정규 스킴

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1. 개요

정규 스킴은 국소환 달린 공간의 한 종류로, 모든 점에서의 구조층 줄기가 정수적으로 닫힌 정역인 스킴을 의미한다. 정규 스킴은 정규 국소환 달린 공간인 스킴이며, 정규환은 그 스펙트럼이 정규 스킴인 가환환이다. 정규 스킴은 정칙 스킴보다 더 일반적인 개념이며, 정규성을 기하학적으로 해석하면 유한 쌍유리 사상이 동형 사상인 조건을 만족하는 것이다. 정규화는 임의의 기약 축소 스킴에 대해 정의되며, 정규 스킴으로의 사상을 제공한다. 또한, 축소 스킴, 정규 스킴, 정칙 스킴, 그리고 체 위의 매끄러운 스킴 사이에는 포함 관계가 성립한다.

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정역은 환론에서 영인자가 없는 가환환으로, 자명환이 아니면서 0이 아닌 두 원소의 곱이 항상 0이 아닌 환이며, 체의 부분환과 동형이고, 스킴 이론에서 정역 스킴으로 확장되며, 정수환, 체, 대수적 수체의 대수적 정수환 등이 그 예시이다.
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정규 스킴

2. 정의

국소환 달린 공간 $(X,\mathcal O_X)$ 에서 모든 $x\in X$ 에 대하여 구조층의 줄기 $\mathcal O_{X,x}$ 가 정수적으로 닫힌 정역인 국소환이면, $(X,\mathcal O_X)$ 를 '''정규 국소환 달린 공간'''(normal locally ringed space^영어)이라고 한다.

'''정규 스킴'''은 정규 국소환 달린 공간인 스킴이다.^[3] '''정규환'''(正規環, normal ring^영어) $R$ 는 스펙트럼 $\operatorname{Spec}R$ 가 정규 스킴인 가환환이다. 즉, 임의의 소 아이디얼 $\mathfrak p$ 에 대하여, 국소화 $R_{\mathfrak p}$ 가 정수적으로 닫힌 정역인 경우이다.

다양체의 사상은 모든 점의 역상이 유한하고 그 사상이 고유 사상이면 유한하다. 다양체의 사상이 조밀한 열린 부분 집합 사이의 동형 사상으로 제한되면 쌍유리적이다. 예를 들어, ''x''² = ''y''³으로 정의되는 아핀 평면 ''A''²의 첨점 3차 곡선 ''X''는 정규적이지 않다. 왜냐하면 ''A''¹ → ''X''로의 유한 쌍유리적 사상(즉, ''t''는 (''t''³, ''t''²)로 매핑)이 존재하지만 동형 사상이 아니기 때문이다. 반대로 아핀 선 ''A''¹은 정규적이다. 유한 쌍유리적 사상으로 더 이상 단순화할 수 없다.

thumb

정규 복소 다양체 ''X''는 고전적 위상을 사용하여 위상적 층화 공간으로 볼 때 모든 링크가 연결되어 있는 성질을 갖는다. 동등하게, 모든 복소 점 ''x''는 ''X''의 특이 집합을 뺀 ''U''가 연결되어 있는 임의로 작은 이웃 ''U''를 갖는다. 예를 들어, 그림에서 ''y''² = ''x''²(''x'' + 1)로 정의된 결절 3차 곡선 ''X''가 정규적이지 않다는 결론이 나온다. 이것은 또한 정규성의 정의로부터 따른다. 왜냐하면 ''A''¹에서 ''X''로의 유한 쌍유리적 사상이 존재하지만 동형 사상이 아니고, 이 사상은 ''A''¹의 두 점을 ''X''의 동일한 점으로 보내기 때문이다.

더 일반적으로, 스킴 ''X''는 각 국소 환 ''O''_''X,x''가 정수적으로 닫힌 정역이면 '''정규'''이다. 즉, 이들 각 환은 정역 ''R''이고, ''R'' ⊆ ''S'' ⊆ Frac(''R'')이며 ''S''가 ''R''-가군으로 유한 생성된 모든 환 ''S''는 ''R''과 같다. (여기서 Frac(''R'')은 ''R''의 분수체를 나타낸다.) 이것은 모든 유한 쌍유리적 사상이 ''X''로의 동형 사상인 기하학적 조건의 국소 환 측면에서의 직접적인 번역이다.

더 오래된 개념은 사영 공간의 부분 다양체 ''X''가 임베딩을 제공하는 선형 시스템이 완전하면 선형 정규라는 것이다. 동등하게, ''X'' ⊆ '''P'''ⁿ은 임베딩 ''X'' ⊆ '''P'''ⁿ⁺¹의 선형 투영이 아니다(''X''가 초평면 '''P'''ⁿ에 포함되지 않는 한). 이것이 유리 정규 곡선과 유리 정규 스크롤 구절에서 "정규"의 의미이다.

모든 정칙 스킴은 정규적이다. 반대로, 자리스키는 모든 정규 다양체는 최소 2의 코드 차원을 갖는 부분 집합 외부에서는 정칙이며, 유사한 결과가 스킴에도 적용된다는 것을 보였다.^[1] 예를 들어, 모든 정규 대수 곡선은 정칙이다.

2. 1. 정규 국소환 달린 공간

국소환 달린 공간

(X,\mathcal O_X)

에서, 모든

x\in X

에 대하여 구조층의 줄기

\mathcal O_{X,x}

가 정수적으로 닫힌 정역인 국소환이면,

(X,\mathcal O_X)

를 '''정규 국소환 달린 공간'''(normal locally ringed space^영어)이라고 한다.

2. 2. 정규 스킴

국소환 달린 공간

(X,\mathcal O_X)

에서, 모든

x\in X

에 대하여 구조층의 줄기

\mathcal O_{X,x}

가 정수적으로 닫힌 정역인 국소환이라면,

(X,\mathcal O_X)

를 '''정규 국소환 달린 공간'''(normal locally ringed space^영어)이라고 한다.

'''정규 스킴'''은 정규 국소환 달린 공간인 스킴이다.^[3]

2. 3. 정규환

스펙트럼

\operatorname{Spec}R

가 정규 스킴인 가환환

R

를 '''정규환'''(正規環, normal ring^영어)이라고 한다.^[3] 임의의 소 아이디얼

\mathfrak p

에 대하여, 국소화

R_{\mathfrak p}

가 정수적으로 닫힌 정역인 경우이다.

2. 4. 정규화

임의의 기약 축소 스킴

X

에 대하여, 다음과 같은 보편 성질을 만족시키는 기약 정규 스킴

\tilde X

및 스킴 사상

\nu\colon\tilde X\to X

가 존재하며, 이를

X

의 '''정규화'''(normalization^영어)라고 한다.^[3]

임의의 기약 정규 스킴 $Y$ 및 우세 사상 $f\colon Y\to X$ 에 대하여, $f=\nu\circ\tilde f$ 가 되는 스킴 사상 $\tilde f\colon Y\to\tilde X$ 가 유일하게 존재한다.

:

\begin{matrix}\forall Y&\overset{\exists!}\to&\tilde X\\&{\scriptstyle\forall}\searrow&\downarrow\\&&X\end{matrix}

이는 구체적으로 다음과 같이 구성된다.

X

위에 열린 아핀 스킴들로 구성된 열린 덮개

\{\operatorname{Spec}R_i\}_{i\in I}

를 잡았을 때, 각

R_i

의 정수적 폐포

\tilde R_i

들의 스펙트럼

\{\operatorname{Spec}\tilde R_i\}_{i\in I}

을 이어붙여 스킴

\tilde X

를 구성할 수 있다. 자연스러운 사상

\tilde X\to X

는 가환환의 포함 준동형

R_i\hookrightarrow\tilde R_i

으로부터 유도된다.

만약

X

가 기약 스킴이 아닌 축소 스킴이라면, 그 정규화는

X

의 각 기약 성분

X_i

의 정규화

\tilde X_i

들의 분리합집합

:

\tilde X=\bigsqcup_i\tilde X_i

으로 정의된다.

환원 스킴 ''X''는 고유한 '''정규화'''를 갖는다. 즉, 정규 스킴 ''Y''는 적분 유리 사상 ''Y'' → ''X''를 갖는다. 1차원 스킴의 정규화는 정규이며, 2차원 스킴의 정규화는 고립된 특이점만을 갖는다. 정규화는 일반적으로 더 높은 차원의 스킴에 대한 특이점 해소에 사용되지 않는다.

정규화를 정의하기 위해 먼저 ''X''가 기약 환원 스킴 ''X''라고 가정한다. ''X''의 모든 아핀 열린 부분 집합은 ''R''이 정역인 Spec ''R'' 형식을 갖는다. ''X''를 아핀 열린 부분 집합 Spec ''A''_i의 합집합으로 나타낸다. ''B''_i를 분수체 내에서 ''A''_i의 정수 폐포라고 하자. 그러면 ''X''의 정규화는 아핀 스킴 Spec ''B''_i들을 함께 붙여서 정의된다.

초기 스킴이 기약적이지 않은 경우, 정규화는 기약 성분의 정규화의 분리된 합집합으로 정의된다.

3. 성질

정규 스킴은 다음과 같은 중요한 성질을 갖는다.

다양체의 사상은 모든 점의 역상이 유한하고 그 사상이 고유 사상이면 유한하다. 다양체의 사상이 조밀한 열린 부분 집합 사이의 동형 사상으로 제한되면 쌍유리적이다. 예를 들어, ''x''² = ''y''³으로 정의되는 아핀 평면 ''A''²의 첨점 3차 곡선 ''X''는 정규적이지 않다. ''A''¹ → ''X''로의 유한 쌍유리적 사상(즉, ''t''는 (''t''³, ''t''²)로 매핑)이 존재하지만 동형 사상이 아니기 때문이다. 반대로 아핀 직선 ''A''¹은 정규적이다. 유한 쌍유리적 사상으로 더 이상 단순화할 수 없다.
정규 복소 다양체 ''X''는 고전적 위상을 사용하여 위상적 층화 공간으로 볼 때 모든 링크가 연결되어 있는 성질을 갖는다. 동등하게, 모든 복소 점 ''x''는 ''X''의 특이 집합을 뺀 ''U''가 연결되어 있는 임의로 작은 이웃 ''U''를 갖는다. 예를 들어, -- 그림에서 ''y''² = ''x''²(''x'' + 1)로 정의된 결절 3차 곡선 ''X''가 정규적이지 않다는 결론이 나온다. ''A''¹에서 ''X''로의 유한 쌍유리적 사상이 존재하지만 동형 사상이 아니고, 이 사상은 ''A''¹의 두 점을 ''X''의 동일한 점으로 보내기 때문이다.
일반적으로, 스킴 ''X''는 각 국소환 ''O''_''X,x''가 정수적으로 닫힌 정역이면 '''정규'''이다. 즉, 이들 각 환은 정역 ''R''이고, ''R'' ⊆ ''S'' ⊆ Frac(''R'')이며 ''S''가 ''R''-가군으로 유한 생성된 모든 환 ''S''는 ''R''과 같다. (여기서 Frac(''R'')은 ''R''의 분수체를 나타낸다.) 이것은 모든 유한 쌍유리적 사상이 ''X''로의 동형 사상인 기하학적 조건의 국소 환 측면에서의 직접적인 번역이다.
더 오래된 개념은 사영 공간의 부분 다양체 ''X''가 임베딩을 제공하는 선형 시스템이 완전하면 선형 정규라는 것이다. 동등하게, ''X'' ⊆ '''P'''ⁿ은 임베딩 ''X'' ⊆ '''P'''ⁿ⁺¹의 선형 투영이 아니다(''X''가 초평면 '''P'''ⁿ에 포함되지 않는 한). 이것이 유리 정규 곡선과 유리 정규 스크롤 구절에서 "정규"의 의미이다.
모든 정칙 스킴은 정규적이다. 반대로, 모든 정규 다양체는 최소 2의 여차원을 갖는 부분 집합 외부에서는 정칙이며, 유사한 결과가 스킴에도 적용된다.^[1] 예를 들어, 모든 정규 대수 곡선은 정칙이다.

3. 1. 스킴 간의 포함 관계

다음과 같은 포함 관계가 성립한다.

:축소 스킴 ⊋ 정규 스킴 ⊋ 정칙 스킴 ⊋ 체 위의 매끄러운 스킴

3. 2. 세르 조건

뇌터 가환환 ''R''에 대하여, 다음과 같은 조건들을 정의한다.

R_''k'': 모든 소 아이디얼 $\mathfrak p\in\operatorname{Spec}R$ 에 대하여, 만약 $\operatorname{ht}\mathfrak p\le k$ 라면, 국소화 $R_{\mathfrak p}$ 는 정칙 국소환이다. 여기서 $\operatorname{ht}$ 는 아이디얼의 높이이다.
S_''k'': 모든 소 아이디얼 $\mathfrak p\in\operatorname{Spec}R$ 에 대하여, $\operatorname{depth}R_{\mathfrak p}\ge\min\{k,\operatorname{ht}\mathfrak p\}$ 이다. 여기서 $\operatorname{depth}$ 는 (스스로 위의 가군으로서의, 유일한 극대 아이디얼에 대한) 깊이이다.

'''세르 조건'''(Serre’s criterion^영어)에 따르면, 뇌터 가환환의 경우, 다음 표에서 각 행에 적힌 두 조건이 서로 동치이다.

조건	뇌터 가환환에 대하여 동치인 조건
정규환	R₁ + S₂
축소환	R₀ + S₁
코언-매콜리 환	S_∞

대수기하학적으로, 정규 스킴의 세르 조건에서, R₁ 조건은 대략 "여차원 1의 특이 부분 집합이 존재하지 않음"을 뜻한다. 마찬가지로, 대수기하학적으로 S₂ 조건은 하르톡스 확장정리에 해당한다.

3. 3. 정규 대수다양체

대수적으로 닫힌 체 $K$ 위의 대수다양체 $X$에 대하여 다음 두 조건은 서로 동치이다.

$X$는 정규 대수다양체이다.
$K$ 위의 임의의 대수다양체 $Y$ 및 ($Y$ 전체에 정의된) 임의의 유한 쌍유리 사상 $f\colon Y\to X$에 대하여, $f$는 (대수다양체의) 동형 사상이다.

이는 정수적으로 닫힌 정역의 정의를 그대로 기하학적으로 번역한 것이다. 즉, $x\in X$에 대하여 $R=\mathcal O_{X,x}$라고 놓으면, 모든 환 $S$에 대하여, 만약 다음 두 조건

(쌍유리 사상) $R\subseteq S\subseteq\operatorname{Frac}R=\operatorname{Frac}S$
(유한 사상) $S$는 $R$ 위의 유한 생성 가군

이 성립한다면, $R=S$이어야 한다.

다양체의 사상은 모든 점의 역상이 유한하고 그 사상이 고유 사상이면 유한하다. 다양체의 사상이 조밀한 열린 부분 집합 사이의 동형 사상으로 제한되면 쌍유리적이다. 예를 들어, $x^2 = y^3$으로 정의되는 아핀 평면 $A^2$의 첨점 3차 곡선 $X$는 정규적이지 않다. 왜냐하면 $A^1 \to X$로의 유한 쌍유리적 사상(즉, $t$는 ($t^3$, $t^2$)로 매핑)이 존재하지만 동형 사상이 아니기 때문이다. 반대로 아핀 선 $A^1$은 정규적이다. 유한 쌍유리적 사상으로 더 이상 단순화할 수 없다.

정규 복소 다양체 $X$는 고전적 위상을 사용하여 위상적 층화 공간으로 볼 때 모든 링크가 연결되어 있는 성질을 갖는다. 동등하게, 모든 복소 점 $x$는 $X$의 특이 집합을 뺀 $U$가 연결되어 있는 임의로 작은 이웃 $U$를 갖는다. 예를 들어, $y^2 = x^2(x + 1)$로 정의된 결절 3차 곡선 $X$가 정규적이지 않다는 결론이 나온다. 이것은 또한 정규성의 정의로부터 따른다. 왜냐하면 $A^1$에서 $X$로의 유한 쌍유리적 사상이 존재하지만 동형 사상이 아니고, 이 사상은 $A^1$의 두 점을 $X$의 동일한 점으로 보내기 때문이다.

4. 역사

정규 스킴의 개념은 오스카 자리스키가 1939년에 도입하였다.^[4]

4. 1. 오스카 자리스키

오스카 자리스키는 1939년에 정규 스킴의 개념을 도입하였다.^[4]

5. 기하학적 및 대수적 해석

다양체의 사상은 모든 점의 역상이 유한하고 그 사상이 고유 사상이면 유한하다. 다양체의 사상이 조밀한 열린 부분 집합 사이의 동형 사상으로 제한되면 쌍유리적이다.

정규 복소 다양체는 고전적 위상을 사용하여 위상적 층화 공간으로 볼 때 모든 링크가 연결되어 있는 성질을 갖는다. 동등하게, 모든 복소 점은 다양체의 특이 집합을 뺀 연결된 임의로 작은 이웃을 갖는다.

모든 정칙 스킴은 정규적이다. 오스카 자리스키는 모든 정규 다양체는 최소 2의 코드 차원을 갖는 부분 집합 외부에서는 정칙이며, 유사한 결과가 스킴에도 적용된다는 것을 보였다.^[1] 예를 들어, 모든 정규 대수 곡선은 정칙이다.

5. 1. 첨점 3차 곡선

''x''² = ''y''³으로 정의되는 첨점 3차 곡선 ''X''는 정규적이지 않다. 왜냐하면 아핀 평면 ''A''¹ → ''X''로의 유한 쌍유리적 사상(즉, ''t''를 (''t''³, ''t''²)로 매핑)이 존재하지만 동형 사상이 아니기 때문이다. 반대로 아핀 선 ''A''¹은 정규적이며, 유한 쌍유리적 사상으로 더 이상 단순화할 수 없다.^[1]

5. 2. 결절 3차 곡선

y^영어^2 = x^영어^2 (x^영어 + 1)로 정의된 결절 3차 곡선은 정규적이지 않다. 이는 A^영어^1에서 이 곡선으로의 유한 쌍유리적 사상이 존재하지만 동형 사상이 아니기 때문이다. 이 사상은 A^영어^1의 두 점을 곡선의 동일한 점으로 보낸다. 또한, 정규 복소 다양체는 고전적 위상을 사용해 위상적 층화 공간으로 볼 때 모든 링크가 연결되어 있다는 성질을 갖는다. 즉, 모든 복소 점은 다양체의 특이 집합을 뺀 연결된 임의로 작은 이웃을 갖는다.^[1]

5. 3. 국소 환

국소환 달린 공간

(X,\mathcal O_X)

에서, 모든

x\in X

에 대하여 구조층의 줄기

\mathcal O_{X,x}

가 정수적으로 닫힌 정역인 국소환이라면,

(X,\mathcal O_X)

를 '''정규 국소환 달린 공간'''(normal locally ringed space^영어)이라고 한다.

더 일반적으로, 스킴 ''X''가 각 점

x

에서의 국소환 ''O''_''X,x'' 가 정수적으로 닫힌 정역이면 '''정규 스킴'''이라고 한다. 즉, 이들 각 환은 정역 ''R''이고, ''R'' ⊆ ''S'' ⊆ Frac(''R'')이며 ''S''가 ''R''-가군으로 유한 생성된 모든 환 ''S''는 ''R''과 같다. (여기서 Frac(''R'')은 ''R''의 분수체를 나타낸다.) 이것은 ''X''로의 모든 유한 쌍유리적 사상이 동형 사상인 기하학적 조건의 국소 환 측면에서의 직접적인 번역이다.^[3]

5. 4. 선형 정규성

스킴 ''X''의 각 국소 환 ''O''_''X,x''가 정수적으로 닫힌 정역이면 '''정규 스킴'''이라고 한다. 여기서 각 환은 정역 ''R''이고, ''R'' ⊆ ''S'' ⊆ Frac(''R'')이며 ''S''가 ''R''-가군으로 유한 생성된 모든 환 ''S''는 ''R''과 같다. (Frac(''R'')은 ''R''의 분수체이다.) 이는 모든 유한 쌍유리적 사상이 ''X''로의 동형 사상인 기하학적 조건을 국소 환 측면에서 번역한 것이다.

사영 공간의 부분 다양체 ''X''가 임베딩을 제공하는 선형 시스템이 완전하면 선형 정규라고 하는 더 오래된 개념도 있다. 이는 ''X'' ⊆ '''P'''ⁿ이 ''X'' ⊆ '''P'''ⁿ⁺¹의 선형 투영이 아닌 것과 동등하다(''X''가 초평면 '''P'''ⁿ에 포함되지 않는 한). 유리 정규 곡선과 유리 정규 스크롤에서 "정규"는 바로 이 의미이다.^[1]

6. 예시

만약 $X$ 가 기약 스킴이 아닌 축소 스킴이라면, 그 정규화는 $X$ 의 각 기약 성분 $X_i$ 의 정규화 $\tilde X_i$ 들의 분리합집합

: $\tilde X=\bigsqcup_i\tilde X_i$

으로 정의된다.^[3]

6. 1. 첨점의 정규화

임의의 기약 축소 스킴

X

에 대하여, 다음과 같은 보편 성질을 만족시키는 기약 정규 스킴

\tilde X

및 스킴 사상

\nu\colon\tilde X\to X

가 존재하며, 이를

X

의 '''정규화'''(normalization^영어)라고 한다.^[3]

이는 구체적으로 다음과 같이 구성된다.

X

위에 열린 아핀 스킴들로 구성된 열린 덮개

\{\operatorname{Spec}R_i\}_{i\in I}

를 잡았을 때, 각

R_i

의 정수적 폐포

\tilde R_i

들의 스펙트럼

\{\operatorname{Spec}\tilde R_i\}_{i\in I}

을 이어붙여 스킴

\tilde X

를 구성할 수 있다. 자연스러운 사상

\tilde X\to X

는 가환환의 포함 준동형

R_i\hookrightarrow\tilde R_i

으로부터 유도된다.

원점에 첨점 특이점을 갖는 아핀 곡선

:

C = \text{Spec} \left(\frac{k[x,y]}{y^2 - x^5}\right)

의 정규화는 대수 사상

:

x \mapsto t^2, y \mapsto t^5

로부터 유도된 사상

:

\text{Spec}(k[t]) \to C

에 의해 주어진다.

6. 2. 아핀 평면에서 축들의 정규화

normalization^영어는 두 개의 성분을 갖는 기약 스킴이 아닌 스킴의 정규화를 설명할 때 사용되며, 이는 두 몫 사상에서 유도된 스킴 사상으로 주어진다.^[3]

:

\text{Spec}(\mathbb{C}[x,y]/(x)\times\mathbb{C}[x,y]/(y)) \to \text{Spec}(\mathbb{C}[x,y]/(xy))

:

\mathbb{C}[x,y]/(xy) \to \mathbb{C}[x,y]/(x,xy) = \mathbb{C}[x,y]/(x)

:

\mathbb{C}[x,y]/(xy) \to \mathbb{C}[x,y]/(y,xy) = \mathbb{C}[x,y]/(y)

6. 3. 축소 사영 다양체의 정규화

임의의 기약 축소 스킴

X

에 대하여, 다음과 같은 보편 성질을 만족시키는 기약 정규 스킴

\tilde X

및 스킴 사상

\nu\colon\tilde X\to X

가 존재하며, 이를

X

의 '''정규화'''(normalization^영어)라고 한다.^[3]

임의의 기약 정규 스킴 $Y$ 및 우세 사상 $f\colon Y\to X$ 에 대하여, $f=\nu\circ\tilde f$ 가 되는 스킴 사상 $\tilde f\colon Y\to\tilde X$ 가 유일하게 존재한다.

이는 구체적으로 다음과 같이 구성된다.

X

위에 열린 아핀 스킴들로 구성된 열린 덮개

\{\operatorname{Spec}R_i\}_{i\in I}

를 잡았을 때, 각

R_i

의 정수적 폐포

\tilde R_i

들의 스펙트럼

\{\operatorname{Spec}\tilde R_i\}_{i\in I}

을 이어붙여 스킴

\tilde X

를 구성할 수 있다. 자연스러운 사상

\tilde X\to X

는 가환환의 포함 준동형

R_i\hookrightarrow\tilde R_i

으로부터 유도된다.

만약

X

가 기약 스킴이 아닌 축소 스킴이라면, 그 정규화는

X

의 각 기약 성분

X_i

의 정규화

\tilde X_i

들의 분리합집합

\tilde X=\bigsqcup_i\tilde X_i

으로 정의된다.

마찬가지로, UFD에서 동차 기약 다항식

f_1,\ldots,f_k

에 대해, 다음의 정규화는

::

\text{Proj}\left( \frac{k[x_0,\ldots,x_n]}{(f_1\cdots f_k,g)} \right)

모르피즘으로 주어진다.

::

\text{Proj}\left(\prod \frac{k[x_0\ldots, x_n]}{(f_i,g)} \right) \to\text{Proj}\left( \frac{k[x_0,\ldots,x_n]}{(f_1\cdots f_k,g)} \right)

참조

_[1] 서적 Commutative Algebra Springer, Berlin 1995
_[2] 서적 Commutative Algebra Springer, Berlin 1995
_[3] 서적 Algebraic geometry Springer 1977
_[4] 저널 Some Results in the Arithmetic Theory of Algebraic Varieties.

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