 알고리즘은 선형 보간을 반복하여 곡선 위의 점을 계산하는 방식이다.

차수 n의 베지에 곡선은 차수 n − 1의 두 베지에 곡선에서 대응되는 점들의 쌍의 점대점 선형 결합으로 표현할 수 있다.

P₀, P₁, ..., P_k의 점들로 결정되는 베지에 곡선을 $\backslash mathbf\{B\}\_\{\backslash mathbf\{P\}\_0\backslash mathbf\{P\}\_1\backslash ldots\backslash mathbf\{P\}\_k\}$로 표기하면, 다음과 같이 재귀적으로 정의할 수 있다.

:$\backslash mathbf\{B\}\_\{\backslash mathbf\{P\}\_0\}(t)\; =\; \backslash mathbf\{P\}\_0\; \backslash text\{,\; 그리고\}$

:$\backslash mathbf\{B\}(t)\; =\; \backslash mathbf\{B\}\_\{\backslash mathbf\{P\}\_0\backslash mathbf\{P\}\_1\backslash ldots\backslash mathbf\{P\}\_n\}(t)\; =\; (1-t)\backslash mathbf\{B\}\_\{\backslash mathbf\{P\}\_0\backslash mathbf\{P\}\_1\backslash ldots\backslash mathbf\{P\}\_\{n-1\}\}(t)\; +\; t\backslash mathbf\{B\}\_\{\backslash mathbf\{P\}\_1\backslash mathbf\{P\}\_2\backslash ldots\backslash mathbf\{P\}\_n\}(t)$

이를 공식으로 표현하면 다음과 같다. 여기서 $\backslash scriptstyle\; \{n\; \backslash choose\; i\}$는 이항 계수이다.

:$\backslash begin\{align\}$
\mathbf{B}(t) &= \sum_{i=0}^n {n\choose i}(1 - t)^{n - i}t^i\mathbf{P}_i \\
&=(1 - t)^n\mathbf{P}_0 + {n\choose 1}(1 - t)^{n - 1}t\mathbf{P}_1 + \cdots + {n\choose n - 1}(1 - t)t^{n - 1}\mathbf{P}_{n - 1} + t^n\mathbf{P}_n, && 0 \leqslant t \leqslant 1
\end{align}

예를 들어, n = 5일 때 베지에 곡선은 다음과 같다.

:$\backslash begin\{align\}$
\mathbf{B}(t) &= (1 - t)^5\mathbf{P}_0 + 5t(1 - t)^4\mathbf{P}_1 + 10t^2(1 - t)^3 \mathbf{P}_2 + 10t^3 (1-t)^2 \mathbf{P}_3 + 5t^4(1-t) \mathbf{P}_4 + t^5 \mathbf{P}_5, && 0 \leqslant t \leqslant 1.
\end{align}

벡터 $\backslash mathbf\{B\}\_i^r(t)$
에 관한 점화식을 정의하여 드 카스텔조 알고리즘을 표현할 수 있다.

:$\backslash mathbf\{B\}\_i^r(t)\; =$
\begin{cases}
\mathbf{B}_i(t),
& r = 0,
& i \in \{0, 1, ..., N\} \\
(1-t) \mathbf{B}_i^{r-1}(t) + t \mathbf{B}_{i+1}^{r-1}(t),
& r \in \{1, ..., N\},
& i \in \{0, 1, ..., N-r\} \\
\end{cases}


이 점화식을 사용하여 $N$차 베지에 곡선은 $\backslash mathbf\{P\}(t)\; =\; \backslash mathbf\{B\}\_0^N(t)$로 정의된다.

조절점 A, B, C를 이용하여 2차 베지에 곡선을 구성하는 방법은 다음과 같다. 선분 AB의 중점을 D, 선분 BC의 중점을 E라고 하고, 선분 DE의 중점을 F라고 하면, F는 베지에 곡선상의 점이 된다. 이후 A = A, B = D, C =F 로 치환하거나, A = F, B = E, C =C 로 치환하여 위 조작을 반복한다.

5.1. 2차 곡선 구성

제어점 P₀, P₁, P₂가 주어졌을 때, 2차 베지에 곡선은 다음과 같이 구성된다.

* 점 Q₀(t)는 P₀에서 P₁까지 변화하며, 선형 베지에 곡선을 나타낸다.
* 점 Q₁(t)는 P₁에서 P₂까지 변화하며, 선형 베지에 곡선을 나타낸다.
* 점 B(t)는 Q₀(t)에서 Q₁(t) 사이에서 선형 보간되며, 2차 베지에 곡선을 나타낸다.

2차 베지에 곡선은 점 P₀, P₁, P₂가 주어졌을 때, 다음 함수 B(t)에 의해 그려지는 경로이다.

:$\backslash mathbf\{B\}(t)\; =\; (1\; -\; t)[(1\; -\; t)\; \backslash mathbf\; P\_0\; +\; t\; \backslash mathbf\; P\_1]\; +\; t\; [(1\; -\; t)\; \backslash mathbf\; P\_1\; +\; t\; \backslash mathbf\; P\_2],\backslash \; 0\; \backslash le\; t\; \backslash le\; 1$

이는 각각 P₀에서 P₁까지, 그리고 P₁에서 P₂까지의 선형 베지에 곡선 상의 해당 점들의 선형 보간으로 해석될 수 있다.

5.2. 고차 곡선 구성

고차 곡선은 더 많은 중간점을 필요로 한다. 3차 곡선의 경우, 선형 베지에 곡선을 설명하는 중간점 Q₀, Q₁, Q₂를 구성할 수 있으며, 2차 베지에 곡선을 설명하는 점 R₀ 및 R₁을 구성할 수 있다.

4차 곡선의 경우, 선형 베지에 곡선을 설명하는 중간점 Q₀, Q₁, Q₂, Q₃을 구성할 수 있으며, 2차 베지에 곡선을 설명하는 점 R₀, R₁, R₂와 3차 베지에 곡선을 설명하는 점 S₀ 및 S₁을 구성할 수 있다.



5차 곡선의 경우, 유사한 중간점을 구성할 수 있다.



이러한 표현은 드 카스텔요 알고리즘에서 베지에 곡선을 계산하는 데 사용되는 프로세스에 기반한다.

6. 응용

베지에 곡선은 컴퓨터 그래픽스, 애니메이션, 폰트 디자인, 로봇 공학 등 다양한 분야에서 활용된다.

* 컴퓨터 그래픽스: 드로잉 소프트웨어에서 윤곽선을 표현하거나, 페인트 소프트웨어에서 손글씨 선을 보정하는 데 사용된다.
* 애니메이션: 어도비 플래시나 신픽 같은 프로그램에서 움직이는 경로를 표현하는 데 사용된다.
* 폰트: 트루타입 글꼴처럼 곡선으로 이루어진 글자 모양을 만드는 데 사용된다.
* 기타: 산업 디자인에서 설계 도면 속 물체를 표현하거나, GUI에서 그래프 형태의 설정값을 나타내는 데에도 사용된다.

2차 베지에 곡선과 3차 베지에 곡선이 널리 사용되며, 특히 3차 베지에 곡선은 시작점과 끝점에서의 접선을 쉽게 조절할 수 있어 직관적이고 다루기 쉽다.

6.1. 컴퓨터 그래픽스

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베지에 곡선은 컴퓨터 그래픽스에서 부드러운 곡선을 모델링하는 데 널리 사용된다. 곡선은 제어점의 볼록 껍질 안에 완전히 포함되어 있으므로, 점을 그래픽으로 표시하고 곡선을 직관적으로 조작하는 데 사용할 수 있다. 아핀 변환 (예: 이동 및 회전)은 곡선의 제어점에 해당 변환을 적용하여 곡선에 적용할 수 있다.

이차 함수 및 삼차 함수 베지에 곡선이 가장 일반적이다. 고차 곡선은 평가하기가 더 계산 비용이 많이 든다. 더 복잡한 모양이 필요할 때는 낮은 차수의 베지에 곡선이 함께 패치되어 합성 베지에 곡선을 생성한다. 합성 베지에 곡선은 일반적으로 벡터 그래픽 언어 (예: 포스트스크립트), 벡터 그래픽 표준 (예: SVG) 및 벡터 그래픽 프로그램 (예: 아트라인, 타임웍스 퍼블리셔, 어도비 일러스트레이터, 코렐 드로우, 잉크스케이프, 알레그로)에서 "경로"라고 한다. 두 개의 구성 베지에 곡선이 만나는 제어점이 양쪽에 있는 두 개의 제어점으로 정의된 선에 놓이도록 하는 G1 연속성이라는 속성이 있어서 꺾임 없이 베지에 곡선을 합성 베지에 곡선으로 결합할 수 있다.

6.2. 애니메이션

어도비 플래시와 신픽 같은 애니메이션 응용 프로그램에서 베지에 곡선은 움직임을 표현하는 데 사용된다. 사용자가 베지에 곡선으로 원하는 경로를 그리면, 응용 프로그램은 객체가 해당 경로를 따라 이동하는 데 필요한 프레임을 생성한다.

3D 애니메이션에서 베지에 곡선은 3D 경로와 키프레임 보간을 위한 2D 곡선을 정의하는 데 자주 사용된다. 베지에 곡선은 현재 CSS, 자바스크립트, JavaFX 및 플러터 SDK에서 애니메이션의 이징(easing)을 제어하는 데 매우 자주 사용된다.

6.3. 폰트

트루타입 글꼴은 이차 베지에 곡선으로 구성된 복합 베지에 곡선을 사용한다. 포스트스크립트, 아심토트, 메타폰트, SVG와 같은 다른 언어 및 이미지 도구는 곡선 모양을 그리기 위해 삼차 베지에 곡선으로 구성된 복합 베지에 곡선을 사용한다. 오픈타입 글꼴은 오픈타입 래퍼의 기반이 되는 글꼴 기술에 따라 두 종류의 곡선을 모두 사용할 수 있다.

FreeType과 같은 글꼴 엔진은 글꼴 래스터화라고 하는 프로세스를 사용하여 글꼴의 곡선(및 선)을 픽셀화된 표면에 그린다.

6.4. 로봇 공학

제어 다각형을 통해 경로가 장애물과 충돌하는지 여부를 알 수 있기 때문에, 베지에 곡선은 엔드 이펙터의 궤적을 생성하는 데 사용된다. 또한, 조인트 공간 궤적은 베지에 곡선을 사용하여 정확하게 미분될 수 있다. 결과적으로, 조인트 공간 궤적의 도함수는 로봇 매니퓰레이터의 동역학 및 제어 노력(토크 프로파일) 계산에 사용된다.

7. 복합 베지에 곡선

복합 베지에 곡선(composite Bézier curve^영어)은 여러 개의 베지에 곡선을 연결하여 만든 곡선으로, 베지에 스플라인(Bézier spline^영어), 폴리베지어 곡선(polybezier^영어)이라고도 한다.

N차 베지에 곡선은 제어점을 추가하면 차수도 함께 증가하기 때문에 차수를 변경하지 않고는 연장할 수 없다. 또한, 새로운 제어점 좌표가 기존 구간에도 반영되는 전체 제어점의 반영 특성 때문에 기존 구간에 영향을 주지 않고는 연장할 수 없다.

이러한 문제를 해결하기 위해 스플라인 곡선과 같은 구분 다항식을 사용할 수 있다. 구분 다항식은 곡선 전체를 여러 개의 다항식으로 구성하여 각 구간을 독립적으로 표현한다. 복합 베지에 곡선은 베지에 곡선을 이용하여 각 구분을 표현한 구분 다항식이다.

복합 베지에 곡선은 일반적으로 세그먼트 간 연결에 제약을 두지 않아 연속성이나 매끄러움이 보장되지 않는다. 이는 B-스플라인 곡선과 같은 다른 스플라인 곡선과의 차이점이다. 그러나 적절한 제약을 가하면 연속성이나 매끄러움을 보장할 수 있다.

복합 베지에 곡선의 연속성은 세그먼트의 종점 제어점과 인접 세그먼트의 시작점 제어점을 공유함으로써 보장될 수 있다. 이는 끝점과 끝 제어점의 일치 특성으로 확인할 수 있다. 또한, 세그먼트 간의 접선을 공유하도록 제약을 가하면 복합 베지에 곡선의 매끄러움을 보장할 수 있다. 이는 매개변수에 대한 1차 미분이 단점에서 일치하는 것과 같다.

7.1. 용어 (3차 복합 베지에 곡선)

앵커 포인트(anchor point^영어)는 세그먼트의 종점에 있는 제어점의 다른 이름이다. 꼭짓점(vertex^영어), 패스 포인트(path point^영어), 통과점이라고도 한다. 종점과 종점 제어점의 일치 특성으로 인해 베지어 곡선은 앵커 포인트 사이를 연결하는 곡선으로 간주할 수 있다. 세그먼트가 통과하지 않는 제어점(=방향 핸들)과의 구별을 직관적으로 하기 위해 이 용어가 도입되었다.

방향 핸들(direction handle^영어)은 세그먼트 끝점 옆에 있는 제어점의 별칭이다. 방향점이라고도 한다. 방향선의 끝에 위치한다. 앵커 포인트와 구별함으로써 직접 곡선을 통과하지 않지만 굽는 방식을 결정한다는 것을 직관적으로 이해할 수 있다.

방향선(direction line^영어)은 세그먼트의 단점에서 인접한 제어점으로 뻗어 있는 직선이다. 일본어로는 ほうこうせん(방향선)이라고 한다. 3차 베지어 곡선에서는 단점에서의 접선 벡터가 인접한 제어점으로 뻗어 있는 벡터와 같은 방향을 갖기 때문에(자세한 내용: #3차 베지어 곡선), 방향선의 개념을 도입하면 단점에서의 기울기와 인접 제어점(=방향 핸들)의 위치를 동시에 시각적으로 확인할 수 있다.

폴리 베지어 곡선은 매끄러움 보장에 제약을 필요로 한다(⇒#매끄러움 보장). 이는 각 앵커 포인트에서 뻗어 나오는 두 개의 방향선 사이에 어떤 제약을 가하는가에 따라 표현할 수 있다.

방향선이 좌우 대칭이면 접선이 일치하므로 반드시 매끄러워진다. 이 제약이 가해진 앵커 포인트를 스무스 포인트(smooth point^영어), 설정 자체를 대칭(symmetric^영어), 곡선, 스무스(smooth^영어) 등으로 칭한다.

8. 유리 베지에 곡선

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유리 베지에 곡선은 가중치를 추가하여 곡선의 형태를 더 세밀하게 조정할 수 있도록 한다. 분자는 가중치가 적용된 번스타인 형식 베지에 곡선이고, 분모는 번스타인 다항식의 가중 합이다. 유리 베지에 곡선은 원호를 포함한 원뿔 곡선 세그먼트를 정확하게 나타내는 데 사용할 수 있다.

n + 1개의 제어점 P₀, ..., P_n이 주어지면, 유리 베지에 곡선은 다음과 같이 설명할 수 있다.

:

또는 간단히

:

이 표현식은 가중치에 실수 외의 숫자 체계를 사용하여 확장할 수 있다. 복소 평면에서 가중치가 {i}, {1}, {-i}인 점 {1}, {-1}, {1}은 반지름이 1인 완전한 원을 생성한다. 원 위의 점과 가중치를 갖는 곡선의 경우, 곡선의 모양을 변경하지 않고 가중치를 조정할 수 있다. 위 곡선의 중앙 가중치를 1.35508로 조정하면 더 균일한 매개변수화가 제공된다.