분기화

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1. 개요
2. 복소해석학에서의 분기
3. 대수적 위상수학에서의 분기
4. 대수적 정수론에서의 분기
5. 대수기하학에서의 분기
6. 한국의 분기 이론 연구
참조

1. 개요

분기화는 수학의 여러 분야에서 나타나는 현상으로, 복소해석학, 대수적 위상수학, 대수적 정수론, 대수기하학 등에서 각기 다른 방식으로 정의되고 연구된다. 복소해석학에서는 리만 곡면 이론과 관련되며, 대수적 위상수학에서는 덮개 공간 이론과 연관된다. 대수적 정수론에서는 데데킨트 정역의 확대와 소 아이디얼의 분해를 통해 분기 지표, 관성 차수 등의 개념이 정의되며, 수체의 분기화와 헨젤 값매김환의 분기 이론으로 확장된다. 대수기하학에서는 스킴 사상에서 분기점과 분기 궤적의 개념을 통해 분기 현상을 설명한다.

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분기화
수학적 구조 분기
분야	수학
하위 분야	대수적 수론 대수기하학 복소기하학

2. 복소해석학에서의 분기

복소해석학에서 기본적인 모델은 복소 평면에서 ''z'' → ''z''^''n'' 매핑이며, 이는 ''z'' = 0 근처에서 볼 수 있다. 이는 리만 곡면 이론에서 차수 ''n''의 분기화를 나타내는 표준적인 국소 그림이다. 예를 들어, 매핑이 종수에 미치는 영향을 나타내는 리만-후르비츠 공식에서 나타난다. 분기점 (수학)도 참조. 분기는 리만 곡면 사이의 사상에서 나타나는 현상으로, 거듭제곱근 함수와 같은 다가 함수(multivalued function)의 기하학적 구조를 이해하는 데 핵심적인 역할을 한다.

3. 대수적 위상수학에서의 분기

대수적 위상수학에서 분기는 덮개 사상 이론과 밀접하게 관련되어 있다. 덮개 사상에서 오일러-푸앵카레 지표는 시트(sheet)의 개수만큼 곱해져야 한다. 따라서 분기화는 이 값의 감소를 통해 감지할 수 있다. ''z'' → ''z''^''n'' 매핑은 이를 지역적 패턴으로 보여준다. 예를 들어 0을 제외하고 0 < |''z''| < 1을 살펴보면 (호모토피 관점에서) 원이 ''n'' 제곱 사상에 의해 자신에게 매핑되지만 (오일러-푸앵카레 지표 0) 전체 원반의 오일러-푸앵카레 지표는 1이며, ''n'' – 1은 ''n''개의 시트가 ''z'' = 0에서 합쳐지면서 '잃어버린' 점이다.

기하학적 관점에서 분기화는 ''코차원 2''에서 발생하는 현상이다. (매듭 이론, 모노드로미과 같이) ''실수'' 코차원 2는 ''복소수'' 코차원 1이므로, 지역적인 복소수 예시는 고차원 복소 다양체에 대한 패턴을 설정한다. 복소해석학에서 시트는 선(변수 하나) 또는 일반적인 경우 코차원 1 부분 공간을 따라 단순히 접힐 수 없다. 분기 집합(기저에 대한 분기 궤적, 위의 이중점 집합)은 주변 다양체보다 두 개의 실수 차원이 낮으므로, 지역적으로는 두 '면'으로 분리되지 않는다. 즉, 예시에서처럼 분기 궤적을 따라가는 경로가 있을 것이다. 대수기하학에서 임의의 체에 대해, 유추에 의해, 또한 대수적 코차원 1에서 발생한다.

4. 대수적 정수론에서의 분기

데데킨트 정역 $D$ 의 분수체 $K=\operatorname{Frac}D$ 의 유한 확대 $\tilde K/K$ 가 주어졌을 때, $D$ 의 $\tilde K$ 안에서의 정수적 폐포를 $\tilde D$ 라고 하면, $\tilde D$ 역시 데데킨트 정역이다.^[2]

$D$ 안의 0이 아닌 소 아이디얼 $\mathfrak p\in\operatorname{Spec}D\setminus\{(0)\}$ 에 대하여, 포함 준동형 $\iota\colon D\hookrightarrow\tilde D$ 에 대한 상의 소인수 분해는 다음과 같다.

: $\iota(\tilde p)=\prod_{i=1}^{g(\mathfrak p)}{\tilde\mathfrak p}_i^{e_{\tilde{\mathfrak p}_i}}\qquad(\tilde{\mathfrak p}_i\in\operatorname{Spec}\tilde D\setminus\{0\},\;e_i>0\forall i)$

이때, $e_{\tilde{\mathfrak p}}$ 를 $\tilde{\mathfrak p}_i$ 의 '''분기 지표'''(分岐指標, 차수]] $f_{\tilde{\mathfrak p/ramification index}})라고 한다. 잉여류체 에 대한 자연스러운 체의 확대 D/\mathfrak p\subseteq\tilde D/\tilde\mathfrak p_i 가 존재하며, 이 확대의$

: $f_{\tilde{\mathfrak p$ ^영어=[\tilde D/\tilde\mathfrak p}_i:D/\mathfrak p]

이때, 다음과 같은 '''기본 항등식'''(fundamental identity}})이 성립한다.

: $[L:K]=\sum_{\tilde{\mathfrak p}\in\operatorname{Spec}\tilde D\setminus\{0\}}^{\tilde{\mathfrak p}\mid\mathfrak p}e_{\tilde{\mathfrak p}}f_{\tilde{\mathfrak p$ ^영어\qquad\forall\mathfrak p\in\operatorname{Spec}D\setminus\{0\}

4. 1. 데데킨트 정역의 분기화

데데킨트 정역

D

의 분수체

K=\operatorname{Frac}D

의 유한 확대

\tilde K/K

가 주어졌을 때,

D

의

\tilde K

안에서의 정수적 폐포를

\tilde D

라고 하면,

\tilde D

역시 데데킨트 정역이다.^[2]

D

안의 0이 아닌 소 아이디얼

\mathfrak p\in\operatorname{Spec}D\setminus\{(0)\}

에 대하여, 포함 준동형

\iota\colon D\hookrightarrow\tilde D

에 대한 상의 소인수 분해는 다음과 같다.

:

\iota(\tilde p)=\prod_{i=1}^{g(\mathfrak p)}{\tilde\mathfrak p}_i^{e_{\tilde{\mathfrak p}_i}}\qquad(\tilde{\mathfrak p}_i\in\operatorname{Spec}\tilde D\setminus\{0\},\;e_i>0\forall i)

이때,

e_{\tilde{\mathfrak p}}

를

\tilde{\mathfrak p}_i

의 '''분기 지표'''(分岐指標, 차수]]

f_{\tilde{\mathfrak p/ramification index}})라고 한다. 잉여류체 에 대한 자연스러운 체의 확대 D/\mathfrak p\subseteq\tilde D/\tilde\mathfrak p_i 가 존재하며, 이 확대의

:

f_{\tilde{\mathfrak p

^영어=[\tilde D/\tilde\mathfrak p_i:D/\mathfrak p]

이때, 다음과 같은 '''기본 항등식'''(fundamental identity}})이 성립한다.

:

[L:K]=\sum_{\tilde{\mathfrak p}\in\operatorname{Spec}\tilde D\setminus\{0\}}^{\tilde{\mathfrak p}\mid\mathfrak p}e_{\tilde{\mathfrak p}}f_{\tilde{\mathfrak p

^영어\qquad\forall\mathfrak p\in\operatorname{Spec}D\setminus\{0\}

만약 확대

\tilde K/K

가 갈루아 확대라면, 갈루아 군

\operatorname{Gal}(\tilde K/K)

는

\{\mathfrak p_i\}_{i=1,\dots,g(\mathfrak p)}

위에 추이적으로 작용하며, 모든

i

에 대하여

e_i

및

f_i

가 일치한다. 즉, 다음과 같다.

:

[L:K]=e(\mathfrak p)f(\mathfrak p)g(\mathfrak p)\qquad\forall\mathfrak p\in\operatorname{Spec}D\setminus\{0\}

임의의

\tilde{\mathfrak p}\in\operatorname{Spec}\tilde D\setminus\{0\}

의 '''분해군'''(分解群, decomposition group}})

G_{\tilde{\mathfrak p

^영어는

\operatorname{Gal}(\tilde K/K)

의 작용에 대한

\tilde{\mathfrak p}

의 안정자군이다.^[2] 궤도-안정자군 정리에 따라서, 모든

i=1,\dots,g(\mathfrak p)

에 대하여 안정자군의 크기는 같다.

:

|G_{\tilde{\mathfrak p}_i}|=|G|/g(\mathfrak p)=e(\mathfrak p)f(\mathfrak p)\forall i=1,\dots,g(\mathfrak p)

\tilde{\mathfrak p}\in\operatorname{Spec}\tilde D\setminus\{0\}

가 주어졌고,

\mathfrak p\in\operatorname{Spec}D\setminus\{0\}

는

\tilde{\mathfrak p}\mid \iota(\mathfrak p)

인 유일한 소 아이디얼이라고 할 때, 자연스러운 전사 군 준동형

:

\operatorname{Gal}(\tilde K/K)\twoheadrightarrow\operatorname{Gal}\left((\tilde D/\tilde\mathfrak p)/(D/\mathfrak p)\right)

이 존재한다. 그 핵을

\tilde{\mathfrak p}

의 '''관성군'''(慣性群, inertia group}})

I_{\tilde{\mathfrak p}}

이라고 하며, 이는 분해군의 부분군이다.^[2] 관성군의 크기는 항상

e(\mathfrak p)

와 같으며, 갈루아 군

\operatorname{Gal}(\tilde K/K)

의 작용에 불변이다.

:

I_{\tilde{\mathfrak p}}=I_{\sigma\cdot\tilde{\mathfrak p

^영어=e(\mathfrak p)\forall \sigma\in\operatorname{Gal}(\tilde K/K)

\tilde{\mathfrak p}

의 '''관성체'''(慣性體, 비분기/inertia field}})

T_{\tilde{\mathfrak p}}

는 관성군의 작용에 불변인 부분체이다.

:

T_{\tilde{\mathfrak p}}=\{\tilde a\in\tilde K\colon\sigma(\tilde a)=\tilde a\forall \sigma\in I_{\tilde{\mathfrak p}}\}

즉, 다음과 같은 체들의 탑이 존재한다.

:

K\subseteq Z_{\tilde{\mathfrak p}}\subseteq T_{\tilde{\mathfrak p}}\subseteq\tilde K

또한, 다음과 같은 군의 짧은 완전열이 존재한다.

:

1\to I_{\tilde{\mathfrak p}}\to G_{\tilde{\mathfrak p}}\to\operatorname{Gal}(\tilde D/\tilde\mathfrak p)/(D/\mathfrak p)\to1

T_{\tilde{\mathfrak p}}/Z_{\tilde{\mathfrak p}}

는 갈루아 확대이며, 그 갈루아 군은

\operatorname{Gal}(\tilde D/\tilde\mathfrak p)/(D/\mathfrak p)

와 같다.

대수적 정수론에서 분기는 소 아이디얼이 확대에서 소 아이디얼 인수를 반복하여 나타나도록 인수분해되는 것을 의미한다.

\mathcal{O}_K

를 대수적 수체

K

의 정수환,

\mathfrak{p}

를

\mathcal{O}_K

의 소 아이디얼이라고 할때, 체 확대

L/K

에 대해 정수환

\mathcal{O}_L

(이는

\mathcal{O}_K

의

L

에서의 정수적 폐포)과

\mathcal{O}_L

의 아이디얼

\mathfrak{p}\mathcal{O}_L

을 고려할 수 있다. 이 아이디얼은 소 아이디얼일 수도 있고 아닐 수도 있지만, 유한한

[L:K]

의 경우에는 소 아이디얼로 인수분해된다.

:

\mathfrak{p}\cdot \mathcal{O}_L = \mathfrak{p}_1^{e_1}\cdots\mathfrak{p}_k^{e_k}

여기서

\mathfrak{p}_i

는

\mathcal{O}_L

의 서로 다른 소 아이디얼이다. 어떤

i

에 대해

e_i > 1

인 경우

\mathfrak{p}

가

L

에서 '''분기'''되었다고 하며, 그렇지 않은 경우 '''{{visible anchor^영어'''되었다고 한다. 즉, 어떤

\mathfrak{p}_i

에 대해 '''분기 지수'''

e_i

가 1보다 큰 경우

\mathfrak{p}

는

L

에서 분기된다. 동치 조건은

\mathcal{O}_L/\mathfrak{p}\mathcal{O}_L

이 0이 아닌 멱영원을 갖는다는 것이다.

분기는

K

에서는 상대 판별식에 의해,

L

에서는 상대 차 아이디얼에 의해 인코딩된다. 전자는

\mathcal{O}_K

의 아이디얼이며,

\mathfrak{p}

를 나누는

\mathcal{O}_L

의 어떤 아이디얼

\mathfrak{p}_i

가 분기될 때에만

\mathfrak{p}

로 나누어진다. 후자는

\mathcal{O}_L

의 아이디얼이며,

\mathfrak{p}_i

가 분기될 때에만

\mathcal{O}_L

의 소 아이디얼

\mathfrak{p}_i

로 나누어진다.

분기 지수

e_i

가

\mathfrak{p}

의 잉여 특성 ''p''와 모두 서로소일 때 분기는 '''순한''' 것이고, 그렇지 않으면 '''야생'''이다. 데데킨트 정역의 유한한 일반적으로 에탈 확대

B/A

는 추적

\operatorname{Tr}: B \to A

가 전사일 때에만 순하다.

4. 2. 수체의 분기화

데데킨트 정역

D

의 분수체

K=\operatorname{Frac}D

가 대수적 수체인 경우, '''상대 판별식'''(relative discriminant^영어)

\Delta_{\tilde K/K}

는

\tilde D

의 특별한 아이디얼이다.

임의의

\mathfrak p\in\operatorname{Spec}D\setminus\{0\}

에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

$\mathfrak p$ 는 분기화된다.
$\mathfrak p\mid\Delta_{\tilde K/K}$ 이다.

특히, 이 경우 분기화하는 소 아이디얼들의 수는 유한하다.

대수적 정수론에서 분기는 소 아이디얼이 확대에서 소 아이디얼 인수를 반복하여 나타나도록 인수분해되는 것을 의미한다. 즉,

\mathcal{O}_K

를 대수적 수체

K

의 정수환,

\mathfrak{p}

를

\mathcal{O}_K

의 소 아이디얼이라고 하자. 체 확대

L/K

에 대해 정수환

\mathcal{O}_L

(이는

\mathcal{O}_K

의

L

에서의 정수적 폐포)과

\mathcal{O}_L

의 아이디얼

\mathfrak{p}\mathcal{O}_L

을 고려할 수 있다. 이 아이디얼은 소 아이디얼일 수도 있고 아닐 수도 있지만, 유한한

[L:K]

의 경우, 소 아이디얼로 인수분해된다.

:

\mathfrak{p}\cdot \mathcal{O}_L = \mathfrak{p}_1^{e_1}\cdots\mathfrak{p}_k^{e_k}

여기서

\mathfrak{p}_i

는

\mathcal{O}_L

의 서로 다른 소 아이디얼이다. 그러면 어떤

i

에 대해

e_i > 1

인 경우

\mathfrak{p}

가

L

에서 '''분기'''되었다고 하며, 그렇지 않은 경우 '''비분기'''되었다고 한다. 즉, 어떤

\mathfrak{p}_i

에 대해 '''분기 지수'''

e_i

가 1보다 큰 경우

\mathfrak{p}

는

L

에서 분기된다. 동치 조건은

\mathcal{O}_L/\mathfrak{p}\mathcal{O}_L

이 0이 아닌 멱영원을 갖는다는 것이다. 즉, 이는 유한체의 곱이 아니다.

분기는

K

에서는 상대 판별식에 의해,

L

에서는 상대 different에 의해 인코딩된다. 전자는

\mathcal{O}_K

의 아이디얼이며,

\mathfrak{p}

를 나누는

\mathcal{O}_L

의 어떤 아이디얼

\mathfrak{p}_i

가 분기될 때에만

\mathfrak{p}

로 나누어진다. 후자는

\mathcal{O}_L

의 아이디얼이며,

\mathfrak{p}_i

가 분기될 때에만

\mathcal{O}_L

의 소 아이디얼

\mathfrak{p}_i

로 나누어진다.

분기 지수

e_i

가

\mathfrak{p}

의 잉여 특성 ''p''와 모두 서로소일 때 분기는 '''순한''' 것이고, 그렇지 않으면 '''야생'''이다. 이 조건은 갈루아 가군 이론에서 중요하다. 데데킨트 정역의 유한한 일반적으로 에탈 확대

B/A

는 추적

\operatorname{Tr}: B \to A

가 전사일 때에만 순하다.

4. 3. 헨젤 값매김환의 분기화

헨젤 값매김환의 분기 이론은 국소적인 분기 정보를 담고 있다. 헨젤 값매김환

(D,\nu,\mathfrak m)

의 분수체

K=\operatorname{Frac}D

의 유한 확대

\tilde K/K

가 주어졌을 때,

K

의 값매김

\nu

는

\tilde K

위에 값매김

\tilde\nu

를 유도한다.^[2] 이 때 체 노름

\operatorname N_{\tilde K/K}

을 사용한다.

값군의 포함 관계

\nu(K^\times)\subseteq\tilde\nu(\tilde K^\times)

에 따라,

\tilde K/K

의 '''분기 지표'''

e(\tilde K/K)

는 두 값군 사이의 몫군의 크기로 정의된다. 즉,

:

e(\tilde K/K)=|\tilde\nu(\tilde K^\times)/\nu(K^\times)|

이다.

마찬가지로, 잉여류체들의 확대

D/\mathfrak m\subseteq\tilde D/\tilde{\mathfrak m}

에 따라,

\tilde K/K

의 '''관성 차수'''

f(\tilde K/K)

는 두 잉여류체 사이의 확대의 차수로 정의된다. 즉,

:

f(\tilde K/K)=[\tilde D/\tilde{\mathfrak m}:D/\mathfrak m]

이다.

일반적으로

[\tilde K:K]\ge e(\tilde K/K)f(\tilde K/K)

가 성립한다.^[2] 만약

\nu

가 이산 값매김이고,

\tilde K/K

가 분해 가능 확대이거나,

K

가

\nu

에 대하여 완비 공간이라면 위 부등식은 등식이 되며, 이를 '''기본 항등식'''(fundamental identity^영어)이라고 한다.^[2]

수론적 체에서의 분기에 대한 더 자세한 분석은 p진수의 확장을 사용하여 수행될 수 있다.

4. 4. 값매김환의 분기화

데데킨트 정역의 분기 이론은 일반적인 값매김환의 분기 이론으로 확장될 수 있다.^[2] 값매김의 확장을 통해 분기 지표와 상대 차수를 정의할 수 있다.

절댓값

|-|_\nu

이 주어진 체

K

의 확대

\tilde K/K

가 주어졌을 때,

\nu

는

\tilde K

전체로 다양하게 확장될 수 있으며, 각 확장은

\tilde K

위의 절댓값을 정의한다.

\tilde\nu

가

\nu

의 확장이라는 것은

\tilde\nu\mid\nu

로 쓴다.

\nu

가 비아르키메데스 자리인 경우, '''분기 지표'''와 '''상대 차수'''를 정의할 수 있다.

K

와

\tilde K

의 값매김환이

(D,\mathfrak m)

및

(\tilde D,\mathfrak m)

라고 할 때, '''분기 지표'''는

e_{\tilde\nu}=[\tilde\nu(\tilde K^\times):\nu(K^\times)]

이다.^[2]

\tilde\nu

의 '''상대 차수'''는 잉여류체의 확대 차수

f_{\tilde\nu}=[D_{\tilde\nu}/\mathfrak m_{\tilde\nu}:D/\mathfrak m]

이다.

\nu

가 이산 값매김을 정의하며,

\tilde K/K

가 분해 가능 확대라면, '''기본 항등식'''

\sum_{\tilde\nu\mid\nu}e_{\tilde\nu}f_{\tilde\nu}=[L:K]

이 성립한다.^[2]

\tilde K/K

가 갈루아 확대인 경우, 값매김 힐베르트 이론을 통해 분해군, 관성군, 분기군 등을 정의하여 분기 현상을 분석할 수 있다.^[2] 자리

\nu

의 확장

\tilde\nu

의 '''분해군'''

G_{\tilde\nu}

은 갈루아 군

\operatorname{Gal}(\tilde K/K)

의 작용에 대한 안정자군이다. 이는

|-|_{\tilde\nu}

에 대하여 연속 함수가 되는 자기 동형들로 구성된다.^[2] 분해군은 잉여류체 확대의 갈루아 군으로 가는 자연스러운 전사 군 준동형을 가지며, 그 핵을 비아르키메데스 자리

\tilde\nu

의 '''관성군'''

I_{\tilde\nu}

이라고 한다.^[2]

5. 대수기하학에서의 분기

대수기하학에서 분기는 스킴(scheme) 사이의 사상에서 나타나는 현상이다. 비분기 사상의 개념은 에탈 사상을 정의하는 데 사용된다.^[1]

$f: X \to Y$ 를 스킴 사상이라고 하자. 준연접층 $\Omega_{X/Y}$ 의 지지 집합을 $f$ 의 '''분기점'''이라고 부르며, 분기점의 상, $f\left( \operatorname{Supp} \Omega_{X/Y} \right)$ 를 $f$ 의 '''분기 궤적'''이라고 부른다. $\Omega_{X/Y}=0$ 이면 $f$ 가 '''형식적으로 비분기'''라고 하며, $f$ 가 국소 유한 표현이면 $f$ 를 '''비분기'''라고 부른다.^[1]

스킴 $Y$ 안의 점 $y$ 에 대해, 대응하는 국소환의 사상

$f^\# \colon \mathcal{O}_{X, f(y)} \to \mathcal{O}_{Y, y}$

를 생각한다. $\mathfrak{m}$ 을 $\mathcal{O}_{X,f(y)}$ 의 극대 아이디얼로 하고,

$\mathfrak{n} = f^\#(\mathfrak{m}) \mathcal{O}_{Y,y}$

를 $\mathcal{O}_{Y,y}$ 안의 $\mathfrak{m}$ 의 상에 의해 생성된 아이디얼로 한다.

사상 $f$ 가 국소적으로 유한형이고, $Y$ 의 모든 $y$ 에 대해, $\mathfrak{n}$ 이 $\mathcal{O}_{Y,y}$ 의 극대 아이디얼이며, 유도된 사상

$\mathcal{O}_{X,f(y)}/\mathfrak{m} \to \mathcal{O}_{Y,y}/\mathfrak{n}$

가 유한 차수 확대로 분리 확대인 경우 $f$ 를 '''불분기 사상'''이라고 정의한다.^[1]

6. 한국의 분기 이론 연구

참조

_[1] 문서 事実、有限型スキーム X, Y の射 f: X → Y が (i) エタール射であることと、(ii) f が平坦でかつ相対微分 $\Omega_{X/Y}=0$ であること、(iii) f が平坦かつ不分岐であることの 3つは同値である。スキームの射が、滑らかでかつ相対次元が 0 であることをエタールと言うのであるが、この同値性により不分岐を定義として使用することができる。
_[2] 서적 Algebraic number theory Springer 1999

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