보로노이 다이어그램

3. 성질

보로노이 다이어그램과 보로노이 영역(셀)은 다음과 같은 특징을 갖는다.

• 각 보로노이 영역은 볼록 집합이다.
• 보로노이 영역의 경계에 있는 점(보로노이 점)은 해당 경계를 정의하는 두 개 이상의 모점(사이트)으로부터 같은 거리에 위치한다. 특히 2차원 유클리드 평면의 경우, 이는 모점들을 중심으로 하는 원들의 교점이 된다.
• 보로노이 다이어그램의 쌍대 그래프 (점 사이트를 갖는 유클리드 공간의 경우)는 동일한 점 집합에 대한 들로네 삼각 분할과 같다.
• 최근접 점 쌍은 보로노이 다이어그램에서 서로 인접한 두 개의 셀에 해당한다.
• 유클리드 평면에 이산적인 점 집합이 주어졌다고 가정하면, 집합 내 두 점이 볼록 껍질에서 인접하는 경우는 해당 보로노이 셀들이 무한히 긴 변을 공유할 때뿐이다.
• 공간이 노름 공간이고 각 사이트까지의 거리가 정의되는 경우 (예: 사이트가 콤팩트 집합 또는 닫힌 공인 경우), 각 보로노이 셀은 사이트에서 뻗어 나가는 선분들의 합집합으로 나타낼 수 있다.^[8] 거리가 정의되지 않으면 이 속성이 반드시 성립하지는 않는다.
• 비교적 일반적인 조건 하에서 (공간이 무한 차원의 균등 볼록 공간일 수 있고, 일반적인 형태의 무한히 많은 사이트가 있을 수 있는 등) 보로노이 셀은 기하학적 안정성이라는 특정 안정성 속성을 갖는다. 즉, 사이트의 모양에 작은 변화(예: 변환이나 왜곡)가 생기면 보로노이 셀의 모양에도 작은 변화만 발생한다.^[9] 그러나 공간이 2차원이지만 균등 볼록 공간이 아니거나(특히 비 유클리드 공간), 사이트가 점인 경우에는 이 안정성이 일반적으로 성립하지 않는다.

4. 역사

보로노이 다이어그램의 개념은 비공식적으로 1644년 르네 데카르트의 연구까지 거슬러 올라간다.^[10] 1850년에는 페터 구스타프 르줜 디리클레가 이차 형식 연구에서 2차원 및 3차원 보로노이 다이어그램을 사용했다. 이 때문에 보로노이 다이어그램은 '디리클레 테셀레이션'이라는 이름으로도 불린다.

영국의 의사 존 스노우는 1854년 런던에서 발생한 브로드 스트리트 콜레라 발병 당시, 보로노이 다이어그램과 유사한 방식을 활용했다. 그는 특정 브로드 스트리트 펌프 주변에 사는 사람들이 다른 펌프 주변 거주자들보다 콜레라로 더 많이 사망했다는 사실을 밝혀내어, 감염 원인을 규명하는 데 기여했다.

보로노이 다이어그램이라는 이름은 러시아의 수학자 게오르기 표도로비치 보로노이에서 유래했다. 그는 1908년에 일반적인 ''n''차원 공간에서의 보로노이 다이어그램을 정의하고 연구하여 개념을 일반화했다.^[11]

지구물리학이나 기상학 분야에서는 공간적으로 분포된 데이터를 분석하기 위해 보로노이 다이어그램을 사용하는데, 특히 1911년 미국의 기상학자 알프레드 H. 티센이 흩어진 측정 지점들로부터 평균 강수량을 추정하기 위해 이 방법을 사용한 이후 '티센 다각형'이라고도 불린다. 이 외에도 분야에 따라 응집 물질 물리학에서는 '위그너-자이츠 단위 셀', 운동량의 역격자에서는 '브릴루앙 영역', 리 군의 일반 격자에서는 '기본 영역', 일반 거리 공간에서는 '계량 기본 다각형' 등 다양한 이름으로 불린다.

5. 응용 분야

보로노이 다이어그램은 점들의 집합으로부터 공간을 분할하는 기하학적 구조로, 다양한 분야에서 문제 해결을 위한 강력한 도구로 사용된다. 특히 공간 분석 및 모델링에 유용하며, 특정 지점이나 개체에 가장 가까운 영역을 정의하는 데 효과적이다.

기하학에서는 점 집합 내에서 가장 큰 빈 원을 찾거나, 객체의 둥근 정도를 계산하는 등 다양한 기하학적 문제를 해결하는 데 활용된다.^[12] 예를 들어, 기존 상점들로부터 최대한 멀리 떨어진 곳에 새로운 상점을 배치하는 문제를 해결하는 데 응용될 수 있다.

데이터 구조 분야에서는 점 위치 문제를 해결하고 최근접 이웃 탐색 쿼리에 효율적으로 응답하는 데 사용된다. 이는 특정 지점에서 가장 가까운 병원이나 시설을 찾거나, 데이터베이스에서 가장 유사한 항목을 검색하는 데 유용하다. 또한, 데이터 압축에 사용되는 벡터 양자화와 같은 대규모 응용 분야의 기반이 되기도 한다.

이 외에도 보로노이 다이어그램은 과학, 공학, 정보 과학, 사회 과학 등 수많은 분야에서 특정 문제 상황에 맞게 변형되어 활용되고 있다. 각 분야에서의 구체적인 응용 사례는 아래 하위 섹션에서 자세히 다룬다.

5. 1. 과학

• 기상학 및 수문학: 특정 지역 내 강수량 자료에 대한 가중치를 구하는 데 사용된다. 강수량 관측소를 점으로 사용하여 보로노이 다이어그램을 생성하는데, 이를 티센 다각형(Thiessen polygon)이라고도 부른다. 각 관측소 주변의 다각형 면적($A\_i$)은 해당 관측소의 영향 면적으로 간주되며, 이를 이용해 평균 강수량($\backslash bar\{P\}$)을 계산할 수 있다: $\backslash bar\{P\}=\backslash frac\{\backslash sum\; A\_i\; P\_i\}\{\backslash sum\; A\_i\}$
• 생물학: 세포^[18]나 해면골^[19]과 같은 생물학적 구조를 모델링하는 데 사용된다. 보로노이 테셀레이션은 생물 조직의 형성을 이끄는 물리적 제약을 이해하는 기하학적 도구로 활용된다.^[20]
• 생태학: 숲이나 숲 캐노피의 성장 패턴을 연구하고, 산불 예측 모델을 개발하는 데 도움이 될 수 있다.
• 동물 행동학: 이기적 무리 이론(selfish herd theory)에서 개체 주변의 위험 영역을 모델링하는 데 사용된다.
• 계산 화학: 분자 내 핵의 위치를 기반으로 보로노이 셀을 정의하여 부분 전하를 계산하는 데 사용된다(보로노이 변형 밀도 방법). 또한, 리간드가 결합하는 부위를 보로노이 다이어그램으로 변환하여 기계 학습에 활용하기도 한다(예: 단백질 결합 포켓 분류).^[21]
• 천체물리학: 천체 이미지에서 적응형 평활 영역(adaptive smoothing regions)을 생성하여 각 영역의 신호 플럭스를 합산하는 데 사용된다. 이를 통해 이미지 전체에서 비교적 일정한 신호 대 잡음비(signal-to-noise ratio)를 유지하는 것을 목표로 한다.
• 전산 유체 역학: 점들의 보로노이 테셀레이션은 유한 체적법(finite volume method)에서 계산 영역을 정의하는 데 사용될 수 있다. 이동 메쉬 우주론 코드인 AREPO^[22] 등이 그 예이다.
• 전산 물리학: 고에너지 밀도 물리학(high-energy-density physics) 분야에서 섀도그래피(shadowgraphy)나 양성자 방사선 촬영을 통해 얻은 데이터로부터 물체의 프로파일을 계산하는 데 활용된다.^[23]

5. 2. 공학

• 고분자 물리학에서는 고분자의 자유 부피를 나타내는 데 사용될 수 있다.
• 재료 과학에서는 금속 합금의 다결정 미세 구조를 표현하기 위해 보로노이 테셀레이션을 사용한다. 또한, 섬 성장 과정에서 개별 섬의 성장 속도를 추정하는 데 활용된다.^{[25][26][27][28][29]}
• 고체 물리학에서는 고체의 보로노이 테셀레이션인 위그너-자이츠 셀과, 결정의 역 공간(파수 공간)에서의 보로노이 테셀레이션인 브릴루앙 영역을 통해 고체 결정 구조를 분석한다.
• 기상학 및 공학 수문학에서는 특정 지역 내 강수량 자료의 가중치를 계산하는 데 사용된다. 강수량 관측소를 점으로 사용하여 다각형을 만들고, 각 관측소의 영향 면적을 기반으로 평균 강수량을 계산한다.
• 항공 분야에서는 비행 중 비상 상황 발생 시 가장 가까운 비행장을 식별하기 위해 보로노이 다이어그램을 활용한다(ETOPS 참조). 이는 해양 플로팅 차트에 중첩되어 사용된다.
• 건축 분야에서는 보로노이 패턴이 디자인 요소로 활용되기도 한다. 오스트레일리아의 골드코스트 예술 센터 재개발 공모전 당선작이 대표적인 예이다.^[30]
• 도시 계획에서는 화물 적재 구역 시스템의 효율성을 평가하는 데 보로노이 다이어그램을 사용할 수 있다.^[31]
• 광업에서는 탐사 드릴 구멍 위치를 점으로 사용하여 보로노이 다각형을 만들고, 이를 통해 귀중 물질, 광물 또는 기타 자원의 매장량을 추정한다.
• 표면 측정 분야에서는 표면 거칠기를 모델링하는 데 보로노이 테셀레이션을 사용한다.^[32]
• 로봇 공학에서는 다중 에이전트 시스템의 제어 전략이나 경로 계획 알고리즘 개발에 활용된다.^[33] 환경을 보로노이 다이어그램으로 분할하여 로봇의 이동 경로를 설정하거나^[34][35], 장애물을 점으로 간주하여 이를 피하는 경로를 찾는 데 응용된다.

5. 3. 정보 과학

• 컴퓨터 네트워크 분야에서는 무선 네트워크의 용량을 분석하고 유도하는 데 보로노이 다이어그램이 활용된다.
• 컴퓨터 그래픽스에서는 3차원 모델이 부서지거나 파편화되는 패턴을 계산하는 데 사용된다. 또한 절차적 생성 기법을 통해 유기적인 형태나 용암과 같은 질감(텍스처)을 만드는 데에도 응용된다.
• 자율 로봇 항법 분야에서는 로봇이 안전하게 이동할 경로를 찾는 데 보로노이 다이어그램이 이용된다. 지도상의 장애물을 점으로 간주할 경우, 보로노이 다이어그램의 가장자리는 장애물로부터 가장 멀리 떨어진 경로를 나타내므로 충돌 위험을 줄일 수 있다.
• 머신 러닝에서는 k-최근접 이웃 알고리즘(1-NN)과 같은 분류 문제를 해결하는 데 보로노이 다이어그램의 원리가 적용된다.^[37]
• 딥 러닝 기술과 결합하여, 무작위로 배치된 센서의 위치 정보, 불안정한 유체의 흐름, 지구물리학적 데이터, 3차원 난류 데이터 등을 분석하고 전체적인 장면을 재구성하는 데 보로노이 테셀레이션 기법이 쓰이기도 한다.^[38]
• 사용자 인터페이스(UI) 개발에서는 특정 지점 위로 마우스 커서가 올라갔을 때(호버 상태) 가장 적절한 상호작용 영역을 계산하는 데 보로노이 패턴이 사용될 수 있다.^[39]
• 최근접 이웃 탐색 문제, 즉 주어진 한 점에 가장 가까운 기준점을 찾는 문제는 다양한 분야에서 중요하게 다루어지며, 보로노이 영역을 활용한 데이터 구조를 통해 이 탐색 과정을 효율적으로 수행할 수 있다.
• 로봇의 동작을 계획할 때, 장애물을 피해 목적지까지 도달 가능한 경로를 찾는 방법 중 하나로 보로노이 다이어그램이 사용된다. 장애물들을 기준점으로 설정하고 생성된 보로노이 경계를 따라 이동 경로를 설정하는 방식이다. 이는 복잡한 공간을 더 단순한 차원의 골격(경로)으로 대체하는 리트랙션 접근법(retraction approach)의 예시이다.

5. 4. 사회 과학

• 역학에서 보로노이 다이어그램은 전염병의 감염원 간 상관관계를 파악하는 데 사용될 수 있다. 대표적인 초기 응용 사례로 존 스노우가 1854년 브로드 스트리트 콜레라 유행을 연구한 것을 들 수 있다. 그는 런던 중심부 지도에서 특정 물 펌프를 사용한 거주 지역과 콜레라 사망자가 집중된 지역 간의 관계를 보로노이 다이어그램을 활용하여 효과적으로 보여주었다.^[24]
• 의료 진단 분야에서는 보로노이 다이어그램 기반의 근육 조직 모델을 통해 신경근 질환을 감지하는 연구가 진행되고 있다.^[20]
• 고고학의 미술사 연구에서는 조각상 머리의 대칭성을 분석하여 잘려나간 머리가 어떤 유형의 조각상에 속했는지 추정하는 데 보로노이 셀 개념을 활용한다. 사보로프 머리의 식별 과정에서 고해상도 다각형 메쉬와 함께 보로노이 셀이 사용된 것이 그 예시다.
• 방언학에서는 여러 지점에서 수집된 언어 자료를 바탕으로, 언어적 특성이 유사하게 나타나는 지역 범위를 나타내는 지도를 만들 때 보로노이 셀을 사용한다. 이를 통해 지역 간 언어적 연속성을 시각적으로 표현할 수 있다.
• 정치학에서는 여러 정당이 다양한 정책 차원에서 경쟁하는 다차원적, 다당제 경쟁 구도를 분석하는 데 보로노이 다이어그램이 활용된 바 있다.^[17]
• 보간법은 유한한 점 집합 P 상의 값만 알고 있는 함수가 있을 때, 특정 점 x에서의 함수값을 추정하는 방법 중 하나이다. 보로노이 다이어그램을 이용한 보간법은, 점 x를 포함한 전체 점들을 기준으로 x의 보로노이 영역을 설정하고, 이 영역 내에서 기존 점 P들의 보로노이 영역이 차지하는 비율에 따라 가중치를 부여하여 함수값을 계산하는 방식이다.
• 로봇의 동작 계획 수립 시, 장애물을 피해 목적지까지 안전하게 이동하는 경로를 찾는 데 보로노이 다이어그램이 사용될 수 있다. 장애물들을 점으로 간주하고 생성된 보로노이 다이어그램의 경계선을 따라 이동 경로를 설정하는 방식이다. 이러한 접근법은 복잡한 공간을 더 단순한 경로 네트워크로 표현하는 리트랙션 접근법(retraction approach)의 한 예이다.

6. 일반화 및 변형

일반적인 보로노이 셀은 집합 ''S'' 내의 단일 점에 가장 가까운 점들의 집합으로 정의되지만, ''n''차 보로노이 다이어그램(''n''-th order Voronoi diagram)은 ''n''개의 특정 점 집합 ''S''를 ''n''개의 가장 가까운 이웃으로 갖는 점들의 집합으로 정의되는 ''n''차 보로노이 셀로 공간을 분할한다. 고차 보로노이 다이어그램 역시 공간을 분할한다.

고차 보로노이 다이어그램은 재귀적으로 생성될 수 있다. 집합 ''S''에서 ''n''^차 보로노이 다이어그램을 생성하려면 ('n' − 1)^차 다이어그램부터 시작하여 ''X'' = {''x''₁, ''x''₂, ..., ''x''_''n''−1}으로 생성된 각 셀을 집합 ''S'' − ''X''에서 생성된 보로노이 다이어그램으로 대체한다.

''n''개의 점 집합에 대해 (''n'' − 1)^번째 보로노이 다이어그램을 최원점 보로노이 다이어그램(''farthest-point Voronoi diagram'')이라고 한다. 주어진 점 집합 S = {p₁, p₂, ..., p_n}에 대해, 최원점 보로노이 다이어그램은 평면을 동일한 점 P가 가장 먼 점이 되는 셀로 나눈다. 점 P는 P의 볼록 껍질의 꼭짓점인 경우에만 최원점 보로노이 다이어그램에 셀을 갖는다. H = {h₁, h₂, ..., h_k}를 P의 볼록 껍질이라고 하자. 그러면 최원점 보로노이 다이어그램은 평면을 k개의 셀로 세분화하며, 각 셀은 H의 각 점에 해당한다. 점 q가 사이트 h_i에 해당하는 셀에 속하는 것은 d(q, h_i) > d(q, p_j)이고, 여기서 h_i ≠ p_j이며, d(p, q)는 두 점 p와 q 사이의 유클리드 거리이다. 최원점 보로노이 다이어그램의 셀 경계는 위상 트리의 구조를 가지며, 무한 반직선이 잎으로 구성된다. 모든 유한 트리는 이 방식으로 최원점 보로노이 다이어그램에서 형성된 트리와 동형이다.

정의에서 암시하듯이, 보로노이 셀은 마할라노비스 거리 또는 맨해튼 거리와 같은 유클리드 거리 외의 다른 메트릭에 대해서도 정의될 수 있다. 그러나 이러한 경우 보로노이 셀의 경계는 유클리드 경우보다 더 복잡할 수 있다.
가중 보로노이 다이어그램(''weighted Voronoi diagram'')은 보로노이 셀을 정의하기 위한 점 쌍의 함수가 생성점에 할당된 곱셈 또는 덧셈 가중치에 의해 수정된 거리 함수인 다이어그램이다. 메트릭인 거리를 사용하여 정의된 보로노이 셀의 경우와 달리, 이 경우 일부 보로노이 셀이 비어 있을 수 있다. 멱 다이어그램(''power diagram'')은 점의 멱을 사용하여 원 집합에서 정의된 보로노이 다이어그램의 한 유형이다. 이는 각 원의 반지름에서 정의된 가중치가 원의 중심에서 제곱된 유클리드 거리에 추가되는 가중 보로노이 다이어그램으로 생각할 수도 있다.^[15]

$d$차원 공간에서 $n$개의 점의 보로노이 다이어그램은 $O(n^\{\backslash lceil\; d/2\; \backslash rceil\})$개의 정점을 가질 수 있으며, 이를 명시적으로 설명하는 데 필요한 메모리 양에 대해 동일한 경계가 필요하다. 따라서 보로노이 다이어그램은 중간 또는 높은 차원에서는 종종 실현 가능하지 않다. 더 공간 효율적인 대안은 근사 보로노이 다이어그램(''approximate Voronoi diagram'')을 사용하는 것이다.^[16]

보로노이 다이어그램은 또한 중앙 축(이미지 분할, 광학 문자 인식 및 기타 계산 응용 분야에서 활용됨), 직선 골격, 존 다이어그램과 같은 다른 기하학적 구조와 관련이 있다.

7. 알고리즘

보로노이 다이어그램을 효율적으로 계산하는 여러 알고리즘이 있다. 이 알고리즘들은 다이어그램을 직접 생성하거나, 들로네 삼각 분할을 먼저 구한 뒤 이를 이용해 간접적으로 생성하는 방식으로 나뉜다.

직접적인 방법 중 대표적인 것은 Fortune의 알고리즘으로, 평면 위의 점들로부터 보로노이 다이어그램을 O(''n'' log ''n'') 시간 안에 계산할 수 있다. Bowyer-Watson 알고리즘은 들로네 삼각 분할을 생성하는 알고리즘으로, O(''n'' log ''n'')에서 O(''n''²)의 시간 복잡도를 가진다. 이 알고리즘은 보로노이 다이어그램을 간접적으로 계산하는 데 활용될 수 있다. 점프 플러딩 알고리즘은 근사적인 보로노이 다이어그램을 매우 빠르게(상수 시간) 생성할 수 있어, 주로 그래픽 하드웨어에서 활용된다.^[40][41]

한편, 로이드의 알고리즘이나 이를 일반화한 k-평균 군집화(Linde–Buzo–Gray 알고리즘)는 보로노이 다이어그램 생성을 내부 과정(서브루틴)으로 활용한다. 이 알고리즘들은 주어진 점(씨앗점)들에 대한 보로노이 다이어그램을 만들고, 각 점을 자신이 속한 셀의 중심에 더 가까운 위치로 옮기는 과정을 반복한다. 이 과정은 반복을 통해 점들이 각 셀의 기하학적 중심에 위치하는 특별한 형태의 보로노이 다이어그램, 즉 중심 보로노이 테셀레이션으로 수렴하게 된다.

8. 3차원 보로노이 다이어그램

3차원 공간에서도 점의 정규 격자의 보로노이 테셀레이션은 다양한 형태를 생성한다.

• 단순 입방 격자는 입방 벌집을 생성한다.
• 육방 조밀 격자는 사다리꼴 마름모 십이면체로 공간을 테셀레이션한다.
• 면심 입방 격자는 마름모 십이면체로 공간을 테셀레이션한다.
• 체심 입방 격자는 잘린 팔면체로 공간을 테셀레이션한다.
• 서로의 중심에 정렬된 정삼각형 격자를 갖는 평행 평면은 육각형 각기둥 벌집을 생성한다.
• 특정 체심 정방 격자는 능면 육각형 십이면체로 공간을 테셀레이션한다.

참조

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