절댓값 (대수학)

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1. 개요

절댓값은 정역 D에서 정의되는 함수로, 특정 조건을 만족하며, 실수 집합에 속하는 음이 아닌 값을 반환한다. 절댓값은 정역의 분수체로 확장될 수 있으며, 이를 통해 거리 공간을 정의할 수 있다. 절댓값에는 비아르키메데스 절댓값과 아르키메데스 절댓값이 있으며, 비아르키메데스 절댓값은 초거리 부등식을 만족한다. 절댓값의 동치 관계를 통해 자리를 정의하며, 오스트로프스키 정리는 유리수의 비자명 자릿값과 p-진 절댓값의 관계를 설명한다. 절댓값을 갖는 정역은 완비화를 통해 코시 열을 정의하고, 이를 바탕으로 완비 거리 공간을 구성할 수 있다. 절댓값 개념은 퀴르샤크 요제프에 의해 1913년에 도입되었다.

절댓값 (대수학)

일반 정보

이름	절댓값
로마자 표기	jeoldae gap
영어 이름	Absolute value

정의

실수	실수의 절댓값은 수직선 상에서 0으로부터 떨어진 거리로, 항상 0 이상이다.
복소수	복소수 z = a + bi의 절댓값은 원점으로부터의 거리이며, √(a² + b²)이다.

성질

비음성	모든 수 x에 대해 \|x\| ≥ 0이다.
정의성	\|x\| = 0은 x = 0일 때만 성립한다.
곱셈성	모든 수 x, y에 대해 \|xy\| = \|x\|\|y\|이다.
삼각 부등식	모든 수 x, y에 대해 \|x + y\| ≤ \|x\| + \|y\|이다.

일반화

벡터 공간	벡터 공간에서의 노름은 절댓값의 일반화된 개념이다.
환	환에서의 절댓값은 환의 원소의 "크기"를 측정하는 함수로, 여러 성질을 만족한다.
순서환	순서환에서 절댓값은 부호 함수와 관련되며, 양수와 음수를 구별하는 데 사용된다.

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 비아르키메데스 절댓값
- 2.2. 아르키메데스 절댓값
3. 자리 (Place)
- 3.1. 유리수체의 자리
- 3.2. 대수적 수체의 자리
4. 완비화 (Completion)
5. 값매김 (Valuation)
6. 예시
7. 역사

2. 정의

정역 $D$ 위의 절댓값은 다음 조건들을 만족시키는 함수 $|\cdot|\colon D\to\mathbb R_{\ge0}$ 이다.
* 임의의 $x\in D$ 에 대하여, $|x|=0\iff x=0$
* 임의의 $x,y\in D$ 에 대하여, $|xy|=|x||y|$
* (삼각 부등식) 임의의 $x,y\in D$ 에 대하여, $|x+y|\le|x|+|y|$

정역 $D$ 위의 절댓값은 그 분수체 $K=\operatorname{Frac}D$ 위로 다음과 같이 확장할 수 있다.
: $|x/y|=|x|/|y|\qquad\forall x,y\in D$

절댓값을 갖춘 정역 $(D,|\cdot|)$ 위에는 거리 함수를 정의하여, 거리 공간으로 만들 수 있다.
: $d(x,y)=|x-y|$

절댓값의 공리에 따라, $|1|=|-1|=1$ 이며, $|n|\le n\qquad\forall n\in\mathbb N$ 이 성립한다.

자명 절댓값은 x = 0일 때 |x| = 0이고 그 외에는 |x| = 1인 절댓값이다. 모든 정역은 적어도 자명 절댓값을 가질 수 있다. 자명 절댓값은 유한체에서 가능한 유일한 절댓값인데, 0이 아닌 모든 원소는 어떤 거듭제곱을 하면 1이 되기 때문이다.

D가 절댓값 |x|를 갖는 정역이라면, $|x/y| = |x|/|y|.\,$ 를 설정하여 절댓값의 정의를 D의 분수체로 확장할 수 있다.

F가 초거리 절댓값 |x|를 갖는 체라면, |x| ≤ 1인 F의 원소 집합은 평가환을 정의한다. 이는 F의 부분환 D로서, F의 모든 0이 아닌 원소 x에 대해, x 또는 x⁻¹ 중 적어도 하나가 D에 속한다. F는 체이므로, D는 영인자가 없고 정역이다. 이 환은 |x| < 1인 모든 x로 구성된 고유한 극대 아이디얼을 가지며, 따라서 국소환이다.

절댓값은 비아르키메데스 절댓값과 아르키메데스 절댓값으로 나뉜다.

2.1. 비아르키메데스 절댓값

정역 $D$ 위의 절댓값 $|\cdot|$ 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 절댓값을 비아르키메데스 절댓값(non-Archimedean absolute value^영어)이라고 한다.
* (초거리 부등식) 임의의 $x,y\in D$ 에 대하여, $|x+y|\le\max\{|x|,|y|\}$
* $\{|\overbrace{1+1+\cdots+1}^n|\colon n\in\mathbb N\}$ 이 유계 집합이다.

비아르키메데스 절댓값이 아닌 절댓값을 아르키메데스 절댓값(Archimedean absolute value^영어)이라고 한다.

비아르키메데스 절댓값의 로그를 취하면, $a\mapsto-\log|a|$ 는 값매김을 이룬다. 반대로, 실수 덧셈군(의 부분군)을 값군으로 갖는 값매김 $v$ 가 주어졌다면, 그 지수 함수 $a\mapsto\exp(-v(a))$ 는 비아르키메데스 절댓값을 이룬다.

비아르키메데스 절댓값 $|\cdot|$ 을 갖춘 체 $K$ 에 대하여, 절댓값이 1 이하인 원소들은 값매김환을 이룬다. 이를 $K$ 의 $|\cdot|$ 에 대한 정수환(ring of integers^영어)이라고 한다.

만약 절댓값이 모든 $x$ 와 $y$ 에 대해 $|x+y|\le\max(|x|,|y|)$ 라는 더 강력한 조건을 만족하면 $|x|$ 는 초거리 또는 비아르키메데스 절댓값이라고 부르고, 그렇지 않으면 아르키메데스 절댓값이라고 부른다.

어떤 초거리 절대값과 임의의 밑 $b>1$ 에 대해, $\nu(x)=-\log_b|x|$ ( $x\ne 0$ 일 때), $\nu(0)=\infty$ 로 정의하면, 여기서 ∞는 모든 실수보다 크도록 순서가 정해져 있으며, 다음 속성을 가진 함수 $D$ 에서 R∪{∞}로의 함수를 얻을 수 있다.

* $\nu(x)=\infty\Rightarrow x=0$ ,
* $\nu(xy)=\nu(x)+\nu(y)$ ,
* $\nu(x+y)\ge\min(\nu(x),\nu(y))$ .

이러한 함수는 부르바키의 용어로 값매김으로 알려져 있지만, 다른 저자들은 절대값에 대해 값매김이라는 용어를 사용하고, 대신 지수 값매김이라고 말한다.

2.2. 아르키메데스 절댓값

만약 절댓값이 모든 x와 y에 대해 |x + y| ≤ max(|x|, |y|)라는 더 강력한 조건을 만족하지 않으면, |x|는 아르키메데스 절댓값이라고 부른다.

3. 자리 (Place)

같은 정역 $D$ 위의 두 절댓값 $|\cdot|$ , $|\cdot|'$ 이 서로 동치라는 것은 다음 조건들이 성립하는 것을 의미한다.

* 임의의 $x\in D$ 에 대하여, $|x|<1$ 이면 $|x|'<1$ 이다.
* 임의의 $x\in D$ 에 대하여, $|x|<1$ 과 $|x|'<1$ 이 동치이다.
* $|\cdot|$ 과 $|\cdot|'$ 은 $D$ 위에 같은 위상을 정의한다.
* $|\cdot|=|\cdot|^s$ 인 양의 실수 $s\in\mathbb R^+$ 가 존재한다.

절댓값의 동치는 동치 관계이며, 이에 대한 자명하지 않은 동치류를 자리(place^영어)라고 한다.

오스트롭스키 정리(Островский定理, Ostrowski theorem^영어)에 따르면, 대수적 수체 및 유리수체의 자리는 다음과 같이 분류할 수 있다.

* 자명 자리 (trivial place): 자명 절댓값과 동치인 자리.
* 유한 자리 (finite place): 대수적 정수환의 소 아이디얼에 대한 p진 절댓값의 자리.
* 실 무한 자리 (real infinite place): 실수로의 매장에 의해 유도되는 절댓값과 동치인 자리.
* 복소 무한 자리 (complex infinite place): 복소수로의 매장에 의해 유도되는 절댓값과 동치인 자리.

겔판트-토른하임 정리(Гельфанд-Tornheim定理, Gelfand–Tornheim theorem^영어)에 따르면, 아르키메데스 절댓값을 갖는 임의의 체는 복소수체의 부분체이며, 아르키메데스 절댓값은 이 복소 매장에 의하여 유도되는 절댓값과 동치이다.

3.1. 유리수체의 자리

오스트롭스키 정리(Ostrowski theorem^영어)에 따르면, 유리수체의 자리는 다음과 같다.

* 자명 자리 $|\cdot|_0$
* 소수 $p$ 에 대한 $p$ 진 자리 $|\cdot|_p$
* 하나의 실 무한 자리 $|\cdot|_\infty$

여기서,

* 자명 자리(trivial place^영어)는 자명 절댓값 $|\cdot|_0$ 과 동치인 자리이다.
* $p$ 진 자리( $p$ -adic place)는 소수 $p$ 에 대한 $p$ 진 절댓값의 자리이다. 주어진 소수 $p$ 에 대해, 모든 유리수 $q$ 는 $p^n (a/b)$ 로 쓸 수 있으며, 여기서 $a$ 와 $b$ 는 $p$ 로 나누어 떨어지지 않는 정수이고 $n$ 은 정수이다. 이때 $q$ 의 $p$ 진 절댓값은 다음과 같다.

: $\left|p^n \frac{a}{b}\right|_p = p^{-n}.$

* 실 무한 자리(real infinite place^영어)는 실수로의 매장 $\iota\colon K\hookrightarrow\mathbb R$ 에 대하여, $|\cdot|_\iota=|\cdot|_{\mathbb R}\circ\iota$ 로 정의되는 절댓값과 동치인 자리이다. ( $|\cdot|_{\mathbb R}$ 는 실수 위의 표준 절댓값)

3.2. 대수적 수체의 자리

오스트롭스키 정리(Островский定理, Ostrowski theorem^영어)에 따르면, 대수적 수체 $K$ 위의 자리는 다음과 같다.

* 대수적 정수환 $\mathcal O_K$ 의 소 아이디얼 $\mathfrak p$ 에 대한 $\mathfrak p$ 진 절댓값의 자리. 이를 유한 자리(finite place^영어)라고 한다.
* 실수로의 매장 $\iota\colon K\hookrightarrow\mathbb R$ 에 대하여, $|\cdot|_\iota=|\cdot|_{\mathbb R}\circ\iota$ 와 같이 정의되는 절댓값. ( $|\cdot|_{\mathbb R}$ 는 실수 위의 표준 절댓값). 이 절댓값과 동치인 자리를 실 무한 자리(real infinite place^영어)라고 한다.
* 복소수로의 매장 $\iota\colon K\hookrightarrow\mathbb C$ 에 대하여 ( $\iota(K)\not\subset\mathbb R$ ), $|\cdot|_\iota=|\cdot|_{\mathbb C}\circ\iota$ 와 같이 정의되는 절댓값. ( $|\cdot|_{\mathbb C}$ 는 복소수 위의 표준 절댓값). 이 경우, $\iota$ 와 $\bar\iota$ 는 같은 절댓값을 정의한다. 이 절댓값과 동치인 자리를 복소 무한 자리(complex infinite place^영어)라고 한다.

4. 완비화 (Completion)

정역 $D$ 는 절댓값을 갖추면 거리 공간을 이루므로, 코시 열을 정의할 수 있다. 이 코시 열들은 각 성분별 덧셈과 곱셈에 대해 가환환을 이룬다. 절댓값이 0으로 수렴하는 코시 열 $(x_i)_{i\in\mathbb N}\subset D$ 들은 코시 열들의 환의 소 아이디얼을 이루며, 따라서 그 몫환은 정역이 된다. 이 정역을 $D$ 의 절댓값 $|\cdot|$ 에 대한 완비화(completion^영어)라고 한다. 이는 거리 공간으로서의 완비화와 일치한다.

절댓값을 갖는 정역 D가 주어졌을 때, 모든 ε > 0에 대해 모든 정수 m, n > N에 대해 $|x_m - x_n| < \varepsilon$ 를 만족하는 양의 정수 N이 존재하도록 함으로써 절댓값에 대한 D의 원소들의 코시 수열을 정의할 수 있다. 코시 수열은 점별 덧셈과 곱셈에 대해 환을 이룬다. 또한 |a_n|이 0으로 수렴하는 D의 원소의 수열 (a_n)을 영수열로 정의할 수 있다. 영수열은 코시 수열 환에서 소 아이디얼이며, 따라서 몫환은 정역이다. 정역 D는 이 몫환에 매장되며, 이 몫환을 절댓값 |x|에 대한 D의 완비화라고 부른다.

체는 정역이므로, 이것은 절댓값에 대한 체의 완비화를 위한 구성이기도 하다. 결과가 단지 정역이 아니라 체임을 보이기 위해, 영수열이 극대 아이디얼을 형성함을 보이거나, 역원을 직접 구성할 수 있다. 후자는 몫환의 모든 0이 아닌 원소에 대해 수열의 마지막 0 원소를 넘어서는 점에서 시작하는 수열을 취함으로써 쉽게 수행할 수 있다. 몫환의 0이 아닌 모든 원소는 이러한 수열과 영수열만큼 다르며, 점별 역수를 취함으로써 대표적인 역원소를 찾을 수 있다.

알렉산더 오스트로프스키의 또 다른 정리에 따르면, 아르키메데스적 절댓값에 대해 완비된 체는 실수 또는 복소수와 동형이며, 그 값은 일반적인 값과 동일하다. 겔판트-토른하임 정리는 아르키메데스적 값을 갖는 모든 체는 C의 부분체와 동형이며, 그 값은 C에서의 일반적인 절댓값과 동일하다고 명시한다.

5. 값매김 (Valuation)

정역 $D$ 위의 절댓값 $|\cdot|$ 에 대하여, 다음 두 조건은 서로 동치이며, 이를 만족시키는 절댓값을 비아르키메데스 절댓값(non-Archimedean absolute value^영어)이라고 한다.

* (초거리 부등식) 임의의 $x,y\in D$ 에 대하여, $|x+y|\le\max\{|x|,|y|\}$ .
* $\{|\overbrace{1+1+\cdots+1}^n|\colon n\in\mathbb N\}$ 이 유계 집합이다.

비아르키메데스 절댓값이 아닌 절댓값은 아르키메데스 절댓값(Archimedean absolute value^영어)이라고 한다.

비아르키메데스 절댓값의 로그를 취하면, $a\mapsto-\log|a|$ 는 값매김을 이룬다. 반대로, 실수 덧셈군(의 부분군)을 값군으로 갖는 값매김 $v$ 가 주어졌다면, 그 지수 함수 $a\mapsto\exp(-v(a))$ 는 비아르키메데스 절댓값을 이룬다.

비아르키메데스 절댓값 $|\cdot|$ 을 갖춘 체 $K$ 에 대하여, 절댓값이 1 이하인 원소들은 값매김환을 이룬다. 이를 $K$ 의 $|\cdot|$ 에 대한 정수환(ring of integers^영어)이라고 한다.

어떤 초거리 절대값과 임의의 밑 b > 1에 대해, ν(x) = −log_b|x| (x ≠ 0), ν(0) = ∞로 정의하면(여기서 ∞는 모든 실수보다 크도록 순서가 정해져 있다), 다음 속성을 가진 함수 D에서 R ∪ {∞}로의 함수를 얻을 수 있다.

* ν(x) = ∞ ⇒ x = 0.
* ν(xy) = ν(x) + ν(y).
* ν(x + y) ≥ min(ν(x), ν(y)).

이러한 함수는 부르바키의 용어로는 값매김으로 알려져 있지만, 다른 저자들은 '절대값'에 대해 '값매김'이라는 용어를 사용하고, 대신 '지수 값매김'이라고 말한다.

6. 예시

유리수체와 실수체, 복소수체에서 초등 수학의 절댓값은 대수적 절댓값을 이룬다.

: $|\cdot|_{\mathbb R}\colon x\mapsto\begin{cases}x&x\ge0\\-x&x<0\end{cases}$
: $|\cdot|_{\mathbb C}\colon x+iy\mapsto\sqrt{x^2+y^2}$

* 정수에 대한 표준 절댓값.
* 복소수에 대한 표준 절댓값.
* 유리수에 대한 p-진법 절댓값.

6.1. 자명 절댓값 (Trivial absolute value)

임의의 정역 $D$ 위의 자명 절댓값(trivial absolute value^영어)은 다음과 같다.
: $|x|_0=\begin{cases}0&x=0\\1&x\ne0\end{cases}$
자명 절댓값은 x = 0일 때 |x| = 0이고 그 외에는 |x| = 1인 절댓값이다. 모든 정역은 적어도 자명 절댓값을 가질 수 있다. 자명 절댓값은 유한체에서 가능한 유일한 절댓값인데, 0이 아닌 모든 원소는 어떤 거듭제곱을 하면 1이 되기 때문이다.

6.2. p진 절댓값 (p-adic absolute value)

데데킨트 정역 $D$ 가 주어졌을 때, $D$ 의 영 아이디얼이 아닌 소 아이디얼 $\mathfrak p$ 에 대하여 $\mathfrak p$ 진 절댓값( $\mathfrak p$ -adic absolute value^영어) $|\cdot|_{\mathfrak p}$ 은 $D$ 위의 절댓값이며, 다음과 같이 정의된다.

: $|x|_{\mathfrak p}=\begin{cases}0&x=0\\\exp(-n)&(x)=\mathfrak p^n\mathfrak q,\qquad\mathfrak p\nmid\mathfrak q,\qquad n\in\mathbb N\end{cases}$

이는 $\operatorname{Frac}D$ 위의 절댓값으로 확대할 수 있다.

오스트로프스키 정리에 따르면, 유리수 Q의 비자명 자릿값은 일반적인 절댓값과 각 소수 p에 대한 p-진 절댓값이다. 주어진 소수 p에 대해, 모든 유리수 q는 pⁿ(a/b)로 쓸 수 있으며, 여기서 a와 b는 p로 나누어 떨어지지 않는 정수이고 n은 정수이다. 이때, q의 p-진 절댓값은 다음과 같다.

: $\left|p^n \frac{a}{b}\right|_p = p^{-n}.$

6.3. 유리 함수체에서의 절댓값

만약 R이 체 F에 대한 유리 함수의 체이고 $p(x)$ 가 F에 대한 고정된 기약 다항식이라면, R에 대한 절댓값은 다음과 같이 정의된다. R의 원소 $f(x)$ 에 대해 $|f|$ 는 $2^{-n}$ 으로 정의된다. 여기서 $f(x) = p(x)^n \frac{g(x)}{h(x)}$ 이며, $g(x)$ 와 $p(x)$ 는 서로소이고 $h(x)$ 와 $p(x)$ 도 서로소이다.(즉, $\gcd(g(x), p(x)) = 1 = \gcd(h(x), p(x))$ 이다.)

7. 역사

퀴르샤크 요제프가 1913년에 도입하였다.