메르센 소수

3. 메르센 수의 속성

메르센 수는 다음의 몇 가지 속성을 지닌다.

• $M\_n$은 이항계수의 합에서 1을 뺀 값이다.

• 메르센 수의 지수가 홀수 소수 $p$이면, 그 소인수는 $2pk+1$ 형태를 가진다는 것을 페르마가 증명하였다 ($k$는 음이 아닌 정수). 이는 메르센 수가 소수, 즉 메르센 소수일 때도 성립한다.

• 또한 $n$이 홀수 소수인 메르센 수들의 약수는 모두 $8k\backslash pm1$ 꼴이다.

4. 메르센 소수에 관한 정리

메르센 수 $M\_n\; =\; 2^n\; -\; 1$이 소수가 되기 위한 기본적인 필요조건은 지수 $n$이 소수여야 한다는 것이다. 이는 $n$이 합성수, 즉 $n=ab$ (단, $a,\; b\; >\; 1$인 정수)일 경우 다음 항등식에 의해 $M\_n$ 역시 합성수가 되기 때문이다.

$$\backslash begin\{align\}$$

2^{ab}-1

&=(2^a-1)\cdot \left(1+2^a+2^{2a}+2^{3a}+\cdots+2^{(b-1)a}\right)\\

&=(2^b-1)\cdot \left(1+2^b+2^{2b}+2^{3b}+\cdots+2^{(a-1)b}\right).

\end{align}

따라서 메르센 소수를 찾기 위해서는 지수가 소수인 경우만 고려하면 된다.

하지만 이 조건은 필요조건일 뿐 충분조건은 아니다. 즉, 지수 $n$이 소수라고 해서 $M\_n$이 항상 소수인 것은 아니다. 가장 작은 반례는 $n=11$인 경우로, 11은 소수이지만 $M\_\{11\}\; =\; 2^\{11\}\; -\; 1\; =\; 2047\; =\; 23\; \backslash times\; 89$로 합성수이다.^[4] 소수 지수 $p$에 대해 $M\_p$가 합성수인 경우, 그 소인수는 $2pk\; +\; 1$ 형태를 가지며(단, $k$는 양의 정수), 동시에 $8k\; \backslash pm\; 1$ 형태를 가진다는 성질이 알려져 있다.

메르센 소수가 무한히 많이 존재하는지는 아직 해결되지 않은 문제이다. 렌스트라-포머란스-와그스태프 추측은 메르센 소수가 무한히 많으며, 그 분포 빈도를 예측한다. 또한, 소수 지수를 가진 합성수 메르센 수가 무한히 많은지도 알려지지 않았지만, 소피 제르맹 소수와 같은 특정 소수들의 무한성에 대한 추측이 참이라면 이 역시 참일 것으로 여겨진다.

$M\_2\; =\; 3$을 제외한 모든 메르센 소수 $M\_p$ ($p$는 홀수 소수)는 $M\_p\; =\; 2^p\; -\; 1\; \backslash equiv\; (-1)^p\; -\; 1\; \backslash equiv\; -1\; -\; 1\; =\; -2\; \backslash equiv\; 3\; \backslash pmod\; 4$이다. 따라서 $M\_2$를 포함한 모든 메르센 소수는 4로 나눈 나머지가 3이다. 결과적으로 $M\_n$($n>1$)의 소인수분해에는 4로 나눈 나머지가 3인 소인수가 적어도 하나 이상 존재해야 한다.

4. 1. 메르센 소수 목록

44번째 알려진 메르센 소수를 시각적으로 보여 주기 위해서는 1페이지 당, 10진수 75개 자리수의 숫자를 50줄씩 쓴 2,616페이지가 필요하다.^*표의 48번째 수인 $M\_\{57,885,161\}$과 49번째 수인 $M\_\{74,207,281\}$ 사이에 아직 발견되지 않은 다른 메르센 소수가 있는지는 아직 알려져 있지 않다. 따라서 이 번호들은 바뀔 수도 있다. 소수가 작은 소수부터 순차적으로 발견되는 것은 아니다. 예를 들어, 29번째 메르센 소수는 30번째와 31번째 소수의 발견 '''이후'''에 발견되었다.^**$M\_\{42,643,801\}$는 2009년 4월 12일 컴퓨터에 의해 처음 발견되었다. 그러나 6월 4일까지 이 사실을 인지한 사람은 아무도 없었다. 그래서, 발견일을 4월 12일 또는 6월 4일로 간주한다. 발견자 스트린드모(Strindmo)는 alias Stig M. Valstad를 사용한 것으로 보인다.^***$M\_\{74,207,281\}$는 2015년 9월 17일 컴퓨터에 의해 처음 발견되었다. 그러나 2016년 1월 7일까지 이 사실을 인지한 사람은 아무도 없었다. 그래서, 발견일을 2015년 9월 17일 또는 2016년 1월 7일로 간주한다.

5. 완전수와의 관계

메르센 소수는 완전수와 밀접한 관련이 있다. 기원전 4세기에 유클리드는 2^p − 1이 소수 (즉, 메르센 소수 M_p)이면, 2^{p − 1}(2^p − 1)은 짝수 완전수임을 증명했다. 이 식은 M_p(M_p + 1) / 2 와 같다.

18세기에 오일러는 그 역으로, 모든 짝수 완전수는 반드시 2^{p − 1}(2^p − 1) 형태를 갖는다는 것을 증명했다.^[5] 이 두 명제를 합쳐 유클리드-오일러 정리라고 부른다.

홀수 완전수는 아직 발견되지 않았으며, 존재하지 않는 것으로 추측된다.

6. 일반화

가장 간단한 일반화된 메르센 소수는 f(2ⁿ) 형태의 소수로, 여기서 f(x)는 작은 정수 계수를 가진 낮은 차수의 다항식이다.^[37] 예시로 2⁶⁴ - 2³² + 1이 있는데, 이 경우 n = 32이고 f(x) = x² - x + 1이다. 또 다른 예시는 2¹⁹² - 2⁶⁴ - 1인데, 이 경우 n = 64이고 f(x) = x³ - x - 1이다.

bⁿ - 1 형태의 소수(b ≠ 2이고 n > 1일 때)로 2ⁿ - 1 형태의 소수를 일반화하는 것도 자연스럽다. 하지만 bⁿ - 1는 항상 b - 1로 나누어지므로, 후자가 단위가 아닌 한 전자는 소수가 아니다. 이는 ''b''가 정수 대신 대수적 정수가 되도록 허용함으로써 해결할 수 있다.

정수 환 (실수에 대해)에서 b - 1이 단원이면 ''b''는 2 또는 0이다. 그러나 2ⁿ - 1은 일반적인 메르센 소수이며, 0ⁿ - 1 공식은 (n > 0에 대해 항상 −1이기 때문에) 흥미로운 결과를 내지 않는다. 따라서 가우스 정수나 아이젠슈타인 정수와 같이 복소수에 대한 "정수"의 환을 실수 대신 고려할 수 있다.

가우스 정수 환을 고려하면 b = 1 + i와 b = 1 - i의 경우가 발생하며, (1 + i)ⁿ - 1이 어떤 ''n''에 대해 가우스 소수가 되는지 질문할 수 있는데, 이를 '''가우스 메르센 소수'''라고 부른다.^[38]

(1 + i)ⁿ - 1은 다음 ''n''에 대해 가우스 소수이다:

:2, 3, 5, 7, 11, 19, 29, 47, 73, 79, 113, 151, 157, 163, 167, 239, 241, 283, 353, 367, 379, 457, 997, 1367, 3041, 10141, 14699, 27529, 49207, 77291, 85237, 106693, 160423, 203789, 364289, 991961, 1203793, 1667321, 3704053, 4792057, ... (OEIS의 수열 A057429)

일반적인 메르센 소수의 지수열과 마찬가지로 이 수열은 (유리수) 소수만 포함한다. 모든 가우스 소수와 마찬가지로, 이 숫자들의 노름 (즉, 절댓값의 제곱)은 유리수 소수이다:

:5, 13, 41, 113, 2113, 525313, 536903681, 140737471578113, ... (OEIS의 수열 A182300)

아이젠슈타인 정수 환 Z[ω]를 고려하면 ($\backslash omega$는 1의 원시 세제곱근), b = 1 + ω와 b = 1 - ω의 경우가 있다. (1 + ω)ⁿ - 1이 어떤 ''n''에 대해 아이젠슈타인 소수가 되는지 질문할 수 있으며, 이를 '''아이젠슈타인 메르센 소수'''라고 부른다.

(1 + ω)ⁿ - 1은 다음의 ''n''에 대해 아이젠슈타인 소수이다:

:2, 5, 7, 11, 17, 19, 79, 163, 193, 239, 317, 353, 659, 709, 1049, 1103, 1759, 2029, 5153, 7541, 9049, 10453, 23743, 255361, 534827, 2237561, ... (OEIS의 수열 A066408)

이 아이젠슈타인 소수들의 노름(즉, 절댓값의 제곱)은 유리 소수이다:

:7, 271, 2269, 176419, 129159847, 1162320517, ... (OEIS의 수열 A066413)

bⁿ - 1이 항상 b - 1로 나누어진다는 사실을 다루는 다른 방법은 이 인수를 단순히 제거하고 어떤 ''n'' 값이 (bⁿ - 1) / (b - 1) 소수가 되는지 묻는 것이다. (정수 ''b''는 양수 또는 음수가 될 수 있다.) 예를 들어, b = 10을 취하면 다음 ''n'' 값을 얻는다:

:2, 19, 23, 317, 1031, 49081, 86453, 109297, 270343, ... (OEIS의 수열 A004023),

소수 11, 1111111111111111111, 11111111111111111111111, ... (OEIS의 수열 A004022)에 해당한다.

이 소수들을 단위 반복 소수(Repunit)라고 한다. 또 다른 예는 b = -12를 취할 때 다음 ''n'' 값을 얻는 경우이다:

:2, 5, 11, 109, 193, 1483, 11353, 21419, 21911, 24071, 106859, 139739, ... (OEIS의 수열 A057178),

소수 −11, 19141, 57154490053, ....에 해당한다.

완전 거듭제곱이 아닌 모든 정수 ''b''에 대해 (bⁿ - 1) / (b - 1)가 소수가 되는 ''n'' 값이 무한히 많다는 추측이 있다. (''b''가 완전 거듭제곱인 경우, (bⁿ - 1) / (b - 1)가 소수인 ''n'' 값이 최대 하나 존재함을 보일 수 있다.)

(bⁿ - 1) / (b - 1)이 소수인 최소 ''n'' 값은 (''b'' = 2부터 시작, 그러한 ''n''이 없으면 0):

:2, 3, 2, 3, 2, 5, 3, 0, 2, 17, 2, 5, 3, 3, 2, 3, 2, 19, 3, 3, 2, 5, 3, 0, 7, 3, 2, 5, 2, 7, 0, 3, 13, 313, 2, 13, 3, 349, 2, 3, 2, 5, 5, 19, 2, 127, 19, 0, 3, 4229, 2, 11, 3, 17, 7, 3, 2, 3, 2, 7, 3, 5, 0, 19, 2, 19, 5, 3, 2, 3, 2, ... (OEIS의 수열 A084740)

음수 기저 ''b''의 경우 (''b'' = −2부터 시작, 그러한 ''n''이 없으면 0):

:3, 2, 2, 5, 2, 3, 2, 3, 5, 5, 2, 3, 2, 3, 3, 7, 2, 17, 2, 3, 3, 11, 2, 3, 11, 0, 3, 7, 2, 109, 2, 5, 3, 11, 31, 5, 2, 3, 53, 17, 2, 5, 2, 103, 7, 5, 2, 7, 1153, 3, 7, 21943, 2, 3, 37, 53, 3, 17, 2, 7, 2, 3, 0, 19, 7, 3, 2, 11, 3, 5, 2, ... (OEIS의 수열 A084742)

(b^prime(n) - 1) / (b - 1)이 소수인 최소 기저 ''b'' 값은 (''n''=1부터 시작):

:2, 2, 2, 2, 5, 2, 2, 2, 10, 6, 2, 61, 14, 15, 5, 24, 19, 2, 46, 3, 11, 22, 41, 2, 12, 22, 3, 2, 12, 86, 2, 7, 13, 11, 5, 29, 56, 30, 44, 60, 304, 5, 74, 118, 33, 156, 46, 183, 72, 606, 602, 223, 115, 37, 52, 104, 41, 6, 338, 217, ... (OEIS의 수열 A066180)

음수 기저 ''b''의 경우:

:3, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 7, 2, 16, 61, 2, 6, 10, 6, 2, 5, 46, 18, 2, 49, 16, 70, 2, 5, 6, 12, 92, 2, 48, 89, 30, 16, 147, 19, 19, 2, 16, 11, 289, 2, 12, 52, 2, 66, 9, 22, 5, 489, 69, 137, 16, 36, 96, 76, 117, 26, 3, ... (OEIS의 수열 A103795)

또 다른 일반화된 메르센 수는 다음과 같다:

:(aⁿ - bⁿ) / (a - b)

여기서 ''a'', ''b''는 임의의 상대 소수 정수이고, a > 1 및 -a < b < a이다. (aⁿ - bⁿ은 항상 a - b로 나누어지므로, 소수를 찾을 가능성이 있으려면 나눗셈이 필요하다.) 이 숫자가 소수가 되는 ''n''을 질문할 수 있다. 이러한 ''n''은 소수이거나 4와 같아야 함을 알 수 있으며, ''n''은 a + b = 1이고 a² + b²가 소수일 경우에만 4가 될 수 있다. ''a''와 ''b''가 어떤 ''r'' > 1에 대해서도 완전 ''r''제곱이 아니고 -4ab가 완전한 네제곱이 아닌 모든 쌍 (a, b)에 대해 (aⁿ - bⁿ) / (a - b)가 소수인 ''n''의 값이 무한히 많다는 추측이 있다. 그러나 이것은 단일 (a, b) 값에 대해서는 증명되지 않았다.

7. 메르센 소수 찾기

메르센 수 $M\_n\; =\; 2^n\; -\; 1$이 소수가 되기 위한 기본적인 필요조건은 지수 $n$이 소수여야 한다는 것이다. 이는 만약 $n$이 합성수($n=ab$, $a,\; b\; >\; 1$)라면 $M\_n$도 다음과 같이 인수분해되기 때문이다.

:$2^\{ab\}\; -\; 1\; =\; (2^a\; -\; 1)\; (1\; +\; 2^a\; +\; 2^\{2a\}\; +\; \backslash cdots\; +\; 2^\{(b-1)a\})\; =\; (2^b\; -\; 1)\; (1\; +\; 2^b\; +\; 2^\{2b\}\; +\; \backslash cdots\; +\; 2^\{(a-1)b\})$

예를 들어, $M\_4\; =\; 2^4\; -\; 1\; =\; 15\; =\; 3\; \backslash times\; 5\; =\; (2^2\; -\; 1)(1\; +\; 2^2)$이다. 따라서 메르센 소수를 찾기 위해서는 지수가 소수인 경우만 조사하면 된다.

그러나 이 조건의 역은 성립하지 않는다. 즉, $n$이 소수라고 해서 $M\_n$이 항상 소수인 것은 아니다. 가장 작은 반례는 $M\_\{11\}\; =\; 2^\{11\}\; -\; 1\; =\; 2047\; =\; 23\; \backslash times\; 89$이다. 소수 지수를 가지면서 합성수인 메르센 수가 무한히 많은지는 아직 알려지지 않았지만, 3과 합동인 소피 제르맹 소수의 무한성과 같은 널리 받아들여지는 추측들이 참이라면 그렇다고 여겨진다.

메르센 소수가 무한히 많은지 아닌지는 아직 해결되지 않은 문제이다. 렌스트라-포머란스-와그스태프 추측은 메르센 소수가 무한히 많으며, 그 빈도와 성장 순서를 예측한다.

메르센 수는 매우 빠르게 증가하기 때문에, 특정 $M\_p$가 소수인지 판별하는 것은 어려운 작업이다. 하지만 루카스-레머 소수 판별법(LLT)이라는 효율적인 소수성 판별법이 존재한다. 이 방법은 같은 크기의 다른 수들의 소수성 판별보다 훨씬 빠르다. 구체적으로, 소수 $p\; >\; 2$에 대해, 수열 $S\_k$를 $S\_0\; =\; 4$, $S\_k\; =\; S\_\{k-1\}^2\; -\; 2$ (단, $k\; >\; 0$)로 정의할 때, $M\_p$가 소수일 필요충분조건은 $M\_p$가 $S\_\{p-2\}$를 나누는 것이다.

이러한 효율적인 판별법 덕분에 현재까지 알려진 가장 큰 소수 기록은 대부분 메르센 소수가 차지하고 있다. 2024년 10월 기준으로 알려진 가장 큰 소수 7개는 모두 메르센 소수이다. 가장 큰 소수를 찾는 것은 많은 사람들의 관심을 끌어왔으며, 새로운 메르센 소수를 찾기 위해 막대한 컴퓨터 연산 능력이 투입되고 있다. 특히 분산 컴퓨팅 프로젝트인 GIMPS가 큰 역할을 하고 있다.

=== 역사적 발견 ===

초기 메르센 소수 몇 개는 오래전부터 알려져 있었다.

• $M\_2\; =\; 3$, $M\_3\; =\; 7$, $M\_5\; =\; 31$, $M\_7\; =\; 127$은 고대 수학자들에게 알려져 있었다.
• $M\_\{13\}\; =\; 8191$은 1461년 이전에 익명으로 발견되었다.
• $M\_\{17\}$과 $M\_\{19\}$는 1588년 피에트로 카탈디가 발견했다.
• $M\_\{31\}$은 1772년 레온하르트 오일러에 의해 소수임이 확인되었다.
• $M\_\{127\}$은 1876년 에두아르 루카스가 발견했다.
• $M\_\{61\}$은 1883년 이반 미헤예비치 페르부신이 발견했다.
• $M\_\{89\}$와 $M\_\{107\}$은 각각 1911년과 1914년에 R. E. 파워스가 발견했다.

• 1952년 1월 30일, 미국 국립 표준국의 SWAC 컴퓨터를 사용하여 D. H. 레머의 지휘 아래 라파엘 M. 로빈슨이 작성한 프로그램으로 $M\_\{521\}$이 발견되었다. 이는 38년 만에 발견된 새로운 메르센 소수였다.^[12]
• 같은 해, SWAC은 $M\_\{607\}$, $M\_\{1279\}$, $M\_\{2203\}$, $M\_\{2281\}$을 연달아 발견했다.
• 이후 컴퓨터 성능의 발달과 함께 더 큰 메르센 소수들이 발견되었다. $M\_\{4,423\}$은 1,000자리가 넘는 최초의 소수, $M\_\{44,497\}$은 10,000자리가 넘는 최초의 소수, $M\_\{6,972,593\}$은 백만 자리가 넘는 최초의 소수였다.

• 2008년 8월, UCLA 팀이 GIMPS를 통해 45번째 메르센 소수 $2^\{43,112,609\}\; -\; 1$(약 1300만 자리)를 발견하여 Electronic Frontier Foundation으로부터 10만달러의 상금 일부를 받았다. 이는 1,000만 자리 이상의 첫 소수 발견이었다.^[13]
• 2009년 4월, 47번째 메르센 소수 $2^\{42,643,801\}\; -\; 1$이 발견되었다. (발견 순서로는 47번째지만, 크기로는 45번째보다 작다.)
• 2013년 1월, 커티스 쿠퍼가 48번째 메르센 소수 $2^\{57,885,161\}\; -\; 1$(약 1742만 자리)를 발견했다.^[14]
• 2016년 1월, 커티스 쿠퍼가 49번째 메르센 소수 $2^\{74,207,281\}\; -\; 1$(약 2233만 자리)를 발견했다.^[15][16][17]
• 2018년 1월, 조나단 페이스가 50번째 메르센 소수 $2^\{77,232,917\}\; -\; 1$(약 2324만 자리)를 발견했다.^[19][20][21]
• 2018년 12월, 패트릭 라로슈가 51번째 메르센 소수 $2^\{82,589,933\}\; -\; 1$(약 2486만 자리)를 발견했다.^[22] 이는 2024년 10월 이전까지 알려진 가장 큰 소수였다.
• 2024년 10월, 루크 듀란트가 52번째 메르센 소수 $2^\{136,279,841\}\; -\; 1$(약 4102만 자리)를 발견했다. 이는 지수가 8자리를 넘는 최초의 메르센 소수이다.^[24]

참조

_[1] 웹사이트 GIMPS Discovers Largest Known Prime Number: 2^136,279,841 − 1 https://www.mersenne[...] 2024-10-21
_[2] 웹사이트 GIMPS Project Discovers Largest Known Prime Number: 2^82,589,933-1 https://www.mersenne[...] 2018-12-21
_[3] 웹사이트 GIMPS Milestones Report http://www.mersenne.[...] Mersenne Research, Inc. 2020-12-05
_[4] 웹사이트 Heuristics: Deriving the Wagstaff Mersenne Conjecture http://primes.utm.ed[...]
_[5] 웹사이트 Mersenne Primes: History, Theorems and Lists http://primes.utm.ed[...]
_[6] 웹사이트 Mersenne's conjecture http://primes.utm.ed[...]
_[7] 서적 An Introduction to the Theory of Numbers Oxford University Press
_[8] 간행물 On the factoring of large numbers 1903-12-01
_[9] 서적 Mathematics, queen and servant of science https://archive.org/[...] McGraw-Hill New York
_[10] 뉴스 h2g2: Mersenne Numbers http://news.bbc.co.u[...]
_[11] 간행물 A Brief History of the Investigations on Mersenne Numbers and the Latest Immense Primes https://primes.utm.e[...]
_[12] 웹사이트 The Mathematics Department and the Mark 1 http://www.computer5[...]
_[13] 뉴스 UCLA mathematicians discover a 13-million-digit prime number http://www.latimes.c[...] 2011-05-21
_[14] 간행물 Largest Prime Number Discovered http://www.scientifi[...] 2013-02-07
_[15] 웹사이트 Mersenne Prime Number discovery – 2^74207281 − 1 is Prime! http://www.mersenne.[...] 2016-01-22
_[16] 뉴스 Prime number with 22 million digits is the biggest ever found https://www.newscien[...] 2016-01-19
_[17] 뉴스 New Biggest Prime Number = 2 to the 74 Mil ... Uh, It's Big https://www.nytimes.[...] 2016-01-22
_[18] 웹사이트 Milestones http://www.mersenne.[...]
_[19] 웹사이트 Mersenne Prime Discovery - 2^77232917-1 is Prime! https://www.mersenne[...] 2018-01-03
_[20] 웹사이트 Largest-known prime number found on church computer https://christianchr[...] 2018-01-12
_[21] 웹사이트 Found: A Special, Mind-Bogglingly Large Prime Number https://www.atlasobs[...] 2018-01-05
_[22] 웹사이트 GIMPS Discovers Largest Known Prime Number: 2^82,589,933-1 https://www.mersenne[...] 2019-01-01
_[23] 웹사이트 GIMPS - The Math - PrimeNet https://www.mersenne[...] 2021-06-29
_[24] 웹사이트 Mersenne Prime Number discovery - 2136279841-1 is Prime! https://www.mersenne[...] 2024-10-21
_[25] 웹사이트 Will Edgington's Mersenne Page http://www.garlic.co[...]
_[26] 웹사이트 Proof of a result of Euler and Lagrange on Mersenne Divisors http://primes.utm.ed[...]
_[27] 서적 Advances in Cryptology – ASIACRYPT 2014
_[28] 웹사이트 PRP Top Records http://www.primenumb[...] 2022-09-05
_[29] 웹사이트 M12720787 Mersenne number exponent details https://www.mersenne[...] 2022-09-05
_[30] 웹사이트 Exponent Status for M1277 https://www.mersenne[...] 2021-07-21
_[31] 웹사이트 M1277 Mersenne number exponent details https://www.mersenne[...] 2022-06-24
_[32] 서적 Famous Puzzles of Great Mathematicians AMS Bookstore
_[33] 웹사이트 Wheat and Chessboard Problem https://mathworld.wo[...] 2023-02-11
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