오각형 테셀레이션

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1. 개요
2. 단일 볼록 오각형 타일링
3. 비주기적 단일 오각형 타일링
4. 비볼록 오각형 타일링
5. 균일 타일링의 쌍대
6. 비유클리드 기하학에서의 오각형 타일링
참조

1. 개요

오각형 테셀레이션은 오각형을 사용하여 평면을 채우는 것을 의미하며, 단일 볼록 오각형 타일링은 한 종류의 볼록 오각형만으로 평면을 채우는 것을 말한다. 15가지 유형의 단일 볼록 오각형 타일링이 존재하며, 비주기적 타일링과 비볼록 오각형 타일링도 가능하다. 균일 테셀레이션의 쌍대로서 오각형 타일링이 존재하며, 구면 기하학과 쌍곡 기하학에서도 오각형 타일링을 찾을 수 있다.

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오각형 테셀레이션
오각형 테셀레이션
15가지 볼록 오각형 테셀레이션 유형의 예시
정보
정의	평면을 오각형으로 덮는 테셀레이션
관련 개념	테셀레이션 오각형

2. 단일 볼록 오각형 타일링

각이 A,B,C,D,E로, 모서리가 a,b,c,d,e로 주어진 오각형 타일의 예시

단일 볼록 오각형 타일링은 한 가지 종류의 볼록 오각형 타일만을 사용하여 평면을 빈틈없이 채우는 타일링을 의미한다. 이러한 조건을 만족하는 볼록 오각형은 총 15가지 유형이 존재하는 것으로 알려져 있다.

가장 마지막 유형은 2015년에 발견되었으며, 2017년 미셸 라오(Michaël Rao)는 컴퓨터를 이용한 증명을 통해 이 15가지 유형 외에 다른 볼록 오각형 타일링은 존재하지 않음을 증명하는 논문을 발표했다. 이 증명의 일부는 2017년 7월 토마스 헤일스에 의해 독립적으로 검증되었다.^[10] 한편, 타일들이 서로 모서리 전체로만 맞닿는(edge-to-edge) 타일링은 15가지 유형 중 8가지 유형의 오각형만 가능하다는 것이 밝혀졌다.

오각형 타일의 각 꼭짓점에서의 각은 일반적으로 ''A'', ''B'', ''C'', ''D'', ''E''로 표시하고, 각 꼭짓점의 시계방향 다음 변의 길이를 각각 ''a'', ''b'', ''c'', ''d'', ''e''로 표시한다. 즉, 각 ''A'', ''B'', ''C'', ''D'', ''E''는 각각 변 ''d'', ''e'', ''a'', ''b'', ''c''의 맞은편 각이다.

2. 1. 오각형 타일의 15가지 유형

한 가지 종류의 볼록 오각형 타일만을 사용하여 평면을 빈틈없이 채우는 타일링 방법은 총 15가지 유형이 알려져 있다. 가장 마지막 유형은 2015년에 발견되었으며, 2017년 미셸 라오(Michaël Rao)는 컴퓨터를 이용한 증명을 통해 이 15가지 유형 외에 다른 볼록 오각형 타일링은 존재하지 않음을 증명하는 논문을 발표했다. 라오의 증명 중 일부는 2017년 7월 토마스 헤일스에 의해 독립적으로 검증되었다.^[10] 한편, 타일들이 서로 모서리 전체로만 맞닿는(edge-to-edge) 타일링은 15가지 유형 중 8가지 유형의 오각형만 가능하다는 것이 밝혀졌다.

아래 목록의 각 타일 유형은 다른 유형에 포함되지 않는 고유한 조건을 만족하는 오각형 타일을 포함하지만, 특정 모양의 오각형 타일은 두 가지 이상의 유형 조건을 동시에 만족할 수도 있다. 또한, 각 유형에 속하는 오각형 타일 중 일부는 해당 유형의 기본적인 타일링 패턴 외에 다른 방식으로도 평면을 타일링할 수 있다.

아래 그림과 설명에서 오각형의 각 꼭짓점에서의 각은 ''A'', ''B'', ''C'', ''D'', ''E''로 표시하고, 각 꼭짓점의 시계방향 다음 변의 길이를 각각 ''a'', ''b'', ''c'', ''d'', ''e''로 표시한다. 즉, 각 ''A'', ''B'', ''C'', ''D'', ''E''는 각각 변 ''d'', ''e'', ''a'', ''b'', ''c''의 맞은편 각이다.

단일 볼록 오각형 타일의 15가지 유형
유형 1	유형 2	유형 3	유형 4	유형 5
유형 1 오각형 B + C = 180° A + D + E = 360°	유형 2 오각형 c = e B + D = 180°	유형 3 오각형 a = b, d = c + e A = C = D = 120°	유형 4 오각형 b = c, d = e B = D = 90°	유형 5 오각형 a = b, d = e A = 60°, D = 120°
유형 6	유형 7	유형 8	유형 9	유형 10
유형 6 오각형 a = d = e, b = c B + D = 180°, 2B = E	유형 7 오각형 b = c = d = e B + 2E = 2C + D = 360°	유형 8 오각형 b = c = d = e 2B + C = D + 2E = 360°	유형 9 오각형 b = c = d = e 2A + C = D + 2E = 360°	유형 10 오각형 a = b = c + e A = 90°, B + E = 180° B + 2C = 360°
유형 11	유형 12	유형 13	유형 14	유형 15
유형 11 오각형 2a + c = d = e A = 90°, C + E = 180° 2B + C = 360°	유형 12 오각형 2a = d = c + e A = 90°, C + E = 180° 2B + C = 360°	유형 13 오각형 d = 2a = 2e B = E = 90° 2A + D = 360°	유형 14 오각형 2a = 2c = d = e A = 90°, B ≈ 145.34°, C ≈ 69.32° D ≈ 124.66°, E ≈ 110.68° (2B + C = 360°, C + E = 180°)	유형 15 오각형 a = c = e, b = 2a A = 150°, B = 60°, C = 135° D = 105°, E = 90°

이러한 15가지 유형 중 다수는 변의 길이나 각의 크기가 변할 수 있는 자유도를 가진다. 어떤 경우에는 변의 길이가 0에 가까워지거나 각의 크기가 180°에 가까워지기도 하며, 유형 1, 2, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 13은 특정 조건에서 오목 다각형 형태가 될 수도 있다.

각 유형의 오각형 타일은 고유한 방식으로 평면을 채우며, 반복되는 패턴을 가지는 주기적 타일링은 평면의 결정군(Wallpaper group)으로 분류될 수 있다. 타일링의 기본 단위(primitive unit)는 평행 이동만으로 전체 타일링을 생성할 수 있는 최소한의 타일 그룹을 의미한다.

아래는 각 유형별 타일링의 예시와 특징이다.

유형 1: 다양한 타일링 패턴이 가능하다. 기본 단위는 2개 또는 4개의 타일로 구성될 수 있다. 평면의 결정군으로는 p2 (2222), cmm (2*22), cm (*×), pmg (22*), pgg (22×) 등이 가능하다.

유형 1 타일링 예시
p2 (2222)	cmm (2*22)	cm (*×) (p1 (°))	pmg (22*) (p2 (2222))	pgg (22×) (p2 (2222))	p2 (2222)	cmm (2*22)
p2 (2222)	cmm (2*22)				p2 (2222)	cmm (2*22)
2-타일 기본 단위			4-타일 기본 단위

유형 2: 기본 단위는 4개의 타일로 구성된다. pgg (22×) 또는 p2 (2222) 대칭을 가질 수 있다. 모서리 대 모서리 타일링이 가능한 변형도 존재한다.

유형 2 타일링 예시
pgg (22×) / p2 (2222)	pgg (22×) / p2 (2222) (모서리 대 모서리)

4-타일 기본 단위

유형 3: 기본 단위는 3개의 타일로 구성된다. p3 (333) 또는 p31m (3*3) 대칭을 가진다.
유형 4: 기본 단위는 4개의 타일로 구성된다. p4 (442) 또는 p4g (4*2) 대칭을 가진다.
유형 5: 기본 단위는 6개 또는 18개의 타일로 구성될 수 있다. p6 (632) 대칭을 가진다.

유형 3		유형 4		유형 5
p3 (333)	p31m (3*3)	p4 (442)	p4g (4*2)	p6 (632)

3-타일 기본 단위		4-타일 기본 단위		6-타일 기본 단위	18-타일 기본 단위

유형 6: 기본 단위는 4개의 타일로 구성된다. p2 (2222) 대칭을 가진다. 모서리 대 모서리 타일링이다. 특정 조건(B=60°)에서는 유형 5의 조건도 만족한다.
유형 7: 기본 단위는 8개의 타일로 구성된다. pgg (22×) 또는 p2 (2222) 대칭을 가진다. 모서리 대 모서리 타일링이다.
유형 8: 기본 단위는 8개의 타일로 구성된다. pgg (22×) 또는 p2 (2222) 대칭을 가진다. 모서리 대 모서리 타일링이다.

유형 6	유형 7	유형 8
p2 (2222)	pgg (22×) / p2 (2222)	pgg (22×) / p2 (2222)

4-타일 기본 단위	8-타일 기본 단위	8-타일 기본 단위

유형 9: 기본 단위는 8개의 타일로 구성된다. pgg (22×) 또는 p2 (2222) 대칭을 가진다. 모서리 대 모서리 타일링이다.
유형 10: 기본 단위는 6개의 타일로 구성된다. p2 (2222) 또는 cmm (2*22) 대칭을 가진다. 모서리 대 모서리가 아닌 타일링이다.

유형 10 타일링 예시
p2 (2222)	cmm (2*22)

6-타일 기본 단위

유형 11: 기본 단위는 8개의 타일로 구성된다. pgg (22×) 또는 p2 (2222) 대칭을 가진다. 모서리 대 모서리가 아닌 타일링이다.
유형 12: 기본 단위는 8개의 타일로 구성된다. pgg (22×) 또는 p2 (2222) 대칭을 가진다. 모서리 대 모서리가 아닌 타일링이다.
유형 13: 기본 단위는 8개의 타일로 구성된다. pgg (22×) 또는 p2 (2222) 대칭을 가진다. 모서리 대 모서리가 아닌 타일링이다.

유형 9	유형 11	유형 12	유형 13
pgg (22×) / p2 (2222)

8-타일 기본 단위	8-타일 기본 단위	8-타일 기본 단위	8-타일 기본 단위

유형 14: 1985년 롤프 슈타인(Rolf Stein)이 발견했다. 이 유형의 오각형은 변의 길이 비율과 각도가 특정 값으로 유일하게 결정되며 자유도가 없다. 정확한 비율은 b/a = √((11√57 - 25)/8) 이고, 각 B는 sin(B) = (√57 - 3)/8 인 둔각이다. 타일링은 모서리 대 모서리가 아니며, 기본 단위는 6개의 타일로 구성되고 p2 (2222) 대칭을 가진다.

유형 14 타일링
유형 14 타일링	2a=2c=d=e A=90°, B≈145.34°, C≈69.32°, D≈124.66°, E≈110.68° (2B+C=360°, C+E=180°)	유형 14 기본 단위 6-타일 기본 단위

유형 15: 2015년 케이시 만, 제니퍼 맥클라우드-만, 데이비드 폰 데라우가 컴퓨터 알고리즘을 이용하여 발견했다. 이 유형 역시 변의 길이와 각도가 유일하게 결정된다. 타일링은 모서리 대 모서리가 아니며, 기본 단위는 12개의 타일로 구성된다. pgg (22×) 또는 p2 (2222) 대칭을 가진다.

유형 15 타일링
유형 15 타일링	a=c=e, b=2a A=150°, B=60°, C=135° D=105°, E=90°	유형 15 기본 단위 12-타일 기본 단위

미셸 라오의 증명에 따라, 평면을 타일링할 수 있는 볼록 다각형은 이 15가지 유형의 오각형, 3가지 유형의 육각형, 그리고 모든 삼각형과 사각형으로 완전하게 목록화되었다. 또한, 이 15가지 오각형 유형 모두 주기적인 타일링이 가능하므로, 비주기적으로만 평면을 타일링하는 볼록 다각형은 존재하지 않는다는 결론을 얻을 수 있다.

2. 2. 타일링의 역사

1918년 독일의 수학자 카를 라인하르트(Karl Reinhardt)는 처음으로 5가지 유형의 오각형 타일을 발견했다. 1968년 미국의 수학자 리처드 커슈너(Richard Kershner)는 3가지 유형을 추가로 발견했으나, 당시에는 이것이 전부라고 잘못 주장했다. 1975년 미국의 수학자 리처드 E. 제임스 3세(Richard E. James III)는 9번째 유형(10번째 유형으로 분류됨)을 발견했다.^[11] 1976년과 1977년에 걸쳐 미국의 아마추어 수학자 마조리 라이스(Marjorie Rice)는 4가지 유형을 추가로 발견했다.^[12] 1985년 독일의 수학자 롤프 슈타인(Rolf Stein)이 14번째 유형을 발견했다. 15번째이자 마지막 유형은 2015년에 발견되었다. 2017년 프랑스의 수학자 미카엘 라오(Michaël Rao)는 컴퓨터를 이용하여 15가지 유형 외에 다른 볼록 오각형 타일링은 존재하지 않음을 증명하는 논문을 발표했다. 이 증명의 일부는 토머스 헤일스(Thomas Hales)에 의해 독립적으로 검증되었다.^[10] 라오의 증명 결과 중 하나는, 알려진 15가지 유형의 오각형 타일링이 모두 주기적인 테셀레이션을 허용하므로, 평면을 비주기적으로만 테셀레이션하는 볼록 다각형은 존재하지 않는다는 것이다.

2. 3. 각 유형별 상세 설명

라인하르트(K. Reinhardt)는 1918년에 처음으로 5가지 유형의 오각형 타일링을 발견했다. 이 5가지 유형은 모두 등면적 테셀레이션(타일 하나를 다른 타일로 대칭 이동시킬 수 있는 테셀레이션)을 만들 수 있다.

유형 1

유형 1 오각형으로는 여러 종류의 타일링 방식이 있으며, 아래는 5가지 예시다.

유형 2

유형 2의 예시는 등면적 테셀레이션이며, pgg (22×) 대칭을 가진다. 거울상 타일을 구분하면 p2 (2222) 대칭이 된다. 두 번째 예시는 변과 변이 맞닿는(edge-to-edge) 변형이다.

유형 3, 4, 5

커슈너(R. B. Kershner)는 1968년에 3가지 유형을 추가로 발견하여 총 8가지 유형을 제시했다. 그는 이 8가지 유형이 전부라고 잘못 주장했다. 유형 6, 7, 8은 2-등면체이며, 유형 7과 8은 카이랄성을 가진다 (거울상 이미지가 서로 다름).

유형 6, 7, 8

아래 예시에서 유형 7과 8의 카이랄 쌍은 노란색-녹색과 두 가지 파란색 음영으로 표시된다. 카이랄 쌍을 구별하면 pgg 대칭은 p2로 축소된다. 유형 6의 두 번째 예시는 유형 5에도 속한다.

리처드 E. 제임스 3세(Richard E. James III)는 1975년에 9번째 유형을 발견했고,^[11] 이는 목록에서 유형 10으로 분류되었다. 이 테셀레이션은 3-등면체이며 모서리가 서로 맞닿지 않는(non-edge-to-edge) 방식이다.

유형 10 테셀레이션 예시
평면의 결정군 p2 (2222)	평면의 결정군 cmm (2*22)

유형 10 애니메이션
a=b=c+e A=90°, B+E=180° B+2C=360°	유형 10 원형 타일 (cmm) a=b=2c=2e A=B=E=90° C=D=135°
유형 10 기본 단위 6-타일 기본 단위

아마추어 수학자 마조리 라이스(Marjorie Rice)는 1976년과 1977년에 4가지 새로운 유형(유형 9, 11, 12, 13)을 발견했다.^[12] 이 4가지 타일링은 모두 2-등면체이며 카이랄성을 가진다. 유형 9는 모서리가 맞닿지만, 나머지 3개 유형은 그렇지 않다. 각 기본 단위는 8개의 타일로 이루어져 있다.

유형 9	유형 11	유형 12	유형 13
평면의 결정군 pgg (22×) / p2 (2222)

유형 9 애니메이션	유형 11 애니메이션	유형 12 애니메이션	유형 13 애니메이션
b=c=d=e 2A+C=D+2E=360°	2a+c=d=e A=90°, 2B+C=360° C+E=180°	2a=d=c+e A=90°, 2B+C=360° C+E=180°	d=2a=2e B=E=90°, 2A+D=360°
유형 9 기본 단위 8-타일 기본 단위	유형 11 기본 단위 8-타일 기본 단위	유형 12 기본 단위 8-타일 기본 단위	유형 13 기본 단위 8-타일 기본 단위

롤프 슈타인(Rolf Stein)은 1985년에 유형 14를 발견했다. 이 타일링은 3-등면체이며 모서리가 맞닿지 않는다. 타일 모양은 자유도 없이 완전히 결정된다. 변 b와 a의 비율, 각 B의 사인 값 등이 특정 수학적 관계로 정해진다. 기본 단위는 6개의 타일로 이루어져 있으며, p2 (2222) 대칭을 가진다.

유형 14 테셀레이션 예시
	2a=2c=d=e A=90°, B≈145.34°, C≈69.32°, D≈124.66°, E≈110.68° (2B+C=360°, C+E=180°)	6-타일 기본 단위

케이시 만(Casey Mann), 제니퍼 맥클라우드-만(Jennifer McLoud-Mann), 데이비드 폰 데라우(David Von Derau)는 2015년에 컴퓨터 알고리즘을 이용하여 유형 15를 발견했다. 이 타일링은 3-등면체이며 모서리가 맞닿지 않는다. 타일 모양은 자유도 없이 완전히 결정된다. 기본 단위는 12개의 타일로 이루어져 있으며, pgg (22×) 대칭을 가진다 (카이랄 쌍을 구별하면 p2 (2222) 대칭).

유형 15 테셀레이션 예시
	a=c=e, b=2a (d는 a와 관련된 특정 값) A=150°, B=60°, C=135° D=105°, E=90°	12-타일 기본 단위

2017년 미셸 라오(Michaël Rao)는 컴퓨터를 이용한 증명을 통해 이 15가지 유형 외에 다른 볼록 오각형 타일링은 존재하지 않음을 보였다. 따라서 평면을 타일링할 수 있는 볼록 다각형의 목록은 이 15가지 오각형, 3가지 육각형, 모든 삼각형과 사각형으로 완성되었다.

3. 비주기적 단일 오각형 타일링

비주기적 타일링은 반복되는 패턴 없이 평면을 채우는 타일링을 의미한다. 마이클 허쉬혼(Michael Hirschhorn)이 만든 6회 회전대칭의 예시와 같이 비주기적인 단일 오각형 타일링도 존재한다. 이 6회 대칭 타일링에서 각 오각형의 내각은 A = 140°, B = 60°, C = 160°, D = 80°, E = 100°이다.

2016년, 베른하르트 클라센(Bernhard Klaassen)은 모든 이산 회전 대칭 유형(회전대칭 C_n과 정다각형 대칭 D_n)이 동일한 오각형 클래스에서 단일 오각형 타일링으로 표현될 수 있음을 증명하였다. 즉, n>2인 자연수 n에 대해 n회 대칭인 타일링이 가능하다는 것이다. 아래는 5회, 6회, 7회 대칭 타일링의 예시이다.

4. 비볼록 오각형 타일링

볼록 다각형일 필요가 없는 오각형을 사용하면 추가적인 종류의 타일링이 가능하다. 한 예로 오각형 rep-tile로 형성된 비주기적 타일링인 스핑크스 타일링이 있다. 스핑크스는 두 개의 스핑크스 타일을 함께 맞춰 평행사변형을 형성한 다음 이 평행사변형을 이동하여 평면을 타일링함으로써 주기적으로 평면을 타일링할 수도 있으며, 이 패턴은 2π가 되는 두 개의 연속된 각도를 갖는 모든 비볼록 오각형으로 확장될 수 있다.

정삼각형을 삼각형의 중심에서 만나도록 세 개의 합동인 비볼록 오각형으로 나눌 수 있으며, 결과로 얻은 세 개의 오각형 단위로 평면을 타일링할 수 있다. 비슷한 방법을 사용하여 정사각형을 네 개의 합동인 비볼록 오각형으로, 또는 정육각형을 여섯 개의 합동인 비볼록 오각형으로 세분할 수 있으며, 결과로 얻은 단위를 사용하여 평면을 타일링할 수 있다.

5. 균일 타일링의 쌍대

유형 1의 예^[6]카이로 오각형 테셀레이션

유형 4의 예^[6]^[5]플로렛 오각형 테셀레이션

유형 1, 5 및 6의 예^[6]

120°, 120°, 120°, 90°, 90°
V3.3.3.4.4

120°, 120°, 90°, 120°, 90°
V3.3.4.3.4

120°, 120°, 120°, 120°, 60°
V3.3.3.3.6

2-등면		3-등면
p4g (4*2)	pgg (22×)		p2 (2222)	p6 (*632)
2-균일 쌍대 테셀레이션 (p4g)	2-균일 쌍대 테셀레이션 (pgg)	3-균일 쌍대 테셀레이션 (pgg)	3-균일 쌍대 테셀레이션 (p2)	3-균일 쌍대 테셀레이션 (p6)

4-등면			5-등면
pgg (22×)		p2 (2222)		p6m (*632)
4-균일 쌍대 테셀레이션 (pgg)	4-균일 쌍대 테셀레이션 (pgg)	4-균일 쌍대 테셀레이션 (p2)	5-균일 쌍대 테셀레이션 (p2)	5-균일 쌍대 테셀레이션 (p6m)

5-등면
pgg (22×)			p2 (2222)
5-균일 쌍대 테셀레이션 (pgg)	5-균일 쌍대 테셀레이션 (pgg)	5-균일 쌍대 테셀레이션 (pgg)	5-균일 쌍대 테셀레이션 (p2)	5-균일 쌍대 테셀레이션 (p2)

7-3	8-3	9-3	...	5-4	6-4	7-4	...	5-5
V3.3.7.3.3	V3.3.8.3.3
...	V3.3.4.3.5
...