유리 함수층

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 정역 스킴의 경우
- 2.2. 일반적 스킴의 경우
3. 성질
4. 예
5. 역사
6. 관련 개념 (또는 같이 보기)
- 6.1. 스키마 이론
- 6.2. 대수 기하학
참조

1. 개요

유리 함수층은 정역 스킴 위의 정칙 함수환의 분수체를 각 열린 집합에 대응시키는 층이다. 고전 대수기하학에서는 다양체의 유리 함수를 아핀 좌표환에서 두 다항식의 비율로 정의하며, 스킴 이론에서는 정수 스킴의 일반점 줄기로 정의된다. 유리 함수층은 국소환 달린 공간에서 정의되며, 그 줄기는 구조층의 줄기의 전분수환과 같다. 또한, 아핀 스킴의 유리 함수층은 환의 스펙트럼으로 가는 환 준동형을 가지며, 코호몰로지 긴 완전열을 통해 가역 정칙 함수군, 가역 유리 함수군, 카르티에 인자군 등과 관련된다. 예시로는 체 위의 점, 아핀 직선, 아핀 평면 곡선 등이 있으며, 함수체 (스킴 이론), 대수 함수체, 카르티에 인자와 같은 개념과 연관된다. 유리 함수층은 알렉산더 그로텐디크에 의해 도입되었으며, 스티븐 클라이먼에 의해 수정되었다.

2. 정의

유리 함수층은 주어진 공간(대수다양체, 스킴 등) 위에서 정의되는 유리 함수들의 층이다.

유리 함수층은 정역 스킴 및 국소환 달린 공간에서 정의된다. 정역 스킴의 경우, 각 열린집합에 대해 정칙함수환의 분수체를 취하여 정의한다. 일반적인 스킴의 경우, 각 열린집합과 그 안의 점에 대해 줄기로 가는 사상을 정의한 후, 영인자가 아닌 원소들의 곱셈 모노이드로 국소화를 하여 준층을 정의하고, 이 준층을 층화하여 유리함수층을 정의한다.

2. 1. 정역 스킴의 경우

정역 스킴

(X,\mathcal O_X)

위의 '''유리 함수층'''

\mathcal K_X

는 공집합이 아닌 열린집합

U\subseteq X

에 대하여, 정칙 함수들의 정역의 분수체인

\operatorname{Frac}(\Gamma(U;\mathcal O_X))

를 대응시키는 층이다.^[1] 즉, 다음과 같다.

:

\Gamma(U;\mathcal K_X)=\operatorname{Frac}(\Gamma(U;\mathcal O_X))

공집합의 경우, 층의 값은 항상 자명환이다.

:

\Gamma(\varnothing;\mathcal K_X)=0

2. 2. 일반적 스킴의 경우

임의의 국소환 달린 공간

(X, \mathcal{O}_X)

의 '''유리 함수층'''

\mathcal{K}_X

는 다음과 같이 정의한다.^[2]^[3]

각 열린집합

U \subseteq X

및

x \in U

에 대하여, 줄기

\mathcal{O}_{X,x}

로 가는 표준적인 제약 사상

:

\operatorname{res}_{U,x} \colon \Gamma(U, \mathcal{O}_X) \to \mathcal{O}_{X,x}

이 존재한다. 그렇다면, 다음과 같은 집합을 정의한다.

:

S_U = \left\{ f \in \Gamma(U; \mathcal{O}_X) \colon \operatorname{res}_{U,x}(f) \in \operatorname{Reg}(\mathcal{O}_{X,x}) \right\} = \bigcap_{x \in U} \operatorname{res}_{U,x}^{-1} \left( \operatorname{Reg}(\mathcal{O}_{X,x}) \right) \subset \Gamma(U; \mathcal{O}_X)

여기서

\operatorname{Reg}(-)

는 가환환에서 영인자가 아닌 원소들의 곱셈 모노이드이다. 이는 곱셈 모노이드들의 교집합이므로 역시 곱셈 모노이드를 이룬다.

그렇다면

X

위의 준층

\tilde{\mathcal{K}}_X

를 다음과 같은 국소화로 정의한다.

:

\Gamma(U; \tilde{\mathcal{K}}_X) = S_U^{-1} \Gamma(U; \mathcal{O}_X)

여기서

S_U^{-1}

은 국소화이다. 이 경우, 제약 사상은 국소화로 유도되는 자연스러운 사상들이다.

X

위의 '''유리 함수층'''

\mathcal{K}_X

는 준층

\tilde{\mathcal{K}}_X

의 층화이며, 이는

\mathcal{O}_X

-가군층을 이룬다.

임의의 스킴 위의 유리 함수층의 경우, 단면들이 체를 이루지 않을 수 있다.

3. 성질

유리 함수층은 여러 중요한 성질을 가지며, 이를 통해 대수다양체의 기하학적 특성을 파악할 수 있다.

$V$ 가 체 $K$ 위의 다양체라면, 함수체 $K(V)$ 는 기저체 $K$ 의 유한 생성 확대이다. 그 초월 차수는 다양체의 차원과 같다. $K$ 의 유한 생성 확대는 어떤 대수적 다양체로부터 이와 같은 방식으로 발생한다. 이러한 체 확대는 $K$ 위의 대수적 함수체로 알려져 있다.

함수체에만 의존하는 다양체 $V$ 의 성질은 쌍유리 기하학에서 연구된다.

3. 1. 줄기

국소 뇌터 스킴이거나 축소 스킴이며 그 기약 성분의 집합이 국소적으로 유한한 경우 (임의의 점에서 기약 성분의 수가 유한한 열린 근방이 존재), 유리 함수층의 줄기는 구조층 줄기의 전분수환과 같다.^[2]^[4]

:

\mathcal{K}_{X,x} = \operatorname{Frac}(\mathcal{O}_{X,x})

3. 2. 아핀 스킴의 유리 함수층

가환환

R

에 대하여, 전분수환

\operatorname{Frac}(R)

에서 스펙트럼 위의 유리 함수환으로 가는 표준적인 환 준동형

:

\operatorname{Frac}(R)\to\Gamma(\operatorname{Spec}R;\mathcal K_{\operatorname{Spec}R})

이 존재하며, 이는 항상 단사 함수이다.^[4]

만약

R

가 뇌터 환이거나, 유한 개의 극소 소 아이디얼들을 갖는 축소환이라면, 이는 환의 동형 사상을 이룬다.^[4] 그러나 일반적으로 이는 동형 사상이 아니다.

3. 3. 코호몰로지

국소환 달린 공간

(X,\mathcal O_X)

위에는 다음과 같은 아벨 군 층의 짧은 완전열이 존재한다.

:

1\to\mathcal O_X^\times\to\mathcal K_X^\times\to\mathcal K_X^\times/\mathcal O_X^\times\to1

여기서

(-)^\times

는 가역원층을 뜻한다. 이에 따라서 다음과 같은 층 코호몰로지 긴 완전열이 존재한다.

:

1\to\Gamma(X;\mathcal O_X^\times)\to\Gamma(X;\mathcal K_X^\times)\to\Gamma(X;\mathcal K_X^\times/\mathcal O_X^\times)\to\operatorname H^1(X;\mathcal O_X^\times)\to\operatorname H^1(X;\mathcal K_X^\times)\to\operatorname H^1(X;\mathcal K_X^\times/\mathcal O_X^\times)\to\operatorname H^2(X;\mathcal O_X^\times)\to\cdots

여기서 각 코호몰로지 군들은 다음과 같은 특별한 이름을 갖는다.

코호몰로지 군	설명
$\Gamma(X;\mathcal O_X^\times)$	가역 정칙 함수군
$\Gamma(X;\mathcal K_X^\times)$	가역 유리 함수군
$\Gamma(X;\mathcal K_X^\times/\mathcal O_X^\times)$	카르티에 인자 군
$\Gamma(X;\mathcal K_X^\times/\mathcal O_X^\times)/\Gamma(X;\mathcal K_X^\times)$	카르티에 인자 유군
$\operatorname H^1(X;\mathcal O_X^\times)$	피카르 군

4. 예

체 K에 대한 0차원 아핀 공간(점)과 아핀 직선의 유리 함수층은 다음과 같다.

공간	유리 함수층
0차원 아핀 공간 $\mathbb A^0_K\operatorname{Spec}K=\{(0)\}$ (한원소 공간)	$\Gamma(\operatorname{Spec}K,\mathcal K_{\operatorname{Spec}K})=K$
아핀 직선 $\mathbb A^1_K=\operatorname{Spec}K[x]$	$\Gamma(\mathbb A^1_K,\mathcal K_{\mathbb A^1_K})=K(x)$ ( $K$ 계수의 유리 함수들의 체)

4. 1. 체 위의 점

체 K 위의 0차원 아핀 공간(점)의 유리 함수층은 K 자체이다.

4. 2. 아핀 직선

체

K

에 대하여, 아핀 직선

\mathbb A^1_K=\operatorname{Spec}K[x]

의 유리 함수층은

\Gamma(\mathbb A^1_K,\mathcal K_{\mathbb A^1_K})=K(x)

이다. 즉,

K

계수 유리 함수들의 체이다.

4. 3. 아핀 평면 곡선

방정식

y^2 = x^5 + 1

로 정의되는 아핀 대수 평면 곡선을 생각해 보자. 그 함수체는 ''K'' 위에 초월원인 원소 ''x''와 ''y''에 의해 생성되고, 대수적 관계

y^2 = x^5 + 1

을 만족하는 체 ''K''(''x'',''y'')이다.

5. 역사

알렉산더 그로텐디크가 1967년에 유리 함수층의 개념을 도입하였으나,^[5] 그로텐디크의 정의는 문제가 있었다. 이를 스티븐 클라이먼Steven Kleiman|스티븐 클라이먼^영어이 1979년에 지적하고 교정하였다.^[2]

6. 관련 개념 (또는 같이 보기)

함수체 (스키마론)
대수 함수체
카르티에 인자

6. 1. 스키마 이론

현대 개형 이론에서, X가 정수 스키마이면, X의 모든 열린 아핀 부분 집합 U에 대해 U에서의 단면 고리

\mathcal{O}_X(U)

는 정역이며, 따라서 분수체를 갖는다.^[1] 이들은 모두 같고, X의 일반점의 줄기와 모두 같다는 것을 확인할 수 있다. 따라서 X의 함수체는 단순히 일반점의 줄기이다. 이 관점은 함수체 (스키마 이론)에서 더 발전되었다.

6. 2. 대수 기하학

현대 scheme 이론에서, 정수 scheme

X

의 모든 열린 아핀 부분 집합

U

에 대해,

U

에서의 단면 고리

\mathcal{O}_X(U)

는 정역이며 따라서 분수체를 갖는다. 이들은 모두 같고,

X

의 일반점의 줄기와 모두 같다. 따라서

X

의 함수체는 단순히 일반점의 줄기이다. 이 관점은 함수체 (scheme 이론)에서 더 발전되었다.^[1]

함수체 (스키마론) : 일반화
대수 함수체
카르티에 인자

참조

_[1] 문서
_[2] 저널 Misconceptions about ''K''_''X'' 1979
_[3] 서적 Algebraic geometry Springer-Verlag 1977
_[4] 서적 Algebraic geometry and arithmetic curves https://web.archive.[...] Oxford University Press 2016-05-01
_[5] 저널 Éléments de géométrie algébrique: IV. Étude locale des schémas et des morphismes de schémas, Quatrième partie https://web.archive.[...] 2016-05-03

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