무정의 용어
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1. 개요
무정의 용어는 공리적 집합론, 페아노 공리계, 힐베르트 공리계 등 다양한 학문 분야에서 사용되는 개념으로, 해당 분야의 기초를 이루는 정의되지 않은 용어를 의미한다. 알프레트 타르스키와 길버트 드 B. 로빈슨은 무정의 용어의 역할을 설명하며, 모든 지식은 정의되지 않은 요소와 관계, 그리고 당연하게 받아들여지는 속성을 명확하게 명시해야 한다고 강조했다. 수학, 공리계, 기하학 등 다양한 분야에서 집합, 공집합, 0, 점, 선, 평면 등이 무정의 용어로 사용되며, 시스템의 공리 집합에 따라 원시적 개념이 달라진다. 버트런드 러셀은 수학 원리에서 관계, 명제 함수, 집합 생성 기호 등을 원초 개념으로 사용했다.
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2. 상세
무정의 용어는 특정 학문 체계 내에서 정의되지 않고 그 의미가 자명하다고 여겨지거나, 다른 용어를 정의하기 위한 기초로 사용되는 용어이다. 공리적 집합론에서 ZFC의 집합이나 NBG의 모임, 페아노 공리계에서 0, 다비트 힐베르트가 만든 힐베르트 공리계의 점, 직선, 평면 등이 무정의 용어에 해당한다.
2. 1. 무정의 용어의 역할
알프레트 타르스키는 원초적 개념(무정의 용어)의 역할을 다음과 같이 설명했다.[4]: 우리가 어떤 학문을 구성하기 시작할 때, 우선 이 학문의 표현들 중에서 즉시 이해할 수 있다고 여겨지는 작은 그룹을 구별한다. 이 그룹의 표현들을 원초적 용어 또는 정의되지 않은 용어라고 부르며, 그 의미를 설명하지 않고 사용한다.
지식론에서 원초적 개념으로의 불가피한 회귀는 길버트 드 B. 로빈슨에 의해 설명되었다.
: 비수학자에게는 사용되는 모든 용어를 명시적으로 정의하는 것이 불가능하다는 사실이 종종 놀라움을 준다. 이것은 피상적인 문제가 아니라 모든 지식의 근본에 놓여 있다. 어디선가 시작해야 하며, 진전을 이루기 위해서는 정의되지 않은 요소와 관계, 그리고 당연하게 받아들여지는 속성을 명확하게 명시해야 한다.[5]
2. 2. 여러 학문에서의 예시
공리적 집합론의 ZFC에서 집합은 무정의 용어이다. NBG에서 모임은 무정의 용어이며 집합은 무정의 용어가 아니다. (0부터 시작하는) 페아노 공리계에서 0은 무정의 용어이다. 다비트 힐베르트가 만든 힐베르트 공리계에서 점, 직선, 평면은 무정의 용어이다.유클리드 기하학에서 힐베르트의 공리계를 사용할 때 원시적 개념은 "점, 선, 평면, 합동, 사이" 및 "사건"이다. 페아노의 공리계에서는 원시적 개념은 "점, 선분" 및 "이동"이다.
2. 2. 1. 수학
집합론에서 집합은 무정의 용어의 예시이다. 메리 타일스는 '집합'의 '정의'는 정의라기보다는 원시적이고 정의되지 않은 용어의 지위를 부여받는 무언가를 설명하려는 시도에 가깝다고 언급했다.[6]순진 집합론에서 공집합은 무정의 개념이다. 공집합이 존재한다고 주장하는 것은 암묵적인 공리가 될 것이다.
페아노 산술에서 다음 함수와 숫자 0은 무정의 개념이다. 페아노 산술은 숫자의 속성에 관해 유용하므로 원시적 개념이 나타내는 객체는 엄격하게 중요하지 않을 수 있다.[7]
실수의 산술에서 일반적으로 사용되는 무정의 개념은 다음과 같다: 실수, 두 개의 이항 연산인 덧셈과 곱셈, 숫자 0과 1, 순서 <.
2. 2. 2. 공리계
공리계에서 원시적 개념은 시스템에 대해 선택된 공리 집합에 따라 달라진다. 알레산드로 파도아는 1900년 파리 국제 철학 회의에서 이 선택에 대해 논의했다.[8] 개념 자체가 반드시 명시될 필요는 없다. 수잔 하크(1978)는 "공리 집합은 때때로 원시적 용어의 암묵적 정의를 제공한다고 한다"라고 하였다.[9]2. 2. 3. 기하학
공리적 집합론 ZFC에서 집합은 무정의 용어이다. NBG에서 모임은 무정의 용어이며 집합은 무정의 용어가 아니다. 다비트 힐베르트가 만든 힐베르트 공리계에서 점, 직선, 평면은 무정의 용어이다.2. 3. 러셀의 원초 개념
버트런드 러셀은 수학 철학에 관한 저서 ''수학 원리''에서 다음과 같은 개념들을 사용했다. 집합 계산에서 관계를 사용했으며, 집합 포함 관계를 원초적 개념으로 삼았다. 집합 설정을 위해 명제 함수와 집합 생성 기호에서 사용되는 "그러한"이라는 문구를 원초적 개념으로 설정했다.[1] 관계에 관해서 러셀은 주어진 ''xRy''의 역관계 및 여관계를 원초적 개념으로 간주한다. 또한 관계의 논리곱과 관계의 상대적 곱도 원초적 개념이다.[2] 대상의 기술에 의한 지칭과 관련하여, 러셀은 원초적 개념이 관련되어 있음을 인정한다.[3] 러셀의 저서의 요지는 "순수 수학은 단지 몇 가지 개념만 사용하며, 이는 논리 상수이다."이다.[4]참조
[1]
문서
More generally, in a formal system, rules restrict the use of primitive notions. See e.g. MU puzzle for a non-logical formal system.
[2]
문서
Euclid
[3]
문서
This axiom can be formalized in predicate logic as "∀x1,x2Set membership∈P. existential quantifier∃y∈L. C(y,x1) logical conjunction∧ C(y,x2)", where P, L, and C denotes the set of points, of lines, and the "contains" relation, respectively.
[4]
서적
Introduction to Logic and the Methodology of the Deductive Sciences
Oxford University Press
1946
[5]
서적
Foundations of Geometry
University of Toronto Press
1959
[6]
서적
The Philosophy of Set Theory
2004
[7]
학위논문
Mechanising Hilbert's Foundations of Geometry in Isabelle (see ref 16, re: Hilbert's take)
University of Edinburgh
2008
[8]
간행물
Logical introduction to any deductive theory
Harvard University Press
1900
[9]
서적
Philosophy of Logics
Cambridge University Press
1978
[10]
문서
This axiom can be formalized in predicate logic as "∀x1,x2Set membership∈P. existential quantifier∃y∈L. C(y,x1) logical conjunction∧ C(y,x2)", where P, L, and C denotes the set of points, of lines, and the "contains" relation, respectively.
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