특이점 (해석학)

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1. 개요
2. 복소해석학에서의 특이점
3. 실해석학에서의 특이점
- 3.1. 불연속점의 분류
4. 대수기하학에서의 특이점
5. 미분기하학에서의 특이점
6. 유한 시간 특이점
7. 좌표 특이점
8. 함수 방정식론에서의 특이점
참조

1. 개요

특이점은 수학에서 함수가 해석적이지 않거나, 미분 불가능하거나, 특정 조건이 충족되지 않는 지점을 의미한다. 복소해석학에서는 고립 특이점, 비고립 특이점, 분기점 등으로 분류되며, 로랑 급수나 극한을 통해 제거 가능, 극점, 본질적 특이점으로 세분된다. 실해석학에서는 불연속점 또는 미분 불가능점으로, 제1형과 제2형으로 나뉜다. 대수기하학에서는 접선 공간이 정의되지 않는 점을, 미분기하학에서는 미분 랭크가 감소하는 임계점을 의미한다. 유한 시간 특이점은 유한 시간 내에 무한대로 발산하는 경우이며, 좌표 특이점은 좌표계 변환으로 제거 가능한 겉보기 특이점이다. 함수 방정식론에서는 확정 특이점이 다루어진다.

2. 복소해석학에서의 특이점

복소해석학에서 특이점은 복소함수가 해석적이지 않은 점을 의미하며, 이는 복소함수의 성질을 규명하는 데 매우 중요하다. 복소해석학에서는 복소 함수에 대해 미분 가능성 또는 해석성을 기준으로 정칙성, 특이성을 논한다.

특이점에는 여러 종류가 있는데, 고립 특이점, 비고립 특이점, 분기점이 있다.

'''고립 특이점'''(isolated singularity): 특정 점에서 함수의 유계성이 어긋나는 점이다.
제거 가능한 특이점
극 (pole)
진성 특이점
'''분기점'''(branch point): 해석적 연속에서 일가 함수가 다가성을 나타내는 점이다.

(비고립 특이점에 대한 내용은 하위 섹션에서 다룬다.)

2. 1. 고립 특이점

복소해석학에서 특이점은 복소함수의 성질을 규명하는 데 매우 중요한 역할을 한다. 점

a

가 복소함수

f

의 특이점이고,

a

를 제외한

f

의 한 근방(neighborhood)에서 해석적이면 점

a

를 특별히 함수

f

의 '''고립특이점'''(isolated singularity)이라고 한다. 예를 들어

f(z)= \frac{1}{z}

는

z=0

에서 해석적이 아니지만(정의되지 않음), 그 외의 모든 점에서는 해석적이므로

z=0

는

f

의 고립 특이점이다.

고립 특이점은 그 근방에서 함수의 특성에 따라 다음과 같이 구분된다.

'''제거 가능 특이점'''(removable singularity^영어)
'''극점'''(pole^영어)
'''본질적 특이점'''(essential singularity^영어)

정의역 안에서 어떤 특이점도 갖지 않는 함수를 해석함수라고 하며, 극점 밖에 어떤 특이점도 갖지 않는 함수를 유리형 함수라고 한다.

2. 1. 1. 극한을 이용한 특이점의 구분

고립 특이점은 극한을 이용하여 다음과 같이 구분할 수 있다.

점

a

가 함수

f

의 고립 특이점이라고 하자.

만약 $\lim_{z \to a}(z-a)f(z)=0\,$ 이면, $a$ 는 $f$ 의 '''제거가능 특이점'''이다.
$\lim_{z \to a}|f(z)|=\infty \,$ 이면, $a\,$ 는 $f\,$ 의 '''극점'''이다.
$\lim_{z \to a}f(z)$ 가 존재하지 않으면, $a$ 는 $f$ 의 '''본질적 특이점'''이다.

함수

f(z)=\frac{\sin z}{z}\,

는

z=0

에서 특이점을 갖는다. 그런데

\lim_{z \rightarrow 0}zf(z)=\lim_{z \rightarrow 0} z\frac{\sin z}{z}=0\,

이다. 그러므로

z=0\,

은

f(z)\,

의 제거가능 특이점이다. 또는 로랑 급수에서 주부가 전혀 나타나지 않으므로

z=0\,

은

f(z)\,

의 제거가능 특이점이다.

:

f(z)=\frac{\sin z}{z}=\frac{1}{z} \left( z-\frac{z^3}{3!}+ \cdots\right)=1-\frac{z^2}{3!}+\cdots\,

함수

f(z)=\frac{1}{(z-1)^2}+ \frac{3}{z-1}-3(z-1)\,

은

z=1\,

에서 특이점을 갖는다. 그런데

\lim_{z \rightarrow 1}f(z)=\infty\,

이다. 그러므로

z=1\,

은

f(z)\,

의 극(극점)이다. 또는 아래의 로랑 급수에서 처음 두 항만이 주부에 속하므로

z=1\,

은

f(z)\,

의 극(극점)이다.

:

f(z)=\frac{1}{(z-1)^2}+ \frac{3}{z-1}-3(z-1)\,

함수

f(z)=e^{\frac{1}{z}}\,

는

z=0\,

에서 특이점을 갖는다. 그런데

\lim_{x \rightarrow 0^+}f(z)=\infty \,

이고,

\lim_{x \rightarrow 0^-}f(z)=0\,

이므로 극한

\lim_{z \rightarrow 0}f(z)\,

는 존재하지 않는다. 그러므로

z=0\,

은

f(z)\,

의 본질적 특이점이다. 또는 아래의 로랑 급수에서 주부의 항들이 무수히 많으므로

z=0\,

은

f(z)\,

의 본질적 특이점이다.

:

f(z)=1+\frac{1}{z}+ \frac{1}{2!z^2}+ \frac{1}{3!z^3}+\cdots\,

함수

1/(z-2)^3

은

z=2

에서 위수 3인 극점을 갖는다.

1/z

은

z=0

에서 단순극을 갖는다.

다음과 같이 가정하자.

f

는 정칙 함수이며, 여집합의 점

a

에서 복소수

\mathbb{C}

의 열린 집합

U

의

a

를 제외한 모든 곳에서 복소 미분 가능하다고 하자. 그러면:

점 $a$ 는 $U$ 전체에서 정의된 정칙 함수 $g$ 가 존재하여 $U \smallsetminus \{ a \}$ 의 모든 $z$ 에 대해 $f(z) = g(z)$ 를 만족하면 $f$ 의 제거 가능한 특이점이다. 함수 $g$ 는 함수 $f$ 를 대체하는 연속적인 함수이다.^[4]
점 $a$ 는 $U$ 에서 정의된 정칙 함수 $g$ 가 존재하고 $g(a)$ 가 0이 아니며, 자연수 $n$ 이 존재하여 $U \smallsetminus \{ a \}$ 의 모든 $z$ 에 대해 $f(z) = \frac{ g(z) }{(z-a)^n}$ 을 만족하면 $f$ 의 극점 또는 본질적이지 않은 특이점이다. 가장 작은 그러한 수 $n$ 을 ''극점의 차수''라고 한다. 본질적이지 않은 특이점에서의 도함수는 $n$ 이 1 증가한 본질적이지 않은 특이점을 갖는다(단, $n$ 이 0이어서 특이점이 제거 가능한 경우는 예외).
점 $a$ 는 제거 가능한 특이점도 극점도 아니면 $f$ 의 본질적 특이점이다. 점 $a$ 는 로랑 급수가 무한히 많은 음수 차수를 가지는 경우에만 본질적 특이점이다.^[1]

2. 1. 2. 로랑 급수를 이용한 특이점의 구분

점

a

가 함수

f

의 고립 특이점이라면,

f

는

a

를 제외한

a

근방에서 로랑 급수로 전개할 수 있다.

:

f(z)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{b_n}{(z-a)^n}+\sum_{n=0}^{\infty}{a_n}{(z-a)^n}

위 급수의 처음 합을 '''주부'''(主部, principal part), 두 번째 합을 '''해석부'''(analytic part)라고 한다. 로랑 급수에서 주부의 항(項)이 전혀 나타나지 않으면 제거 가능한 특이점, 유한개만 나타나면 극(극점), 무한히 많이 나타나면 본질적 특이점이라고 한다.

함수 $f(z)=\frac{\sin z}{z}\,$ 는 $z=0$ 에서 특이점을 갖는다. 로랑 급수에서 주부가 전혀 나타나지 않으므로 $z=0\,$ 은 $f(z)\,$ 의 제거 가능한 특이점이다.

::

f(z)=\frac{\sin z}{z}=\frac{1}{z} \left( z-\frac{z^3}{3!}+ \cdots\right)=1-\frac{z^2}{3!}+\cdots\,

함수 $f(z)=\frac{1}{(z-1)^2}+ \frac{3}{z-1}-3(z-1)\,$ 은 $z=1\,$ 에서 특이점을 갖는다. 아래의 로랑 급수에서 처음 두 항만이 주부에 속하므로 $z=1\,$ 은 $f(z)\,$ 의 극(극점)이다.

::

f(z)=\frac{1}{(z-1)^2}+ \frac{3}{z-1}-3(z-1)\,

함수 $f(z)=e^{\frac{1}{z}}\,$ 는 $z=0\,$ 에서 특이점을 갖는다. 아래의 로랑 급수에서 주부의 항들이 무수히 많으므로 $z=0\,$ 은 $f(z)\,$ 의 본질적 특이점이다.

::

f(z)=1+\frac{1}{z}+ \frac{1}{2!z^2}+ \frac{1}{3!z^3}+\cdots\,

함수 $1/(z-2)^3$ 은 $z=2$ 에서 위수 3인 극점을 갖는다.
$1/z$ 은 $z=0$ 에서 단순극을 갖는다.

2. 1. 3. 극점의 위수

함수

f(z)

가

z=a

에서 극점을 가질 때,

\lim_{z \to a}(z-a)^m f(z)

가 존재하게 하는 최소의 자연수

m

을

z=a

에서 '''위수 ''m''인 극점'''이라고 정의한다. 특히 위수가 1인 극점을 단순극이라고 한다.

f(z)\,

가

z=a\,

에서 '''위수 ''m''인 극점'''을 갖는 경우

z=a\,

를 제외한

z=a\,

근방에서의 로랑 급수는 다음과 같이 표현된다.

:

f(z)=\frac{b_m}{(z-a)^m} +\frac{b_{m-1}}{(z-a)^{m-1}}+\cdots +\frac{b_1}{z-a}+A(z) \,

여기서

A(z)\,

는

f(z)\,

의 해석부를 나타내는 함수이다.

극점의 위수는 유수 정리(residue theorem)를 이용한 복소함수의 적분에서 필요한 유수 계산에 이용된다.
함수 $1/(z-2)^3$ 은 $z=2$ 에서 위수 3인 극점을 갖는다.
$1/z$ 은 $z=0$ 에서 단순극을 갖는다.

2. 2. 비고립 특이점

고립 특이점이 아닌 특이점으로는 다음 두 가지 유형이 있다.

'''집적점'''(集積點, cluster point): 고립 특이점의 극한점이다. 이들이 모두 로랑 급수 전개를 허용하는 극점임에도 불구하고, 그 극한에서는 그러한 전개가 불가능하다.
'''자연 경계'''(natural boundary): 함수가 그 주위(또는 리만 구에서 폐곡선인 경우 외부)로 해석적으로 연속될 수 없는 임의의 비고립 집합(예: 곡선)이다.

2. 3. 분기점

분지점은 일반적으로

\sqrt{z}

또는 log(z)^영어와 같이 여러 개의 값을 가지는 함수에서 나타나는 특이점이다. 이러한 함수는 특정 영역 내에서 단일 값을 갖도록 정의되는데, 분기 절단(branch cut)은 함수의 불연속적인 값 사이에 기술적인 분리를 만들기 위해 영역에서 제외된 선이나 곡선을 의미한다. 분기 절단이 필요한 경우, 함수는 분기선의 각 측면에서 서로 다른 값을 갖는다. 분기선의 모양은 선택의 문제이지만, log(z)^영어의 경우

z = 0

과

z = \infty

와 같이 고정된 두 개의 서로 다른 분지점을 연결해야 한다.

2. 4. 예시

함수 $f(z) = \frac{\sin z}{z}$ 는 $z = 0$ 에서 특이점을 갖는다. 그런데 $\lim_{z \rightarrow 0} zf(z) = \lim_{z \rightarrow 0} z \frac{\sin z}{z} = 0$ 이므로, $z = 0$ 은 $f(z)$ 의 제거가능 특이점이다. 또는 로랑 급수에서 주부가 전혀 나타나지 않으므로, $z = 0$ 은 $f(z)$ 의 제거가능 특이점이다.

::

f(z) = \frac{\sin z}{z} = \frac{1}{z} \left( z - \frac{z^3}{3!} + \cdots \right) = 1 - \frac{z^2}{3!} + \cdots

함수 $f(z) = \frac{1}{(z - 1)^2} + \frac{3}{z - 1} - 3(z - 1)$ 은 $z = 1$ 에서 특이점을 갖는다. 그런데 $\lim_{z \rightarrow 1} f(z) = \infty$ 이므로, $z = 1$ 은 $f(z)$ 의 극(극점)이다. 또는 아래의 로랑 급수에서 처음 두 항만이 주부에 속하므로, $z = 1$ 은 $f(z)$ 의 극(극점)이다.

::

f(z) = \frac{1}{(z - 1)^2} + \frac{3}{z - 1} - 3(z - 1)

함수 $f(z) = e^{\frac{1}{z}}$ 는 $z = 0$ 에서 특이점을 갖는다. 그런데 $\lim_{x \rightarrow 0^+} f(z) = \infty$ 이고, $\lim_{x \rightarrow 0^-} f(z) = 0$ 이므로, 극한 $\lim_{z \rightarrow 0} f(z)$ 는 존재하지 않는다. 그러므로 $z = 0$ 은 $f(z)$ 의 본질적 특이점이다. 또는 아래의 로랑 급수에서 주부의 항들이 무수히 많으므로, $z = 0$ 은 $f(z)$ 의 본질적 특이점이다.

::

f(z) = 1 + \frac{1}{z} + \frac{1}{2!z^2} + \frac{1}{3!z^3} + \cdots

함수 $1 / (z - 2)^3$ 은 $z = 2$ 에서 위수 3인 극점을 갖는다.
$1 / z$ 은 $z = 0$ 에서 단순극을 갖는다.

2. 5. 고립 특이점으로서의 무한원점

확장된 복소평면에서는 무한원점도 특이점으로 정의할 수 있다. 다만 무한원점을 제외한 무한원점의 근방은 다음과 같이 정의된다.

:

\{ z \in \mathbb{C} \,: \, |z| > M \}\,\,\,(M>0)\,

무한원점에서 제거가능한 특이점을 갖는 전해석 함수는 상수 함수이다.
무한원점에서 극(극점)을 갖는 전해석 함수는 다항함수이다.
무한원점에서 본질적 특이점을 갖는 전해석 함수는 초월 전해석 함수이다.

3. 실해석학에서의 특이점

실해석학에서 특이점은 함수가 불연속이거나 미분 불가능한 점을 의미한다. 이는 보통 함수의 연속성을 기준으로, 연속적인 동작을 보이는 점을 연속점, 그렇지 않은 점을 불연속점으로 부르는 방식으로 정의된다.^[1]

함수 $f$ 의 정의역에 속하는 어떤 점 $a$ 가 특이점일 때, 크게 두 종류로 분류된다.

'''제1종 특이점'''은 $a$ 의 좌극한과 우극한이 모두 존재하는 경우이다.
'''제2종 특이점'''은 $a$ 의 좌극한과 우극한 중 적어도 하나가 존재하지 않는 경우이다.

f(x)

가 실수 변수

x

의 함수이고, 변수의 임의의 값

c

에 대해, '''좌극한'''

f(c^-)

와 '''우극한'''

f(c^+)

은 다음과 같이 정의된다.

:

f(c^-) = \lim_{x \to c}f(x)

,

x < c

로 제한

:

f(c^+) = \lim_{x \to c}f(x)

,

x > c

로 제한

f(c^-)

는

x

가 ''아래''에서

c

로 접근할 때 함수

f(x)

가 향하는 값이며,

f(c^+)

는

x

가 ''위''에서

c

로 접근할 때 함수

f(x)

가 향하는 값이다. 이때,

x = c

에서 함수가 실제로 갖는 값과는 무관하다.

예를 들어, 함수

:

g(x) = \sin\left(\frac{1}{x}\right)

는

x

가

c = 0

에 접근할 때 어떤 값으로도 수렴하지 않는다. 이 경우 극한은 무한대가 아니라 정의되지 않음이다.

g(x)

가 정착하는 값이 없기 때문이다. 이러한 특이점을 본질적 특이점이라고 부르기도 한다.^[1]

실해석학에서 특이점 또는 불연속점은 함수 자체의 속성이며, 함수의 미분에서 존재할 수 있는 모든 특이점은 원래 함수가 아닌, 미분의 속성으로 간주된다.^[1]

3. 1. 불연속점의 분류

실해석학에서 실함수의 불연속점은 크게 두 가지로 분류된다.

제1종 불연속점: 함수의 좌극한과 우극한이 모두 존재하지만, 다음 세 가지 경우 중 하나에 해당한다.
좌극한과 우극한의 값이 서로 다르다.
극한값은 존재하지만, 함숫값이 정의되지 않았다.
함숫값이 극한값과 다르다.

제1종 불연속점은 다시 다음과 같이 두 가지로 나뉜다.

제거 가능 불연속점: 좌극한과 우극한이 일치하는 경우이다.
점프 불연속: 좌극한과 우극한이 일치하지 않는 경우이다.

제2종 불연속점: 좌극한이나 우극한 중 적어도 하나가 존재하지 않는 경우이다.

제2종 불연속점은 다시 다음과 같이 두 가지로 나뉜다.

무한 불연속점: 좌극한이나 우극한 중 적어도 하나가 무한대로 발산하는 경우이다.
본질적 특이점: 좌극한이나 우극한이 발산하지만, 무한대로 발산하지는 않는 경우이다.

4. 대수기하학에서의 특이점

대수기하학에서, 대수다양체의 특이점은 접선 공간이 정규적으로 정의되지 않을 수 있는 다양체의 한 점이다. 특이점의 가장 간단한 예는 서로 교차하는 곡선이다. 그러나 첨점과 같은 다른 유형의 특이점도 있다. 예를 들어, ''y''² − ''x''³ = 0는 원점 ''x'' = ''y'' = 0에서 첨점을 갖는 곡선을 정의한다. 이 점에서 ''x''-축을 접선으로 정의할 수 있지만, 이 정의는 다른 점에서의 정의와 같을 수 없다. 사실, 이 경우 ''x''-축은 "이중 접선"이다.

아핀 다양체와 사영 다양체의 경우, 특이점은 야코비 행렬의 계수가 다양체의 다른 점보다 낮은 계수를 갖는 점이다.

가환대수학 측면에서 동등한 정의가 주어질 수 있으며, 이는 추상 다양체 및 scheme으로 확장된다. 한 점이 ''특이점''인 것은 이 점에서의 국소환이 정칙 국소환이 아닌 경우이다. 대수기하학에서의 특이성은 다양체 또는 환의 국소화가 정칙 국소환이 되지 않는 것을 의미한다. : 보충설명: crunode|결절점^영어, double point|중복점^영어, 첨점, acnode|고립점^영어

5. 미분기하학에서의 특이점

틀은 제거되어야 한다.

미분이 랭크가 떨어지는 점을 임계점, 풀 랭크의 점을 정상점이라고 한다.

6. 유한 시간 특이점

'''유한 시간 특이점'''은 입력 변수가 시간이고 출력 변수가 유한 시간 내에 무한대로 증가하는 현상이다. 운동학과 편미분 방정식에서 중요하게 다루어진다. 물리적으로 무한대가 발생하지는 않지만, 특이점 근처의 동작은 종종 흥미로운 경우가 많다. 수학적으로 가장 간단한 유한 시간 특이점은

x^{-\alpha}

형태의 다양한 지수를 가지는 멱함수이며, 그 중 가장 간단한 것은 지수가 (음수) 1인 쌍곡선 성장

x^{-1}

이다. 더 정확하게는, 시간이 진행됨에 따라 양의 시간에 특이점을 얻기 위해서는(출력이 무한대로 증가하도록),

(t_0-t)^{-\alpha}

를 사용한다 (시간에 대해 ''t''를 사용하고, 방향을

-t

로 반전하여 시간이 무한대로 증가하도록 하며, 특이점을 0에서 고정 시간

t_0

로 이동).

예를 들어 평면에서 비탄성 공이 튀어 오르는 운동을 생각해 볼 수 있다. 각 바운스에서 동일한 비율의 운동 에너지가 손실되는 이상적인 운동을 고려하면, 공은 유한 시간 내에 정지하고 바운스의 주파수는 무한대가 된다. 유한 시간 특이점의 다른 예로는 다양한 형태의 팡르베 역설 (예: 칠판 위를 끌 때 분필이 튀는 경향)과 평평한 표면에서 회전하는 동전의 세차 운동 속도가 갑자기 멈추기 전에 무한대로 가속화되는 방식(오일러의 원반 장난감을 사용하여 연구됨)이 있다.

가설적인 예로는 하인츠 폰 푀르스터의 익살스러운 "종말 방정식"이 있다 (단순한 모델은 유한 시간 내에 무한한 인구를 산출한다).

7. 좌표 특이점

좌표 특이점은 특정 좌표계에서만 나타나는 겉보기 특이점이다. 다른 좌표계를 선택하면 이러한 특이점은 사라진다. 구면 좌표계에서 위도 90도(북극점)에서 나타나는 겉보기 특이점이 그 예시이다. 예를 들어 구 표면에서 북쪽으로 이동하는 물체는(예: 경도 0도 선을 따라) 극점에서 갑자기 경도의 순간적인 변화를 경험한다(예시의 경우, 경도 0도에서 경도 180도로 점프). 그러나 이 불연속성은 겉보기일 뿐이며, 극점에서 특이점을 갖는 좌표계를 선택했기 때문에 나타나는 현상이다. 다른 좌표계를 사용하면 겉보기 불연속성은 사라진다(예: 위도/경도 표현을 -벡터 표현으로 대체).

8. 함수 방정식론에서의 특이점

확정 특이점(정칙 특이점/푹스형 특이점)^[5], 움직이는 특이점

참조

_[1] 웹사이트 Singularities, Zeros, and Poles http://mathfaculty.f[...] 2019-12-12
_[2] 웹사이트 Singularity {{!}} complex functions https://www.britanni[...] 2019-12-12
_[3] 서적 Applied Calculus https://books.google[...] Cengage Learning
_[4] 웹사이트 Singularity http://mathworld.wol[...] 2019-12-12
_[5] PlanetMath fuchsian singularity

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