함수의 그래프

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 함수의 변수와 그래프
3. 성질
- 3.1. 닫힌집합 조건
4. 예
5. 함수의 성질과 그래프의 특징 (R에서 R로의 함수)
6. 음함수의 그래프
참조

1. 개요

함수의 그래프는 함수 f: X → Y에 대해, 정의역과 공역의 곱집합의 부분 집합 {(x, f(x)) : x ∈ X}로 정의된다. 1변수 함수의 그래프는 평면, 2변수 함수의 그래프는 3차원 공간으로 나타낼 수 있으며, n변수 함수의 그래프는 (m+n)차원 유클리드 공간의 부분 집합으로 표현된다. 함수의 그래프는 함수의 성질, 즉 전사성, 단사성, 연속성, 미분 가능성과 밀접한 관련이 있으며, 그래프의 특징을 통해 함수의 성질을 파악할 수 있다.

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함수의 그래프
정의
정의	함수 의 그래프는 의 각 값에 대해 순서쌍 (, ())을 포함하는 점들의 집합이다.
설명	함수 의 그래프는 함수를 시각적으로 나타낸 것이다.
함수 표현
변수	: 독립 변수 (): 종속 변수
활용
분야	수학 과학 공학
목적	함수의 동작 및 특징을 시각적으로 이해
그래프 종류
종류	직선 그래프 곡선 그래프 막대 그래프 원 그래프
주의 사항
주의 사항	모든 관계가 함수인 것은 아니다. 함수의 그래프는 x축에 수직인 직선과 최대 한 번만 교차해야 한다 (수직선 판정법).
관련 개념
관련 개념	함수 (수학) 관계 (수학) 좌표계 그래프 이론
추가 정보
추가 정보	함수의 그래프는 함수의 성질을 분석하고 이해하는 데 중요한 도구이다.

2. 정의

함수 f : X → Y의 그래프는 정의역 X와 공역 Y의 곱집합의 부분 집합으로, (x, f(x)) (x ∈ X) 형태의 순서쌍들의 집합이다.^[4] 집합론에서는 함수를 정의역, 공역, 그래프의 세 요소로 정의하지만, 일반적으로 함수와 그래프를 동일시하기도 한다.

2. 1. 함수의 변수와 그래프

함수

f\colon X\to Y

의 그래프는 정의역과 공역의 곱집합의 부분 집합으로 다음과 같이 정의된다.

:

\operatorname{graph}f=\{(x,f(x))\colon x\in X\}\subseteq X\times Y

m

차원 실수 벡터의 유클리드 공간의 부분 집합

S\subseteq\mathbb R^m

과

n

차원 실수 벡터의 유클리드 공간

\mathbb R^n

사이의 함수

f\colon S\to\mathbb R^n

의 그래프는

m+n

차원 유클리드 공간

\mathbb R^{m+n}

의 부분 집합이다. 특히, 1변수 함수

f\colon\mathbb R\to\mathbb R

의 그래프는 평면 위에 나타낼 수 있으며, 2변수 함수

f\colon\mathbb R^2\to\mathbb R

의 그래프는 3차원 공간 위에 나타낼 수 있다.

3. 성질

$X$ 와 $Y$ 가 위상 공간이고 $f\colon X\to Y$ 가 연속 함수이면, $x\mapsto(x,f(x))$ 는 $X\to X\times Y$ 매장이며, $\operatorname{graph}f$ 는 $X$ 와 위상 동형이다. $X$ 와 $Y$ 가 매끄러운 다양체이고 $f\colon X\to Y$ 가 매끄러운 함수이면, $x\mapsto(x,f(x))$ 는 $X\to X\times Y$ 매끄러운 매장이며, $\operatorname{graph}f$ 는 $X$ 와 미분 동형이다.

3. 1. 닫힌집합 조건

위상 공간 Y에 대하여, 다음 두 조건은 서로 동치이다.

Y는 하우스도르프 공간이다.
임의의 위상 공간 X 및 연속 함수 f: X → Y에 대하여, graph f ⊆ X × Y는 닫힌집합이다.

만약 Y가 콤팩트 하우스도르프 공간이라면, 위상 공간 X 및 함수 f: X → Y에 대하여, 다음 두 조건은 서로 동치이다.

f는 연속 함수이다.
graph f ⊆ X × Y는 닫힌집합이다.

4. 예

다음은 함수의 그래프 예시이다.

: $f(x) =\begin{cases}2 & (x=a)\\0 & (x=b)\\$

1 & (x=c)

\end{cases}

위 함수의 그래프는 {(''a'', 2), (''b'', 0), (''c'', −1)}이다. 이 그래프는 막대 그래프 등으로 나타낼 수 있지만, 시각화하는 규칙은 표준적으로 정해져 있지 않다.

실수 상의 삼차 함수 그래프나 2변수 함수 그래프를 좌표 공간에 나타내면 곡면을 얻을 수 있다.

디리클레 함수와 같이, '''R'''에서 '''R'''로의 함수라고 해도 실제로 그래프를 그릴 수 없는 경우도 있다. 유리수에는 1을, 무리수에는 0을 대응시키는 함수

:

f(x) =\begin{cases}1 & (x \in \mathbb{Q})\\0 & (x \in \mathbb{R}\setminus \mathbb{Q})\end{cases}

의 그래프는 2개의 평행한 직선으로 "보일" 것이다. 그러나, 각각의 직선에는 무수히 많은 구멍이 뚫려 있으므로, 이것을 정확하게 그리는 것은 불가능하다.

4. 1. 1변수 함수

실수선 상의 3차 다항식

f(x) = x^3 - 9x

의 그래프는

\{ (x, x^3 - 9x) : x \text{는 실수} \}.

이다.

이 집합을 데카르트 좌표계에 그리면 오른쪽 그림과 같은 곡선이 된다. 일반적으로 이 곡선을 `f`의 그래프라고 하는 경우가 많다.

디리클레 함수와 같이, '''R'''에서 '''R'''로의 함수라고 해도 실제로 그래프를 그릴 수 있다고는 할 수 없다. 유리수에 대해서는 1을, 무리수에 대해서는 0을 대응시키는 함수

f(x) =\begin{cases}1 & (x \in \mathbb{Q})\\0 & (x \in \mathbb{R}\setminus \mathbb{Q})\end{cases}

의 그래프는 2개의 평행한 직선으로 "보일" 것이다. 그러나, 각각의 직선에는 무수히 많은 구멍이 뚫려 있으므로, 이것을 정확하게 그리는 것은 불가능하다.

4. 2. 2변수 함수

2변수 함수의 그래프는 삼각 함수를 이용하여 표현할 수 있다. 예를 들어,

f(x,y) = \sin(x^2)\cos(y^2)

의 그래프는

\{ (x, y, \sin(x^2) \cos(y^2)) : x \text{ and } y \text{ are real numbers} \}.

와 같이 나타낼 수 있다.

이 집합을 3차원 데카르트 좌표계에 나타내면 그림과 같은 곡면이 된다.

함수의 그래프와 함께 기울기 및 등고선을 표시하는 것이 유용한 경우가 많다. 등고선은 함수 표면에 매핑하거나 바닥면에 투영할 수 있다.

f(x, y) = -(\cos(x^2) + \cos(y^2))^2.

와 같은 함수의 그래프를 예로 들 수 있다.

실수 상의 2변수 함수

f(x, y) = x^2 - y^2

의 그래프는

\{(x, y, x^2 - y^2) | x, y \in \mathbb{R}\}

이다. 이 그래프를 좌표 공간에 나타내면 오른쪽 그림과 같은 곡면을 얻을 수 있다.

4. 3. 특수한 함수

모든 실수 '''R'''에서 실수 '''R'''로의 함수라고 해도 실제로 그래프를 그릴 수 있다고는 할 수 없다. 예를 들어 디리클레 함수, 즉 유리수에 대해서는 1을, 무리수에 대해서는 0을 대응시키는 함수를 생각해보자.

:

f(x) =\begin{cases}1 & (x \in \mathbb{Q})\\0 & (x \in \mathbb{R}\setminus \mathbb{Q})\end{cases}

이 함수의 그래프는 2개의 평행한 직선으로 "보일" 것이다. 그러나 각각의 직선에는 무수히 많은 구멍이 뚫려 있으므로, 이것을 정확하게 그리는 것은 불가능하다.

5. 함수의 성질과 그래프의 특징 (R에서 R로의 함수)

본 절에서는 간단한 설명을 위해 실수에서 실수로의 함수만을 고려하여 함수의 성질과 그래프의 특징의 관계에 대해 설명한다. 함수의 정의에 따라 임의의 실수 ''x''에 대해 ''f''(''x'')가 단 하나로 정해지므로, ''x'' 축에 수직인 직선은 함수의 그래프와 단 1점에서 만난다. 반면, ''y'' 축에 수직인 직선은 그래프와 만나지 않거나 여러 점에서 만날 수도 있다. ''y'' 축에 수직인 직선과 그래프가 만나는 횟수는 함수의 전사성, 단사성과 대응된다.

항상 만남 ⇔ 함수는 전사
항상 1번 이하 ⇔ 함수는 단사
항상 정확히 1번 ⇔ 함수는 전단사

함수 ''f''가 ''x'' = ''a''에서 연속이라는 것은 대략적으로, ''f''의 그래프가 (''a'', ''f''(''a''))의 주변에서 "이어져 있다"는 것이다. 예를 들어, 헤비사이드 계단 함수는 ''x'' = 0에서만 불연속이며, 다른 점에서는 연속이다.^[1]

그러나 수학에서의 연속성은 엄밀하게는 극한, 더 나아가서는 ε-δ 논법을 사용하여 정의되므로, 반드시 직관적으로 이해하기 쉬운 예만 있는 것은 아니다.

함수 f^영어가 x^영어=a^영어에서 미분 가능하다는 것은, 대략적으로 f^영어의 그래프가 (a^영어, f^영어(a^영어))의 주변에서 "매끄럽"고, 그 점에서의 접선을 그릴 수 있다는 것이다. 예를 들어, 절댓값 함수는 x^영어=0^영어에서만 미분 불가능하며, 다른 점에서는 미분 가능하다. 또한, 미분 가능하면 연속이지만, 그 역은 성립하지 않는다.

미분 가능성은 역시 극한을 사용하여 정의되므로, 반드시 직관적으로 이해하기 쉬운 예만 있는 것은 아니다.

5. 1. 전사성, 단사성

함수의 정의에 따라 임의의 실수 ''x''에 대해 ''f''(''x'')가 단 하나로 정해지므로, ''x'' 축에 수직인 직선은 함수의 그래프와 단 1점에서 만난다. 반면, ''y'' 축에 수직인 직선은 그래프와 만나지 않거나 여러 점에서 만날 수도 있다. ''y'' 축에 수직인 직선과 그래프가 만나는 횟수는 함수의 전사성이나 단사성과 대응된다.

항상 만남 ⇔ 함수는 전사
항상 1번 이하 ⇔ 함수는 단사
항상 정확히 1번 ⇔ 함수는 전단사

5. 2. 연속성

함수 ''f''가 ''x'' = ''a''에서 연속이라는 것은 대략적으로, ''f''의 그래프가 (''a'', ''f''(''a''))의 주변에서 "이어져 있다"는 것이다. 예를 들어, 헤비사이드 계단 함수는 ''x'' = 0에서만 불연속이며, 다른 점에서는 연속이다.^[1]

그러나 수학에서의 연속성은 엄밀하게는 극한, 더 나아가서는 ε-δ 논법을 사용하여 정의되므로, 반드시 직관적으로 이해하기 쉬운 예만 있는 것은 아니다. 이해하기 어려운 예로, 다음 함수 ''f''를 생각해 보자.^[1]

:

f(x) = \begin{cases}x & (x \in \mathbb{Q})\\1-x & (x \in \mathbb{R}\setminus \mathbb{Q})\end{cases}

이 함수의 그래프는 두 개의 직선이 (1/2, 1/2)에서 직교하는 것처럼 "보이지만", 디리클레 함수와 마찬가지로 무수히 많은 구멍이 뚫려 있다. 연속성의 정의에 따르면, ''x'' = 1/2에서만 연속이며, 다른 점에서는 불연속이다.^[1]

5. 3. 미분 가능성

함수 f^영어가 x^영어=a^영어에서 미분 가능하다는 것은, 대략적으로 f^영어의 그래프가 (a^영어, f^영어(a^영어))의 주변에서 "매끄럽"고, 그 점에서의 접선을 그릴 수 있다는 것이다. 예를 들어, 절댓값 함수는 x^영어=0^영어에서만 미분 불가능하며, 다른 점에서는 미분 가능하다. 또한, 미분 가능하면 연속이지만, 그 역은 성립하지 않는다.

미분 가능성은 역시 극한을 사용하여 정의되므로, 반드시 직관적으로 이해하기 쉬운 예만 있는 것은 아니다. 예를 들어, 다음 함수 f|f1^영어을 생각해 보자. 이 함수의 그래프는 원점 근처에서 무한히 진동하고 있어 정확하게 그릴 수 없다.

:f|f1^영어(x^영어) = 0 (x^영어 ≤ 0), x^영어sin (1/x^영어) (x^영어 > 0)

f|f1^영어은 x^영어=0^영어에서 연속이지만, 미분 가능하지 않다. 이 사실은 그래프의 외관만으로는 판별하기 어렵다.

비슷한 정의식이더라도, 다음 함수 f|f2^영어는 x^영어=0^영어에서 미분 가능하다.

:f|f2^영어(x^영어) = 0 (x^영어 ≤ 0), x^영어²sin (1/x^영어) (x^영어 > 0)

또한, 도함수 ''f''₂′는 ''x'' = 0에서 불연속이다.

6. 음함수의 그래프

음함수로 표시된 그래프는 y = ±√... 형태의 양함수로 나타낼 수 있다.

대칭성을 찾으면 y = ±√...의 플러스마이너스는 한쪽만 조사하면 된다.^[5]

참조

_[1] 서적 A Book of Set Theory https://books.google[...] Dover Publications
_[2] 서적 Mathematical Analysis Addison-Wesley
_[3] 서적 A Hilbert Space Problem Book https://archive.org/[...] Springer-Verlag
_[4] 서적 Foundations of Real and Abstract Analysis https://archive.org/[...] Springer
_[5] 웹사이트 陰関数表示された関数のグラフの書き方｜数学の偏差値を上げて合格を目指す http://math-juken.co[...] 2017-10-05

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