사상류군

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 방향 보존 사상류군
- 2.2. 토렐리 군
3. 성질
- 3.1. 닐센-서스턴 분류
- 3.2. 덴-닐센-베르 정리
4. 예시
5. 쌍의 사상류군
- 5.1. 매듭과 고리의 대칭군
6. 안정 사상류군
7. 역사
8. 한국 수학계와의 관계
참조

1. 개요

사상류군은 위상 공간의 자기 위상 동형 사상들의 군을 콤팩트-열린집합 위상으로 위상군으로 만들고, 이 위상군의 연결 성분에 대한 몫군으로 정의된다. 다양체의 사상류군은 자기 동형 사상의 동치류로 해석되며, 방향 보존 사상류군, 토렐리 군 등의 개념이 존재한다. 닐센-서스턴 분류와 덴-닐센-베르 정리는 사상류군의 중요한 성질을 설명하며, 이산 공간, 구, 원환면, 곡면, 3차원 다양체 등 다양한 공간에 대한 사상류군을 예시로 제시한다. 또한, 쌍의 사상류군, 안정 사상류군, 매듭과 고리의 대칭군 등과도 관련된다.

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사상류군
기본 정보
원환면의 사상류군
분야	수학, 위상수학
정의	위상 공간의 자기 동형 사상 군의 동위 원소들의 집합
세부 정보
성질	유한 생성 군, 유한 표시 군
관련 개념	타이히뮐러 공간, 모듈러 군

2. 정의

주어진 위상 공간의 자기 위상 동형 사상들의 군을 콤팩트-열린집합 위상으로 위상군으로 만들고, 이 위상군의 연결 성분에 대한 몫군을 사상류군이라고 정의한다.

구체적으로, 위상 공간 $X$ 가 주어졌을 때, $X\to X$ 인 위상 동형 사상들의 집합은 함수의 합성에 대해 군을 이루며, 이 위에 콤팩트-열린집합 위상을 부여하면 위상군 $\operatorname{Homeo}(X)$ 을 이룬다. 항등원을 포함하는 연결 성분은 정규 부분군 $\operatorname{Homeo}_0(X)$ 를 이룬다. 이에 따라, 짧은 완전열

: $1\to \operatorname{Homeo}_0(X)\to \operatorname{Homeo}(X)\to \operatorname{MCG}(X)\to 1$

이 존재한다. 이 몫군

: $\operatorname{MCG}(X)=\frac{\operatorname{Homeo}(X)}{\operatorname{Homeo}_0(X)}$

을 $X$ 의 '''사상류군'''이라고 하며, 그 원소를 '''사상류'''라고 한다.

다양체 ''M''의 사상류군은 ''M''의 자기 동형 사상의 주변 아이소토피 동치류로 해석된다. ''M''이 위상 다양체인 경우, 사상류군은 ''M''의 동형 사상의 아이소토피 동치류의 그룹이다. ''M''이 미분 가능 다양체인 경우, 사상류군은 ''M''의 미분 동형 사상의 아이소토피 동치류의 그룹이다. 객체 ''X''의 자기 동형 사상 그룹에 자연스러운 위상 공간이 있을 때마다, ''X''의 사상류군은 $\operatorname{Aut}(X)/\operatorname{Aut}_0(X)$ 로 정의되며, 여기서 $\operatorname{Aut}_0(X)$ 는 $\operatorname{Aut}(X)$ 에서 항등원의 경로 성분이다. 위상 공간의 경우, 이는 일반적으로 콤팩트-개방 위상이다.

호모토피 범주에서 작업하는 경우, ''X''의 사상류군은 ''X''의 호모토피 동치류의 그룹이다.

2. 1. 방향 보존 사상류군

가향 다양체

X

의 경우, 방향을 보존하는 위상 동형 사상들의 부분군

\operatorname{Homeo}^+(X)\subseteq\operatorname{Homeo}(X)

이 존재한다. 이에 따라, 사상류군의 부분군

\frac{\operatorname{Homeo}^+(X)}{\operatorname{Homeo}_0(X)}=\operatorname{MCG}^+(X)\subseteq\operatorname{MCG}(X)

을 정의할 수 있으며, 이를 방향 보존 사상류군(orientation-preserving mapping class group^영어)이라고 한다.

2. 2. 토렐리 군

특이 호몰로지의 함자성에 따라, 사상류

[f]\in\operatorname{MCG}(X)

는 호몰로지 군 위에 작용을 한다.

:

[f]\colon\operatorname H_\bullet(X)\to\operatorname H_\bullet(X)

이 작용이 자명한 사상류, 즉 모든 호몰로지류를 보존하는 사상류들로 구성된 부분군을 '''토렐리 군'''(Torelli group^영어)

\operatorname{Tor}(X)\subseteq \operatorname{MCG}(X)

이라고 한다. 사상류군의 유도된 작용이 공간 ''X''의 호몰로지 (및 코호몰로지)에 존재한다. 이는 (코)호몰로지가 함자이고, Homeo₀가 자명하게 작용하기 때문이다 (모든 원소가 동위이므로, 항등 사상과 호모토픽하고, (코)호몰로지에 대한 작용은 호모토피에 대해 불변이다). 이 작용의 커널을 토렐리 정리의 이름을 딴 ''토렐리 군''이라고 한다.

방향 보존 가능한 곡면의 경우, 이는 첫 번째 코호몰로지 ''H''¹(Σ) ≅ '''Z'''^2''g''에 대한 작용이다. 방향을 보존하는 사상은 정확히 최고 코호몰로지 ''H''²(Σ) ≅ '''Z'''에 자명하게 작용하는 사상이다. ''H''¹(Σ)는 심플렉틱 구조를 가지며, 이는 컵 곱에서 유래한다. 이 사상들은 자기 동형 사상이고, 사상들은 컵 곱을 보존하므로, 사상류군은 심플렉틱 자기 동형 사상으로 작용하며, 실제로 모든 심플렉틱 자기 동형 사상이 실현되어, 다음의 짧은 완전열을 얻는다.

:

1 \to \operatorname{Tor}(\Sigma) \to \operatorname{MCG}(\Sigma) \to \operatorname{Sp}(H^1(\Sigma)) \cong \operatorname{Sp}_{2g}(\mathbf{Z}) \to 1

이를 확장하면 다음과 같다.

:

1 \to \operatorname{Tor}(\Sigma) \to \operatorname{MCG}^*(\Sigma) \to \operatorname{Sp}^{\pm}(H^1(\Sigma)) \cong \operatorname{Sp}^{\pm}_{2g}(\mathbf{Z}) \to 1

심플렉틱 군은 잘 이해되어 있다. 따라서 사상류군의 대수적 구조를 이해하는 것은 종종 토렐리 군에 대한 질문으로 귀결된다.

토러스(종수 1)의 경우 심플렉틱 군으로의 사상은 동형 사상이며, 토렐리 군은 소멸한다.

3. 성질

'''닐센-서스턴 분류'''에 따르면, 임의의 콤팩트 연결 리만 곡면 $\Sigma$ 의 방향 사상류 $g\in\operatorname{MCG}^+(\Sigma)$ 에 대하여, 다음 세 조건 가운데 하나 이상이 성립한다.

유한 차수이다. 즉, $g^n=1$ 인 양의 정수 $n\in\mathbb Z^+$ 가 존재한다.
$g$ 의 작용에 의하여 보존되는 서로소 폐곡선들이 존재한다.
유사 아노소프 사상(pseudo-Anosov map^영어)이다.

'''덴-닐센-베르 정리'''(Dehn–Nielsen–Baer theorem^영어)에 따르면, 임의의 콤팩트 연결 리만 곡면

\Sigma

에 대하여, 다음 두 군이 서로 표준적으로 동형이다.

:

\operatorname{MCG}(\Sigma)\cong\operatorname{Out}(\pi_1(\Sigma))

여기서

\pi_1(-)

은 기본군이며,

\operatorname{Out}(-)

은 어떤 군의 외부자기동형군이다.

3. 1. 닐센-서스턴 분류

닐센-서스턴 분류에 따르면, 임의의 콤팩트 연결 리만 곡면

\Sigma

의 방향 사상류

g\in\operatorname{MCG}^+(\Sigma)

에 대하여, 다음 세 조건 가운데 하나 이상이 성립한다.

유한 차수이다. 즉, $g^n=1$ 인 양의 정수 $n\in\mathbb Z^+$ 가 존재한다.
$g$ 의 작용에 의하여 보존되는 서로소 폐곡선들이 존재한다.
유사 아노소프 사상(pseudo-Anosov map)이다.

덴-닐센-베르 정리(Dehn–Nielsen–Baer theorem^영어)에 따르면, 임의의 콤팩트 연결 리만 곡면

\Sigma

에 대하여, 다음 두 군이 서로 표준적으로 동형이다.

:

\operatorname{MCG}(\Sigma)\cong\operatorname{Out}(\pi_1(\Sigma))

여기서

\pi_1(-)

은 기본군이며,

\operatorname{Out}(-)

은 어떤 군의 외부자기동형군이다.

3. 2. 덴-닐센-베르 정리

'''덴-닐센-베르 정리'''(Dehn–Nielsen–Baer theorem^영어)에 따르면, 임의의 콤팩트 연결 리만 곡면

\Sigma

에 대하여, 그 기본군의 외부자기동형군은 사상류군과 표준적으로 동형이다. 즉, 다음 두 군은 서로 표준적으로 동형이다.

:

\operatorname{MCG}(\Sigma)\cong\operatorname{Out}(\pi_1(\Sigma))

여기서

\pi_1(-)

은 기본군이며,

\operatorname{Out}(-)

은 어떤 군의 외부자기동형군이다.

4. 예시

4. 1. 이산 공간

이산 공간

X

위의 자기 위상 동형은 순열

X\to X

과 같으며, 그 위의 콤팩트-열린집합 위상 역시 이산 공간이다. 즉,

X

의 사상류군은 대칭군과 같다.

:

\operatorname{MCG}(X)=\operatorname{MCG}^+(X)=\operatorname{Sym}(X)

이 경우, (0차) 특이 호몰로지는

:

\operatorname H_0(X)=\mathbb Z^{\oplus|X|}

이며, 이에 따라 토렐리 군은 자명군이다.

:

\operatorname{Tor}(X)=1

4. 2. 구

구의 사상류군은

\mathbb{Z} / 2\mathbb{Z}

이며, 이는 차수 ±1의 사상에 해당한다.^[2] 방향 보존 사상류군과 토렐리 군은 자명군이다.

4. 3. 원환면

호모토피 범주에서 원환면의 사상류군은 다음과 같이 나타낼 수 있다.^[3]

:

\operatorname{MCG}(\mathbf{T}^n) \simeq \operatorname{GL}(n,\Z).

이는 n차원 원환면

\mathbf{T}^n = (S^1)^n

이 아일렌베르크-매클레인 공간이기 때문이다.

다른 범주의 경우,

n\ge  5

일 때, 다음과 같은 분할 완전열들이 존재한다.^[3]

위상 공간 범주에서

:

0\to \Z_2^\infty\to \operatorname{MCG}(\mathbf{T}^n) \to \operatorname{GL}(n,\Z)\to 0

PL-범주에서

:

0\to \Z_2^\infty\oplus\binom n2\Z_2\to \operatorname{MCG}(\mathbf{T}^n)\to \operatorname{GL}(n,\Z)\to 0

(⊕는 직합을 나타낸다).

매끄러운 범주에서

:

0\to \Z_2^\infty\oplus\binom n2\Z_2\oplus\sum_{i=0}^n\binom n i\Gamma_{i+1}\to \operatorname{MCG}(\mathbf{T}^n)\to \operatorname{GL}(n,\Z)\to 0

여기서

\Gamma_i

는 호모토피 구의 케르베어-밀너 유한 아벨 군이고,

\Z_2

는 2차 순환군이다.

4. 4. 곡면

곡면의 사상류군은 테히뮐러 모듈군이라고도 불리며, 테히뮐러 공간과 리만 곡면의 모듈리 공간과 관련되어 광범위하게 연구되었다.^[5] 이는 쌍곡군과 고차 랭크 선형 군과 유사한 특징을 보이며, 서스턴의 기하학적 3차원 다양체 이론에 많이 응용된다.^[5] 닐슨-서스턴 분류 정리에 따르면, 사상류군의 생성족은 데언 꼬임에 의해 주어진다.^[5] 모든 유한군은 닫힌 유향 곡면의 사상류군의 부분군이며, 어떤 콤팩트 리만 곡면의 등거리 변환군으로 실현될 수 있다.^[5]

실사영 평면의 모든 동형 사상은 항등 사상과 동위이므로, 사상류군은 자명군이다. 즉,

\operatorname{MCG}(\mathbf{P}^2(\R)) = 1

이다.^[5] 클라인 병 ''K''의 사상류군은

\operatorname{MCG}(K)= \Z_2 \oplus \Z_2

이며, 항등 사상, 데른 꼬임, 리코리쉬의 y-동형 사상, 꼬임과 y-동형 사상의 곱으로 구성된다.^[5] 닫힌 종수 3의 비가향 곡면 ''N''₃ (세 개의 사영 평면의 연결합)의 사상류군은

\operatorname{MCG}(N_3) = \operatorname{GL}(2,\Z)

이다.^[5]

4. 5. 3차원 다양체

3차원 다양체의 사상류군은 많은 연구가 진행되었으며, 2차원 다양체의 사상류군과 밀접하게 관련되어 있다.^[6] 예를 들어, 임의의 유한군은 콤팩트 쌍곡 3차원 다양체의 사상류군 및 등거리 변환군으로 실현될 수 있다.^[6]

5. 쌍의 사상류군

공간 쌍 (X,A)에 대해, 쌍의 사상류군은 쌍의 자기 동형 사상의 아이소토피 클래스이다. 여기서 (X,A)의 자기 동형 사상은 X의 자기 동형 사상으로 정의되며, A를 보존한다. 즉, f: X → X는 가역적이고 f(A) = A이다.

5. 1. 매듭과 고리의 대칭군

매듭 ''K'' ⊂ '''S'''³가 매듭 또는 고리라면, '''매듭(또는 고리)의 대칭군'''은 쌍 ('''S'''³, ''K'')의 사상 클래스 군으로 정의된다. 쌍곡 매듭의 대칭군은 이각형 또는 순환군인 것으로 알려져 있으며, 또한 모든 이각형 군과 순환군은 매듭의 대칭군으로 실현될 수 있다. 토러스 매듭의 대칭군은 차수가 2인 '''Z'''₂인 것으로 알려져 있다.

6. 안정 사상류군

종수 ''g''에 1개의 경계 성분을 가진 곡면 $\Sigma_{g,1}$ 을 추가적인 구멍을 끝에 붙여 $\Sigma_{g+1,1}$ 에 매장할 수 있다. 즉, $\Sigma_{g,1}$ 과 $\Sigma_{1,2}$ 를 접착하여 경계를 고정하는 작은 곡면의 자기동형사상은 더 큰 곡면으로 확장된다. 이 그룹들과 포함관계의 직접 극한을 취하면 '''안정 사상류군'''이 생성되며, 그 유리 코호몰로지 환은 데이비드 멈포드에 의해 추측되었다.(이것은 멈포드 추측 중 하나로 불린다) 정수 코호몰로지 환은 2002년 입 마드센과 마이클 바이스(수학자)에 의해 계산되었으며, 멈포드의 추측을 증명했다.

7. 역사

야코브 닐센(덴마크어: Jakob Nielsen)과 윌리엄 서스턴이 닐센-서스턴 정리를 증명하였다. 덴-닐센-베르 정리는 막스 덴과 야코브 닐센과 라인홀트 베르/Reinhold Baer^de가 증명하였다.

8. 한국 수학계와의 관계

참조

_[1] 논문 Characteristic classes of surface bundles http://projecteuclid[...]
_[2] 간행물 The diffeomorphism group of a compact Riemann surface
_[3] 서적 Algebraic and geometric topology (Proc. Sympos. Pure Math., Stanford Univ., Stanford, Calif., 1976), Part 1 1978
_[4] 서적 Discontinuous Groups and Riemann Surfaces: Proceedings of the 1973 Conference at the University of Maryland Princeton University Press 1974
_[5] 논문 The complex of curves on nonorientable surfaces 1982-02
_[6] 논문 Isometry transformations of hyperbolic 3-manifolds 1988-08

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