아벨 극한 정리
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2. 정의
아벨 극한 정리는 멱급수의 수렴과 관련된 중요한 정리이다. 이 정리는 실수 멱급수와 복소수 멱급수, 두 가지 경우로 나누어 설명할 수 있다.0인 멱급수\sum_{n=0}^\infty a_nx^n\qquad(a_0,a_1,a_2,\dots\in\mathbb R) \sum_{n=0}^\infty a_nr^n 이 수렴하면, 다음이 성립한다.\lim_{x\to r^-}\sum_{n=0}^\infty a_nx^n=\sum_{n=0}^\infty a_nr^n x 가 r 에 왼쪽에서 접근할 때 멱급수의 극한값이 \sum_{n=0}^\infty a_nr^n 과 같아진다. 마찬가지로, \sum_{n=0}^\infty a_n(-r)^n 이 수렴하면, 다음이 성립한다.\lim_{x\to(-r)^+}\sum_{n=0}^\infty a_nx^n=\sum_{n=0}^\infty a_n(-r)^n x 가 -r 에 오른쪽에서 접근할 때 멱급수의 극한값이 \sum_{n=0}^\infty a_n(-r)^n 과 같아진다.G(z) = \sum_{k=0}^\infty a_k z^k z 가 1로 접근할 때, "슈톨츠 각(Stolz angle)" 내에서 접근하는 경우에만 아벨 극한 정리가 성립한다. 슈톨츠 각은 20개의 Stolz 섹터, M 은 1.01부터 10까지입니다. 빨간색 선은 오른쪽 끝의 원뿔에 대한 접선입니다. |1-z| \leq M(1-|z|) (M > 1 인 상수)로 표현된다.2. 1. 실수 멱급수의 경우
중심이 0인 실수 멱급수 \sum_{n=0}^\infty a_nx^n\qquad(a_0,a_1,a_2,\dots\in\mathbb R) 0이라고 하자. '''아벨 극한 정리'''에 따르면, 만약\sum_{n=0}^\infty a_nr^n \lim_{x\to r^-}\sum_{n=0}^\infty a_nx^n=\sum_{n=0}^\infty a_nr^n \sum_{n=0}^\infty a_n(-r)^n \lim_{x\to(-r)^+}\sum_{n=0}^\infty a_nx^n=\sum_{n=0}^\infty a_n(-r)^n 테일러 급수 G (x) = \sum_{k=0}^\infty a_k x^k 실수 계수 a_k 를 가지는 수렴반경 1 인 멱급수라고 하자. 급수\sum_{k=0}^\infty a_k G(x) 는 x = 1 에서 왼쪽에서 연속이며, 즉\lim_{x\to 1^-} G(x) = \sum_{k=0}^\infty a_k. a_n , 변수 x 가 실수일 때, 이 정리는 다음과 같다.2. 2. 복소수 멱급수의 경우
테일러 급수 G(z) = \sum_{k=0}^\infty a_k z^k, 정리 는 성립하며, z \to 1 이 단일 ''Stolz sector'' 내에서 완전히 이루어질 경우, 즉|1-z| \leq M(1-|z|) M > 1 에 대해, 열린 원판의 영역일 경우 성립한다. 이 제한이 없으면, 극한이 존재하지 않을 수 있다. 예를 들어, 멱급수\sum_{n>0} \frac{z^{3^n}-z^{2\cdot 3^n}} n z = 1 에서 0 으로 수렴하지만, e^{\pi i/3^n} 형태의 모든 점 근처에서는 유계 함수 가 아니므로, z = 1 에서의 값은 전체 열린 원판에서 z 가 1로 향할 때의 극한이 아니다.G(z) 는 수렴 원판의 콤팩트 공간 부분 집합에서의 급수의 균등 수렴 에 의해, t < 1 에 대해 실수 닫힌 구간 [0, t] 에서 연속적이다. 아벨의 정리를 통해 G(z) 의 [0, 1] 로의 제한이 연속적이라는 것을 알 수 있다.|1-z|\leq M(1-|z|) 는 명시적인 방정식을 갖는다.y^2 = -\frac{M^4 (x^2 - 1) - 2 M^2 ((x - 1) x + 1) + 2 \sqrt{M^4 (-2 M^2 (x - 1) + 2 x - 1)} + (x - 1)^2}{(M^2 - 1)^2} x = \frac{1-M}{1+M} 이고, 오른쪽 끝은 x=1 이다. 오른쪽 끝에서는 각도 2\theta 를 가진 원뿔이 되며, 여기서 \cos\theta = \frac{1}{M} 이다.a_n , 변수 z 가 복소수일 때, 이 정리는 다음과 같이 확장된다.\frac
{1-|z|}가 유계라는 것은, 적당한 양의 실수 M 이 존재하여 \frac{1-|z|} < M 이 성립하는 것이다. 이 조건은 "슈톨츠 각(Stolz angle)(-\infty,1) 에 대칭이고 1을 꼭짓점으로 하며 그 각이 180°보다 작은 각 영역 안에 z 가 있다는 것이다.
3. 증명
편의상 r=1 이고\sum_{n=0}^\infty a_n 이 수렴한다고 가정한다. 이 경우 멱급수가 [0,1] 에서 균등 수렴 함을 보이는 것으로 충분하다. 두 함수열 (f_n,g_n\colon[0,1]\to\mathbb R)_{n=0}^\infty 를 다음과 같이 정의한다.f_n(x)=a_n\qquad(x\in[0,1],\;n\ge 0) g_n(x)=x^n\qquad(x\in[0,1],\;n\ge 0) \sum_{n=0}^\infty f_n(x) [0,1] 에서 균등 수렴하고, 임의의 x\in[0,1] 에 대하여, (g_n(x))_{n=0}^\infty 는 감소 수열이다. 또한, 임의의 x\in[0,1] 및 n\ge 0 에 대하여,|g_n(x)|\le 1 아벨 판정법 에 의하여,\sum_{n=0}^\infty a_nx^n [0,1] 에서 균등 수렴한다.a_0 에서 상수를 빼면, \sum_{k=0}^\infty a_k=0 이라고 가정할 수 있다. s_n=\sum_{k=0}^n a_k 라고 하자. 그런 다음 a_k=s_k-s_{k-1} 을 대입하고 급수를 간단하게 조작(부분합)하면 다음을 얻는다.G_a(z) = (1-z)\sum_{k=0}^{\infty} s_k z^k. \varepsilon > 0 에 대해, 모든 k \geq n 에 대해 |s_k| < \varepsilon 가 되도록 충분히 큰 n 을 선택하고 다음을 관찰한다.\left|(1-z)\sum_{k=n}^\infty s_kz^k \right| \leq \varepsilon |1-z|\sum_{k=n}^\infty |z|^k = \varepsilon|1-z|\frac
< \varepsilon M z 는 주어진 Stolz 각도 내에 있다. z 가 충분히 1 에 가까울 때마다 다음을 얻는다.\left|(1-z)\sum_{k=0}^{n-1} s_kz^k \right| < \varepsilon, z 가 충분히 1 에 가깝고 Stolz 각도 내에 있을 때 \left|G_a(z)\right| < (M+1) \varepsilon 이다.a_0 에 상수를 더하여 \sum_{n=0}^{\infty}a_n=0 이라고 가정해도 좋다. 제 n 부분합을 s_n 이라고 쓰면, a_n=s_{n}-s_{n-1} 이다. 이것을 이용하면,\begin{align}s_n(z)&=a_0+a_1z+\cdots+a_nz^n \\ &=s_0+(s_1-s_0)z+\cdots+(s_{n}-s_{n-1})z^n \\ &=s_0(1-z)+s_1(z-z^2)+\cdots+s_{n-1}(z^{n-1}-z^{n})+s_nz^n \\ &=(1-z)(s_0+s_1z+\cdots+s_{n-1}z^{n-1})+s_nz^n\end{align} s_nz^n \rightarrow 0 이므로,f(z)=(1-z)\sum_{n = 0}^{\infty} s_nz^n=(1-z)\sum_{n = 0}^{m-1} s_nz^n + (1-z)\sum_{n = m}^{\infty} s_nz^n s_n \rightarrow 0 이므로, 임의의 양의 실수 ε에 대해 충분히 큰 m 이후의 항 s_n 은 |s_n|<\varepsilon 으로 만들 수 있으므로, 충분히 큰 m 이후의 항의 합의 절대값 \left|\sum_{n = m}^{\infty} s_nz^n\right| 은 등비 급수 \varepsilon \sum_{n = m}^{\infty} |z|^n=\varepsilon |z|^m/(1-|z|)<\varepsilon /(1-|z|) 로 위에서 평가된다. 따라서, 삼각 부등식 에 의해,|f(z)|<|1-z|\left|\sum_{n = 0}^{m-1}s_nz^n\right|+\varepsilon \frac{1-|z|}.z \rightarrow 1 로 하여 \varepsilon 으로 만들 수 있다. 제2항은 스톨츠 각도에서 접근한다는 조건M\varepsilon 로 만들 수 있다. 따라서, |f(z)|<(1+M)\varepsilon 으로 만들 수 있으므로, 정리에 언급된 조건 하에서 z \rightarrow 1 로 하면 f(z) \rightarrow 0 이 됨이 증명되었다
4. 따름정리
아벨 극한 정리에 따르면, 실수 멱급수가 수렴 구간의 오른쪽 끝점에서 수렴하면 이 끝점에서 좌연속 함수이고, 왼쪽 끝점에서 수렴하면 이 끝점에서 우연속 함수이다. 즉, 실수 멱급수는 전체 수렴 구간에서 연속 함수 이다.복소수 멱급수는 수렴 영역의 경계점에서 수렴하더라도, 이 경계점에서 연속 함수가 아닐 수 있다.z 가 있다면, 다음이 성립한다.\lim_{t\to 1^{-}} G(tz) = \sum_{k=0}^\infty a_kz^k \sum_{k=0}^\infty a_k = \infty \lim_{z\to 1^{-}} G(z) \to \infty. \frac{1}{1+z} z = 1 에서 급수는 1 - 1 + 1 - 1 + \cdots 와 같지만, \tfrac{1}{1+1} = \tfrac{1}{2}. 이다.R = 1 이 아닌 경우에도 성립한다. 다음과 같은 멱급수를 생각해보자.G(x) = \sum_{k=0}^\infty a_kx^k R 이고, 급수가 x = R 에서 수렴한다고 가정하면, G(x) 는 x = R 에서 좌측에서 연속이다. 즉,\lim_{x\to R^-}G(x) = G(R).
5. 일반화
아벨 극한 정리의 일반화는 다음과 같다.
G (x) = \sum_{k=0}^\infty a_k x^k 실수 계수 a_k 를 가지는 수렴반경 1 인 멱급수이고,\sum_{k=0}^\infty a_k G(x) 는 x = 1 에서 왼쪽에서 연속이며, 다음이 성립한다.\lim_{x\to 1^-} G(x) = \sum_{k=0}^\infty a_k. G(z) = \sum_{k=0}^\infty a_k z^k, z \to 1 이 단일 ''Stolz sector'' 내에서 완전히 이루어질 경우, 즉|1-z| \leq M(1-|z|) M > 1 에 대해, 열린 원판의 영역일 경우 성립한다. 이 제한이 없으면 극한이 존재하지 않을 수 있다. 예를 들어, 멱급수\sum_{n>0} \frac{z^{3^n}-z^{2\cdot 3^n}} n z = 1 에서 0 으로 수렴하지만, e^{\pi i/3^n} 형태의 모든 점 근처에서는 유계 함수 가 아니므로, z = 1 에서의 값은 전체 열린 원판에서 z 가 1로 향할 때의 극한이 아니다.G(z) 는 수렴 원판의 콤팩트 공간 부분 집합에서의 급수의 균등 수렴 에 의해, t < 1 에 대해 실수 닫힌 구간 [0, t] 에서 연속적이다. 아벨의 정리를 통해 G(z) 의 [0, 1] 로의 제한이 연속적이라는 것을 알 수 있다.일반적인 점으로의 확장 : 위의 논의에서 멱급수의 중심을 z=0 으로 하였지만, 일반적인 점을 중심으로 해도 정리가 성립한다. 마찬가지로, "수렴반경이 1", "원주상의 점 z=1 "이라는 가정도 본질적이지 않다. 이것들은 정규화된 결과로 보아야 하며, 평행 이동, 확대 축소, 회전을 가하면 위의 논의는 일반화할 수 있다.5. 1. 경계점에서 무한대로 발산하는 경우
중심이 0이고 모든 계수가 음이 아닌 실수인 멱급수영어 n=0 ∞ an xn (a0 , a1 , a2 , ... ≥ 0)영어 n=0 ∞ an rn = ∞x→r- sum|영어 n=0 ∞ an xn = ∞영어 k=0 ∞ ak = ∞z→1- G(z) → ∞영어 영어 에서 급수는 1 - 1 + 1 - 1 + ⋯영어 와 같지만, 1/(1+1) = 1/2영어 이다.영어 이 아닌 경우에도 성립한다. 다음과 같은 멱급수를 생각해보자.영어 k=0 ∞ ak xk 영어 이고, 급수가 x = R영어 에서 수렴한다고 가정하자. 그러면 G(x)영어 는 x = R영어 에서 좌측에서 연속이다. 즉,x→R- G(x)영어 = G(R)영어 .영어 n=0 ∞ an 은 수렴한다"는 조건은 필요하다. 이 조건이 없으면 다음과 같은 반례가 있다.영어 2 - ⋯ (수렴반경 1)x→1-0 1/(1+x) = 1/2영어 에 수렴하지만, 우변은 1 - 1 + 1 - 1 + ⋯영어 에 가까워져 수렴하지 않는다.5. 2. 경계점에서 수렴하지 않는 경우
Abel's theorem영어 은 수렴 반지름이 R = 1 이 아닌 경우에도 성립한다. 다음과 같은 멱급수를 생각해 보자.G(x) = \sum_{k=0}^\infty a_kx^k R 이고, 급수가 x = R 에서 수렴한다고 가정하자. 그러면 G(x) 는 x = R 에서 좌측에서 연속이다. 즉,\lim_{x\to R^-}G(x) = G(R). \sum_{n=0}^{\infty} a_n 은 수렴한다"는 조건은 반드시 필요하다. 이 조건이 없으면 다음과 같은 반례가 있다.\frac{1}{1+x}=1-x+x^2-\cdots (수렴반경 1)\lim_{x \to 1-0} \frac{1}{1+x} = \frac{1}{2} 에 수렴하지만, 우변은 1-1+1-1+\cdots 에 가까워져 수렴하지 않는다.5. 3. 복소수의 경우 (일반화)
중심이 0인 복소수 멱급수\sum_{n=0}^\infty a_nz^n\qquad(a_0,a_1,a_2,\dots\in\mathbb C) 0이고, |\zeta|=r 인 어떤 \zeta\in\mathbb C 에 대하여\sum_{n=0}^\infty a_n\zeta^n \lim_{t\to 1^-}\sum_{n=0}^\infty a_n(t\zeta)^n=\sum_{n=0}^\infty a_n\zeta^n 곡선 \gamma\colon[0,1]\to\operatorname{ball}_{\mathbb C}(0,r)\cup\{\zeta\} 가 다음을 만족시킨다고 하자. (여기서 \operatorname{ball} 은 열린 공이다.)\gamma(1)=\zeta \sup_{t\in[0,1)}\frac<\infty\lim_{t\to 1^-}\sum_{n=0}^\infty a_n\gamma(t)^n=\sum_{n=0}^\infty a_n\zeta^n 테일러 급수 G (x) = \sum_{k=0}^\infty a_k x^k 실수 계수 a_k 를 가지는 수렴반경 1 인 멱급수라고 하자. 만약 급수\sum_{k=0}^\infty a_k G(x) 는 x = 1 에서 왼쪽에서 연속이며, 다음이 성립한다.\lim_{x\to 1^-} G(x) = \sum_{k=0}^\infty a_k. 정리 는 복소수 멱급수G(z) = \sum_{k=0}^\infty a_k z^k, z \to 1 이 단일 ''Stolz sector'' 내에서 완전히 이루어질 경우, 즉|1-z| \leq M(1-|z|) M > 1 에 대해, 열린 원판의 영역일 경우 성립한다. 이 제한이 없으면 극한이 존재하지 않을 수 있다. 예를 들어, 멱급수\sum_{n>0} \frac{z^{3^n}-z^{2\cdot 3^n}} n z = 1 에서 0 으로 수렴하지만, e^{\pi i/3^n} 형태의 모든 점 근처에서는 유계 함수 가 아니므로, z = 1 에서의 값은 전체 열린 원판에서 z 가 1로 향할 때의 극한이 아니다.G(z) 는 수렴 원판의 콤팩트 공간 부분 집합에서의 급수의 균등 수렴 에 의해, t < 1 에 대해 실수 닫힌 구간 [0, t] 에서 연속적이다. 아벨의 정리를 통해 G(z) 의 [0, 1] 로의 제한이 연속적이라는 것을 알 수 있다.\sum_{k=0}^\infty a_k z^k z 가 있다면, 다음이 성립한다.\lim_{t\to 1^{-}} G(tz) = \sum_{k=0}^\infty a_kz^k \sum_{k=0}^\infty a_k = \infty \lim_{z\to 1^{-}} G(z) \to \infty. \frac{1}{1+z} z = 1 에서 급수는 1 - 1 + 1 - 1 + \cdots 와 같지만, \tfrac{1}{1+1} = \tfrac{1}{2}. 이다.R = 1 이 아닌 경우에도 성립한다. 다음과 같은 멱급수를 생각해보자.G(x) = \sum_{k=0}^\infty a_kx^k R 이고, 급수가 x = R 에서 수렴한다고 가정하자. 그러면 G(x) 는 x = R 에서 좌측에서 연속이다. 즉,\lim_{x\to R^-}G(x) = G(R). z=0 "으로 하였지만, 일반적인 점을 중심으로 해도 정리가 성립한다. 마찬가지로, "수렴반경이 1", "원주상의 점 z=1 "이라는 가정 역시 본질적이지 않다. 이것들은 정규화된 결과로 보아야 할 것이다. 실제로, 평행 이동, 확대 축소, 회전을 가하면 위의 논의는 일반화할 수 있다.
7. 응용
아벨 극한 정리는 급수를 적분으로 변환하여 계산할 때 종종 이용된다. 이는 아벨의 합 공식 이 이상 적분 을 변수를 포함하는 이상 적분의 극한으로 변환시켜 구하는 것과 비슷하다.테일러 급수 G (x) = \sum_{k=0}^\infty a_k x^k 실수 계수 a_k 를 가지는 수렴반경 1 인 멱급수라고 하고,\sum_{k=0}^\infty a_k G(x) 는 x = 1 에서 왼쪽에서 연속이다. 즉,\lim_{x\to 1^-} G(x) = \sum_{k=0}^\infty a_k. 정리 는 복소수 멱급수G(z) = \sum_{k=0}^\infty a_k z^k, z \to 1 이 단일 ''Stolz sector'' 내에서 완전히 이루어질 경우, 즉|1-z| \leq M(1-|z|) M > 1 에 대해, 열린 원판의 영역일 경우 성립한다. 이 제한이 없으면 극한이 존재하지 않을 수 있다. 예를 들어, 멱급수\sum_{n>0} \frac{z^{3^n}-z^{2\cdot 3^n}} n z = 1 에서 0 으로 수렴하지만, e^{\pi i/3^n} 형태의 모든 점 근처에서는 유계 함수 가 아니므로, z = 1 에서의 값은 전체 열린 원판에서 z 가 1로 향할 때의 극한이 아니다.G(z) 는 수렴 원판의 콤팩트 공간 부분 집합에서의 급수의 균등 수렴 에 의해, t < 1 에 대해 실수 닫힌 구간 [0, t] 에서 연속적이다. 아벨의 정리를 통해 G(z) 의 [0, 1] 로의 제한이 연속적이라는 것을 알 수 있다.
7. 1. 구체적인 예
아벨 극한 정리는 급수를 적분으로 변환하여 계산할 때 유용하게 사용된다. 이는 아벨의 합 공식 을 이용하여 이상 적분 을 변수를 포함하는 이상 적분의 극한으로 변환하는 것과 유사하다.\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{3n+1}=1-\frac 14+\frac 17-\cdots f\colon[0,1]\to\mathbb R 를 다음과 같이 정의한다.f(x)=\sum_{n=0}^\infty(-1)^n\frac{x^{3n+1}}{3n+1}\qquad(x\in[0,1]) f 는 연속 함수이다. x\in[0,1) 에 대해f'(x)=\sum_{n=0}^\infty(-1)^nx^{3n}=\frac 1{1+x^3} f(x)=f(0)+\int_0^xf'(x)\mathrm dx=\frac 16\ln\frac{(x+1)^2}{x^2-x+1}+\frac 1{\sqrt 3}\arctan\frac{2x-1}{\sqrt 3}+\frac\pi{6\sqrt 3} \sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{3n+1}=f(1)=\lim_{x\to 1^-}f(x)=\frac 13\ln 2+\frac\pi{3\sqrt 3} 이항 급수 에서 활용된다.a_k = \frac{(-1)^k}{k+1} G_a(z) = \frac{\ln(1+z)}{z}, \qquad 0 < z < 1, [-z, 0] 에서 항별로 적분하여 얻을 수 있다. 아벨 정리에 의해\sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{k+1} \ln 2 로 수렴한다. 마찬가지로,\sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{2k+1} \arctan 1 = \tfrac{\pi}{4} 로 수렴한다.G_a(z) 는 수열 a 의 생성 함수라고 불린다. 아벨 정리는 확률 생성 함수처럼 실수 값을 가지며 음이 아닌 수열 의 생성 함수를 다룰 때 유용하며, 특히 갈톤-왓슨 과정 이론에서 중요하다.\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{2n+1}=1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\dotsb=\frac{\pi}{4} \arctan 을 \tan 의 역함수로 주값을 취하면, \arctan x 를 x 로 미분하면 다음과 같다.(\arctan x)'=\frac{1}{1+x^2} 0에서 0을 기점으로 양변의 부정적분 을 구하면, 수렴 반경 내에서 급수는 광의적으로 균등하게 절대 수렴하므로 적분과 무한 합을 교환할 수 있다.\arctan x = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{2n+1}x^{2n+1} 교대급수 에 관한 라이프니츠 정리에 의해 \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{2n+1} 가 수렴함을 알 수 있다. 아벨의 연속성 정리를 적용하면 위 식을 얻는다.\log(1+x) 에 대해 비슷한 논의를 하면,\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n+1}=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\dotsb=\log2
8. 관련 개념
아벨 극한 정리는 다음과 같은 관련 개념들을 포함한다.테일러 급수 G (x) = \sum_{k=0}^\infty a_k x^k 실수 계수 a_k 를 가지는 수렴반경 1 인 멱급수이다. \sum_{k=0}^\infty a_k G(x) 는 x = 1 에서 왼쪽에서 연속이다. 즉,\lim_{x\to 1^-} G(x) = \sum_{k=0}^\infty a_k. 정리 는 복소수 멱급수G(z) = \sum_{k=0}^\infty a_k z^k, z \to 1 이 단일 ''Stolz sector'' 내에서 이루어지는 경우, 즉|1-z| \leq M(1-|z|) M > 1 에 대해, 열린 원판 영역에서 성립한다.G(z) 는 수렴 원판의 콤팩트 공간 부분 집합에서 급수의 균등 수렴 에 의해, t < 1 에 대해 실수 닫힌 구간 [0, t] 에서 연속이다. 아벨 정리에 의해 G(z) 의 [0, 1] 로의 제한이 연속임을 알 수 있다.\sum_{k=0}^\infty a_k z^k z 에 대해, 다음이 성립한다.\lim_{t\to 1^{-}} G(tz) = \sum_{k=0}^\infty a_kz^k \sum_{k=0}^\infty a_k = \infty \lim_{z\to 1^{-}} G(z) \to \infty. R \ne 1 인 경우에도 이 정리는 성립한다. 멱급수G(x) = \sum_{k=0}^\infty a_kx^k R 이고, x = R 에서 수렴하면, G(x) 는 x = R 에서 좌측 연속이다.\lim_{x\to R^-}G(x) = G(R). 발산 급수 와 그 합산 방법에 대한 연구는 ''아벨형 정리''와 ''타우버형 정리''를 포함한다.
참조
[1]
간행물
Untersuchungen über die Reihe 1+ \frac{m}{1} x + \frac{m\cdot (m-1)}{2\cdot 1} x^2 + \frac{m\cdot (m-1)\cdot (m-2)}{3\cdot 2\cdot 1} x^3 + \ldots u.s.w.
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웹사이트
Stolz Angle
http://demonstration[...]
the Wolfram Demonstrations Project
2018-03-10
[3]
서적
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[5]
서적
Complex Analysis
https://archive.org/[...]
McGraw-Hill
1979
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서적
Theory and Application of Infinite Series
Blackie & Son
1954
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서적
数学分析. 第二册
北京大学出版社
2010-02
CC BY-SA 4.0 라이선스에 따라 이용할 수 있습니다.help@durumis.com