Tor 함자

"오늘의AI위키"는 AI 기술로 일관성 있고 체계적인 최신 지식을 제공하는 혁신 플랫폼입니다.
"오늘의AI위키"의 AI를 통해 더욱 풍부하고 폭넓은 지식 경험을 누리세요.

1. 개요
2. 정의
- 2.1. 유도 함자
- 2.2. 사슬 복합체
3. 성질
- 3.1. 평탄 가군
- 3.2. 완전열
4. 예
- 4.1. 정수환 위의 아벨 군
- 4.2. 리 대수 호몰로지
5. 응용
6. 역사
참조

1. 개요

Tor 함자는 환 위의 가군들의 텐서곱 연산에서 유도되는 쌍함자이다. 정수 i에 대해 정의되는 아벨 군이며, 사영 분해를 통해 계산할 수 있다. Tor 함자는 유도 함자이며, 사슬 복합체의 호몰로지 군으로 정의된다. Tor 함자는 직합을 보존하며, 평탄 가군과 완전열과 관련이 있다. 정수환 위의 아벨 군, 리 대수 호몰로지, 군 호몰로지, 호흐실트 호몰로지 등 다양한 수학 분야에 응용된다. 이름은 '꼬임'의 약자에서 유래되었으며, 아벨 군의 꼬임 부분군과 관련이 있다.

더 읽어볼만한 페이지

이항연산 - 뺄셈
뺄셈은 두 수의 관계를 나타내는 연산으로, 덧셈의 역연산이며, 피감수에서 감수를 빼는 연산으로 차를 구하고, 반교환법칙과 결합 법칙은 성립하지 않으며, 다양한 계산 방법과 함께 여러 분야에서 활용된다.
이항연산 - 나눗셈
나눗셈은 하나의 수를 다른 수로 나누어 몫과 나머지를 구하는 기본적인 산술 연산이다.
호몰로지 대수학 - 미분 등급 대수
미분 등급 대수는 체 위의 등급 대수와 미분의 순서쌍으로, 대수적 위상수학 및 호모토피 이론에서 활용되며, 등급 대수에 차수, 라이프니츠 규칙, 멱영성을 만족하는 미분을 추가하여 정의됩니다.
호몰로지 대수학 - 가환 그림
가환 그림은 대상, 사상, 경로 또는 합성으로 이루어진 구조로, 대수학에서 사상의 종류를 화살표 기호로 나타내고 점선 화살표로 사상의 존재성을 표시하며, 부분 다각형 그림이 가환적일 때 전체 그림이 가환적이라고 정의되고, 범주론에서 함자로 해석되며 호몰로지 대수학에서 사상의 성질 증명에 활용된다.

Tor 함자
일반 정보
이름	Tor 함자
분야	수학, 호몰로지 대수학
정의	텐서곱의 유도 함자
성질	연관성, 대칭성, 균형성
관련 개념	Ext 함자, Künneth 정리
상세 정보
유형	이변량 함자
공변/반변성	각 변수에서 공변
대상	아벨 군 또는 R-가군
사상	가군 준동형사상
값	아벨 군 또는 R-가군
쌍대 개념	Ext 함자
추가 정보
참고 사항	R이 가환환이면 두 범주가 일치함
특성	R이 가환적일 때 Mod-R에서 Mod-R로 가는 오른쪽 완전 함자
주의 사항	A⊗R B는 나타나지 않고 마지막 사상은 단순히 0사상임

2. 정의

환 ''R''이 주어졌을 때, Tor 함자는 왼쪽 가군과 오른쪽 가군의 텐서곱 연산에서 유도되는 쌍함자(bifunctor)이다. Tor 함자는 주어진 환에 대한 가군들의 범주에서 아벨 군들의 범주로 가는 함자로, 텐서곱의 왼쪽 유도 함자를 통해 정의된다.^[3] Tor 함자는 사슬 복합체의 호몰로지 군으로 계산될 수 있으며, 이는 사영 분해의 선택에 무관하다. 특히, 가환환의 경우 Tor 함자의 결과는 다시 가군이 되지만, 비가환환의 경우에는 일반적으로 아벨 군이 된다.

2. 1. 유도 함자

R

이 환이고,

_R{}\operatorname{Mod}

이

R

에 대한 왼쪽 가군들의 범주,

\operatorname{Mod}_R

이

R

에 대한 오른쪽 가군들의 범주라고 하자.

\operatorname{Ab}

는 아벨 군들의 범주이다.

오른쪽 가군

A\in\operatorname{Mod}_R

와 왼쪽 가군

B\in{}_R\operatorname{Mod}

의 텐서곱

A\otimes_RB\in\operatorname{Ab}

에 대하여, 텐서곱 연산

\otimes_R\colon\operatorname{Mod}_R\times{}_R\operatorname{Mod}\to\operatorname{Ab}

는 쌍함자(bifunctor)를 이룬다.

A\otimes_R\colon{}_R\operatorname{Mod}\to\operatorname{Ab}

는 오른쪽 완전 함자이며, 따라서 그 왼쪽 유도 함자

L^i(A\otimes)

를 취할 수 있다. 마찬가지로,

\otimes_RB\colon\operatorname{Mod}_R\to\operatorname{Ab}

또한 오른쪽 완전 함자이며, 따라서 왼쪽 유도 함자

L^i(\otimes_RB)

를 취할 수 있다. 이 둘은 사실 같은 쌍함자를 이룬다. 즉,

:

L^i(A\otimes_R)B=A(L^i\otimes_RB)=\operatorname{Tor}^R_i(A,B)

이다. 이 쌍함자

\operatorname{Tor}^R_i\colon\operatorname{Mod}_R\times{}_R\operatorname{Mod}\to\operatorname{Ab}

를 '''Tor 함자'''라고 한다.^[3]

Tor 함자는 사영 분해를 이용하여 계산할 수 있다. 즉, 임의의 사영 분해

\cdots\to P_2 \to P_1 \to P_0 \to A\to 0,

를 취하고, ''A''를 제거한 뒤, 사슬 복합체

\cdots \to P_2\otimes_R B \to P_1\otimes_R B \to P_0\otimes_R B \to 0

를 구성한다.

각 정수 ''i''에 대해 군

\operatorname{Tor}_i^R(A,B)

는 이 복합체의 호몰로지이다. 이는 음수 ''i''에 대해 0이다. 또한,

\operatorname{Tor}_0^R(A,B)

는 사상

P_1\otimes_R B \to P_0\otimes_R B

의 여핵이며, 이는

A \otimes_R B

와 동형이다.

카르탕과 에일렌베르크는 이러한 구성이 사영 분해의 선택과 무관하며, 두 구성 모두 동일한 Tor 군을 산출한다는 것을 보였다.^[3]

2. 2. 사슬 복합체

환 ''R''에 대하여, Tor 함자는 다음과 같이 사슬 복합체의 호몰로지 군으로 계산된다.^[3] 임의의 사영 분해

\cdots\to P_2 \to P_1 \to P_0 \to A\to 0,

를 취하고, ''A''를 제거한 뒤 사슬 복합체

\cdots \to P_2\otimes_R B \to P_1\otimes_R B \to P_0\otimes_R B \to 0

를 구성한다.

각 정수 ''i''에 대해, 군

\operatorname{Tor}_i^R(A,B)

는 이 복합체의 ''i''번째 위치에서의 호몰로지이다. 이는 음수 ''i''에 대해 0이다. 또한,

\operatorname{Tor}_0^R(A,B)

는 사상

P_1\otimes_R B \to P_0\otimes_R B

의 여핵이며, 이는

A \otimes_R B

와 동형이다.

3. 성질

Tor 함자는 직합을 보존한다. 즉, 다음이 성립한다.

: $\operatorname{Tor}_n^R\left(\bigoplus_{i\in I}M_i,\bigoplus_{j\in J}N_j\right)=\bigoplus_{i\in I}\bigoplus_{j\in J}\operatorname{Tor}_n^R(M_i,N_j)$

$R$ 가 가환환인 경우, 다음과 같은 표준적인 동형이 존재한다.

: $\operatorname{Tor}_n^R(M,N)\cong\operatorname{Tor}_n^R(M,N)$

또한, 이 경우 $\operatorname{Tor}_n^R(M,N)$ 은 $R$ 위의 가군의 구조를 갖는다.

$R$ 가 가환환이고, $r\in R$ 가 영인자가 아닐 때, 다음이 성립한다.

: $\operatorname{Tor}_1^R(R/(r),M)=\ker(r\cdot)=\{m\in M\colon rm=0\}$

이는 Tor라는 이름의 유래와 관련이 있으며, 비틀림 부분군과 관련이 있다.^[4]

임의의 오른쪽 ''R''-가군 ''A''와 왼쪽 ''R''-가군 ''B''에 대해 Tor(''A'', ''B'') ≅ ''A'' ⊗_''R'' ''B''이다.

Tor 함자는 각 변수에서 직합 (무한일 수 있음)과 필터링된 극한을 보존한다.^[9] 이는 다음을 의미한다.

:

\begin{align}\operatorname{Tor}_i^R \left (\bigoplus_{\alpha} M_{\alpha}, N \right ) &\cong \bigoplus_{\alpha} \operatorname{Tor}_i^R(M_{\alpha},N) \\\operatorname{Tor}_i^R \left (\varinjlim_{\alpha} M_{\alpha}, N \right ) &\cong \varinjlim_{\alpha} \operatorname{Tor}_i^R(M_{\alpha},N)\end{align}

평탄 기저 변환: 가환 평탄 ''R''-대수 ''T'', ''R''-가군 ''A'' 및 ''B'', 정수 ''i''에 대해 다음이 성립한다.^[10]

:

\mathrm{Tor}_i^R(A,B)\otimes_R T \cong \mathrm{Tor}_i^T(A\otimes_R T,B\otimes_R T).

따라서 Tor는 국소화와 교환한다. 즉, ''R''의 곱셈 닫힌 집합 ''S''에 대해 다음이 성립한다.

:

S^{-1} \operatorname{Tor}_i^R(A, B) \cong \operatorname{Tor}_i^{S^{-1} R} \left (S^{-1} A, S^{-1} B \right ).

가환환 ''R''과 가환 ''R''-대수 ''A'' 및 ''B''에 대해 Tor(''A'',''B'')는 ''R'' 위의 계단-가환 대수의 구조를 갖는다. 또한, Tor 대수에서 홀수 차수의 원소는 제곱이 0이고, 양의 짝수 차수의 원소에 대한 나눗셈 거듭제곱 연산이 있다.^[11]

모든 ''n'' ≥ 1에 대해 Tor는 '''Mod'''-''R'' × ''R''-'''Mod'''에서 '''Ab'''로의 가법 함자이다. ''R''이 가환인 경우, '''Mod'''-''R'' × '''Mod'''-''R''에서 '''Mod'''-''R''로의 가법 함자이다.

''R''이 가환환이고 ''R''의 ''u''가 영인자가 아니면 임의의 ''R''-가군 ''B''에 대해 다음이 성립한다.

:

\operatorname{Tor}^R_i(R/(u),B)\cong\begin{cases} B/uB & i=0\\ B[u] & i=1\\ 0 &\text{otherwise}\end{cases}

여기서

B[u] = \{x \in B : ux =0 \}

는 ''B''의 ''u''-torsion 부분군이다.

모든 ''i'' ≥ 2에 대해 $\operatorname{Tor}^{\Z}_i(A,B)=0$ 이다. 그 이유는 모든 아벨 군 ''A''는 길이가 1인 자유 분해를 가지기 때문인데, 자유 아벨 군의 모든 부분군은 자유 아벨 군이기 때문이다.

$R$이 주 아이디얼 정역 (PID)이면 모든 ''i'' ≥ 2에 대해 $\operatorname{Tor}^{R}_i(A,B)=0$ 이다. 그 이유는 PID 위의 모든 가군 ''A''는 길이가 1인 자유 분해를 가지기 때문인데, PID 위의 자유 가군의 모든 부분 가군은 자유 가군이기 때문이다.

모든 자유 가군은 길이 0의 자유 분해를 가지므로, ''F''가 자유 ''R''-가군이면 모든 ''n'' ≥ 1에 대해 Tor(''F, B'') = 0이다.

유한 생성 아벨 군의 분류로부터 모든 유한 생성 아벨 군은 '''Z'''와 '''Z'''_''k''의 복사본의 직합임을 알 수 있다.

3. 1. 평탄 가군

flat module^영어에 대한 Tor 함자는 0이 된다.^[5] Tor 함자를 통해 가군의 평탄성(flatness^영어)을 판별할 수 있다.^[5]

다음은 위의 내용에 대한 요약이다.

''A'' 또는 ''B''가 평탄 가군 (예: 자유 가군)이면 모든 ''i'' > 0에 대해 Tor(''A'', ''B'') = 0이다.^[5]
모든 ''B''에 대해 Tor(''A'', ''B'') = 0이면 ''A''는 평탄하며, 따라서 모든 ''i'' > 0에 대해 Tor(''A'', ''B'') = 0이다.^[5]
모든 ''A''에 대해 Tor(''A'', ''B'') = 0이면 ''B''는 평탄하며, 따라서 모든 ''i'' > 0에 대해 Tor(''A'', ''B'') = 0이다.^[5]
가군 ''M''이 평탄 가군인 것과 Tor(''M'', – ) = 0인 것은 동치이며, 이때 모든 ''n'' ≥ 1에 대해 Tor(''M'', – ) = 0이다.^[5]

3. 2. 완전열

도출 함자의 일반적인 속성에 따라 오른쪽 ''R''-가군의 모든 짧은 완전열 0 → ''K'' → ''L'' → ''M'' → 0은 다음 형식의 긴 완전열을 유도한다.^[6]

:

\cdots \to \operatorname{Tor}_2^R(M,B) \to \operatorname{Tor}_1^R(K,B) \to \operatorname{Tor}_1^R(L,B) \to \operatorname{Tor}_1^R (M,B) \to K\otimes_R B\to L\otimes_R B\to M\otimes_R B\to 0,

이는 임의의 왼쪽 ''R''-가군 ''B''에 대한 것이다. 유사한 완전열은 두 번째 변수에 대한 Tor에도 적용된다.

4. 예

체 $K$ 위의 벡터 공간의 경우, Tor 함자는 0차를 제외하고 모두 0이다. 이는 모든 벡터 공간이 사영 가군이기 때문이다. 벡터 공간 $V$ 의 사영 분해는 자명하므로, 벡터 공간 $V$ , $W$ 에 대해 Tor 함자는 다음과 같다.

: $\operatorname{Tor}_0^K(V,W)=V\otimes_KW$

: $\operatorname{Tor}_n^K(V,W)=0\qquad\forall n>0$ ^[4]

아벨 군의 경우, Tor 함자의 1차 성분은 꼬임 부분군과 관련된다. ''R''이 가환환이고 ''R''의 ''u''가 영인자가 아닐 때, 임의의 ''R''-가군 ''B''에 대해 다음이 성립한다.^[7]

: $\operatorname{Tor}^R_i(R/(u),B)\cong\begin{cases} B/uB & i=0\\ B[u] & i=1\\ 0 &\text{otherwise}\end{cases}$

여기서 $B[u] = \{x \in B : ux =0 \}$ 는 ''B''의 ''u''-꼬임 부분군이다.

Tor 군은 다음과 같은 성질을 갖는다.^[4]

임의의 오른쪽 ''R''-가군 ''A''와 왼쪽 ''R''-가군 ''B''에 대해 Tor(''A'', ''B'') ≅ ''A'' ⊗_''R'' ''B''이다.
도출 함자의 일반적인 속성에 따라 오른쪽 ''R''-가군의 모든 짧은 완전열 0 → ''K'' → ''L'' → ''M'' → 0은 긴 완전열을 유도한다.
가환환 ''R''의 경우, Tor(''A'', ''B'') ≅ Tor(''B'', ''A'')의 자연 동형이 있다.
모든 아벨 군 ''A''는 길이가 1인 자유 분해를 가지므로, $\operatorname{Tor}^{\Z}_i(A,B)=0$ (모든 ''i'' ≥ 2)이다.
$R$ 이 주 아이디얼 정역(PID)이면 모든 ''i'' ≥ 2에 대해 $\operatorname{Tor}^{R}_i(A,B)=0$ 이다.
임의의 환 ''R''에 대해 Tor는 각 변수에서 직합과 필터링된 극한을 보존한다.
평탄 기저 변환: 가환 평탄 ''R''-대수 ''T'', ''R''-가군 ''A'' 및 ''B'', 정수 ''i''에 대해 다음이 성립한다.^[10]

:

\mathrm{Tor}_i^R(A,B)\otimes_R T \cong \mathrm{Tor}_i^T(A\otimes_R T,B\otimes_R T)

4. 1. 정수환 위의 아벨 군

정수환

\mathbb Z

위 가군의 범주에서 Tor 함자를 살펴보자. 정수환 위 가군은 아벨 군이며, 임의의 아벨 군

G

는 자유 아벨 군

P_0

의 몫군

P_0/P_1

으로 나타낼 수 있다.

아벨 군

G

,

H

가 주어졌을 때,

G

의 사영 분해가

:

0\to P^1\xrightarrow{\iota}P_0\to G\to0

이라면, Tor 함자는 다음 사슬 복합체의 호몰로지 군이다.

:

0\to P_1\otimes_{\mathbb Z} H \xrightarrow{\iota\otimes_{\mathbb Z}\operatorname{id}} P_0\otimes_{\mathbb Z}H\to0

따라서,

:

\operatorname{Tor}_0^{\mathbb Z}(G,H)\cong G\otimes_{\mathbb Z}H

:

\operatorname{Tor}_1^{\mathbb Z}(G,H)\cong\ker(\iota\otimes_{\mathbb Z}\operatorname{id})

이다.

특히,

:

\operatorname{Tor}_1^{\mathbb Z}(\mathbb Z,H)=0

:

\operatorname{Tor}_1^{\mathbb Z}(0,H)=H

:

\operatorname{Tor}_1^{\mathbb Z}(\mathbb Z/(n),H)=\operatorname{Tors}_n(H)=\{h\in H\colon nh=0\}

이다.

보다 일반적으로, Tor 함자는 직합을 보존하므로,

:

\operatorname{Tor}_1^{\mathbb Z}\left(\bigoplus_i\mathbb Z/(n_i),H\right)=\bigoplus_i\operatorname{Tors}_{n_i}(H)

가 된다.

또한,

:

\operatorname{Tor}_1^{\mathbb Z}(\mathbb Q/\mathbb Z,H)=\operatorname{Tors}(H)=\{h\in H\colon\exists n\in\mathbb Z^+\colon nh=0\}

이므로

H

의 꼬임 부분군이 된다.

$\operatorname{Tor}_0^{\mathbb Z}(G,H)=G\otimes H$
$G\backslash H$	$\mathbb Z$	$\mathbb Z/(n)$	$\mathbb Q$
$\mathbb Z$	$\mathbb Z$	$\mathbb Z/(n)$	$\mathbb Q$
$\mathbb Z/(m)$	$\mathbb Z/(m)$	$\mathbb Z/(\gcd\{m,n\})$	0
$\mathbb Q$	$\mathbb Q$	0	$\mathbb Q$

$\operatorname{Tor}_1^{\mathbb Z}(G,H)$
$G\backslash H$	$\mathbb Z$	$\mathbb Z/(n)$	$\mathbb Q$
$\mathbb Z$	0	0	0
$\mathbb Z/(m)$	0	$\mathbb Z/(\gcd\{m,n\})$	0
$\mathbb Q$	0	0	0

4. 2. 리 대수 호몰로지

리 대수 호몰로지는 리 대수의 보편 포락 대수의 Tor 함자와 같다.^[12] 리 대수 호몰로지는

H_*(\mathfrak g,M)=\operatorname{Tor}_*^{U\mathfrak g}(R,M)

로 정의되며, 여기서

\mathfrak g

는 가환환 ''R'' 위의 리 대수이고, ''M''은

\mathfrak g

-가군이며,

U\mathfrak g

는 보편 포락 대수이다.

5. 응용

Tor 함자는 군 호몰로지, 리 대수 호몰로지, 호흐실트 호몰로지 등 다양한 호몰로지 이론에서 중요한 역할을 한다.

5. 1. 군 호몰로지

군 호몰로지는

H_*(G,M)=\operatorname{Tor}^{\Z[G]}_*(\Z, M)

로 정의되며, 여기서 ''G''는 군, ''M''은 정수 위에서 ''G''의 군 표현이고,

\Z[G]

는 ''G''의 군환이다.

5. 2. 리 대수 호몰로지

리 대수 호몰로지는 리 대수의 보편 포락 대수의 Tor 함자와 같다.

리 대수 호몰로지는

H_*(\mathfrak g,M)=\operatorname{Tor}_*^{U\mathfrak g}(R,M)

로 정의되며, 여기서

\mathfrak g

는 가환환 ''R'' 위의 리 대수이고, ''M''은

\mathfrak g

-가군이며,

U\mathfrak g

는 보편 포락 대수이다.^[12]

5. 3. 호흐실트 호몰로지

대수 ''A''가 체 ''k'' 위에 있고, ''A''-쌍가군 ''M''에 대해, Hochschild 호몰로지는 다음과 같이 정의된다.

:

HH_*(A,M)=\operatorname{Tor}_*^{A\otimes_k A^{\text{op}}}(A, M).

6. 역사

Tor 함자는 '꼬임'(torsion)의 약자인데, 이는 Tor 함자가 아벨 군의 꼬임 부분군과 관련이 있기 때문이다.^[1]

참조

_[1] 서적 Weibel 1999
_[2] 서적 Cartan & Eilenberg 1956
_[3] 서적 Weibel 1994
_[4] 서적 Weibel 1994
_[5] 서적 Weibel 1994
_[6] 서적 Weibel 1994
_[7] 서적 Weibel 1994
_[8] 서적 Weibel 1994
_[9] 서적 Weibel 1994
_[10] 서적 Weibel 1994
_[11] 서적 Avramov & Halperin http://stacks.math.c[...] 1986
_[12] 서적 Avramov & Halperin 1986
_[13] 서적 Gulliksen & Levin 1969
_[14] 서적 Quillen 1970

본 사이트는 AI가 위키백과와 뉴스 기사,정부 간행물,학술 논문등을 바탕으로 정보를 가공하여 제공하는 백과사전형 서비스입니다.
모든 문서는 AI에 의해 자동 생성되며, CC BY-SA 4.0 라이선스에 따라 이용할 수 있습니다.
하지만, 위키백과나 뉴스 기사 자체에 오류, 부정확한 정보, 또는 가짜 뉴스가 포함될 수 있으며, AI는 이러한 내용을 완벽하게 걸러내지 못할 수 있습니다.
따라서 제공되는 정보에 일부 오류나 편향이 있을 수 있으므로, 중요한 정보는 반드시 다른 출처를 통해 교차 검증하시기 바랍니다.

문의하기 : help@durumis.com