예고로프 정리

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 증명
3. 조건 및 반례
4. 역사
5. 일반화
- 5.1. 루진의 일반화
- 5.2. 코로프킨의 일반화
참조

1. 개요

예고로프 정리는 측도 공간에서 정의된 가측 함수의 수열이 점별 수렴할 때, 수렴이 거의 모든 곳에서 균등 수렴한다는 것을 보장하는 정리이다. 이 정리는 측도 공간, 가측 함수, 균등 수렴, 가측 집합 등 다양한 수학적 개념을 포함하며, 함수의 수렴성을 분석하는 데 중요한 도구로 사용된다. 예고로프 정리는 함수의 점별 수렴 조건과 공간의 유한 측도 조건을 연결하며, 이를 통해 균등 수렴의 조건을 제시한다. 정리의 조건과 반례, 역사, 일반화 등을 통해 예고로프 정리의 중요성과 응용 범위를 알 수 있다.

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예고로프 정리
개요
분야	수학
하위 분야	실해석학
이름의 유래	드미트리 푤도로비치 예고로프
내용
설명	측도 공간에서 거의 모든 곳에서 점별로 수렴하는 함수열은 거의 균등하게 수렴한다. 다시 말해, 전체 공간에서 작은 측도 집합을 제거하면 나머지 집합에서 균등 수렴이 발생한다.
관련 개념	균등 수렴, 거의 모든 곳, 측도 공간
중요성
의의	르베그 지배 수렴 정리와 같은 중요한 정리의 증명에 사용된다.
참고 문헌
참고 문헌	Royden, H.L. Real Analysis, third edition. Macmillan, 1989. Yeh, J. Real Analysis: Theory of Measure and Integration. World Scientific, 2006. World Scientific

2. 정의

측도 공간 $(X,\mathcal F,\mu)$ 에서 (보렐 시그마 대수를 갖춘) 분해 가능 거리 공간 $(Y,d)$ 으로 가는 일련의 가측 함수의 열

: $f_n\colon X\to Y\qquad(n\in\mathbb N)$

에 대하여, 다음 두 가지 조건이 성립한다고 가정한다.

$\mu(X)<\infty$ (측도 공간의 전체 측도가 유한하다.)
$f_n$ 은 거의 어디서나 점별 수렴한다. (측도가 0인 집합을 제외한 모든 점에서 함수열이 특정 함수로 수렴한다.)

'''예고로프 정리'''에 따르면, 이러한 조건 하에서 임의의 양의 실수

\epsilon>0

에 대하여, 다음 두 성질을 만족시키는 가측 집합

X_\epsilon\in\mathcal F

가 존재한다.^[6]^[7]

$\mu(X\setminus X_\epsilon)<\epsilon$ (집합 $X_\epsilon$ 를 제외한 나머지 부분의 측도가 $\epsilon$ 보다 작다.)
함수열 $f_n$ 은 집합 $X_\epsilon$ 위에서 균등 수렴한다. (집합 $X_\epsilon$ 내의 모든 점에서 함수열이 균일하게 수렴한다.)

다시 말해, 이 정리는 유한 측도 공간 위에서 거의 어디서나 성립하는 점별 수렴이, 측도가 아주 작은 임의의 집합을 제외하면 나머지 부분에서는 더 강력한 조건인 균등 수렴까지 성립한다는 것을 보여준다. 이러한 형태의 수렴을 거의 균등 수렴(almost uniform convergence^eng)이라고도 부른다.

다른 방식으로 표현하면, 유한 측도를 갖는 가측 부분 집합

A \subseteq X

에서 함수열

(f_n)

이

\mu

-거의 어디에서나 극한 함수

f

로 점별 수렴한다고 가정할 때, 모든

\epsilon > 0

에 대해, 측도가

\epsilon

보다 작은(

\mu(B) < \epsilon

) 가측 부분 집합

B \subseteq A

가 존재하여, 함수열

(f_n)

은 집합

A \setminus B

위에서 균등 수렴한다.

2. 1. 증명

측도 공간

(X,\mathcal F,\mu)

에서 분해 가능 거리 공간

(Y,d)

으로 가는 가측 함수 열

f_n: X \to Y

가 거의 어디서나

f: X \to Y

로 점별 수렴하고

\mu(X) < \infty

라고 가정한다. 목표는 임의의

\varepsilon > 0

에 대해, 측도가

\varepsilon

보다 작은 집합을 제외한 나머지 집합

X_\varepsilon \subseteq X

위에서

f_n

이

f

로 균등 수렴함을 보이는 것이다. 즉,

\mu(X \setminus X_\varepsilon) < \varepsilon

이고

f_n \rightrightarrows f

on

X_\varepsilon

인 가측 집합

X_\varepsilon

를 찾아야 한다.^[6]^[7]

먼저, 함수

x \mapsto d(f_n(x), f(x))

는 가측 함수이다. 왜냐하면

f_n

과

f

는 가측 함수이고, 거리 함수

d

는 연속 함수이므로 가측 함수이기 때문이다. 따라서 두 가측 함수의 합성인

d(f_n(\cdot), f(\cdot))

역시 가측 함수가 된다. 이는

\{x \in X \mid d(f_n(x), f(x)) \ge \delta\}

와 같은 형태의 집합들이 모두 가측 집합임을 보장한다.

임의의 양의 정수

k

와

n

에 대해, 집합

E_{n,k}

를 다음과 같이 정의한다.

:

E_{n,k} = \bigcup_{m=n}^\infty \left\{ x\in X \,\Big|\, d(f_m(x), f(x)) \ge \frac{1}{k} \right\}.

이 집합

E_{n,k}

는

n

번째 항 이후(

m \ge n

)의 함수열

f_m

중 적어도 하나가 극한 함수

f

로부터

1/k

이상 떨어져 있는 점

x

들의 합집합이다.

n

이 증가함에 따라 합집합의 범위가 줄어들므로,

E_{n,k}

는 단조 감소하는 집합열이 된다 (

E_{n+1,k} \subseteq E_{n,k}

). 어떤 점

x

에서

f_n(x)

가

f(x)

로 점별 수렴한다면, 주어진

k

에 대해 충분히 큰

N

이 존재하여 모든

m \ge N

에 대해

d(f_m(x), f(x)) < 1/k

가 성립한다. 이는 점

x

가 교집합

\bigcap_{n=1}^\infty E_{n,k}

에 속할 수 없음을 의미한다. 가정에 따라

f_n

은 거의 어디서나

f

로 점별 수렴하므로, 각

k

에 대해 다음이 성립한다.

:

\mu\left(\bigcap_{n=1}^\infty E_{n,k}\right) = 0.

측도 공간

(X, \mathcal{F}, \mu)

에서

\mu(X) < \infty

이고

E_{n,k}

가 단조 감소하며 그 교집합의 측도가 0이므로, 측도의 위로부터의 연속성에 의해

\lim_{n\to\infty} \mu(E_{n,k}) = \mu\left(\bigcap_{n=1}^\infty E_{n,k}\right) = 0

이다. 따라서, 주어진

\varepsilon > 0

과 각

k \in \mathbb{Z}^+

에 대해, 다음을 만족하는 자연수

n_k

를 선택할 수 있다.

:

\mu(E_{n_k, k}) < \frac{\varepsilon}{2^k}.

여기서

E_{n_k, k} = \bigcup_{m=n_k}^\infty \{ x\in X \mid d(f_m(x), f(x)) \ge 1/k \}

이다. 이 집합은 수렴 속도가

1/k

보다 느린 점들을 포함한다고 해석할 수 있다.

이제 다음과 같이 집합

B

를 정의한다.

:

B = \bigcup_{k=1}^\infty E_{n_k, k}.

집합

B

는 적어도 하나의

k

에 대해 수렴 속도가

1/k

보다 느린 점들의 모임이다. 측도의 시그마 가산성과 위에서 선택한

n_k

를 이용하면

B

의 측도를 다음과 같이 추정할 수 있다.

:

\mu(B) = \mu\left(\bigcup_{k=1}^\infty E_{n_k, k}\right) \le \sum_{k=1}^\infty \mu(E_{n_k, k}) < \sum_{k=1}^\infty \frac{\varepsilon}{2^k} = \varepsilon.

마지막 등식은 기하 급수의 합 공식

\sum_{k=1}^\infty (1/2)^k = 1

에 의해 성립한다.

이제 우리가 찾는 집합을

X_\varepsilon = X \setminus B

로 정의한다. 그러면

X_\varepsilon

는 가측 집합이고, 그 여집합

B

의 측도는

\mu(X \setminus X_\varepsilon) = \mu(B) < \varepsilon

이다.

마지막으로

f_n

이

X_\varepsilon

위에서

f

로 균등 수렴함을 보여야 한다. 임의의

\delta > 0

를 잡자.

1/k < \delta

를 만족하는 자연수

k

를 선택한다. 위에서 찾은

n_k

를

N

이라고 하자 (

N = n_k

). 이제 모든

n \ge N

와 모든

x \in X_\varepsilon

에 대해 생각해 보자.

x \in X_\varepsilon

는

x \notin B

를 의미하고, 따라서 특히

x \notin E_{N, k} = E_{n_k, k}

이다.

E_{n_k, k}

의 정의에 의해, 이는 다음을 의미한다.

:

x \notin \bigcup_{m=n_k}^\infty \left\{ y\in X \,\Big|\, d(f_m(y), f(y)) \ge \frac{1}{k} \right\}.

즉, 모든

m \ge n_k = N

에 대해

d(f_m(x), f(x)) < 1/k

가 성립한다. 따라서, 모든

n \ge N

와 모든

x \in X_\varepsilon

에 대해

d(f_n(x), f(x)) < 1/k < \delta

이다.

이는 균등 수렴의 정의와 정확히 일치한다. 즉, 임의의

\delta > 0

에 대해 자연수

N(=n_k)

이 존재하여, 모든

n \ge N

와 모든

x \in X_\varepsilon

에 대해

d(f_n(x), f(x)) < \delta

가 성립한다. 따라서 함수열

f_n

은 집합

X_\varepsilon

위에서

f

로 균등 수렴한다.

3. 조건 및 반례

예고로프 정리가 성립하기 위해서는 측도 공간 $X$ 의 측도가 유한하다는 조건, 즉 $\mu(X) < \infty$ 가 반드시 필요하다. 만약 이 조건이 없다면 정리는 성립하지 않는다.

예를 들어, 실수선 $\mathbb R$ 위에 르베그 측도 $\mu$ 가 주어졌다고 하자. 다음과 같은 함수열 $(f_n)_{n \in \mathbb{N}}$ 을 생각해보자.

: $f_n\colon\mathbb R\to\mathbb R$

: $f_n(x) = 1_{[n,n+1]}(x) = \begin{cases}1 & \text{if } x\in[n,n+1] \\ 0 & \text{if } x\not\in[n,n+1]\end{cases}$

여기서 $1_{[n,n+1]}$ 은 구간 $[n, n+1]$ 의 지시 함수이다.

이 함수열 $(f_n)$ 은 모든 $x \in \mathbb R$ 에 대해 $n \to \infty$ 일 때 $f_n(x) \to 0$ 이므로, 0 함수로 점별 수렴한다. 하지만 이 수렴은 균등 수렴이 아니다. 더 나아가, 측도가 유한한 임의의 르베그 가측 집합 $B \subset \mathbb R$ ( $\mu(B) < \infty$ )를 선택하더라도, 함수열 $(f_n)$ 은 집합 $\mathbb R \setminus B$ 위에서 0 함수로 균등 수렴하지 않는다. 왜냐하면 $\mathbb R \setminus B$ 는 측도가 무한하며( $\mu(\mathbb R \setminus B) = \infty$ ), 아무리 큰 $N$ 을 잡아도 $n \ge N$ 인 $n$ 과 $x \in \mathbb R \setminus B$ (예: $x = n + 1/2$ )가 존재하여 $|f_n(x) - 0| = 1$ 이 되기 때문이다.

이러한 반례는 일반적인 $n$ 차원 실수 벡터 공간 $\R^n$ 에서도 구성될 수 있다.

또한, 예고로프 정리의 다른 가정 중 하나는 공역(codomain)인 거리 공간 $(M, d)$ 이 가분 공간이어야 한다는 것이다. 이 조건은 두 가측 함수 $f, g: X \to M$ 에 대해, 두 함수값 사이의 거리 $d(f(x), g(x))$ 가 다시 $x$ 에 대한 가측 실수값 함수가 되도록 보장하기 위해 필요하다.

4. 역사

이탈리아의 수학자 카를로 세베리니( Carlo Severini^it )가 1910년에 처음으로 이 정리를 증명하였다.^[8]^[1]^[2] 그는 이 결과를 직교 함수 수열에 대한 연구의 도구로 사용했다. 하지만 그의 연구는 이탈리아어로 작성되어 보급이 제한적인 과학 저널에 실렸고, 다른 정리를 얻기 위한 수단 정도로 여겨졌기 때문에 이탈리아 밖에서는 크게 주목받지 못했다.

이듬해인 1911년, 드미트리 예고로프는 프랑스의 유명 저널에 독립적으로 증명한 같은 내용의 정리를 발표했고,^[9]^[3] 이 정리는 그의 이름으로 널리 알려지게 되었다. 그러나 이 정리를 세베리니-예고로프 정리라고 부르는 경우도 드물지 않다.

오늘날 일반적으로 사용되는 추상적인 측도 공간 설정을 사용하여 이 정리를 독립적으로 증명한 최초의 수학자들은 프리제스 리예스와 바츨라프 시에르핀스키였다.^[4] 더 이른 시기에는 니콜라이 루진이 점별 수렴하는 함수의 정의역에서 측도의 유한성 조건을 완화하며 정리를 일반화하기도 했다.^[5] 이후 파벨 코로프킨과 가브리엘 모코보츠키 등에 의해 추가적인 일반화가 이루어졌다.

5. 일반화

예고로프 정리는 원래의 형태를 넘어 다양한 방향으로 확장되고 일반화되었다. 이러한 일반화는 정리의 적용 범위를 넓히고 더 복잡한 수학적 상황에서도 유용하게 사용될 수 있도록 한다. 주요 일반화로는 니콜라이 루진과 파벨 코로프킨의 연구 결과가 있다.

니콜라이 루진은 기존 세베리니-예고로프 정리에서 함수의 정의역이 유한 측도를 가져야 한다는 조건을 완화하였다. 루진의 일반화에 따르면, 유한 측도를 가진 가측 집합들의 가산 합집합으로 표현되는 (따라서 전체 측도는 무한일 수 있는) 집합 ''A'' 위에서 정의된 가측 함수열이 거의 모든 점에서 특정 함수로 점별 수렴할 경우, 측도가 0인 부분을 제외한 나머지 집합 ''A''를 가산개의 부분 집합들로 나눌 수 있으며, 각 부분 집합 위에서는 함수열이 균등 수렴함을 보인다. 이는 무한 측도 공간에서도 예고로프 정리와 유사한 결과를 얻을 수 있음을 의미한다.

파벨 코로프킨은 다른 방향으로 예고로프 정리를 일반화했다. 그는 가측 함수의 수렴 대신 비음수 측도와 부등식 관계를 이용하여 정리의 틀을 확장했다. 코로프킨의 일반화는 가분 거리 공간과 특정 연속성 조건을 만족하는 측도를 다룬다. 이 조건 하에서 함수열이 측도 거의 어디서나 수렴한다면, 임의로 작은 측도를 가진 부분을 제외한 나머지 집합 위에서는 함수열이 균등 수렴한다는 것을 증명하였다. 이 일반화는 함수 공간뿐만 아니라 더 추상적인 측도 공간에서도 예고로프 정리의 핵심 아이디어를 적용할 수 있게 한다.

5. 1. 루진의 일반화

니콜라이 루진은 기존의 세베리니-예고로프 정리에서 함수의 정의역이 유한 측도를 가져야 한다는 조건을 완화한 일반화를 제시했다.

루진의 일반화는 다음과 같다. 어떤 측도 공간 (''X'', Σ, μ)가 주어졌다고 하자. ''A''가 유한 μ-측도를 갖는 가측 집합들의 수열의 합집합이라고 가정한다. 즉, ''A'' 자체는 무한 측도를 가질 수도 있다. 또한, (''f_n'')이 ''A'' 위에서 정의된 ''M'' 값을 갖는 가측 함수열이고, 이 함수열이 ''A''의 거의 모든 점에서 극한 함수 ''f''로 점별 수렴한다고 가정하자.

이때, ''A''는 다음과 같은 집합들의 합집합으로 표현될 수 있다:

측도가 0인 가측 집합 ''H'' (μ(''H'') = 0)
가측 집합들의 수열 ''A₁'', ''A₂'', ...

여기서 함수열 (''f_n'')은 각각의 집합 ''A_k'' 위에서 ''f''로 균등 수렴한다.

이 일반화는 유한 측도를 갖는 집합 ''A''에 대해 먼저 증명한 뒤 확장하는 방식으로 이루어진다. 유한 측도 집합 ''A''에 대해 표준적인 세베리니-예고로프 정리를 적용하고 수학적 귀납법을 사용하면, 다음 조건을 만족하는 집합열 {''A_k''}_k=1,2,...을 구성할 수 있다.

:

\mu\left (A \setminus \bigcup_{k=1}^{N} A_k \right)\leq\frac{1}{N}

이 수식은 ''A''에서 처음 ''N''개의 ''A_k'' 집합들의 합집합을 제외한 나머지 부분의 측도가 ''N''이 커짐에 따라 0에 가까워짐을 의미한다. 또한, 구성된 각 집합 ''A_k'' 위에서는 함수열 (''f_n'')이 ''f''로 균등 수렴한다.

이제 집합 ''H''를 다음과 같이 정의한다.

:

H=A\setminus\bigcup_{k=1}^{\infty} A_k

이는 ''A''에서 모든 ''A_k''들의 합집합을 제외한 나머지 부분이다. 위 수식의 극한을 생각하면 ''H''의 측도는 0이 된다 (μ(''H'') = 0). 따라서 ''A''는 측도 0인 집합 ''H''와 각 ''A_k''들의 합집합으로 표현되며, 각 ''A_k''에서는 균등 수렴이 보장되므로 루진의 일반화가 증명된다.

5. 2. 코로프킨의 일반화

파벨 코로프킨(Pavel Korovkin)은 예고로프 정리를 가측 함수 대신 비음수 측도와 부등식

\leq

및

\geq

를 사용하여 일반화하였다.

(''M'',''d'')를 가분 공간(separable) 거리 공간으로, (''X'', Σ)를 가측 공간으로 두자. 가측 집합 ''A''와, 가측 부분 집합들로 이루어진 집합족

\mathfrak{A}

를 고려한다. 이때

\mathfrak{A}

는 가산 합집합과 교집합에 대해 닫혀 있다고 가정한다. 또한, μ(''A'')가 존재하고 다음 조건을 만족하는 비음수 측도 μ가 존재한다고 가정한다.

# 만약

A_1 \supset A_2 \supset \cdots

이고 모든 ''n''에 대해

A_n\in\mathfrak{A}

이면,

\mu(\cap_{n=1}^\infty A_n) = \lim_{n\to\infty} \mu(A_n)

이다. (위로부터의 연속성)

# 만약

A_1 \subset A_2 \subset \cdots

이고

\cup_{n=1}^\infty A_n\in\mathfrak{A}

이면,

\mu(\cup_{n=1}^\infty A_n) = \lim_{n\to\infty} \mu(A_n)

이다. (아래로부터의 연속성)

만약 (''f''_''n'')이 집합

A\in\mathfrak{A}

에서 극한 함수 ''f''로 μ-거의 어디서나 수렴하는 M-값을 갖는 가측 함수열이라면, 임의의 ε > 0에 대해 다음 조건을 만족하는 ''A''의 부분 집합 ''A′''

\in\mathfrak{A}

가 존재한다.

$0\leq\mu(A)-\mu(A') < \varepsilon$
''A′'' 위에서 함수열 (''f''_''n'')은 ''f''로 균등 수렴한다.

증명은 다음과 같은 집합들을 구성하는 방식으로 진행된다. 먼저, 각 자연수

m\in\N

에 대해 집합족을 다음과 같이 정의한다.

:

A_{0,m}=\left\{x\in A | d(f_n(x),f(x)) \le 1\ \forall n\geq m\right\}

이 집합들은

A_{0,1}\subseteq A_{0,2}\subseteq A_{0,3}\subseteq\dots

관계를 가지며,

A=\bigcup_{m=1}^\infty A_{0,m}

이다. 측도 μ의 아래로부터의 연속성 (성질 2)에 의해, 충분히 큰 자연수 ''m₀''를 선택하여 ''A₀'' = ''A_0,m₀'' 라 두면

0\leq\mu(A)-\mu(A_0)\leq\varepsilon/2

가 성립하도록 할 수 있다.

다음으로, ''A₀'' 위에서 다시 집합족을 정의한다.

:

A_{1,m}=\left\{x\in A_0\left| d(f_n(x),f(x)) \le \frac12 \ \forall n\geq m\right.\right\}

마찬가지로

A_{1,1}\subseteq A_{1,2}\subseteq A_{1,3}\subseteq\dots

이고

A_0=\bigcup_{m=1}^\infty A_{1,m}

이다. 따라서 충분히 큰 자연수 ''m₁'' ≥ ''m₀'' 를 선택하여 ''A₁'' = ''A_1,m₁'' 라 두면

0\leq\mu(A_0)-\mu(A_1)\leq\varepsilon/4

가 성립하도록 할 수 있다.

이 과정을 반복하여 집합열 {''A_k''}_k≥0 를 구성한다. 각

k\in\N

에 대해, 충분히 큰 자연수 ''m_k'' ≥ ''m_k-1'' 를 선택하여 집합 ''A_k''를 다음과 같이 정의한다.

:

A_{k} = \left\{x\in A_{k-1}\left| d(f_n(x),f(x)) \le \frac{1}{2^k} \ \forall n\geq m_k\right.\right\}

이때

0\leq\mu(A_{k-1})-\mu(A_k)\leq\varepsilon/2^{k+1}

가 성립하도록 ''m_k''를 선택한다. 이렇게 구성된 집합열은 다음 성질을 만족한다.

$A_0\supseteq A_1\supseteq A_2\supseteq\cdots$
모든 $k\in\N$ 에 대해, 모든 $x \in A_k$ 와 모든 $n \geq m_k$ 에 대해 $d(f_n(x),f(x)) \le 2^{-k}$ 이다.

이제

A'=\bigcap_{k=0}^\infty A_k

로 정의하자.

\mathfrak{A}

는 가산 교집합에 대해 닫혀 있으므로

A' \in \mathfrak{A}

이다. 또한, 측도 μ의 위로부터의 연속성 (성질 1)과 구성 방식에 의해 다음 부등식이 성립한다.

:

\mu(A) - \mu(A') = \mu(A) - \mu(A_0) + \sum_{k=1}^\infty (\mu(A_{k-1}) - \mu(A_k)) \le \frac{\varepsilon}{2} + \sum_{k=1}^\infty \frac{\varepsilon}{2^{k+1}} = \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon

따라서

0\leq\mu(A)-\mu(A')\leq\varepsilon

이다.

마지막으로, ''A′'' 위에서 (''f''_''n'')이 ''f''로 균등 수렴함을 보인다. 임의의 δ > 0에 대해,

2^{-k} < \delta

를 만족하는 자연수 ''k''를 선택하자. 그러면 모든

x \in A' \subseteq A_k

와 모든

n \geq m_k

에 대해

d(f_n(x),f(x)) \le 2^{-k} < \delta

가 성립한다. 이는 ''A′'' 위에서 (''f''_''n'')이 ''f''로 균등 수렴함을 의미한다.

참조

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