자이페르트-판 캄펀 정리

1. 개요

자이페르트-판 캄펀 정리는 위상 공간과 그 공간을 덮는 두 부분 공간의 기본군 사이의 관계를 설명하는 정리이다. 이 정리는 기본군뿐만 아니라 기본 준군에 대해서도 일반화될 수 있다. 특히, 공간이 두 열린 부분 공간의 합집합으로 표현될 때, 각 부분 공간의 기본군과 교집합의 기본군 사이의 관계를 통해 전체 공간의 기본군을 계산할 수 있다. 자이페르트-판 캄펀 정리는 원의 기본군 계산과 같은 문제 해결에 활용되며, 쐐기합 공간, 종수 n인 곡면의 기본군 계산에도 적용된다. 이 정리는 군의 표현을 통해 더 명확하게 표현될 수 있으며, 기본 준군을 사용하여 더 일반적인 경우로 확장될 수 있다. 이 정리는 헤르베르트 자이페르트와 에흐베르튀스 판 캄펀이 증명했으며, 로널드 브라운에 의해 기본 준군에 대해 일반화되었다.

2. 정의

위상 공간 $X$와 이 공간을 덮는 두 부분 공간 $A,\; B\backslash subseteq\; X$가 주어졌고, 다음 조건이 성립한다고 가정하자.

* $\backslash operatorname\{int\}A\backslash cup\backslash operatorname\{int\}B=X$

또한, 부분 공간 $C\backslash subseteq\; X$가 다음 조건을 만족시킨다고 하자.

* $A$ 또는 $B$ 또는 $A\backslash cap\; B$의 임의의 경로 연결 성분과의 교집합은 공집합이 아니다.

그렇다면, 자이페르트-판 캄펀 정리에 따르면 다음 명제들이 성립한다.

* $C$는 $X$의 모든 경로 연결 성분들과 교차한다.
* 포함 관계에 의하여 유도되는 다음과 같은 기본 준군의 사상들은 준군 범주에서의 밂을 이룬다.

:$\backslash begin\{matrix\}$
\Pi_1(A\cap B,C)&\to& \Pi_1(A,C)\\
\downarrow&&\downarrow\\
\Pi_1(B,C)&\to&\Pi_1(X,C)
\end{matrix}

특히, $A$와 $B$가 경로 연결 공간이며, $C=\backslash \{c\backslash \}\backslash subseteq\; A\backslash cap\; B$는 한원소 집합이며, $A\backslash cap\; B$는 공집합이 아닌 경로 연결 공간이라고 하자. 그렇다면 $X$는 경로 연결 공간이며, 다음과 같은, 기본군의 (군의 범주에서의) 밂이 존재한다.

:$\backslash begin\{matrix\}$
\pi_1(A\cap B,c)&\to& \pi_1(A,c)\\
\downarrow&&\downarrow\\
\pi_1(B,c)&\to&\pi_1(X,c)
\end{matrix}

X가 두 열린 경로 연결 부분 공간 U₁, U₂의 합집합인 위상 공간이라고 하자. U₁ ∩ U₂가 경로 연결되어 있고 공집합이 아니며, x₀를 모든 기본군들의 기저로 사용할 U₁ ∩ U₂의 점이라고 하자. U₁과 U₂를 X에 포함하는 사상은 준동형 사상 $j\_1:\backslash pi\_1(U\_1,x\_0)\backslash to\; \backslash pi\_1(X,x\_0)$와 $j\_2:\backslash pi\_1(U\_2,x\_0)\backslash to\; \backslash pi\_1(X,x\_0)$를 군 준동형 사상으로 유도한다. 그러면 X는 경로 연결되어 있고 $j\_1$과 $j\_2$는 가환 푸시 아웃 다이어그램을 형성한다.

일반적으로 이 정리에서 포함에 의해 유도된 사상은 그 자체가 단사가 아니며, 더 정확한 진술은 군의 푸시 아웃의 관점에서 이루어진다.

위상 공간 X가 두 부분 공간 X₁, X₂의 내부로 덮여 있고, A가 X₁, X₂ 및 X₀ = X₁ ∩ X₂의 각 경로 성분을 만나는 집합이라고 할 때, A는 X의 각 경로 성분을 만나고, 포함에 의해 유도된 사상의 다이어그램 P는 군군의 범주에서 푸시 아웃 다이어그램이다.

X가 부분 집합의 가족 $\backslash \{U\_\backslash lambda\; :\; \backslash lambda\; \backslash in\; \backslash Lambda\backslash \}$의 내부의 합으로 덮이는 경우, 만약 A가 $U\_\backslash lambda$ 집합의 모든 1, 2, 3-겹 교집합의 각 경로 성분을 만난다면, A는 X의 모든 경로 성분을 만나고, 포함에 의해 유도된 사상의 다이어그램

:$\backslash bigsqcup\_\{(\backslash lambda,\backslash mu)\; \backslash in\; \backslash Lambda^2\}\; \backslash pi\_1(U\_\backslash lambda\; \backslash cap\; U\_\backslash mu,\; A)\; \backslash rightrightarrows\; \backslash bigsqcup\_\{\backslash lambda\; \backslash in\; \backslash Lambda\}\; \backslash pi\_1(U\_\backslash lambda,\; A)\backslash rightarrow\; \backslash pi\_1(X,A)$

은 군군의 범주에서 코이퀄라이저이다.

알렉산더 그로텐디크는 Esquisse d'un Programme에서 다음과 같이 언급하였다.

원은 대수적 위상수학에서 가장 중요하고 기본적인 예시이지만, 위에 제시된 정리로는 기본군을 계산할 수 없다. 그 이유는, 원은 연결된 공통 부분을 갖는 두 개의 열린 집합의 합집합으로는 실현될 수 없다는 데에 있다. 이 문제는, 기하학적인 상황에 따라 선택한 기점들의 집합 $A$ 위의 기본 아군 $\backslash pi\_1(X,A)$를 사용함으로써 해결할 수 있다. 원의 경우에는, 두 개의 기점을 선택하면 된다.

이 아군은 $A\; \backslash cap\; X$의 점들을 잇는 $X$ 내의 곡선들의 양 끝단에 상대적인 (양 끝단을 고정하는) 호모토피류로 이루어진다. 특히, $X$가 수축 가능 공간이고, $A$가 $X$의 서로 다른 두 점으로 이루어져 있을 때, $\backslash pi\_1(X,A)$는 $\backslash mathcal\; I$로 종종 표기되는 아군과 동형임을 쉽게 알 수 있다. 이 아군은 두 개의 꼭짓점과 각 꼭짓점 사이에 정확히 하나의 사상으로 이루어진다. 이 아군은, 군의 이론에서 정수의 군이 수행하는 것과 유사한 역할을 아군의 이론에서 수행한다. 아군 $\backslash mathcal\; I$는 또한 아군의 호모토피 개념을 생각할 수 있게 한다. 즉, 이는 아군의 범주에서의 단위 구간 대상이다.

위상 공간 $X$가 두 개의 부분 공간 $X\_1$과 $X\_2$의 내부로 덮이고, 기점 집합 $A$는 $X\_1$과 $X\_2$와 $X\_0=X\_1\; \backslash cap\; X\_2$의 모든 호상 연결 성분과 교차한다고 가정한다. 이 때 $A$는 $X$의 모든 호상 연결 성분과 교차하며, 포함에 의해 유도된 사상으로 이루어진 그림 $P$는 아군의 범주의 푸시 아웃 그림이 된다.

3. 예

자이페르트-판 캄펀 정리는 원, 구, 쐐기합, 종수 n인 곡면 등과 같이 더 간단한 공간으로 분해할 수 있는 위상 공간의 기본군을 계산하는 데 사용될 수 있다.

이러한 예시들은 하위 섹션에서 자세히 다루고 있으므로, 여기서는 간략하게 언급만 하고 넘어간다.

3.1. 원

원 $\backslash mathbb\; S^1=\backslash mathbb\; R/\backslash mathbb\; Z$의 기본군은 무한 순환군 $\backslash mathbb\; Z$이다. 이를 보이기 위해, 원을 두 개의 겹치는 열린 집합으로 나눈다.

:$A=(-1/3,2/3)/\backslash mathbb\; Z\backslash subsetneq\backslash mathbb\; S^1$
:$B=(1/3,4/3)/\backslash mathbb\; Z\backslash subsetneq\backslash mathbb\; S^1$

이때, $A$와 $B$의 교집합은 두 개의 연결된 성분으로 구성된다.

:$C=\backslash \{0,1/2\backslash \}/\backslash mathbb\; Z\backslash subsetneq\; A\backslash cap\; B$

$A$, $B$, $A\backslash cap\; B$의 밑점 집합 $C$에서의 기본 준군은 다음과 같다. (항등 사상은 생략)

:$\backslash Pi\_1(A,C)\backslash colon\; \backslash overset\{0\}\backslash bullet\{\backslash xrightarrow\backslash phi\backslash atop\backslash xleftarrow[\backslash phi^\{-1\}]\{\}\}\backslash overset\{1/2\}\backslash bullet$
:$\backslash Pi\_1(B,C)\backslash colon\; \backslash overset\{0\}\backslash bullet\{\backslash xrightarrow\{\backslash phi\text{'}^\{-1\}\}\backslash atop\backslash xleftarrow[\backslash phi\text{'}]\{\}\}\backslash overset\{1/2\}\backslash bullet$
:$\backslash Pi\_1(A\backslash cap\; B,C)\backslash colon\; \backslash overset\{0\}\backslash bullet\backslash qquad\backslash overset\{1/2\}\backslash bullet$

원의 기본군은 $A$와 $B$의 준군들의 쌍대곱이다. 여기서 $\backslash phi\text{'}\backslash circ\backslash phi\backslash colon\; 0\backslash to\; 0$는 항등 사상이 아닌 사상이므로, $\backslash hom(0,0)$ 및 $\backslash hom(1/2,1/2)$는 모두 무한 순환군 $\backslash mathbb\; Z$이다. $0$과 $1/2$는 $\backslash Pi\_1(\backslash mathbb\; S^1,\backslash \{0,1/2\backslash \})$에서 서로 동형이므로, $\backslash mathbb\; S^1$의 기본군은 무한 순환군이다.

하지만, 원은 연결된 교집합을 갖는 두 개의 열린 집합의 합으로는 표현할 수 없기 때문에, 이 방법으로는 원의 기본군을 직접 계산할 수 없다. 이 문제는 기저점의 집합 $A$에 대한 기본 군군 $\backslash pi\_1(X,A)$를 사용하여 해결할 수 있다. 원의 경우 두 개의 기저점을 사용한다.

3.2. 구

2차원 이상의 구 $S^2$에서, 북극과 남극을 각각 나타내는 n과 s에 대해 열린 집합 $A\; =\; S^2\backslash setminus\; \backslash \{n\backslash \}$과 $B\; =\; S^2\backslash setminus\; \backslash \{s\backslash \}$를 선택한다. 그러면 A, B 및 A ∩ B가 열린 경로 연결 집합이라는 속성을 갖는다.

A ∩ B를 A와 B로 포함시키고, 그 다음 A와 B를 $S^2$로 포함시키는 가환도표가 있으며, 각 부분 공간의 기본군 간의 상응하는 준동형사상 도표가 있음을 알 수 있다. 자이페르트-판 캄펀 정리를 적용하면 다음과 같은 결과를 얻는다.

:$\backslash pi\_1(S^2)=\backslash pi\_1(A)\backslash cdot\backslash pi\_1(B)/\backslash ker(\backslash Phi).$

그러나 A와 B는 모두 위상동형이며, 이는 단일 연결인 R²와 위상동형이므로 A와 B 모두 자명군을 갖는다. 이로부터 $S^2$의 기본군이 자명하다는 것을 알 수 있다.

3.3. 쐐기합 공간

두 개의 점 있는 공간 $(X,x)$와 $(Y,y)$가 주어졌을 때, 두 밑점을 동일시하여 $X\; \backslash coprod\; Y$의 몫을 취함으로써 쐐기합 $(X\backslash vee\; Y,p)$을 구성할 수 있다.

만약 $x$가 수축 가능한 열린 근방 $U\; \backslash subset\; X$을 갖고, $y$가 수축 가능한 열린 근방 $V\; \backslash subset\; Y$를 갖는다면 (예를 들어 $X$와 $Y$가 CW 복합체인 경우), 반 캄펜 정리를 $X\; \backslash vee\; Y$에 적용할 수 있다. 이때 두 개의 열린 집합으로 $X\; \backslash vee\; V$와 $U\; \backslash vee\; Y$를 취하면, 쐐기합의 기본군은 두 공간의 기본군의 자유곱과 같다는 결론을 얻는다.

:$\backslash pi\_1(X\backslash vee\; Y,\; p)\backslash cong\; \backslash pi\_1(X,x)*\backslash pi\_1(Y,y)$.

점(하나만으로 이루어진 공간)의 기본군은 자명하므로, 반 캄펜 정리는 위 식이 군의 동형임을 보여준다.

3.4. 종수 n인 곡면

종수 n 방향성 곡면 S의 기본군은 종수-n 곡면군이라고도 불린다. S는 표준 기본 다각형을 사용하여 구성할 수 있다. 다각형 내부의 원판을 열린 집합 A로, A의 중심점을 제외한 S의 여집합을 B로 선택하면, A와 B의 교집합은 환면이 되어 원과 호모토피 동치이며 기본군이 정수군과 같다. 이때, $\backslash pi\_1(A\; \backslash cap\; B)$를 $\backslash pi\_1(A)$로 포함시키는 것은 임의의 생성자를 자명한 원소로 보내지만, $\backslash pi\_1(A\; \backslash cap\; B)$를 $\backslash pi\_1(B)$로 포함시키는 것은 자명하지 않다.

$\backslash pi\_1(B)$는 B (한 점이 삭제된 S)를 다음과 같이 변형 수축시켜 계산할 수 있다.

:$A\_1\; B\_1\; A\_1^\{-1\}\; B\_1^\{-1\}\; A\_2\; B\_2\; A\_2^\{-1\}\; B\_2^\{-1\}\; \backslash cdots\; A\_n\; B\_n\; A\_n^\{-1\}\; B\_n^\{-1\}.$

이 공간은 2n개의 원의 쐐기합(원의 부케)과 같고, 기본군은 2n개의 생성자를 갖는 자유군과 동형이다. 생성자는 루프 $\backslash \{A\_1,B\_1,\backslash dots,A\_n,B\_n\backslash \}$이고, 유일한 관계는 다음과 같다.

:$A\_1\; B\_1\; A\_1^\{-1\}\; B\_1^\{-1\}\; A\_2\; B\_2\; A\_2^\{-1\}\; B\_2^\{-1\}\; \backslash cdots\; A\_n\; B\_n\; A\_n^\{-1\}\; B\_n^\{-1\}\; =\; 1.$

따라서 종수 n인 곡면의 기본군은 다음과 같이 표현된다.

:$\backslash left\; \backslash langle\; A\_1,B\_1,\backslash dots,A\_n,B\_n\backslash left\; |\; A\_1B\_1A\_1^\{-1\}B\_1^\{-1\}\backslash cdots\; A\_nB\_nA\_n^\{-1\}B\_n^\{-1\}\backslash right.\; \backslash right\; \backslash rangle.$

4. 동치인 정식화

조합군론의 언어를 사용하면, 자이페르트-판 캄펀 정리는 군의 표현(group presentation)을 통해 더 명확하게 표현될 수 있다. $X$가 위상 공간, $U$와 $V$가 $X$의 열린 경로 연결 부분 공간이며, $U\backslash cap\; V$가 공집합이 아니고 경로 연결되어 있으며, $w\backslash in\; U\backslash cap\; V$일 때, $\backslash pi\_1(X,w)$는 $\backslash pi\_1(U,w)$와 $\backslash pi\_1(V,w)$의 융합곱이다. (반드시 단사일 필요는 없는) 준동형사상 $I:\backslash pi\_1(U\backslash cap\; V,\; w)\backslash to\; \backslash pi\_1(U,w)$와 $J:\backslash pi\_1(U\backslash cap\; V,\; w)\backslash to\; \backslash pi\_1(V,w)$에 관하여, 주어진 군 표현은 다음과 같다.

:$\backslash begin\{align\}$
\pi_1(U,w) &= \langle u_1,\dots,u_k \mid\alpha_1,\dots,\alpha_l\rangle \\
\pi_1(V,w) &= \langle v_1,\dots,v_m \mid \beta_1,\dots,\beta_n\rangle \\
\pi_1(U\cap V,w) &= \langle w_1,\dots,w_p \mid \gamma_1,\dots,\gamma_q\rangle
\end{align}

이때 융합곱은 다음과 같이 표현될 수 있다.

:$\backslash pi\_1(X,w)\; =\; \backslash left\backslash langle\; u\_1,\backslash dots,u\_k,\; v\_1,\backslash dots,v\_m\; \backslash left\; |\; \backslash alpha\_1,\backslash dots,\backslash alpha\_l,\; \backslash beta\_1,\backslash dots,\backslash beta\_n,\; I(w\_1)J(w\_1)^\{-1\},\backslash dots,I(w\_p)J(w\_p)^\{-1\}\; \backslash right.\; \backslash right\backslash rangle.$

범주론에서 $\backslash pi\_1(X,w)$는 군의 범주에서 다음 다이어그램의 밂이다.

:$\backslash pi\_1(U,w)\backslash gets\backslash pi\_1(U\backslash cap\; V,w)\backslash to\backslash pi\_1(V,w).$

5. 일반화

이 정리는 기본 준군(fundamental groupoid)을 사용하여 더 일반적인 경우로 확장될 수 있다. 기본 준군은 대수기하학에도 나타나며, 알렉산더 그로텐디크의 연구에서 중요한 역할을 한다.

로널드 브라운은 기점 집합 `A` 위의 기본 준군 $\backslash pi\_1(X,A)$를 사용하여, 연결되지 않은 경우로 이 정리를 일반화하였다.

위상 공간 `X`가 두 부분 공간 `X`₁, `X`₂의 내부로 덮여 있고, `A`가 `X`₁, `X`₂ 및 `X`₀ = `X`₁ ∩ `X`₂의 각 경로 성분을 만나는 집합이라고 하자. 그러면 `A`는 `X`의 각 경로 성분을 만나고, 포함에 의해 유도된 사상의 다이어그램

--|]]

은 군군의 범주에서 푸시 아웃 다이어그램이다.

이 정리는 위상수학에서 추상대수학으로의 전이를 제공하여 기본 군군 $\backslash pi\_1(X,A)$을 완전히 결정한다. 그런 다음 대수학과 조합론을 사용하여 어떤 기저점에서 기본군을 결정해야 한다.

이 정리의 한 해석은 호모토피 1-형태를 계산한다는 것이다.

`X`가 부분 집합의 가족 $\backslash \{U\_\backslash lambda\; :\; \backslash lambda\; \backslash in\; \backslash Lambda\backslash \}$의 내부의 합으로 덮이는 경우, `A`가 $U\_\backslash lambda$ 집합의 모든 1, 2, 3-겹 교집합의 각 경로 성분을 만난다면, `A`는 `X`의 모든 경로 성분을 만나고, 포함에 의해 유도된 사상의 다이어그램

:$\backslash bigsqcup\_\{(\backslash lambda,\backslash mu)\; \backslash in\; \backslash Lambda^2\}\; \backslash pi\_1(U\_\backslash lambda\; \backslash cap\; U\_\backslash mu,\; A)\; \backslash rightrightarrows\; \backslash bigsqcup\_\{\backslash lambda\; \backslash in\; \backslash Lambda\}\; \backslash pi\_1(U\_\backslash lambda,\; A)\backslash rightarrow\; \backslash pi\_1(X,A)$

은 군군의 범주에서 코이퀄라이저이다.

알렉산더 그로텐디크는 다음과 같이 언급했다.

임의의 덮개에 대한 정리는, `A`가 덮개 집합의 세 겹 교차점을 모두 만나는 제한을 두어, 브라운과 압둘 라작 살레의 논문에 제시되어 있다.

6. 역사

헤르베르트 자이페르트와 에흐베르튀스 판 캄펀이 이 정리를 증명하였다. 로널드 브라운(Ronald Brown^영어)이 이를 기본 준군에 대하여 일반화하였다.

이 정리는 로널드 브라운에 의해 기본 군군 $\backslash pi\_1(X,A)$를 밑점 집합 A에 사용하여 비연결 경우로 확장되었다. 임의의 덮개에 대한 정리는, A가 덮개 집합의 세 겹 교차점을 모두 만나는 제한을 두어, 브라운과 압둘 라작 살레의 논문에 제시되어 있다. 기본 군에 대한 정리와 증명은 일부 군군 방법을 사용하여 J. 피터 메이의 책에도 제시되어 있다.

밑점 집합에 대한 기본 군군의 응용은 요르단 곡선 정리, 덮개 공간 및 궤도 공간에 대해 로널드 브라운의 책에 제시되어 있다.

이 정리의 고차원 버전은 호모토피 유형에 대한 정보를 제공하며, 고차원 군 이론 및 군군에 대한 논문에 제시되어 있다. 비가환적인 두 번째 상대 호모토피 군을 계산하는 2차원 Van Kampen 정리는 로널드 브라운과 필립 J. 히긴스에 의해 제시되었다.

기본 군은 대수기하학에도 나타나며, 알렉산더 그로텐디크의 첫 번째 부아 마리 대수기하학 세미나 (SGA1)의 주요 주제이다. Van Kampen 정리의 한 버전이 여기에 나타나며, 대수적 위상수학과는 매우 다른 방식으로, 즉 강하 이론에 의해 증명된다.