미분 형식

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1. 개요
2. 정의
3. 연산
4. 역사
5. 응용
- 5.1. 전자기학에서의 응용
6. 관련 정리
참조

1. 개요

미분 형식은 매끄러운 다양체 위에서 정의되는 개념으로, 접공간의 외대수를 통해 구성된 단면을 의미한다. 미분 형식은 좌표계에 의존하지 않는 다변수 미적분학적 접근 방식을 제공하며, 쐐기곱, 외미분, 적분, 당김 등의 연산을 통해 분석된다. 외미분은 함수의 미분을 일반화한 것으로, 닫힌 형식과 완전 형식의 개념을 정의하며, 스토크스 정리와 드람 코호몰로지를 통해 미분 형식의 적분과 외미분 사이의 관계를 설명한다. 미분 형식은 전자기학, 게이지 이론 등 물리학 분야에서 중요한 역할을 하며, 특히 맥스웰 방정식과 양-밀스 이론에서 핵심적인 도구로 활용된다.

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미분 형식

2. 정의

differential form^영어은 매끄러운 다양체 위에서 정의되는 특별한 종류의 텐서장으로, 각 점에서의 접공간의 외대수(exterior algebra)의 원소로 표현된다.

$n$ 차원 매끄러운 다양체 $M$ 위의 공변접다발 $\mathrm T^*M$ 은 $n$ 차원 벡터 다발이다. 각 올에 대하여 외대수를 취하면 $2^n$ 차원 벡터 다발

: $\bigwedge\mathrm T^*M$

을 얻는다. 이 다발의 단면을 $M$ 위의 '''미분 형식'''이라고 하며, 미분 형식의 공간은 다음과 같이 표기한다.

: $\Omega(M) = \Gamma\left(\bigwedge\mathrm T^*M\right)$

외대수 연산에 따라, 이 다발은 자연스럽게 차수로 분해된다.

: $\bigwedge\mathrm T^*M=\bigoplus_{k=0}^n\bigwedge^k\mathrm T^*M$

: $\Omega(M) = \bigoplus_{k=0}^n\Omega^n(M)=\bigoplus\Gamma\left(\bigwedge^k\mathrm T^*M\right)$

여기서 $\Omega^k(M)$ 의 매끄러운 단면이 $k$ 차 미분 형식이다.

미분 형식은 좌표계에 의존하지 않는 다변수 미적분학에 대한 접근 방식을 제공한다. 엘리 카르탕이 미분 방정식을 기하학적으로 파악하려는 시도에서 비롯된 미분 형식은, 해석학이나 기하학의 다양한 개념과 공식을 통일적인 시점에서 정리하고, 형식적인 계산을 통해 많은 결과를 얻었으며, 다양체 등의 도형을 연구하는데 매우 강력한 도구가 되었다.

$n$ 차원 유클리드 공간에서 좌표가 $(x_1, x_2, \dots, x_n)$ 으로 주어져 있을 때, $n$ 변수 함수 $f(x_1, x_2, \dots, x_n)$ 를 미분 0 형식이라 하고, 여접벡터장 $f_1 dx_1 + f_2 dx_2 + \cdots + f_n dx_n$ 을 미분 1 형식이라고 한다. 이것은 함수의 전미분에서 나타나는 식과 같다.

2차 이상의 미분 형식은 미분 형식끼리 텐서곱으로 곱함으로써 얻어진다. 예를 들어 $p$ 차의 미분 형식 $\xi$ 와 $q$ 차의 미분 형식 $\eta$ 의 텐서곱은

: $\xi \otimes \eta$

로 쓰여진다. 그러나 일반적으로 이런 일반적인 곱 대신에 어떠한 대칭성을 부여한 대칭 미분 형식이나 교대 미분 형식이 사용된다. 어느 쪽이든, 좌표의 선택에 의존하지 않는 기하학적인 양을 나타내는 것이지만, 구별하기 위해서, 이 텐서곱 기호는 그다지 사용되지 않는다.

가우스가 곡면론에서 보인 것처럼, 리만 계량과 같은 대칭 미분 형식은 다양체 상의 각 점에서의 접벡터의 크기를 정하는 것이며, 국소적으로 선소의 "길이"를 정하고 있는 셈이 된다. 이러한 국소적인 정보로부터, 다양체 전체의 형태나 크기를 상당 부분 알 수 있다.

교대 미분 형식은, 텐서곱 대신에 외대수의 곱으로서의 기호 $\wedge$ 를 사용하여

: $\sum a_{ij} \,dx_i \wedge dx_j$

의 형태로 쓰여진다. 교대 미분 형식은, 방향이 주어진 기하학적인 양을 나타낸다.

: $dx_i \wedge dx_j=-dx_j\wedge dx_i$

라는 관계식을 만족하고 $\{dx_k\}$ 의 배열 순서의 교체에 따라 부호가 바뀐다(대칭 미분 형식에서는 부호는 바뀌지 않는다). 이와 같은 부호의 반전을 내포시킴으로써 적분하는 변수의 "방향"을 파악할 수 있게 된다. 따라서 미분 형식의 적분으로 얻어지는 면적이나 부피 등의 양에도 부호가 도입되어, 음의 면적이나 음의 부피와 같은 것도 나타나지만, 그렇게 함으로써 중적분에서의 좌표 변환 공식 등이 매우 간명하게 계산할 수 있게 된다.

더욱이 교대 미분 형식의 미분으로부터 드람 코호몰로지가 얻어지고, 해석적인 계산에 의해 다양체 전체의 형태를 조사할 수 있다.

미분 형식의 대수적 구성을 처음 시도한 것은 1899년 논문을 발표한 엘리 카르탕으로 여겨진다.^[1] 미분 형식의 외대수에 대한 몇 가지 측면은 헤르만 그라스만의 1844년 저서 『선형 확장의 이론, 수학의 새로운 분야』에 나타난다.

2. 1. 미분 형식

n

차원 매끄러운 다양체

M

위의 각 점

p

에서,

k

차 미분 형식은

k

개의 접벡터를 입력받아 실수를 출력하는 교대 다중 선형 사상이다. 1차 미분 형식은 여접벡터(covector)와 같은 개념이며, 국소 좌표계에서

\{dx^i\}_{i=1,\dots,n}

를 기저로 사용하여 표현할 수 있다. 일반적인

k

차 미분 형식은 국소 좌표계에서 다음과 같이 표현된다.

:

A=\frac1{k!}A_{i_1\dots i_k}dx^{i_1}\wedge dx^{i_2}\wedge\cdots\wedge dx^{i_k}

여기서

A_{i_1\dots i_k}

는 성분 함수이며,

\wedge

는 쐐기곱(wedge product)을 나타낸다.^[2]

2. 2. 외미분

미분 형식의 '''외미분'''(外微分, Exterior derivative^영어)은 미분 형식의 차수를 1만큼 증가시키는 연산이다. 이는 함수의 미분을 일반화한 개념으로 볼 수 있다.

0차 형식(함수)에 대한 외미분은 일반적인 기울기와 같다. 즉, 함수

f

에 대하여,

df=\sum_{i=1}^n(\partial f/\partial x^i)dx^i

이다.

일반적으로,

k

차 미분 형식

A

의 외미분

dA

는 다음과 같이 정의된다.

:

dA=\frac1{k!}(\partial_{i_0}A_{i_1\dots i_k})dx^{i_0}\wedge dx^{i_1}\wedge\cdots\wedge dx^{i_k}=\frac1{(k+1)!k!}(\partial_{[i_0}A_{i_1\dots i_k]})dx^{i_0}\wedge dx^{i_1}\wedge\cdots\wedge dx^{i_k}

여기서

[\cdots]

는 완전 반대칭화를 나타낸다.

예를 들어, 1차 형식의 경우

:

(dA)_{ij}=\partial_iA_j-\partial_jA_i

이고, 2차 형식의 경우

:

(dA)_{ijk}=\partial_iA_{jk}+\partial_jA_{ki}+\partial_kA_{ij}

이다.

외미분 연산자는 외대수 곱과 함께 사용되며, 미분 형식의 외미분은 함수의 미분을 일반화한 것이다.

f \in C^\infty(M) = \Omega^0(M)

의 외미분은

f

의 미분과 같다. 고차 형식으로 일반화하면,

\omega = f dx^I

가 단순한

k

-형식이라면, 외미분

d\omega

는

(k+1)

-형식이다.

:

d\omega = \sum_{i=1}^n \frac{\partial f}{\partial x^i} \, dx^i \wedge dx^I.

외미분은 미분 기하학, 미분 위상수학 등에서 널리 사용되는 중요한 개념이다.

2. 3. 무한 차원 다양체 위의 미분 형식

국소 볼록 공간을 모델로 하는 무한 차원 다양체 위에서도 미분 형식을 정의할 수 있다. 이 경우, 접다발은 잘 정의되지만, 위상 벡터 공간의 위상 쌍대 공간이 복잡하기 때문에 일반적으로 공변접다발은 잘 정의되지 않는다. 따라서 미분 형식의 개념을 직접적으로 정의해야 한다.^[6]

E

-다양체

M

위의

k

차 미분 형식은 다음 데이터로 구성된다.

각 $x\in M$ 에 대하여, 완전 반대칭 $k$ -선형 변환 $\omega_x\colon\textstyle\bigwedge^k\mathrm T_xM \to \mathbb R$

이는 다음 조건을 만족시켜야 한다.

:열린집합

U\subseteq M

위의 국소 좌표

\phi\colon U \to E

에 대하여,

\omega \circ U^{-1} \colon U \times \textstyle\bigwedge^kE \to \mathbb R

는 매끄러운 함수이다.

이 경우 쐐기곱과 외미분이 잘 정의된다.

3. 연산

미분 형식 위에는 쐐기곱, 외미분, 내부곱, 적분, 당김 등 다양한 연산이 정의된다. 다양체에 리만 계량이 추가되면, 미분 형식의 내적과 호지 쌍대를 정의할 수 있다.

3. 1. 쐐기곱

'''쐐기곱'''(wedge product^영어)은 두 미분 형식을 결합하여 더 높은 차수의 미분 형식을 만드는 연산이다. 이는 각 위치마다 외대수로서의 쐐기곱이다.

임의의

\alpha\in\Omega^k(M)

과

\beta,\beta'\in\Omega^l(M)

,

f\in\Omega^0(M)

에 대하여, 쐐기곱은 다음 성질들을 만족시킨다.

$f\wedge\alpha=f\alpha$
(분배법칙) $\alpha\wedge(\beta+\beta')=\alpha\wedge\beta+\alpha\wedge\beta'$
(반대칭성) $\alpha\wedge\beta=(-1)^{kl}\beta\wedge\alpha$

k

-형식

\alpha

와

l

-형식

\beta

의 쐐기곱은

\alpha \wedge \beta

로 표시하며, 이는

(k+l)

-형식이 된다.

쐐기곱은 쌍선형이며, ''왜곡 가환적''(또는 ''등급 가환적''이라고도 함)이다. 이는 형식의 차수에 따라 달라지는 반가환성의 변형을 만족한다는 것을 의미한다. 만약

\alpha

가

k

-형식이고

\beta

가

l

-형식이라면,

:

\alpha \wedge \beta = (-1)^{k\ell} \beta \wedge \alpha .

또한 등급 라이프니츠 규칙도 적용된다.

$d(\alpha\wedge\beta)=d\alpha\wedge\beta + (-1)^{k}\alpha\wedge d\beta.$

3. 2. 외미분

Exterior derivative^영어라고 하는 미분 형식의 외미분은 다음 세 가지 조건에 의해 유일하게 정의되는 연산이다.

외미분은 상수 계수에 대한 선형변환이다.
0차 형식(함수)에 대한 외미분은 일반적인 기울기와 같다. 즉, 0차 형식 $f$ 에 대해, $df=\sum_{i=1}^n(\partial f/\partial x^i)dx^i$ 이다.
모든 0차 형식에 대해, $d^2f=0$ 이다.
임의의 $k$ 차 미분형식 $\alpha$ 와 임의의 미분형식 $\beta$ 에 대하여 $d(\alpha\wedge\beta)=d\alpha\wedge\beta+(-1)^k\alpha\wedge d\beta$ 이다.

이를 성분으로 표현하면 다음과 같다. (아인슈타인 표기법 사용)

임의의

k

차 미분 형식

:

A=\frac1{k!}A_{i_1\dots i_k}dx^{i_1}\wedge\cdots\wedge dx^{i_k}

에 대하여,

:

dA=\frac1{k!}(\partial_{i_0}A_{i_1\dots i_k})dx^{i_0}\wedge dx^{i_1}\wedge\cdots\wedge dx^{i_k}=\frac1{(k+1)!k!}(\partial_{[i_0}A_{i_1\dots i_k]})dx^{i_0}\wedge dx^{i_1}\wedge\cdots\wedge dx^{i_k}

이다. 즉,

:

(dA)_{i_0\dots i_k}=\frac1{k!}\partial_{[i_0}A_{i_1\dots i_k]}=\partial_{i_0}A_{i_1\dots i_k}-\partial_{i_1}A_{i_0i_2\dots i_k}+\partial_{i_2}A_{i_1i_0i_3\dots i_k}+\cdots+(-1)^p\partial_{i_p}A_{i_1i_2\dots i_{p-1}i_0i_{p+1}\dots i_k}+\cdots+(-)^k\partial_{i_k}A_{i_1\dots i_{k-1}i_0}

이다. 여기서

[\cdots]

는 완전 반대칭화를 나타낸다.

예를 들어, 1차 형식의 경우

:

A=A_idx^i

:

dA=\frac12(\partial_iA_j-\partial_jA_i)dx^i\wedge dx^j=\frac12(dA)_{ij}dx^i\wedge dx^j

:

(dA)_{ij}=\partial_iA_j-\partial_jA_i

이고, 2차 형식의 경우

:

A=\frac12A_{ij}dx^i\wedge dx^j

:

dA=\frac16(\partial_iA_{jk}+\partial_jA_{ki}+\partial_kA_{ij})dx^i\wedge dx^j\wedge dx^k=\frac16(dA)_{ijk}dx^i\wedge dx^j\wedge dx^k

:

(dA)_{ijk}=\partial_iA_{jk}+\partial_jA_{ki}+\partial_kA_{ij}

이다.

외미분 연산자는 외대수 곱과 함께 사용되며, 함수의 미분을 일반화한 것이다. 0차 형식(함수)

f

의 외미분은

f

의 미분과 같다. 고차 형식으로 일반화하면, 단순한

k

-형식

\omega = f dx^I

의 외미분

d\omega

는 계수 함수를 미분하여 정의되는

(k+1)

-형식이다.

:

d\omega = \sum_{i=1}^n \frac{\partial f}{\partial x^i} \, dx^i \wedge dx^I.

선형성을 통해 일반적인

k

-형식으로 확장하면 다음과 같다.

\tau = \sum_{I \in \mathcal{J}_{k,n}} a_I \, dx^I \in \Omega^k(M)

이면, 외미분은 다음과 같다.

:

d\tau = \sum_{I \in \mathcal{J}_{k,n}}\left(\sum_{j=1}^n \frac{\partial a_I}{\partial x^j} \, dx^j\right)\wedge dx^I \in \Omega^{k+1}(M)

외미분은 미분 기하학, 미분 위상수학 등 여러 분야에서 사용되는 강력한 도구이며, 특히 다양체에 대한 적분에 대한 자연스러운 접근 방식을 제공하고, 스토크스 정리를 유도하는데 사용된다.

3. 3. 적분

n

차원 매끄러운 다양체

M

위에 방향 및

n

차 미분 형식

\alpha

가 주어졌다면,

\alpha

의 '''적분'''

:

\int_M\alpha\in\mathbb R\cup\{-\infty,\infty\}

을 정의할 수 있다.

구체적으로,

M

의 좌표근방계

\{(U_i,\phi_i)\}_{i\in I}

및 이에 종속되는 단위 분할

\{f_i\}_{i\in I}

가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 당김

(\phi_i^{-1})^*

으로서 각

\phi_i(U_i)\subset\mathbb R^n

에 방향을 줄 수 있으며, 이 방향을 통해 유클리드 공간 위의

n

차 미분 형식의 공간과 매끄러운 함수 공간 사이의 동형

:

\Omega^n(\phi_i(U_i))\xrightarrow{\iota}\Omega^0(\phi_i(U_i))=\mathcal C^\infty(\phi_i(U_i),\mathbb R)

을 정의할 수 있다.

그렇다면

:

\int_M=\sum_{i\in I}\int_{\phi_i(U_i)}\iota\left((\phi_i^{-1})^*\alpha\right)\,d^n\lambda

이다. 여기서

\int d^n\lambda

는

n

차원 유클리드 공간 위의 르베그 측도에 대한 적분이다. 이 연산은 좌표근방계 및 단위 분할의 선택에 의존하지 않음을 보일 수 있다.

그러나 다양체에 주어진 방향이 반대가 되면, 미분 형식의 적분은

-1

배가 된다. 즉, 연결 다양체 위의 미분 형식의 적분의 절댓값은 방향에 의존하지 않는다.

k

차 미분 형식은

k

차원 다양체의 방향을 가진 다양체에 대해 적분될 수 있다. 미분

1

-형식은 무한소 방향 길이나 1차원 방향 밀도를 측정하는 것으로 생각할 수 있다. 미분

2

-형식은 무한소 방향 면적 또는 2차원 방향 밀도를 측정하는 것으로 생각할 수 있다.

미분 형식의 적분은 방향을 가진 다양체에서만 잘 정의된다. 1차원 다양체의 예시는 구간

[a, b]

이며, 구간에는 방향을 부여할 수 있다. 즉,

a < b

이면 양의 방향을 갖고, 그렇지 않으면 음의 방향을 갖는다. 만약

a < b

이면, 구간

[a, b]

(자연스러운 양의 방향을 가짐)에 대한 미분

1

-형식

f(x) dx

의 적분은 다음과 같다.

:

\int_a^b f(x) \,dx

이는 같은 미분 형식을 같은 구간에 대해 반대 방향을 부여했을 때의 적분의 음수이다. 즉,

:

\int_b^a f(x)\,dx = -\int_a^b f(x)\,dx.

이것은 구간의 방향이 반대로 바뀌면 부호가 바뀐다는 1차원 적분의 관례에 대한 기하학적 맥락을 제공한다.

더 일반적으로,

m

-형식은

m

-차원 방향 다양체에 대해 적분될 수 있는 방향 밀도이다. 만약

M

이 방향

m

-차원 다양체이고,

M'

이 반대 방향을 가진 동일한 다양체이며,

\omega

가

m

-형식이라면, 다음이 성립한다.

:

\int_M \omega = - \int_{M'} \omega \,.

U

가

\mathbb{R}^n

의 열린 부분 집합이라고 하자.

\mathbb{R}^n

에 표준 방향을 부여하고,

U

에는 해당 방향의 제한을 부여한다.

U

상의 모든 매끄러운

n

-형식

\omega

는 다음과 같은 형태를 갖는다.

:

\omega = f(x)\,dx^1 \wedge \cdots \wedge dx^n

여기서

f : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}

는 어떤 매끄러운 함수이다. 이러한 함수는 일반적인 리만 적분 또는 르베그 적분 의미에서 적분을 갖는다. 이를 통해

\omega

의 적분을

f

의 적분으로 정의할 수 있다.

:

\int_U \omega\ \stackrel{\text{def}}{=} \int_U f(x)\,dx^1 \cdots dx^n.

이것이 잘 정의되려면 방향을 고정하는 것이 필수적이다.

M

을

n

-다양체,

\omega

를

M

위의

n

-형식이라고 하자. 먼저, 유클리드 공간의 열린 부분 집합으로

M

을 매개변수화할 수 있다고 가정하자. 즉, 다음과 같은 미분 동형 사상이 존재한다고 가정한다.

:

\varphi \colon D \to M

여기서

D \subseteq \mathbb{R}^n

.

\varphi

에 의해 유도된

M

의 방향을 부여한다. 그러면

M

위에서

\omega

의 적분을

\varphi^*\omega

의

D

위에서의 적분으로 정의한다.

좌표계에서, 이는 다음과 같은 식으로 표현된다.

M

을 좌표

x^1, \dots, x^I

을 갖는

\mathbb{R}^I

에 삽입한다고 하자. 그러면

:

\omega = \sum_{i_1 < \cdots < i_n} a_{i_1,\ldots,i_n}(\mathbf{x})\,dx^{i_1} \wedge \cdots \wedge dx^{i_n}.

\varphi

가 다음과 같이 정의된다고 가정하자.

:

\varphi(\mathbf{u}) = (x^1(\mathbf{u}),\ldots,x^I(\mathbf{u})).

그러면 적분은 좌표로 다음과 같이 쓸 수 있다.

:

\int_M \omega = \int_D \sum_{i_1 < \cdots < i_n} a_{i_1,\ldots,i_n}(\varphi(\mathbf{u})) \frac{\partial(x^{i_1},\ldots,x^{i_n})}{\partial(u^{1},\dots,u^{n})}\,du^1 \cdots du^n,

여기서

:

\frac{\partial(x^{i_1},\ldots,x^{i_n})}{\partial(u^{1},\ldots,u^{n})}

는 야코비 행렬의 행렬식이다.

일반적으로,

n

-다양체는

\mathbb{R}^n

의 열린 부분 집합으로 매개변수화될 수 없다. 그러나 이러한 매개변수화는 항상 국소적으로 가능하므로, 임의의 다양체에 대한 적분은 국소 매개변수화 모음 위에서 적분들의 합으로 정의함으로써 정의할 수 있다.

D \subset \mathbb{R}^n

에서 정의된 미분

k

형식

:

\xi = f \,dx_1 \wedge \dotsb \wedge dx_k

에 대해,

D

상의 적분을

:

\int_{D} \xi = \int_{D} f \,d x_1 \dotsm d x_k

로 정의한다. 우변은

D

에서 정의된 중적분이다. 그리고 이 정의는 좌표에 의존하지 않는다.

가향 가능한

n

차원 미분 가능 다양체

M

에 대해, 좌표 근방

\{(U_k, \phi_k)\}

가 모두 양의 방향의 좌표계로 주어지고,

\{U_k\}

가 국소 유한한 열린 덮개일 때, 이에 종속된 1의 분할

\{f_k\}

가 존재한다.

M

위의 미분

n

형식

\xi

가,

U_k

위에서

\xi_k

로 표현될 때,

:

\int_M \xi = \sum_k \int_{U_k} f_k \xi_k

에 의해,

M

위의

\xi

의 적분을 정의할 수 있다.

3. 4. 내부곱

리만 계량이 주어진 경우, 미분 형식의 내적을 정의할 수 있다.

만약

n

차원 매끄러운 다양체

M

위에 (유사) 리만 계량

g

가 주어졌다면, 이를 사용하여 두 미분 형식의 '''내적'''

\langle\cdot,\cdot\rangle\colon\Omega^\bullet(M)\times\Omega^\bullet(M)\to\Omega^0(M)

을 정의할 수 있다. 이는 다음 성질들을 만족시킨다.

서로 차수가 다른 두 미분 형식의 내적은 항상 0이다.
내적은 쌍선형이다.
임의의 $k$ 개의 1차 형식 $\eta_i$ , $\eta'_j$ 에 대하여,

:

\langle\eta_1\wedge\dots\wedge\eta_k,\eta'_1\wedge\dots\wedge\eta'_k\rangle=\det(g(\eta_i,\eta_j))_{ij}

이다. 즉, 성분으로 쓰면 (아인슈타인 표기법을 가정하자)

:

\left\langle\frac1{k!}A_{i_1\dots i_k} dx^{i_1}\wedge\cdots\wedge dx^{i_n},\frac1{k!}B_{j_1\dots j_k} dx^{j_1}\wedge\cdots\wedge dx^{j_k}\right\rangle=\frac1{k!}A_{i_1\dots i_k}B_{j_1\dots j_k}g^{i_1j_1}\dots g^{i_kj_k}

이다. 이에 따라 부피 형식의 노름은 1이다.

:

\langle\omega,\omega\rangle=\frac1{n!}(\det g)\epsilon_{i_1\dots i_n}\epsilon_{j_1\dots j_n}g^{i_1j_1}\dots g^{i_nj_n}=1

.

3. 5. 호지 쌍대

n

차원 유향 (유사) 리만 다양체

(M,g,\omega)

가 주어졌다고 하자. 그렇다면 다음과 같은 '''호지 쌍대''' 연산자를 정의할 수 있다.

:

*\colon\Omega^\bullet(M)\to\Omega^{n-\bullet}(M)

이는 다음 항등식으로 정의할 수 있다.

:

\alpha\wedge*\beta=\langle\alpha,\beta\rangle\omega

성분으로 쓰면 다음과 같다.

:

(*A)_{j_{k+1}\dots j_n}=\frac1{k!}\sqrt

\alpha_{i_1\dots i_k}\epsilon_{j_1\dots j_n}g^{i_1j_1}\cdots g^{i_kj_k}

예를 들어, 4차원 공간에서 2차 미분 형식의 호지 쌍대는

:

(*A)_{kl}=\frac12\sqrt

\epsilon_{ijkl}A_{i'j'}g^{ii'}g^{jj'}

이다.

리만 다양체, 또는 더 일반적으로 유사 리만 다양체에서, 메트릭은 접다발과 여접다발 사이의 섬유별 동형사상을 정의한다. 이것은 벡터장을 코벡터장으로, 또는 그 반대로 변환하는 것을 가능하게 한다. 또한 호지 별 연산자

\star \colon \Omega^k(M)\ \stackrel{\sim}{\to}\ \Omega^{n-k}(M)

및 코미분

\delta\colon \Omega^k(M)\rightarrow \Omega^{k-1}(M)

과 같은 추가 연산의 정의를 가능하게 하며, 코미분은 차수가 -1이고 외미분

d

에 수반된다.

4. 역사

엘리 카르탕은 외미분, 쐐기곱 등의 미분 형식 기호 및 연산을 도입하였다.^[1] 헤르만 그라스만의 1844년 저서 『선형 확장의 이론, 수학의 새로운 분야 (Die Lineale Ausdehnungslehre, ein neuer Zweig der Mathematik)』에는 미분 형식의 외대수에 대한 몇 가지 측면이 나타난다.

엘리 카르탕은 미분 방정식을 기하학적으로 파악하려는 시도를 하였고, 그 시도로부터 탄생한 미분 형식은 해석학이나 기하학의 다양한 개념과 공식을 통일적인 시점에서 정리하고 형식적인 계산을 통해 많은 결과를 얻었으며, 다양체 등의 도형을 연구하는데 매우 강력한 도구가 되었다.

5. 응용

미분 형식은 다변수 미적분학, 미분기하학, 미분위상수학 등 다양한 수학 분야에서 활용된다. 엘리 카르탕에 의해 미분 방정식을 기하학적으로 파악하려는 시도로부터 탄생했으며, 해석학이나 기하학의 다양한 개념과 공식을 통일적인 시점에서 정리하고, 형식적인 계산을 통해 많은 결과를 얻었다. 또한 다양체 등의 도형을 연구하는데 매우 강력한 도구가 되었다.

물리학에서도 전기장과 자기장 등의 여러 물리량을 다루기 위하여 쓰인다. 특히, (고차원의) 미분 형식이라고 하면, 교대 미분 형식을 가리키는 경우가 많다.

미분 형식은 좌표계에 의존하지 않는 다변수 미적분학에 대한 접근 방식을 제공한다. 교대 미분 형식은 방향이 주어진 기하학적인 양을 나타내며, 텐서곱 대신에 외대수의 곱 기호 $\wedge$ 를 사용하여 표현된다.

교대 미분 형식은 다음의 관계식을 만족한다.

: $\mathrm{d}x_i \wedge \mathrm{d}x_j=-\mathrm{d}x_j\wedge \mathrm{d}x_i$

이는 $\mathrm{d}x_i$ 와 $\mathrm{d}x_j$ 의 배열 순서가 바뀌면 부호가 바뀌는 것을 의미한다. 이러한 부호의 반전을 통해 적분하는 변수의 "방향"을 파악할 수 있으며, 미분 형식의 적분으로 얻어지는 면적이나 부피 등의 양에도 부호가 도입된다.

더욱이 교대 미분 형식의 미분으로부터 드람 코호몰로지가 얻어지고, 해석적인 계산에 의해 다양체 전체의 형태를 조사할 수 있다.

5. 1. 전자기학에서의 응용

전자기학에서 맥스웰 방정식의 '''패러데이 2-형식''' 또는 전자기장은 다음과 같이 표현된다.

:

\textbf{F} = \frac 1 2 f_{ab}\, dx^a \wedge dx^b\,,

여기서 는 전자기장

\vec E

와

\vec B

로 구성된다. 예를 들어, , 와 같이 정의할 수 있다.

이 형식은 전자기학과 일반적인 게이지 이론을 설명할 수 있는 U(1) 주다발에 대한 곡률 형식의 특수한 경우이다. 주다발에 대한 접속 형식은 벡터 포텐셜이며, 보통 로 표시된다. 이를 통해 다음을 얻는다.

:

\textbf{F} = d\textbf{A}.

'''전류 -형식'''은 다음과 같다.

:

\textbf{J} = \frac 1 6 j^a\, \varepsilon_{abcd}\, dx^b \wedge dx^c \wedge dx^d\,,

여기서 는 전류 밀도의 네 가지 성분이다.

이 정의들을 사용하면, 맥스웰 방정식은 기하학적 단위로 다음과 같이 간결하게 표현된다.

:

\begin{align}d {\textbf{F}} &= \textbf{0} \\d {\star \textbf{F}} &= \textbf{J},\end{align}

여기서

\star

는 호지 별 연산자를 나타낸다. 패러데이 형식의 쌍대인 -형식

{\star} \mathbf{F}

는 '''맥스웰 2-형식'''이라고도 한다.

전자기학은 게이지 이론의 한 예시이다. 여기서 리 군은 이고, 일차원 유니타리 군이며, 특히 아벨 군이다. 양-밀스 이론과 같은 게이지 이론에서는 리 군이 아벨 군이 아니다. 이 경우, 필드 의 유추는 접속의 곡률 형식이며, 게이지에서 리 대수 값 1-형식 로 표현된다. 양-밀스 필드 는 다음과 같이 정의된다.

:

\mathbf{F} = d\mathbf{A} + \mathbf{A}\wedge\mathbf{A}.

아벨 군의 경우(전자기학 등)에는 이지만, 일반적으로는 성립하지 않는다. 마찬가지로 필드 방정식은 게이지 군의 구조 방정식으로 인해 와 의 외적을 포함하는 항이 추가되어 수정된다.

6. 관련 정리

이 문단에서는 미분 형식과 관련된 주요 정리들을 간략하게 소개한다.

스토크스 정리: 미분 형식의 적분과 외미분 사이의 관계를 설명한다. 다양체의 경계에서 미분 형식을 적분한 값은, 다양체 위에서 미분 형식의 외미분을 적분한 값과 같다.
드람 코호몰로지: 외미분 연산자로 정의되며, 닫힌 형식과 완전 형식 개념을 포함한다.
푸앵카레 보조정리: 유클리드 공간과 같이 가역적인 다양체에서는 닫힌 형식이 완전 형식임을 의미한다.

이 정리들은 미분 형식을 통해 다양체의 위상적 구조를 파악하는 데 중요한 도구로 사용된다.

6. 1. 스토크스 정리

스토크스 정리는 미분 형식의 적분과 외미분 사이의 관계를 나타내는 중요한 정리이다. 이 정리에 따르면, 다양체 위에서 미분 형식의 외미분을 적분한 값은, 그 다양체의 경계(boundary)에서 원래 미분 형식을 적분한 값과 같다.

만약

\omega

가

M

위의 컴팩트 지지(compact support)를 갖는 (

n-1

)-형식이고,

\partial M

이

M

의 경계를 유도된 방향으로 나타낸다면, 다음이 성립한다.

:

\int_M d\omega = \int_{\partial M} \omega.

이것의 핵심적인 결과는 "호모토피 체인(homologous chains)에 대한 닫힌 형식의 적분은 같다"는 것이다. 만약

\omega

가 닫힌

k

-형식이고

M

과

N

이 호모토피(homologous)한

k

-체인(chain)이라면 (

M - N

이

(k+1)

-체인

W

의 경계가 되도록),

\textstyle{\int_M \omega = \int_N \omega}

이다. 왜냐하면 차이는 적분

\textstyle\int_W d\omega = \int_W 0 = 0

이기 때문이다.

예를 들어, 만약

\omega = df

가 평면 또는

\mathbb{R}^n

에서 포텐셜 함수의 도함수라면,

a

에서

b

까지의 경로에 대한

\omega

의 적분은 경로의 선택에 의존하지 않는다 (적분은

f(b) - f(a)

이다). 왜냐하면 주어진 끝점을 가진 서로 다른 경로는 호모토픽하기 때문이다. 이 경우는 구배 정리라고 불리며, 미적분학의 기본 정리를 일반화한 것이다. 이 경로 독립성은 경로 적분에서 매우 유용하다.

이 정리는 또한 드람 코호몰로지와 체인의 호몰로지 사이의 쌍대성을 뒷받침한다.

6. 2. 드람 코호몰로지

외미분 연산자에 대하여, 다음 성질이 성립한다. 이는 외미분이 코체인 복합체를 정의한다는 것을 의미한다.

:

0\ \to\ \Omega^0(M)\ \stackrel{d}{\to}\ \Omega^1(M)\ \stackrel{d}{\to}\ \Omega^2(M)\ \stackrel{d}{\to}\ \Omega^3(M)\ \to\ \cdots \ \to\ \Omega^n(M)\ \to\ 0.

이 복합체를 드람 복합체라고 부르며, 그 코호몰로지는 정의에 따라 의 드람 코호몰로지이다. 푸앵카레 보조정리에 의해, 드람 복합체는 을 제외하고 국소적으로 완전하다. 에서의 커널은 상의 국소적으로 상수인 함수들의 공간이다. 따라서 이 복합체는 상수 층 의 분해이며, 이는 결국 드람 정리를 함축한다. 즉, 드람 코호몰로지는 의 층 코호몰로지를 계산한다.

미분 형식 에 대하여, 외미분을 적용했을 때

:

\mathrm{d}\xi=0

이 되는 경우 를 '''닫힌 형식'''(''closed form''^영어)이라고 한다.

일 때, 미분 형식 에 대해

:

\xi=\mathrm{d}\omega

가 되는 미분 () 형식 가 존재할 경우, 를 '''완전 형식'''(''exact form''^영어)이라고 한다. 완전 형식은 닫힌 형식이 된다. 즉, 완전 형식에 외미분 를 적용하면 이 된다. 가역적인 다양체(예: 유클리드 공간)라면, 푸앵카레 보조정리에 따라 역도 성립한다. 즉, 닫힌 형식은 완전 형식이 된다. 그러나 이것은 일반적으로는 성립하지 않는다. 닫힌 형식과 완전 형식의 차이는 다양체의 위상적 구조를 반영하며, 미분 형식의 중요한 성질이 된다.

6. 3. 푸앵카레 보조정리

푸앵카레 보조정리에 따르면, 가역적인 다양체(예: 유클리드 공간)에서 닫힌 형식은 완전 형식이다. 즉, 어떤 미분 *k* 형식 ξ에 대해 dξ = 0 이 성립하면(ξ가 닫힌 형식), ξ = dω 를 만족하는 미분 (*k*-1) 형식 ω가 존재한다 (ξ는 완전 형식). 그러나 이는 일반적인 다양체에서는 성립하지 않으며, 닫힌 형식과 완전 형식의 차이는 다양체의 기하학적 구조를 반영한다.

참조

_[1] 논문 Sur certaines expressions différentielles et le problème de Pfaff http://www.numdam.or[...]
_[2] 서적 An introduction to manifolds Springer 2011
_[3] 웹사이트 Linear algebra – "Natural" pairings between exterior powers of a vector space and its dual https://mathoverflow[...]
_[4] 서적 현대 기하학 입문 http://www.kyungmoon[...] 경문사 2013-07-18
_[5] 저널 A Primer on Differential Forms 2012-05-20
_[6] 저널 Towards a Lie theory of locally convex groups 2006

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