클리퍼드 군

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1. 개요
2. 정의
3. 성질
참조

1. 개요

클리퍼드 군은 가환환 위의 클리퍼드 대수의 가역원군 부분군으로, 직교 변환을 정의하는 국소 동차 원소로 구성된다. 클리퍼드 군은 파울리 군을 정규화하는 유니터리의 그룹으로 정의되며, 하드마르, 위상, CNOT 게이트를 사용하여 생성된 회로와 동일한 유니타리들로 정의되기도 한다. 클리퍼드 군은 핀 군, 스핀 군, 특수 클리퍼드 군 등을 포함하며, 체, 실수 계수 등 다양한 조건에서 성질을 갖는다. 또한 클리퍼드 군은 아다마르, 위상, CNOT 게이트에 의해 생성되며, 고테스만-크닐 정리에 따라 고전 컴퓨터에서 효율적으로 시뮬레이션할 수 있다.

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클리퍼드 군
클리퍼드 군
분야	양자 정보 이론
수학적 설명	유니터리 연산자의 군
관련 항목	벨 상태, 파울리 행렬, 양자 게이트, 양자 회로

2. 정의

클리퍼드 군은 파울리 군을 정규화하는 유니타리 연산자들의 집합으로 정의된다.^[2] $n$ 개의 큐비트에 대한 클리퍼드 군 $\mathbf{C}_n$ 은 다음 조건을 만족한다.

: $\mathbf{C}_n=\{V\in U_{2^n}\mid V\mathbf{P}_nV^\dagger = \mathbf{P}_n\}.$

여기서 $\mathbf{P}_n$ 은 $n$ 큐비트에 대한 파울리 군이다. 이 정의에 따르면 클리퍼드 군 $\mathbf{C}_n$ 은 무한군인데, 임의의 실수 $\theta$ 와 항등 행렬 $I$ 에 대해 $e^{i \theta}I$ 형태의 모든 유니타리 연산자를 포함하기 때문이다.^[2]

클리퍼드 군은 Hadamard 게이트, 위상 게이트, CNOT 게이트를 사용하여 생성된 유한한 유니타리 군으로 정의되기도 한다.^[3] 이 경우 $n$ -큐비트 클리퍼드 군 $\mathbf{C}_n$ 은 $2^{n^2+2n+3}\prod_{j=1}^{n}(4^j-1)$ 개의 원소를 갖는다.^[4]

일부 저자는 전체 위상 인자만 다른 원소들을 동일하게 취급하여 클리퍼드 군을 몫군 $\mathbf{C}_n/U(1)$ 로 정의하기도 한다.^[5] 이 경우, $n$ 이 1, 2, 3일 때 각각 24, 11,520, 92,897,280개의 원소를 갖는다.

2. 1. 국소 동차 원소 (한국어 위키)

가환환

K

가 주어졌을 때,

\mathbb Z/2

-등급

K

-대수

A

의 원소

a\in A

에 대하여 다음 세 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 원소를 '''국소 동차 원소'''(locally homogeneous element^영어)라고 한다.^[9]

$(1-k)a\in A_0$ , $ka\in A_1$ 인 원소 $k\in K$ 가 존재한다.
모든 소 아이디얼 $\mathfrak p\in\operatorname{Spec}K$ 에 대하여, $a\in A\otimes_KK_{\mathfrak p}$ 는 동차 원소이다. 여기서 $\operatorname{Spec}K$ 는 환의 스펙트럼이며, $K_{\mathfrak p}$ 는 $K\setminus\mathfrak p$ 에서의 가환환의 국소화이다.
모든 극대 아이디얼 $\mathfrak m$ 에 대하여, $a\in A\otimes_KK_{\mathfrak m}$ 는 동차 원소이다. 여기서 $K_{\mathfrak m}$ 는 $K\setminus\mathfrak m$ 에서의 가환환의 국소화이다.

(

K

가 체인 경우, 모든 국소 동차 원소는 동차 원소이다.) 국소 동차 원소들은 곱셈에 대하여 닫혀 있으며, 가역원이라면 그 역원 역시 국소 동차 원소이다. 따라서 국소 동차 가역원들의 군

A_{\text{lh}}^\times

은

A

의 가역원군

A^\times

의 부분군을 이룬다.

:

A_0^\times\subseteq A_{\text{lh}}^\times\subseteq A^\times

2. 2. 클리퍼드 군 (한국어, 영어 위키)

가환환

K

위의 클리퍼드 대수

\operatorname{Cliff}(V,Q)

의 '''클리퍼드 군'''(Clifford group^영어)

\Gamma(V,Q;K)\subseteq(\operatorname{Cliff}(V,Q))_{\text{lh}}^\times

은 가역원군의 부분군이며, 다음 조건을 만족하는 원소

x\in\operatorname{Cliff}(V,Q)

로 구성된다.^[10]

$x$ 는 가역원이며 국소 동차 원소이다.
$\Theta_x(V)\subseteq V$ 이다.
모든 $v\in V$ 에 대하여, $Q(\Theta_x(v))=Q(v)$ 이다.

즉, 클리퍼드 군은 클리퍼드 대수의 가역원군 중에서 직교 변환을 정의하는 원소들의 집합이다.

가환환

K

위의 클리퍼드 대수

\operatorname{Cliff}(V,Q)

의 '''특수 클리퍼드 군'''(special Clifford group^영어)

\operatorname{S\Gamma}(V,Q;K)\subseteq\Gamma(V,Q;K)\subseteq\operatorname{Cliff}(V,Q)^\times

은 다음과 같이 정의된다.^[10]

:

\operatorname{S\Gamma}(V,Q;K)=\Gamma(V,Q;K)\cap\operatorname{Cliff}_0(V,Q;K)

즉, 특수 클리퍼드 군은 클리퍼드 군 중에서 짝수 등급을 갖는 원소들의 부분군이다.

파울리 행렬

:

\sigma_0=I=\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}, \quad \sigma_1=X=\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}, \quad \sigma_2=Y=\begin{bmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{bmatrix}, \quad \sigma_3=Z=\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}

은 단일 큐비트의 밀도 연산자와 이에 적용할 수 있는 유니타리 연산의 기저를 이룬다.

n

큐비트의 경우, 다음과 같이 파울리 군

\mathbf{P}_n

을 정의할 수 있다.

:

\mathbf{P}_n=\left\{ e^{i\theta\pi/2} \sigma_{j_1} \otimes \cdots \otimes \sigma_{j_n} \mid \theta = 0,1,2,3,j_k = 0,1,2,3 \right\}.

클리퍼드 군은 파울리 군을 정규화하는 유니타리 연산자들의 그룹으로 정의된다. 즉,

\mathbf{C}_n=\{V\in U_{2^n}\mid V\mathbf{P}_nV^\dagger = \mathbf{P}_n\}.

이 정의에 따르면,

\mathbf{C}_n

은 무한군이다. 왜냐하면 실수

\theta

와 항등 행렬

I

에 대해

e^{i \theta}I

형태의 모든 유니타리 연산자를 포함하기 때문이다.^[2]

\mathbf{C}_n

의 모든 유니타리 연산자는 (전역 위상 인자를 제외하면) Hadamard 게이트, 위상 게이트, 그리고 CNOT 게이트를 사용하여 생성된 회로와 동등하다.^[3] 따라서 클리퍼드 군은 때때로 Hadamard, 위상, CNOT 게이트를 사용하여 생성된 (유한한) 유니타리 군으로 정의되기도 한다. 이 경우 ''n''-큐비트 클리퍼드 군

\mathbf{C}_n

의 원소 개수는

2^{n^2+2n+3}\prod_{j=1}^{n}(4^j-1)

이다.^[4]

일부 저자는 클리퍼드 군을 몫군

\mathbf{C}_n/U(1)

로 정의하기도 한다. 이는 전체 전역 위상 인자만 다른

\mathbf{C}_n

의 원소들을 동일하게 취급하는 것이다. 가장 작은 전역 위상은

\frac{1+i}{\sqrt{2}}

이며, 이는 회로 항등식

HSHSHS=\frac{1+i}{\sqrt{2}}I

에서 유래한다. 여기서

H

는 Hadamard 게이트이고

S

는 위상 게이트이다.

n=

1, 2, 3일 때, 이 몫군의 원소 개수는 각각 24, 11,520, 92,897,280개이다.^[5] 일반적으로

\mathbf{C}_n/U(1)

의 원소 개수는

2^{n^2+2n}\prod_{j=1}^{n}(4^j-1)

이다.

클리퍼드 군의 또 다른 정의는 각 큐비트에서 파울리 군

\{I,X,Y,Z\}

을 추가로 인수분해하는 것이다. 이 경우 남는 군은 두 원소의 체

\mathbb{F}_2

위의

2n\times 2n

심플렉틱 행렬의 군과 동형이다.^[4] 이 군의 원소 개수는

2^{n^2}\prod_{j=1}^{n}(4^j-1)

이다.

2. 3. 스핀 군과 핀 군 (한국어 위키)

클리퍼드 군

\Gamma(V,Q;K)

의 원소 가운데, 다음과 같은 부분군을 '''핀 군'''(pin group^영어)이라고 한다.^[10]

:

\operatorname{Pin}(V,Q;K)=\left\{x\in\Gamma(V,Q;K)\colon \alpha(x)x=1\right\}

마찬가지로, 다음과 같은 부분군을 '''스핀 군'''(spin group^영어)이라고 한다.^[10]

:

\operatorname{Spin}(V,Q;K)=\operatorname{Pin}(V,Q;K)\cap\operatorname{S\Gamma}(V,Q;K)

3. 성질

클리퍼드 군은 다양한 성질을 가지며, 특히 체 위에서 그리고 실수 계수에서 그 구조가 잘 연구되어 있다.

임의의 가환환 $K$ 위의 가군 $V$ 위의 이차 형식 $Q$ 에 대하여, 다음과 같은 포함 관계가 성립한다.

: $\begin{matrix}\operatorname{Spin}(V,Q;K)&\subset&\operatorname{Pin}(V,Q;K)\\\cap&&\cap\\\operatorname{S\Gamma}(V,Q;K)&\subset&\operatornameGamma(V,Q;K)\\\cap&&\cap\\\operatorname{Cliff}_0(V,Q;K)^\times&\subset&\operatorname{Cliff}(V,Q;K)^\times\end{matrix}$

3. 1. 체 위의 클리퍼드 군 (한국어 위키)

체

K

위의 유한 차원 벡터 공간

V

와 그 위의 비퇴화 이차 형식

Q

가 주어졌을 때, 클리퍼드 군, 스핀 군, 특수 직교군 등은 짧은 완전열들을 이루며, 이들은 가환 그림으로 나타낼 수 있다.

:

\begin{matrix}&&1&&1&&1\\&&\downarrow&&\downarrow&&\downarrow\\1&\to&\mu_2(K)&\to&K^\times&\to&(K^\times)^2&\to&1\\&&\downarrow&&\downarrow&&\downarrow\\1&\to&\operatorname{Pin}(V,Q;K)&\to&\operatorname\Gamma(V,Q;K)&\to&K^\times&\to&1\\&&\downarrow&&\downarrow&&\downarrow\\1&\to&\operatorname{\Omega}(V,Q;K)&\to&\operatorname O(V,Q;K)&\to&K^\times/(K^\times)^2&\to&1\\&&\downarrow&&\downarrow&&\downarrow\\&&1&&1&&1\end{matrix}

여기서 각 기호 및 준동형은 다음과 같다.

$\mu_2(K)=\{a\in K^\times\colon a^2=1\}$ 는 $K$ 에서 1의 제곱근의 대수군이다. $K$ 의 표수가 2라면 이는 자명군이며, 아니라면 크기 2의 순환군이다.
$(K^\times)^2\subseteq K^\times$ 는 $K^\times$ 속의 제곱수들의 부분군이다. 몫군 $K^\times/(K^\times)^2$ 는 $K$ 의 제곱 유군이다.
준동형 $\Gamma(V,Q;K)\to K^\times$ 은 스피너 노름이다. $\operatorname O(V,Q;K)\to K^\times/(K^\times)^2$ 역시 (클리퍼드 군의 원소의 동치류에 대하여 정의되는, 제곱 유군 값을 갖는) 스피너 노름이다.
$\operatorname\Omega(V,Q;K)\subseteq\operatorname O(V,Q;K)$ 는 스피너 노름이 1인 원소로 구성되는, 직교군 $\operatorname O(V,Q;K)$ 의 부분군이다.
준동형 $\operatorname\Gamma(V,Q;K)\to\operatorname O(V,Q;K)$ 는 클리퍼드 군의 $V$ 위의 자연스러운 작용을 통해 정의된다. $\operatorname{Pin}(V,Q;K)\to\operatorname{\Omega}(V,Q;K)$ 역시 마찬가지다.

위 가환 그림에서 짝수 등급 원소에 국한하면 다음과 같은 가환 그림을 얻는다.

:

\begin{matrix}&&1&&1&&1\\&&\downarrow&&\downarrow&&\downarrow\\1&\to&\mu_2(K)&\to&K^\times&\to&(K^\times)^2&\to&1\\&&\downarrow&&\downarrow&&\downarrow\\1&\to&\operatorname{Spin}(V,Q;K)&\to&\operatorname{S\Gamma}(V,Q;K)&\to&K^\times&\to&1\\&&\downarrow&&\downarrow&&\downarrow\\1&\to&\operatorname{S\Omega}(V,Q;K)&\to&\operatorname{SO}(V,Q;K)&\to&K^\times/(K^\times)^2&\to&1\\&&\downarrow&&\downarrow&&\downarrow\\&&1&&1&&1\end{matrix}

(스)핀 군과 (특수) 직교군 사이의 관계는 다음과 같다.

:

\begin{matrix}&&1&&1\\&&\downarrow&&\downarrow\\1&\to&\mu_2(K)&\to&\mu_2(K)&\to&1\\&&\downarrow&&\downarrow&&\downarrow\\1&\to&\operatorname{Spin}(V,Q;K)&\to&\operatorname{Pin}(V,Q;K)&\to&\mathbb Z/2&\to&1\\&&\downarrow&&\downarrow&&\downarrow\\1&\to&\operatorname{S\Omega}(V,Q;K)&\to&\operatorname{\Omega}(V,Q;K)&\to&\mathbb Z/2&\to&1\\&&\downarrow&&\downarrow&&\downarrow\\&&1&&1&&1\end{matrix}

(특수) 클리퍼드 군과 (특수) 직교군의 관계는 다음과 같다.

:

\begin{matrix}&&1&&1\\&&\downarrow&&\downarrow\\1&\to&K^\times&\to&K^\times&\to&1\\&&\downarrow&&\downarrow&&\downarrow\\1&\to&\operatorname{S\Gamma}(V,Q;K)&\to&\operatorname{\Gamma}(V,Q;K)&\to&\mathbb Z/2&\to&1\\&&\downarrow&&\downarrow&&\downarrow\\1&\to&\operatorname{SO}(V,Q;K)&\to&\operatorname{O}(V,Q;K)&\to&\mathbb Z/2&\to&1\\&&\downarrow&&\downarrow&&\downarrow\\&&1&&1&&1\end{matrix}

여기서

$\operatorname{\Gamma}(V,Q;K)\to\mathbb Z/2$ 는 딕슨 불변량이며, $\operatorname{Pin}(V,Q;K)\to\mathbb Z/2$ 는 그 제한이다.
$\operatorname O(V,Q;K)\to\mathbb Z/2$ 는 (클리퍼드 군의 원소의 동치류에 대하여 잘 정의되는) 딕슨 불변량이며, $\operatorname{SO}(V,Q;K)\to\mathbb Z/2$ 는 그 제한이다.

3. 2. 실수 계수 (한국어 위키)

K=\mathbb R

이고,

V

가

n

차원 실수 벡터 공간이며,

Q

가 비퇴화 이차 형식일 때,

\operatorname{Cliff}(p,q;\mathbb R)

의 가역원군

\operatorname{Cliff}(p,q;\mathbb R)^\times

은

2^n

차원 리 군을 이룬다. 만약

Q

가 음의 정부호 이차 형식이라면,

\Gamma(0,n;\mathbb R)

는 두 개의 연결 성분을 가지며, 단위원을 포함하는 성분

\Gamma_0(V,Q;\mathbb R)

는 지표 2의 부분군이다. 또한, 다음과 같은 군의 짧은 완전열이 존재한다.

:

1\to\mathbb R^\times\to\operatorname{Gamma}(0,n;\mathbb R)\to\operatorname O(n;\mathbb R)\to1

:

1\to\mathbb R^\times\to\operatorname{S\Gamma}(0,n;\mathbb R)\to\operatorname{SO}(n;\mathbb R)\to1

즉,

\Gamma(0,n;\mathbb R)

는

n(n-1)/2+1

차원 리 군이다. 전체 가역원군

\operatorname{Cliff}(0,n;\mathbb R)^\times

은

2^n

차원 리 군이므로, 이는 여차원

2^n-n(n-1)/2-1

의 부분군이다.

3. 3. 직교군과의 관계 (한국어 위키)

클리퍼드 군 $\Gamma(V,Q;K)$는 $V$ 위의 $K$-선형 표현을 갖는다. 이 작용은 이차 형식 $Q$를 보존하며, 따라서 직교군 $\operatorname O(V,Q;K)=\{f\in\operatorname{End}_K(V)\colon Q\circ f=Q\}$으로 가는 다음과 같은 군 준동형이 존재한다.

$\Gamma(V,Q;K)\to\operatorname O(V,Q;K)$

클리퍼드 군 $\Gamma(V,Q;K)$는 $\{v\in V\colon Q(v)\in K^\times\}$를 부분 집합으로 포함한다 ($K^\times$는 $K$의 가역원군). 이 경우 다음이 성립한다.

$v^{-1}=\frac v{Q(v)}$

$vu\alpha(v)^{-1} = -\frac{vuv}{Q(v)}

=\frac{v^2u-v(Q(u+v)-Q(u)-Q(v))}{Q(v)}

=u-v\frac{Q(u+v)-Q(u)-Q(v)}{Q(v)}\qquad\forall u\in V$

즉, $v\in V$의 작용은 $u$를 축 $v$에 대하여 반사시키는 것이다.

3. 4. 딕슨 불변량 (한국어 위키)

핀 군 위에 Dickson invariant^영어이라는 군 준동형이 존재한다.

:

D\colon\operatorname{Pin}(V,Q;K)\to\mathbb Z/2

:

D\colon x\mapsto \operatorname{rank}(u\mapsto u-xu\alpha(x)^{-1})\bmod2

즉, 이는

u

로 인하여 생성되는

V

-선형 변환 빼기 1의 계수이다. 만약

K

의 표수가 2가 아니라면 딕슨 불변량은 다음과 같이 행렬식으로 주어진다.

:

D(x)=(-1)^{\det(u\mapsto xu\alpha(x)^{-1})}

딕슨 불변량이 0인 정규 부분군은 스핀 군과 같다.

:

\operatorname{Spin}(V,Q;K)=\ker D=\{x\in\operatorname{Pin}(V,Q;K)\colon D(x)=0\}

3. 5. 갈루아 코호몰로지와의 관계 (한국어 위키)

체 ''K'' 위의 유한 차원 벡터 공간 ''V'' 위의 비퇴화 이차 형식 ''Q''에 대하여, 짧은 완전열

:1→μ₂(K^sep)→Pin(V,Q;K^sep)→O(V,Q;K^sep)→1

에서 뱀 보조정리로 유도되는, 군 코호몰로지 H^•(Gal(K^sep/K);-)의 긴 완전열을 생각해 보자. (비아벨 군의 2차 이상 코호몰로지는 정의되지 않으므로, 이는 2차 코호몰로지에서 끝난다.) 이 긴 완전열은 다음과 같다.

:1→μ₂(K)→Pin(V,Q;K)→O(V,Q;K)→K^×/(K^×)² → H¹(Gal(K^sep/K);Pin(V,Q;-))→H¹(Gal(K^sep/K);O(V,Q;-))→H²(Gal(K^sep/K);μ₂(-))

여기서 0차 갈루아 코호몰로지

:H⁰(Gal(K^sep/K);Pin(V,Q;-))=Pin(V,Q;K)

등은 단순히 ''K'' 계수의 유리점들의 군이며, 1차 갈루아 코호몰로지

:H¹(Gal(K^sep/K);μ₂(-))≅K^×/(K^×)²

는 제곱 유군이며, 연결 사상 O(V,Q;K)→K^×/(K^×)²는 스피너 노름이 된다.

3. 6. 클리퍼드 군의 생성 (영어 위키)

클리퍼드 군은 파울리 군을 정규화하는 유니타리 그룹으로 정의된다.^[2] 클리퍼드 군의 모든 유니타리는 (전역 위상 인자까지) 하다마르 게이트, 위상 게이트, CNOT 게이트를 사용하여 생성된 회로와 동일하다.^[3] 따라서 클리퍼드 군은 하다마르 게이트, 위상 게이트, CNOT 게이트로 생성되는 (유한한) 유니타리 그룹으로 정의되기도 한다.

3. 7. 회로 복잡도 (영어 위키)

임의의 클리퍼드 군 원소는

O(n^2/ \log(n))

개 이하의 게이트를 가진 회로로 생성될 수 있다.^[6]^[7] 여기서, 참조^[6]는 11단계 분해 -H-C-P-C-P-C-H-P-C-P-C-를 보고하는데, H, C, P는 각각 하다마드(Hadamard) 게이트, CNOT 게이트, 위상(Phase) 게이트를 사용하는 계산 단계를 나타낸다. 참조^[7]는 CNOT 단계가

O(n^2/ \log(n))

개의 게이트를 사용하여 구현될 수 있음을 보여준다. -H- 및 -P- 단계는 단일 큐비트 게이트에 의존하며, 선형적으로 많은 게이트를 사용하여 구현될 수 있지만, 이는 점근선에 영향을 미치지 않는다.

3. 8. 주요 부분군 (영어 위키)

클리퍼드 군 $\mathbf{C}_n$은 풍부한 하위 그룹 구조를 가지며, 다양한 양자 회로에 의해 생성되는 여러 하위 그룹을 포함한다. 주요 하위 그룹은 다음과 같다.

하위 그룹	원소 개수	생성 양자 회로	설명
파울리 군 $\mathbf{P}_n$	$2^{2n+2}$ (전역 위상 제외 시 $2^{2n}$)	파울리-X 및 파울리-Z 게이트	n-겹 파울리 곱 그룹
일반 선형 군 GL$(n,\mathbb{F}_2)$	$\prod_{j=0}^{n-1}(2^n-2^j)=2^{n^2+O(1)}$	CNOT 게이트
대칭군 $\mathrm{S}_n$	$n!$	SWAP 게이트
대각 하위 그룹	$2^{0.5n^2+O(n)}$	위상 및 CZ 게이트	대각 클리퍼드 유니타리로 구성
하다마르-프리 하위 그룹	$2^{1.5n^2+O(n)}$	위상 및 CNOT 게이트
바일 군	$2^{n\log(n)+O(n)}$	SWAP 및 하다마르 게이트	^[8]
보렐 군	$2^{n^2+O(n)}$	하단 큐비트를 타겟으로 하는 CNOT 회로, 위상 및 CZ 게이트	최대 가해 부분군, 하다마르-프리 하위 그룹의 하위 그룹^[8]

3. 9. 가환성 (영어 위키)

클리퍼드 게이트와 파울리 게이트의 순서는 서로 바꿀 수 있다. 예를 들어, 2개의 큐비트에 대한 다음 연산자를 고려하여 설명할 수 있다.

:

A = (X \otimes Z)CZ

.

우리는 다음을 알고 있다.

:

CZ(X \otimes I)CZ^\dagger = X \otimes Z

.

오른쪽에서 ''CZ''를 곱하면,

:

CZ(X \otimes I) = (X \otimes Z)CZ

.

따라서 ''A''는 다음과 같다.

:

A = (X \otimes Z)CZ = CZ(X \otimes I)

.

3. 10. 시뮬레이션 가능성 (영어 위키, 고테스만-크닐 정리)

고테스만-크닐 정리에 따르면 다음 요소만 사용하는 양자 회로는 고전 컴퓨터에서 효율적으로 시뮬레이션할 수 있다.^[1]

계산 기저 상태의 큐비트 준비^[1]
클리포드 게이트^[1]
계산 기저에서의 측정^[1]

고테스만-크닐 정리는 고도로 양자 얽힘 상태조차 효율적으로 시뮬레이션할 수 있음을 보여준다.^[1] 몇 가지 중요한 유형의 양자 알고리즘은 클리포드 게이트만 사용하며, 가장 중요한 것은 얽힘 증류 및 양자 오류 정정을 위한 표준 알고리즘이다.^[1]

참조

_[1] 서적 Quantum Computation and Quantum Information: 10th Anniversary Edition https://books.google[...] Cambridge University Press 2010-12-09
_[2] 서적 Surviving as a Quantum Computer in a Classical World https://www.cs.umd.e[...]
_[3] 서적 Surviving as a Quantum Computer in a Classical World https://www.cs.umd.e[...]
_[4] 학술지 Quantum Error Correction via Codes over GF(4)
_[5] OEIS Order of Clifford group
_[6] 학술지 Improved simulation of stabilizer circuits 2004
_[7] 학술지 Optimal synthesis of linear reversible circuits 2008
_[8] 학술지 Shorter stabilizer circuits via Bruhat decomposition and quantum circuit transformations 2018
_[9] 서적 Quadratic mappings and Clifford algebras https://archive.org/[...] Birkhäuser 2008
_[10] 서적 Quadratic and hermitian forms over rings Springer 1991

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하위 그룹	원소 개수	생성 양자 회로	설명
파울리 군 \(\mathbf{P}_n\)	\(2^{2n+2}\) (전역 위상 제외 시 \(2^{2n}\))	파울리-X 및 파울리-Z 게이트	n-겹 파울리 곱 그룹
일반 선형 군 GL\((n,\mathbb{F}_2)\)	\(\prod_{j=0}^{n-1}(2^n-2^j)=2^{n^2+O(1)}\)	CNOT 게이트
대칭군 \(\mathrm{S}_n\)	\(n!\)	SWAP 게이트
대각 하위 그룹	\(2^{0.5n^2+O(n)}\)	위상 및 CZ 게이트	대각 클리퍼드 유니타리로 구성
하다마르-프리 하위 그룹	\(2^{1.5n^2+O(n)}\)	위상 및 CNOT 게이트
바일 군	\(2^{n\log(n)+O(n)}\)	SWAP 및 하다마르 게이트	^[8]
보렐 군	\(2^{n^2+O(n)}\)	하단 큐비트를 타겟으로 하는 CNOT 회로, 위상 및 CZ 게이트	최대 가해 부분군, 하다마르-프리 하위 그룹의 하위 그룹^[8]