유휘
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1. 개요
유휘는 3세기의 중국 수학자로, 《구장산술》에 대한 주석을 통해 수학적 업적을 남겼다. 그는 십진법 분수를 활용하여 수학적 결과를 표현했으며, 피타고라스 정리에 대한 증명을 제공했다. 또한, 원주율 π의 근사값을 계산하고 가우스 소거법과 카발리에리의 원리를 활용하는 등 다양한 수학적 기법을 사용했다. 유휘는 263년에 측량학 관련 문제를 다룬 《해도산경》을 저술하여 측량술에도 기여했으며, 그의 업적은 동시대 사람들에게도 널리 알려졌다.
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| 유휘 - [인물]에 관한 문서 | |
|---|---|
| 기본 정보 | |
| 이름 | 류후이 |
| 원어 이름 | 劉徽 |
| 로마자 표기 | Liu Hui |
| 출생 | 기원후 225년경, 중국 산둥성 쯔보 시 |
| 사망 | 기원후 295년경 |
| 직업 | 수학자, 작가 |
2. 수학적 업적
유휘는 263년 고대 중국 수학서 《구장산술》에 대한 중요한 주석을 남겼으며, 이는 원본만큼이나 중요한 저작으로 평가받는다.[19] 그는 이 주석과 별도의 저서 《해도산경》을 통해 수학의 여러 분야에 걸쳐 중요한 업적을 남겼다.
주요 업적으로는 도량형 단위를 활용한 십진법 분수 표현 방식의 사용,[4][19][20] 피타고라스 정리와 동일한 내용의 정리에 대한 독자적인 증명 제시,[3][6][21][22] 그리고 입체기하학 분야의 발전, 특히 쐐기와 같은 도형의 부피를 구하는 방법을 개선한 점 등이 있다.[7][23]
또한 유휘는 원주율(π)을 계산하는 정밀한 알고리즘(유휘의 π 알고리즘)을 개발하여 당시로서는 매우 정확한 근사값을 얻었으며,[24][9][10][25] 선형 연립방정식 해법인 가우스 소거법과 카발리에리의 원리를 이용한 부피 계산법 등을 제시했다.[11][12][26] 그는 제곱근 계산법을 개선하고,[19] 고대 인도 수학자 브라마굽타보다 앞서 음수를 계산에 활용했을 가능성이 제기되기도 한다.
《해도산경》에서는 측량학 분야에 기여하여, 막대를 이용해 거리와 높이를 측정하는 다양한 실용적인 방법을 제시했다.[13][14][28][29] 그의 연구는 이론적인 측면뿐만 아니라 운하 건설이나 제방 축조와 같은 실용적인 문제 해결에도 응용되었다.[27][16] 유휘의 작업 중 일부 오류는 후대 수학자 이순풍에 의해 수정되었으나, 그의 업적은 중국 수학사에서 매우 중요한 위치를 차지한다.
2. 1. 《구장산술》 주석
유휘는 263년에 고대 중국의 중요한 수학서인 《구장산술》의 주석본을 저술했다.[19] 이 주석은 원본만큼이나 중요한 저작으로 평가받으며, 유휘 자신의 독창적인 수학적 기여를 다수 포함하고 있다.주석에서 유휘는 다양한 수학적 개념과 해법을 제시했다. 그는 수학적 결과를 도량형 단위를 이용한 십진법 분수 형태로 표현했으며,[4][19][20] 피타고라스 정리에 대한 증명을 제공했다.[3][6][21][22] 또한, 입체 도형의 부피를 구하는 방법을 발전시켰는데, 특히 쐐기와 같은 도형을 더 기본적인 형태로 분할하여 계산하는 방법을 제시했다.[7][23][2]
유휘는 원주율(π)을 계산하는 정밀한 알고리즘을 개발했으며,[24][9][10][25] 선형 연립방정식의 해법인 가우스 소거법과 카발리에리의 원리를 사용한 부피 계산법 등을 제시했다.[11][12][26] 그는 제곱근 계산법을 개선하고 음수를 계산에 활용했을 가능성도 제기된다.[19]
유휘는 주석에서 특정 해법이 적용되는 원리를 설명하고자 노력했으며, 운하 건설이나 제방 축조와 같은 실용적인 문제에 대한 계산 방법도 다루었다.[27] 그러나 그의 주석에는 일부 오류도 포함되어 있었으며, 이는 후대 당나라 시대의 수학자 이순풍에 의해 수정되었다.[23]
2. 1. 1. 원주율 계산
유휘는 『구장산술』 주석에서 원주율(π)을 근사하는 알고리즘을 제시했다.[24] 당시에는 π를 3으로 가정하는 것이 일반적이었으나,[8] 유휘는 원에 다각형을 내접시키는 방법(할원법)을 사용하여 π 값을 구했다. 이 방법은 각 반쪽 세그먼트로 형성된 직각 삼각형의 속성을 이용하여 내접 다각형의 둘레 길이를 계산하는 것으로, 아르키메데스가 사용한 방법과 유사하다.[9]그는 192각형(= 25 × 6)을 이용하여 라는 부등식을 얻었다.[25] 아르키메데스는 외접 96각형과 내접 96각형을 모두 사용하여 각각 상한()과 하한()을 구했지만, 유휘는 내접 다각형만을 사용하여 상한과 하한을 모두 구했다. 유휘가 구한 부등식은 아르키메데스의 것보다 약간 더 정확하다.[25]
유휘는 3.142074가 너무 크다고 판단하여 3.141024에서 앞의 세 자리를 채택하여 π를 약 3.14로 제시하고, 이를 분수 로 나타냈다.[9][25] 이는 '휘율'이라고도 불린다.
이후 유휘는 더 빠르게 원주율을 구하는 알고리즘을 고안하여 이라는 값을 얻었다.[25] 그는 이 값을 3072각형(= 29 × 6)을 사용하여 검산하고 그 결과에 만족했다.[10][25] 유휘가 3072각형을 이용해 얻은 근사값 3.14159는 아르키메데스나 프톨레마이오스가 계산한 값보다 더 정확한 값이었다.[10]
참고로, 『구장산술』 원본에서는 원주율을 3으로 계산했으며,[8] 장형(78년~139년)은 을 원주율의 근사값으로 사용했다.[25]
2. 1. 2. 방정식 해법
유휘는 『구장산술』 주석에서 여러 수학적 해법과 개념을 제시했다. 특히 선형 연립방정식의 해법인 가우스 소거법을 제시한 것으로 알려져 있다.[11][12][26]또한 유휘는 제곱근을 단순히 근사값으로 구하는 것을 넘어, 구체적인 계산 없이도 정확한 해를 구하는 방법을 모색한 초기 수학자 중 한 명이다.[19] 그는 수학적 해를 도량형 단위를 이용한 십진 분수 형태로 표현했다.[4][19][20] 예를 들어 지름 약 0.41m를 1 ''척'', 3 ''촌'', 5 ''분'', 5 ''리''와 같이 나타냈다.[4]
유휘는 『구장산술』 주석 작업을 통해, 고대 인도 수학자 브라마굽타보다 앞서 음수를 발견하고 계산에 사용했을 가능성이 있는 최초의 수학자로 여겨지기도 한다. 그의 주석에는 종종 특정 방법이 왜 작동하고 다른 방법은 왜 작동하지 않는지에 대한 설명이 포함되어 있으나, 일부 해답에는 오류가 있어 후대 당나라의 수학자 이순풍에 의해 수정되기도 했다.
2. 1. 3. 입체 도형의 부피
유휘는 평면의 면적과 입체 도형의 부피 계산 분야, 특히 경험적 입체기하학 발전에 중요한 기여를 했다.[7][23] 그는 특정 입체 도형을 더 기본적인 도형으로 분할하여 부피를 구하는 방법을 제시했다. 예를 들어, 밑면이 직사각형이고 양쪽 면이 기울어진 쐐기는 피라미드와 사면체 모양의 쐐기로 나눌 수 있음을 발견했다.[7][23] 또한, 밑면이 사다리꼴이고 양쪽 면이 기울어진 쐐기는 피라미드 하나와 사면체 쐐기 두 개로 분리하여 부피를 구할 수 있음을 밝혔다.[7][23]유휘는 이러한 분할 원리를 바탕으로 원뿔, 원기둥, 원뿔대, 각기둥, 피라미드, 사면체, 쐐기 등 다양한 입체 도형의 부피를 계산하는 공식을 제시했다.[2] 특히 카발리에리의 원리를 응용하여 원기둥의 부피를 구하는 방법을 설명하기도 했다.[11][12][26]
하지만 유휘는 구의 부피를 정확히 계산하는 데는 이르지 못했으며, 이 문제는 후대의 수학자들이 해결해야 할 과제로 남겨두었다고 그의 저서에서 언급했다.[2] 이후 조충지와 조경지와 같은 수학자들이 유휘의 연구를 이어받아 구의 부피를 구하는 문제를 해결하게 된다.[12]
2. 1. 4. 기타
유휘는 수학적 결과를 십진법 분수 형태로 표현했으며, 도량형 단위를 활용했다. 예를 들어, 지름 1.355 피트를 1 ''척'', 3 ''촌'', 5 ''분'', 5 ''리''와 같이 밑이 10인 관련 길이 단위로 나타냈다.[4] 이는 현대 미터법과 유사한 개념으로, 각 단위는 10배씩 차이가 난다 (1 ''척'' = 10 ''촌'', 1 ''촌'' = 10 ''분'' 등). 이후 양휘(1238년 ~ 1298년경)는 완전한 형태의 십진법 표기법을 도입한 것으로 알려져 있다.[5][19][20]유휘는 피타고라스 정리와 동일한 내용의 정리에 대한 증명을 제시했다.[3][21] 그는 이 정리를 나타내는 그림에 대해 "이 그림은 빗변과 나머지 두 변의 합과 차의 관계를 나타낸 것으로, 이를 통해 알려진 것(두 변)으로 알 수 없는 것(나머지 한 변)을 찾을 수 있다"고 설명했다.[6][22]
입체 도형 분야에서 유휘는 경험적인 입체 기하학 발전에 크게 기여했다. 그는 직사각형 밑면과 양쪽 면이 경사진 쐐기를 사각뿔과 삼각뿔로 분할할 수 있다는 것을 발견했다.[7][23] 또한 밑면이 사다리꼴이고 양쪽 면이 경사진 쐐기는 사각뿔과 두 개의 삼각뿔로 분할할 수 있음을 알아냈다.[7][23]
유휘는 제곱근을 구할 때 단순히 근사값을 사용하는 것을 넘어 더 정확한 해를 구하고자 했으며, 이는 그가 이러한 접근 방식을 사용한 최초의 수학자 중 한 명임을 시사한다.[19][20]
유휘는 『구장산술』 주석 작업을 통해 음수를 발견하고 계산한 최초의 수학자 중 한 명일 수 있다. 이는 고대 인도의 수학자 브라마굽타가 음수를 사용한 시기보다 앞선 것으로 추정된다.
또한, 유휘는 『구장산술』 주석본에서 운하 건설이나 간척 제방 건설과 같은 실용적인 문제에 대해서도 다루었다. 그는 이러한 공사에 필요한 자재, 노동력, 시간 등을 계산하는 방법을 제시했다.[27]
2. 2. 《해도산경》
유휘는 263년 《구장산술》 주석을 보충하는 과정에서 《해도산경》(海島算經)을 저술했다.[28] 이 책은 측량학과 관련된 여러 실용적인 기하학 문제와 그 해법을 제시하고 있으며, 예를 들어 탑의 높이를 측정하는 방법 등이 포함되어 있다.[13][28] 《해도산경》에서는 측량사가 막대를 이용하여 거리와 높이를 측정하는 방법을 개략적으로 설명하고 있다.[14][29]이 책에 담긴 측량에 대한 지식은 동시대 지도 제작가이자 관리였던 배수(裴秀, 224–271) 등에게도 알려졌으며, 당시 측량 및 지도 제작 기술 발전에 영향을 미쳤다.[15][30] 유휘는 또한 《구장산술》 주석에서 운하나 강 제방 건설과 관련된 문제에 대한 해설을 통해 필요한 재료량, 노동력, 건설 시간 등을 계산하는 방법을 제시하기도 했다.[16]
《해도산경》은 후대에 영어와 프랑스어로 번역되었는데, 프랑스어 번역은 중국 과학원의 궈수춘(Guo Shuchun) 교수가 1985년부터 20년에 걸쳐 완성했다.
2. 2. 1. 측량술
유휘는 263년에 《해도산경》(海島算經)이라는 별도의 책을 저술하여 측량학과 관련된 여러 문제와 해법을 제시했다. 이 책에는 중국 탑의 높이를 재는 방법과 같이 실용적인 기하학 문제들이 다수 포함되어 있으며,[13][28] 측량사가 "키가 큰 측량 막대와 직각으로 고정된 수평 막대"를 사용하여 거리와 높이를 측정하는 방법을 개략적으로 설명하고 있다.[14][29]
《해도산경》에는 다음과 같은 다양한 상황에서의 측량 방법 예시가 기록되어 있다.
| 대상 | 측정 내용 |
|---|---|
| 바다 위의 섬 | 해수면으로부터의 높이 |
| 언덕 위의 나무 | 높이 |
| 멀리 있는 성벽 | 크기 |
| 협곡 | 깊이 (십자형 막대 사용) |
| 평야 위의 탑 | 언덕에서 본 높이 |
| 강 어귀 | 육지에서 떨어진 지점에서의 폭 |
| 절벽 아래 계곡 | 너비 |
| 투명한 웅덩이 | 깊이 |
| 강 | 언덕 위에서의 폭 |
| 도시 | 산 위에서의 크기 |
유휘의 측량에 대한 지식은 동시대 사람들에게도 알려졌다. 지도 제작가이자 관리였던 배수(裴秀, 224–271)는 당시까지의 지도 제작, 측량, 수학의 발전을 정리하면서, 지형 지도에서 거리를 정확하게 측정하기 위해 격자 모양으로 위치를 나타내는 방법을 기록했다.[15][30] 또한 유휘는 구장산술 주석에서 운하와 강 제방 건설과 관련된 문제에 대한 해설을 제공하며, 공사에 필요한 총 재료량, 필요한 노동력, 건설 시간 등을 계산하는 방법을 제시하기도 했다.[16]
2. 2. 2. 지도 제작
유휘는 263년에 《해도산경》(海島算經, The Sea Island Mathematical Manual)이라는 별도의 책을 펴내 측량학과 관련된 여러 문제와 해법을 제시했다.[13][28] 이 책에는 탑의 높이를 재는 방법 등 실용적인 기하학 문제들이 다수 포함되어 있다.[13][28] 책에서는 "키가 큰 측량 막대와 직각으로 고정된 수평 막대"를 사용하여 거리와 높이를 측정하는 방법을 설명했다.[14][29]
《해도산경》에는 다음과 같은 측정 사례들이 기록되어 있다.[29]
- 해상에서 섬 정상의 해수면으로부터의 높이 측정[29]
- 언덕 위에 있는 나무의 높이 측정[29]
- 멀리서 본 성벽의 크기 측정[29]
- 협곡의 깊이 측정[29]
- 언덕에서 아래 평지에 서 있는 탑의 높이 측정[29]
- 육지에서 멀리 떨어진 강 어귀의 폭 측정[29]
- 절벽에서 본 계곡의 너비 측정
- 바닥까지 보이는 투명한 물이 담긴 웅덩이(저수지)의 깊이 측정[29]
- 언덕 위에서 강의 폭 측정[29]
- 산 위에서 도시의 크기 측정[29]
유휘의 측량 기술은 동시대 사람들에게도 알려졌다. 지도 제작가이자 관리였던 배수(裴秀, 224–271)는 당시의 지도 제작, 측량, 수학의 발전을 정리하면서, 지형도에서 정확한 거리를 측정하기 위해 직사각형 격자 및 눈금을 사용한 최초의 사례를 기록했다.[15][30] 유휘는 또한 《구장산술》 주석에서 운하와 강 제방 건설과 관련된 문제에 대한 해설을 제공하며, 필요한 총 재료량, 노동량, 건설 시간 등을 계산하는 방법을 제시했다.[16]
참조
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