양자화 (물리학)

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1. 개요
2. 역사
- 2.1. 양자화 개념의 등장
- 2.2. 양자역학의 발전과 양자화
3. 양자화의 방법
참조

1. 개요

양자화는 물리량, 특히 에너지의 불연속성을 의미하며, 이는 물리학의 여러 분야에서 중요한 개념이다. 1900년대 초 막스 플랑크는 흑체 복사 문제를 해결하기 위해 에너지의 양이 불연속적인 기본 단위로 존재한다는 가설을 도입했고, 알베르트 아인슈타인은 광전 효과를 설명하기 위해 빛의 양자화된 입자인 광자의 개념을 사용했다. 닐스 보어는 수소 원자 스펙트럼을 설명하는 데 양자화를 적용했으며, 앙리 푸앵카레는 양자화에 대한 체계적인 정의를 내렸다.

양자화에는 정준 양자화, 경로 적분 양자화, 기하학적 양자화 등 다양한 방법이 있으며, 특히 게이지 이론의 양자화를 위한 굽타-블로일러 양자화, 파데예프-포포프 방법, BRST 양자화, 바탈린-빌코비스키 양자화 등이 있다. 양자화 과정에서 발생하는 순서 모호성 문제를 해결하기 위해 다양한 양자화 방식이 제안되었으며, 고전적인 장을 양자 상태의 연산자로 변환하는 과정은 재규격화와 같은 기법을 필요로 한다.

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양자화 (물리학)
개요
정의	고전 이론을 양자 이론으로 변환하는 체계적인 절차
주요 목표	고전적인 물리량(위치, 운동량 등)을 양자 연산자로 대체하고 고전적인 방정식을 양자 방정식으로 변환
필요성	원자 및 아원자 수준에서 고전적인 물리 법칙이 실패함에 따라 양자 현상을 설명하기 위해 필요
방법
정준 양자화	고전적인 해밀턴 역학을 기반으로 양자 연산자를 사용하여 양자 역학적 모델을 만듬 고전적인 물리량(위치, 운동량)을 연산자로 대체하고, 그 연산자들이 교환 관계를 만족하도록 함
경로 적분 양자화	모든 가능한 경로에 대한 경로 적분을 사용하여 양자 역학적 진폭을 계산 고전적인 경로에 대한 경로 적분의 근사값을 계산하여 고전적인 역학으로 되돌아 감
변형 양자화	위상 공간에 정의된 고전적인 물리량을 양자 연산자로 대체하고, 물리량의 푸아송 괄호를 양자 연산자의 교환자로 대체
기하학적 양자화	위상 공간의 기하학적 구조를 사용하여 양자 역학적 시스템을 구성 고전적 위상 공간을 양자 힐베르트 공간으로 변환하는 과정
푸아송 양자화	푸아송 대수를 사용하여 고전적인 시스템을 양자화하는 방법 고전적인 시스템의 대수를 양자화된 연산자의 대수로 변환
응용
양자 역학	입자의 양자화된 행동을 설명하는 데 사용 고전 역학에서 설명할 수 없는 원자 및 아원자 수준의 현상 연구에 필수적
장의 양자화	전자기장과 같은 장의 양자화된 행동을 설명하는 데 사용 입자 생성 및 소멸과 같은 현상 설명 양자장론과 표준 모형의 기본 원리
추가 정보
고전적 극한	양자 이론이 고전 이론으로 되돌아가도록 하는 과정
관련된 수학 분야	미분 기하학, 함수 해석학, 푸아송 대수
역사적 발전	20세기 초에 양자역학과 함께 개발 막스 플랑크, 앨버트 아인슈타인, 닐스 보어, 파울 디랙 등 여러 과학자들의 기여
다양한 양자화 방법	일반적인 고전적 이론을 양자 이론으로 바꾸는 절차

2. 역사

1901년 막스 플랑크가 흑체 복사 현상을 설명하기 위해 에너지 양자 가설을 제시하면서 양자화 개념이 처음 등장했다. 이후 알베르트 아인슈타인이 광전 효과를 설명하면서 빛의 입자성을 제안했고, 닐스 보어는 원자 모형에 양자 조건을 도입하여 수소 원자의 스펙트럼을 설명하는 데 성공했다. 앙리 푸앵카레는 1912년 "양자 이론에 관하여" 논문에서 양자화에 대한 체계적이고 엄밀한 정의를 제시했다. "양자 물리학"이라는 용어는 1931년 존스턴의 저서 '현대 물리학으로 본 플랑크의 세계'에서 처음 사용되었다.

2. 1. 양자화 개념의 등장

1901년 막스 플랑크는 통계 역학의 분포 함수를 이용해 자외선 파탄 문제를 해결하려던 중, 흑체 복사의 성질은 에너지의 양이 셀 수 있는 기본 단위로 존재한다는 가정으로 설명될 수 있음을 깨달았다. 즉, 에너지의 양은 연속적이지 않고 불연속적이며, 최소 에너지 단위가 존재하고 다음과 같은 관계식이 성립한다.

E = h \nu

여기서

\nu

는 진동수이고,

h

는 플랑크 상수로 양자 역학적 효과의 크기를 나타낸다.

1905년 알베르트 아인슈타인은 "빛의 방출과 변환에 관한 휴리스틱적 관점"이라는 논문을 발표하여 양자화된 전자기파를 이용해 광전 효과를 설명했다.^[10] 이 논문에서 언급된 '에너지 양자'는 나중에 "광자"라고 불리게 되었다. 1913년 7월, 닐스 보어는 그의 논문 "원자와 분자의 구조에 관하여"에서 수소 원자의 스펙트럼을 기술하기 위해 양자화를 사용했다.

이전 이론들은 성공적이었지만, 매우 현상론적인 이론들이다. 하지만 프랑스 수학자 앙리 푸앵카레가 1912년 논문 "양자 이론에 관하여"에서 처음으로 양자화의 체계적이고 엄밀한 정의를 내렸다.^[11]^[12]

"양자 물리학"이라는 용어는 존스턴의 "현대 물리학의 관점에서 본 플랑크의 우주" (1931년)에서 처음 사용되었다.

2. 2. 양자역학의 발전과 양자화

1905년 알베르트 아인슈타인은 광전효과를 설명하는 논문에서 전자기파를 양자화하는 제안을 했다.^[10] 이 논문에서 언급된 '에너지 양자'는 나중에 "광자"로 불리게 되었다. 1913년 7월 닐스 보어는 논문 "원자와 분자의 법칙에 관하여"에서 양자화를 이용하여 수소 원자의 스펙트럼 선들을 설명하였다.

앞서 나온 이론들은 성공적이었지만, 아주 현상학적이였다. 그러나 프랑스 수학자 앙리 푸앵카레가 1912년에 발표한 논문 "양자론에 관하여"에서 양자화에 대한 체계적이고 엄밀한 정의를 처음으로 제시했다.^[11]^[12]

"양자 물리학"이라는 표현은 1931년 존스턴의 저서 '현대 물리학으로 본 플랑크의 세계'에서 처음 사용되었다.

3. 양자화의 방법

양자화는 고전역학 또는 고전 장론에서 양자역학 또는 양자 장론을 구성하는 절차이다. 정준양자화, 경로적분 양자화, 기하학적 양자화, 굽타-블로일러 양자화, BRST 양자화 등 다양한 방법이 존재한다.^[5]

예를 들어, "전자기장의 양자화"에서는 장의 "양자"로 광자(광양자)가 나타난다. 양자화는 입자물리학, 핵물리학, 응집물질물리학, 양자광학 이론의 기초가 된다.^[5]

양자화는 고전적인 장을 장 이론의 양자 상태에 작용하는 연산자로 변환한다. 가장 낮은 에너지 상태는 진공 상태라고 불리며, 복잡한 구조를 가질 수 있다. 물질이나 입자의 성질을 추정하기 위해 양자 진폭을 계산하며, 여기에는 재규격화라는 정교한 기법이 사용된다. 재규격화를 사용하지 않으면 무한대가 나타나는 등 무의미한 결과가 나올 수 있다.^[5]

정준 양자화는 장 이론의 양자화를 위해 개발된 최초의 방법이다. 단순한 이론에서는 정준 양자화가 용이하지만, 다른 양자화 방법이 더 효과적인 경우도 많다. 그럼에도 불구하고, 정준 양자화는 여전히 장 양자론 해석에 유용하게 사용된다.^[5]

3. 1. 정준 양자화

정준 양자화는 고전역학의 해밀턴 형식에 기반하여 양자역학을 전개하는 방법이다. 이 방법은 위치와 운동량에 해당하는 변수에 정준 교환 관계를 부여한다. 양자장론에서는 장과 그에 대응하는 정준 운동량에 대해 동시 정준 교환 관계 또는 반교환 관계를 부여한다. 페르미온의 경우, 교환자 대신 반교환자를 사용한다.^[5]

정준 교환 관계는 다음과 같이 표현된다.

위치(''x'')와 운동량(''p'')의 경우:

:

[x,p]=i\hbar

양자장론에서 장 $\phi$ 와 정준 운동량장 $\pi$ 의 경우 (보존):

:

[\phi(x,t),\pi(y,t)]=i\hbar\delta(x-y)

페르미온의 경우 (반교환자):

:

\{\phi(x,t),\pi(y,t)\}=i\hbar\delta(x-y)

여기서

\hbar

는 플랑크 상수를

2\pi

로 나눈 값이다.

정준 양자화는 생성 및 소멸 연산자의 조합을 통해 좌표를 연산자로 변환하는 과정을 포함한다. 이 연산자는 이론의 양자 상태에 작용하며, 가장 낮은 에너지 상태를 진공 상태라고 한다.

하지만 표준 양자화 틀 안에서도 고전적 상 공간에서 임의의 관측량을 양자화하는 데 어려움이 있는데, 이를 '''순서 모호성'''이라고 한다. 고전적으로는 위치 변수 ''x''와 운동량 변수 ''p''가 서로 교환 가능하지만, 양자역학적 연산자에서는 그렇지 않기 때문이다. 이 문제를 해결하기 위해 다양한 '''양자화 방식'''이 제안되었지만, 와일 양자화 방식이 가장 널리 알려져 있다.

그럼에도 불구하고, '''그로네볼드의 정리'''에 따르면 완벽한 양자화 방식은 존재하지 않는다. 즉, ''x''와 ''p''의 양자화를 일반적인 위치 및 운동량 연산자로 취한다면, 어떤 양자화 방식도 고전적 관측량 간의 푸아송 괄호 관계를 완벽하게 재현할 수 없다.

공간을 엽층구조로 나누고 해밀토니안을 선택하는 비공변적인 방법에 의존하지 않고도 정준 양자화를 수행하는 방법이 있다. 이 방법은 고전적인 작용에 기반하지만, 함수적 적분 방법과는 다르다. 하지만 이 방법은 비인과적 구조를 가진 작용이나 게이지 "흐름"을 가진 작용과 같이 모든 가능한 작용에 적용되는 것은 아니다.

양자장론에서 게이지 "흐름"을 가진 작용을 양자화하는 방법으로는 BRST 형식의 확장인 바탈린-빌코비스키 형식이 있다.

3. 2. 경로 적분 양자화

리처드 파인먼이 경로적분을 제안했다. 고전역학 이론은 작용으로 주어지며, 허용 가능한 구성은 작용의 함수적 변분에 대해 극값을 갖는 구성이다. 고전계의 양자역학적 기술 또한 계의 작용을 이용하여 경로 적분 공식화를 통해 구성할 수 있다.

고전역학 이론은 작용의 범함수 변분에 대한 극값을 취하는 배위를 갖는 작용에 의해 주어진다. 고전역학계의 양자역학적 기술은 경로 적분을 통해 계의 작용으로부터 구성할 수도 있다.

3. 3. 기하학적 양자화

수리물리학에서 기하학적 양자화는 주어진 고전 이론에 대응하는 양자 이론을 정의하는 수학적 접근 방식이다. 일반적으로 양자화는 정확한 방법이 없지만, 기하학적 양자화는 고전 이론과 양자 이론 사이의 특정 유사성이 명확하게 유지되는 방식으로 수행하려고 시도한다. 예를 들어, 양자 역학의 하이젠베르크 그림에서 하이젠베르크 방정식과 고전 물리학에서 해밀턴 방정식 사이의 유사성이 내재되어야 한다.^[9]

고전적 위상 공간이 일반적인 사교 다양체일 수 있는 보다 기하적인 양자화 접근 방식은 1970년대에 베르트람 코스탄트(Bertram Kostant)와 장-마리 수리아우(Jean-Marie Souriau)에 의해 개발되었다. 이 방법은 두 단계로 진행된다.^[9] 첫째, 위상 공간 위의 제곱 가적 함수(또는 더 정확하게는 선다발의 단면)로 구성된 "전양자 힐베르트 공간"을 구성한다. 여기서 고전적 푸아송 괄호 관계에 정확하게 대응하는 교환 관계를 만족하는 연산자를 구성할 수 있다. 반면, 이 전양자 힐베르트 공간은 물리적으로 의미 있는 것보다 너무 크다. 그런 다음 위상 공간에서 변수의 절반에 따라 함수(또는 단면)를 제한하여 양자 힐베르트 공간을 생성한다.

3. 4. 게이지 이론의 양자화

게이지 이론은 양자전기역학(QED), 양자색역학(QCD) 등 현대 입자물리학의 근간을 이루는 이론으로, 그 양자화는 독특한 문제를 야기한다. 일반적인 양자화 방법으로 게이지 이론을 양자화하면 게이지 대칭 때문에 전파인자를 구할 수 없어, 게이지 고정을 해야 한다.

3. 4. 1. 굽타-블로일러 양자화

수라지 굽타(Suraj N. Gupta)와 콘라트 블로일러(Konrad Bleuler)가 굽타-블로일러 양자화를 고안하였다. 굽타-블로일러 양자화는 양자전기역학에서 사용되는 방법으로, 로렌츠 게이지 조건을 약하게 부과하여 비물리적인 자유도를 제거한다.^[1]

3. 4. 2. 파데예프-포포프 방법

일반적으로, 게이지 이론은 그냥 양자화하면 게이지 대칭 때문에 전파인자를 구할 수 없다. 따라서 게이지 고정을 해야 한다. 이를 위하여 임의로 게이지 대칭을 깨는 항을 넣을 수 있으나, 이는 그 후 삽입한 항이 고전적으로 영향을 주지 않는다는 것을 보여야 한다. 파데예프-포포프 방법(Fadeev–Popov method^영어)은 게이지를 자동적으로 고정하는 한 방법이다. 경로적분에 함수공간 델타 함수를 넣어 게이지를 고정한 후, 그 델타를 일련의 유령장(ghost)의 경로적분의 꼴로 바꾼다. 이렇게 하여 생긴 유령장은 실제로 관측할 수 없고, 스핀과 반대가 되는 통계를 따른다. 물리학적으로, 유령장은 게이지 장의 필요없는 자유도를 상쇄한다. 따라서 결과적으로 고전적 작용에 게이지 고정항과 유령항이 더해진 양자 작용을 얻게 된다.

러시아의 물리학자 류드비크 파데예프와 빅토르 니콜라예비치 포포프(Ви́ктор Никола́евич Попо́в^ru)가 고안하였다.

3. 4. 3. BRST 양자화

카를로 마리아 베키, 알랭 루에, 레몽 펠릭스 스토라, 이고르 빅토로비치 튜틴이 고안한 게이지 장을 양자화하는 방법이다.

3. 4. 4. 바탈린-빌코비스키 양자화

바탈린-빌코비스키 양자화는 BRST 양자화를 확장한 것으로, 게이지 대칭 대수가 닫혀 있지 않아도 되는 일반적인 게이지 이론을 양자화하는 방법이다. 반(反)장 (antifield^영어) 양자화라고 부른다. 바탈린-빌코비스키 양자화에서는 각 장에 반장, 각 게이지 대칭에 유령장과 반유령장을 도입한다.

공간을 엽층구조로 나누고 해밀토니안을 선택하는 비공변적인 방법에 의존하지 않고도 정준 양자화를 수행하는 방법이 있다. 이 방법은 고전적인 작용에 기반하지만, 함수적 적분 방법과는 다르다.

이 방법은 모든 가능한 작용에 적용되는 것은 아니다 (예를 들어, 비인과적 구조를 가진 작용이나 게이지 "흐름"을 가진 작용). 이 방법은 구성 공간에 대한 모든 (매끄러운) 함수들의 고전적인 대수에서 시작한다. 이 대수는 오일러-라그랑주 방정식에 의해 생성된 이상으로 몫을 취한다. 그런 다음, 이 몫 대수는 작용에서 유도된 푸아송 괄호, 즉 파이얼스 괄호를 도입하여 푸아송 대수로 변환된다. 이 푸아송 대수는 정준 양자화와 같은 방식으로 ℏ-변형된다.

양자장론에서 게이지 "흐름"을 가진 작용을 양자화하는 방법도 있다. 여기에는 BRST 형식의 확장인 바탈린-빌코비스키 형식이 포함된다.

3. 5. 기타 양자화 방법

표준 양자화의 틀 안에서도 고전적 상 공간에서 임의의 관측량을 양자화하는 데 어려움이 있는데, 이를 '''순서 모호성'''이라고 한다. 고전적으로 위치 변수 ''x''와 운동량 변수 ''p''는 서로 교환 가능하지만, 양자역학적 연산자는 그렇지 않다. 이 모호성을 해결하기 위해 다양한 '''양자화 방식'''이 제안되었는데, 그중 가장 널리 알려진 것은 와일 양자화 방식이다. 그럼에도 불구하고 '''그로네볼드-반 호베 정리'''는 완벽한 양자화 방식은 존재하지 않는다고 말한다. 구체적으로, ''x''와 ''p''의 양자화를 일반적인 위치 및 운동량 연산자로 취한다면, 어떤 양자화 방식도 고전적 관측량 간의 푸아송 괄호 관계를 완벽하게 재현할 수 없다.^[5]

자연스러운 양자화에 대한 초기 시도 중 하나는 헤르만 바일(Hermann Weyl)이 1927년에 제안한 와일 양자화이다.^[6] 이 방법에서는 고전적 상(phase) 공간의 실수 값 함수에 양자 역학적 관측 가능량(힐베르트 공간의 자기 수반 작용소)을 연결하려는 시도가 이루어진다. 이 상 공간의 위치와 운동량은 하이젠베르크 군의 생성자에 매핑되고, 힐베르트 공간은 하이젠베르크 군의 군 표현으로 나타난다. 1946년, H. J. 그로네월드(H. J. Groenewold)^[7]는 이러한 관측 가능량 쌍의 곱을 고려하여 고전적 상 공간에서 해당하는 함수가 무엇인지 질문했고, 이는 그에게 함수 쌍의 상 공간 ★-곱(star-product)을 발견하게 했다.

보다 일반적으로, 이 기법은 ★-곱이 사교 다양체(symplectic manifold) 또는 푸아송 다양체(Poisson manifold)의 함수 대수의 변형으로 간주되는 변형 양자화로 이어진다. 그러나 자연스러운 양자화 계획(함자)으로서 바일의 사상은 만족스럽지 않다. 예를 들어, 고전적 각운동량 제곱의 바일 사상은 단순히 양자 각운동량 제곱 작용소가 아니고, 상수 항을 더 포함한다. (이 추가 상수 항은 교육적으로 중요한데, 원자의 표준 양자 역학 기저 상태의 각운동량 값이 0이더라도 수소 원자의 기저 상태 보어 궤도의 0이 아닌 각운동량을 설명하기 때문이다.)^[8]

그러나 단순한 ''표현 변화''로서 바일의 사상은 유용하고 중요하며, 기존 양자 역학의 대체 ''등가'' 상태 공간 공식화의 기반이 된다.

이 외에도 다음과 같은 양자화 방법들이 존재한다.

루프 양자 중력 (루프 양자화)
불확정성 원리 (양자 통계 역학적 접근)
슈윙거의 양자 작용 원리

양자화는 고전적인 장을 장 이론의 양자 상태에 작용하는 연산자로 변환한다. 가장 낮은 에너지 상태는 진공 상태(en)라고 불리며, 이것은 매우 복잡하다. 고전 이론을 양자화하는 목적으로, 양자 진폭(en) 계산을 통해 물질이나 입자의 성질을 추정할 수 있다. 그러한 계산에는 재규격화라고 불리는 정교한 기법이 사용된다. 이것을 사용하지 않으면, 다양한 진폭 내에 무한대가 나타나는 등의 무의미한 결과가 나타나는 경우가 많다. 양자화 절차를 완벽하게 수행하려면 재규격화를 실행하는 방법이 필요하다.

장 이론의 양자화를 위해 개발된 최초의 방법은 정준 양자화이다. 이것은 충분히 단순한 이론 위에서 실행하기가 매우 용이하지만, 다른 양자화 방법이 양자 진폭 계산을 위한 더 효과적인 절차가 되는 상황이 많이 존재한다. 그럼에도 불구하고, 정준 양자화의 사용은 장 양자론의 해석에 여전히 유용하다.

참조

_[1] 서적 Albert Einstein: A Biography trans. Ewald Osers, Viking
_[2] 논문 Henri Poincaré and the Quantum Theory 1967-03-01 # Spring으로 추정
_[3] 논문 Poincaré's 1911–12 proof of quantum discontinuity interpreted as applying to atoms 2001-08-01
_[4] 서적 # 추정
_[5] 서적 # 추정
_[6] 논문 Quantenmechanik und Gruppentheorie
_[7] 논문 On the principles of elementary quantum mechanics
_[8] 논문 Concepts of radial and angular kinetic energies
_[9] 서적 # 추정
_[10] 서적 Albert Einstein: A Biography trans. Ewald Osers, Viking
_[11] 논문 Henri Poincaré and the Quantum Theory 1967-03-01 # Spring으로 추정
_[12] 논문 Poincaré's 1911–12 proof of quantum discontinuity interpreted as applying to atoms 2001-08-01

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