함수의 합성

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1. 개요

함수의 합성은 두 개 이상의 함수를 결합하여 새로운 함수를 만드는 연산이다. 함수 f와 g의 합성 g ∘ f는 f를 먼저 적용하고 그 결과에 g를 적용하는 함수이며, f의 공역과 g의 정의역이 같아야 정의된다. 함수의 합성은 결합 법칙을 만족하지만, 일반적으로 교환 법칙은 성립하지 않는다. 함수 합성은 변환 모노이드, 대칭군, 프로그래밍 언어 등 다양한 수학 및 컴퓨터 과학 분야에서 활용되며, 다변수 함수의 합성, 관계의 합성, 범주론 등과도 관련된다.

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함수의 합성
수학적 정의
정의	두 함수를 연결하여 하나의 함수로 결합하는 연산
표기법	g ∘ f (x) = g(f(x))
읽는 법	g 동그라미 f
특징
결합 법칙	(h ∘ g) ∘ f = h ∘ (g ∘ f)
교환 법칙	일반적으로 성립하지 않음 (f ∘ g ≠ g ∘ f)
항등 함수	항등 함수 id에 대해 f ∘ id = id ∘ f = f
응용
미적분	연쇄 법칙 (미분), 치환 적분 (적분)
군론	군의 작용

2. 정의

집합 $X$ , $Y$ , $Z$ 와 두 함수

: $f\colon X\to Y$

: $g\colon Y\to Z$

가 주어졌을 때, 이 두 함수의 '''합성''' $g\circ f$ 는 다음과 같은 함수이다.

: $g\circ f\colon X\to Z$

: $g\circ f\colon x\mapsto g(f(x))$

합성 $g\circ f$ 가 정의되려면, $f$ 의 공역과 $g$ 의 정의역이 같아야 한다.

예를 들어, ''f'': ''X'' → ''Y'' 및 ''g'': ''Y'' → ''Z''일 때, ''g''의 인수를 ''x'' 대신 ''f''(''x'')로 함으로써, ''f''와 ''g''를 "합성"할 수 있다. 직관적으로, ''z''가 ''g''로 대응하는 ''y''의 함수이고, ''y''가 ''f''로 대응하는 ''x''의 함수라면, ''z''는 ''x''의 함수이다.

따라서, 사상 ''f'': ''X'' → ''Y''와 사상 ''g'': ''Y'' → ''Z''의 '''합성 사상'''

: $g\circ f\colon X\to Z,\quad\underbrace{X \stackrel{f} Y \stackrel{g} Z}_{\qquad f;g (= g\circ f)}$ 은 ''X''의 각 원소 ''x''에 대해

: $(g\circ f)(x) := g(f(x))$

로 정의된다.

3. 성질

함수의 합성은 결합 법칙을 만족시키지만, 일반적으로 교환 법칙은 성립하지 않는다.

'''결합 법칙:''' 함수 합성은 결합 법칙을 따른다. 즉, f, g, h가 합성 가능하면, $f \circ (g \circ h) = (f \circ g) \circ h$ 이다.^[1] 괄호는 결과를 변경하지 않으므로 생략 가능하다.
'''교환 법칙:''' 일반적으로 성립하지 않는다. 예를 들어, 실수 집합에서 정의된 두 함수 $f(x) = 9 - x^2$ 와 $g(x) = \sqrt x$ 의 경우, $g \circ f$ 는 구간 $[-3, 3]$ 에서 정의될 수 있지만, 일반적으로 $g \circ f \ne f \circ g$ 이다.

일대일 함수 (단사 함수)의 합성은 항상 일대일이며, 전사 함수의 합성은 항상 전사이다. 따라서 두 전단사 함수의 합성은 전단사 함수이다. 합성의 역함수는

(f \circ g)^{-1} = g^{-1} \circ f^{-1}

의 속성을 갖는다. 미분 가능한 함수를 포함하는 합성의 도함수는 연쇄 법칙을 사용하여 구할 수 있으며, 고계 도함수는 파 드 브루노 공식에 의해 주어진다.^[1]

3. 1. 결합 법칙

함수의 합성은 결합 법칙을 만족시킨다. 즉, 임의의 집합

X

,

Y

,

Z

,

W

및 함수

:

f\colon X\to Y

:

g\colon Y\to Z

:

h\colon Z\to W

가 주어졌을 때,

:

h\circ(g\circ f)=(h\circ g)\circ f\colon X\to W

이다.

임의의

x\in X

에 대하여

:

(h\circ(g\circ f))(x)=h((g\circ f)(x))=h(g(f(x)))=(h\circ g)(f(x))=((h\circ g)\circ f)(x)

이므로

:

h\circ(g\circ f)=(h\circ g)\circ f

이다.

즉, ''f'', ''g'', ''h''가 각각 (합성이 정의될 수 있도록) 적절하게 선택된 정의역 및 공역을 갖춘 사상이라고 한다면,

:

h\circ(g\circ f) = (h\circ g)\circ f

가 성립한다.

3. 2. 교환 법칙

일반적으로 f ∘ g ≠ g ∘ f이다.

임의의 집합 X 및 이를 정의역과 공역으로 하는 두 함수 f, g : X → X가 주어졌을 때, 두 가지 순서의 합성 g ∘ f, f ∘ g를 정의할 수 있다. 이 경우 교환 법칙은 일반적으로 성립하지 않는다. 예를 들어, X = ℝ가 실수체이고,

f : x ↦ x + 1
g : x ↦ x²

라고 하면,

g ∘ f : x ↦ (x + 1)²
f ∘ g : x ↦ x² + 1

이며,

(g ∘ f)(1) = 4 ≠ 2 = (f ∘ g)(1)

이므로 g ∘ f ≠ f ∘ g이다.

함수 g와 f가 g ∘ f = f ∘ g 일 때 서로 교환한다고 말한다. 가환성은 특정 함수에서만 얻어지는 특수한 속성이며, 종종 특별한 상황에서 발생한다. 예를 들어, |x| + 3 = |x + 3|은 x ≥ 0일 때만 성립한다.

두 사상 f와 g가 서로 가환이라는 것은,

:

g\circ f = f\circ g \quad(\iff  (g\circ f)(x) = (f\circ g)(x)\text{ for any } x)

를 만족하는 것을 말한다. 일반적으로 사상의 합성은 가환이 아니며, 합성의 가환성은 특정 사상 사이에서만, 특수한 상황에서만 성립하는 특별한 성질이다. 예를 들어, f(x) = |x|를 실수의 절댓값을 취하는 함수, g(x) = x + 3이라고 하면, 실수로 이루어진 반개구간 X = [0, ∞) 위의 함수로,

:

(g\circ f)(x) = |x| + 3 = |x + 3| = (f\circ g)(x) \text{ for any } x\ge 0

가 성립하지만, 이는 음의 실수를 포함한 실수 전체에서는 성립하지 않는다.

3. 3. 항등 함수

identity function|항등 함수^영어는 함수 합성에 대한 항등원 역할을 한다.^[1] 즉, 임의의 집합

X

위의 항등 사상 id_''X''는 다음 식을 만족한다.

:

\varphi\circ\varphi^{-1} = \varphi^{-1}\circ\varphi = \mathrm{id}_X

^[1]

4. 예시

유한 집합에서의 함수의 합성: f|f^영어 = {(1, 1), (2, 3), (3, 1), (4, 2)}, g|g^영어 = {(1, 2), (2, 3), (3, 1), (4, 2)}이면, 그림과 같이 g|g^영어 ∘ f|f^영어 = {(1, 2), (2, 1), (3, 2), (4, 3)}이다.
무한 집합에서의 함수의 합성: f|f^영어: '''R''' → '''R'''}} ('''R'''^영어는 모든 실수의 집합)가 f(''x'') = 2''x'' + 4|f(x) = 2x + 4^영어이고, g|g^영어: '''R''' → '''R'''}}가 g(''x'') = ''x''³|g(x) = x³^영어이면:

:(''f'' ∘ ''g'')(''x'') = ''f''(''g''(''x'')) = ''f''(''x''³) = 2''x''³ + 4|(f ∘ g)(x) = f(g(x)) = f(x³) = 2x³ + 4^영어

:(''g'' ∘ ''f'')(''x'') = ''g''(''f''(''x'')) = ''g''(2''x'' + 4) = (2''x'' + 4)³|(g ∘ f)(x) = g(f(x)) = g(2x + 4) = (2x + 4)³^영어

비행기의 시간 t|t^영어에서의 고도가 a(''t'')|a(t)^영어, 고도 x|x^영어에서의 기압이 p(''x'')|p(x)^영어라면, (p ∘ a)(t)|(p ∘ a)(t)^영어는 시간 t|t^영어에서의 비행기 주변 기압이다.
순열처럼, 원소 순서를 바꾸는 유한 집합에서 정의된 함수는 같은 집합에서 합성될 수 있으며, 이것이 순열의 합성이다.

4. 1. 유한 집합에서의 합성

집합에서 함수의 합성: 만약 f|f^영어 = {(1, 1), (2, 3), (3, 1), (4, 2)}이고, g|g^영어 = {(1, 2), (2, 3), (3, 1), (4, 2)}라면, 그림과 같이 g|g^영어 ∘ f|f^영어 = {(1, 2), (2, 1), (3, 2), (4, 3)}이다.
순열처럼, 원소의 순서를 바꾸는 유한 집합에서 정의된 함수는 같은 집합에서 합성될 수 있으며, 이것이 순열의 합성이다.

4. 2. 무한 집합에서의 합성

만약 ''f'': '''R''' → '''R'''^영어 (여기서 '''R'''^영어는 모든 실수의 집합이다)가 1=''f''(''x'') = 2''x'' + 4^영어로 주어지고, ''g'': '''R''' → '''R'''^영어가 1=''g''(''x'') = ''x''³^영어로 주어진다면:

:1=(''f'' ∘ ''g'')(''x'') = ''f''(''g''(''x'')) = ''f''(''x''³) = 2''x''³ + 4^영어

:1=(''g'' ∘ ''f'')(''x'') = ''g''(''f''(''x'')) = ''g''(2''x'' + 4) = (2''x'' + 4)³^영어

4. 3. 실생활 예시

비행기의 특정 시간 에서의 고도를 , 해당 고도 에서의 기압을 라 하면, 는 시간 에서 비행기 주변의 기압을 나타낸다.^[1]

5. 함수 거듭제곱

함수를 자기 자신과 여러 번 합성하는 것을 함수의 거듭제곱이라고 한다. 예를 들어, 함수 f를 두 번 합성하면 f∘f, 즉 f²가 된다.

일반적으로, 모든 자연수 n ≥ 2에 대해, n번째 함수 거듭제곱은 fⁿ = f ∘ fⁿ⁻¹ = fⁿ⁻¹ ∘ f 로 귀납적으로 정의할 수 있다.
관례에 따라, f⁰은 f의 정의역에 대한 항등 사상, id_X으로 정의된다.
만약 Y = X이고 f: X → X 가 역함수 f^-1을 가지면, 음의 함수 지수 f^-n는 n > 0에 대해 역함수의 부정 지수로 정의된다. 즉, f^-n = (f^-1)ⁿ이다.

주의: f가 환의 값을 취하는 경우, 특히 실수 또는 복소수 값을 갖는 f의 경우, fⁿ이 f의 n-겹 곱을 나타낼 수도 있으므로 혼동될 수 있다. 예를 들어 f²(x) = f(x) · f(x)이다. 삼각 함수의 경우, 적어도 양의 지수에 대해서는 일반적으로 n-겹 곱을 의미한다. 예를 들어, 삼각법에서 sin²(x) = sin(x) · sin(x)이다. 그러나 음의 지수(특히 -1)의 경우에도 일반적으로 역함수를 나타낸다. 예를 들어, tan^-1 = arctan ≠ 1/tan이다.

더 일반적으로, gⁿ = f 가 어떤 자연수 n > 0에 대해 유일한 해를 가지면, f^m/n은 g^m으로 정의될 수 있다.

5. 1. 반복 함수

만약 이면, 는 자기 자신과 합성될 수 있으며, 이는 때때로 로 표기된다. 즉:

더 일반적으로, 모든 자연수 에 대해, 번째 함수 제곱은 로 귀납적으로 정의될 수 있으며, 이러한 함수를 자기 자신과 반복적으로 합성하는 것을 '''반복 함수'''라고 한다.

관례에 따라, 은 의 정의역에 대한 항등 사상, 으로 정의된다.
만약 이고 가 역함수 을 허용하면, 음의 함수 지수 는 에 대해 역함수의 부정 지수로 정의된다: .

'''참고:''' 가 환의 값을 취하는 경우 (특히 실수 또는 복소수 값을 갖는 의 경우), 이 의 -겹 곱을 나타낼 수도 있으므로 혼동의 위험이 있다. 예를 들어 . 삼각 함수의 경우, 적어도 양의 지수에 대해서는 후자가 일반적으로 의미한다. 예를 들어, 삼각법에서 이 위첨자 표기는 삼각 함수와 함께 사용될 때 표준 제곱을 나타낸다:

.

그러나 음의 지수(특히 -1)의 경우에도 일반적으로 역함수를 나타낸다. 예를 들어, .

어떤 경우에는, 주어진 함수 에 대해, 방정식 가 유일한 해 를 가지면, 그 함수를 의 함수 제곱근으로 정의할 수 있으며, 이를 로 표기한다.

더 일반적으로, 가 어떤 자연수 에 대해 유일한 해를 가지면, 은 으로 정의될 수 있다.

추가적인 제한 조건 하에서, 이 아이디어는 반복 횟수가 연속적인 매개변수가 되도록 일반화될 수 있다. 이 경우, 이러한 시스템은 흐름이라고 하며, 슈뢰더 방정식의 해를 통해 지정된다. 반복 함수와 흐름은 프랙탈과 동역학적 시스템 연구에서 자연스럽게 발생한다.

5. 2. 함수 제곱근

어떤 경우에는, 주어진 함수 에 대해, 방정식 가 유일한 해 를 가지면, 그 함수를 의 함수 제곱근으로 정의할 수 있으며, 이를 로 표기한다.

6. 변환 모노이드와 합성군

같은 정의역과 공역을 갖는 함수들의 집합은 함수 합성을 연산으로 하는 모노이드를 이룬다. 전단사 함수들의 집합은 함수 합성을 연산으로 하는 군을 이룬다.

두 함수 $f: X \rightarrow X$, $g: X \rightarrow X$가 같은 정의역과 공역을 가질 때, 이 함수들을 합성하여 $f \circ f \circ g \circ f$ 와 같이 긴 합성 함수를 만들 수 있다.

대칭 반군(모든 변환)에서 반군이 정규 반군이기 때문에 역의 더 약하고 고유하지 않은 개념(가상 역이라고 함)도 찾을 수 있다.

6. 1. 변환 모노이드

두 함수 $f: X \rightarrow X$, $g: X \rightarrow X$가 같은 정의역과 공역을 가질 때, 이 함수들은 변환이라고 불린다. 이러한 변환들을 합성하여 $f \circ f \circ g \circ f$ 와 같이 긴 합성 함수를 만들 수 있다. 이러한 합성 함수들의 집합은 변환 모노이드 또는 합성 모노이드라고 불리는 모노이드 대수 구조를 이룬다.

변환 모노이드는 일반적으로 복잡한 구조를 가질 수 있으며, 드 람 곡선이 그 예시 중 하나이다. 모든 함수 $f: X \rightarrow X$의 집합은 $X$에 대한 전체 변환 반군 또는 대칭 반군이라고 불린다.

만약 변환이 전단사이면, 이러한 함수들의 모든 가능한 조합은 변환군을 형성한다. 케일리 정리에 따르면, 모든 군은 동형 사상까지의 순열군의 부분군이다.

모든 전단사 함수 $f: X \rightarrow X$ (\순열이라고 함)의 집합은 함수 합성에 대해 대칭군을 형성하며, 이를 합성군이라고도 한다.

6. 2. 대칭군 (합성군)

어떤 집합 ''X'' 위의 모든 전단사 함수(순열이라고도 함)들의 집합은 함수 합성에 대해 군을 이룬다. 이를 대칭군이라 하며, ''합성군''이라고도 부른다.

집합 ''X'' 위의 변환들의 집합 ''S''의 각 원소 ''f'': ''X'' → ''X''가 전단사일 때, ''S''에 속하는 변환으로부터 가능한 조합을 취해 얻을 수 있는 모든 합성 사슬은 변환군을 이룬다. 이 변환군은 ''S''에 의해 생성된다고 한다. 집합 ''X'' 위의 모든 전단사 변환 ''f'': ''X'' → ''X''는 사상의 합성 연산에 대해 군을 이루며, 이를 대칭군 또는 '''합성군'''이라고 한다.

7. 프로그래밍 언어에서의 함수 합성

함수 합성은 여러 프로그래밍 언어에서 다양한 형태로 나타난다.^[1]

8. 다변수 함수의 합성

다변수 함수에 대해서도 부분 합성이 가능하다. 함수 ''f''의 일부 인수를 함수 ''g''로 대체하여 얻은 함수는 일부 컴퓨터 공학 맥락에서 ''f''와 ''g''의 합성이라고 하며 $f|_{x_i = g} = f (x_1, \ldots, x_{i-1}, g(x_1, x_2, \ldots, x_n), x_{i+1}, \ldots, x_n)$ 로 표시한다.

''g''가 단순한 상수 ''b''일 때, 합성은 (부분) 평가로 축소되며, 그 결과는 제한 또는 ''공인수''라고도 한다.

: $f|_{x_i = b} = f (x_1, \ldots, x_{i-1}, b, x_{i+1}, \ldots, x_n).$

일반적으로 다변수 함수의 합성은 원시 재귀 함수의 정의에서와 같이 다른 여러 함수를 인수로 포함할 수 있다. ''n''항 함수 ''f''와 ''n''개의 ''m''항 함수 $g_1, ..., g_n$ 가 주어지면, ''f''와 $g_1, ..., g_n$ 의 합성은 ''m''항 함수이다.

: $h(x_1,\ldots,x_m) = f(g_1(x_1,\ldots,x_m),\ldots,g_n(x_1,\ldots,x_m)).$

이것은 때때로 ''f''와 $g_1, ..., g_n$ 의 '''일반화된 합성''' 또는 '''중첩'''이라고 한다. 이전에 언급된 단일 인수에 대한 부분 합성은 하나의 인수를 제외한 모든 인수 함수를 적절하게 선택된 사영 함수로 설정함으로써 이 보다 일반적인 방식에서 인스턴스화될 수 있다. 여기서 $g_1, ..., g_n$ 은 이 일반화된 방식에서 단일 벡터/튜플 값 함수로 볼 수 있으며, 이 경우 이것은 함수 합성에 대한 표준 정의와 정확히 일치한다.

어떤 기본 집합 ''X''에 대한 유한 연산의 집합은 모든 사영을 포함하고 일반화된 합성에 닫혀 있으면 클론이라고 한다. 클론은 일반적으로 다양한 항수의 연산을 포함한다. 교환의 개념은 다변수 경우에서도 흥미로운 일반화를 찾는다. 항수 ''n''의 함수 ''f''는 항수 ''m''의 함수 ''g''가 ''f''가 ''g''를 보존하는 준동형 사상이고 그 반대도 마찬가지인 경우, 즉 다음이 성립하는 경우 ''g''와 교환한다고 한다.

: $f(g(a_{11},\ldots,a_{1m}),\ldots,g(a_{n1},\ldots,a_{nm})) = g(f(a_{11},\ldots,a_{n1}),\ldots,f(a_{1m},\ldots,a_{nm})).$

단항 연산은 항상 자신과 교환하지만, 이것은 이항 (또는 그 이상의 항수) 연산의 경우에는 반드시 그렇지는 않다. 자기 자신과 교환하는 이항 (또는 그 이상의 항수) 연산을 중간 또는 엔트로피라고 한다.

9. 관계의 합성

합성은 임의의 이항 관계로 일반화될 수 있다. 만약 R ⊆ X × Y^영어와 S ⊆ Y × Z^영어가 두 개의 이항 관계라면, 이들의 합성은 다음과 같다.

: $R \circ S = \{(x,z) \in X \times Z: (\exists y \in Y)((x,y) \in R\,\and\,(y,z) \in S)\}$ .

함수를 이항 관계의 특수한 경우(즉, 함수 관계)로 간주하면, 함수 합성은 관계 합성에 대한 정의를 만족한다. 작은 원 (∘^영어)는 관계의 합성의 중간 표기법과 함수에 사용된다. 그러나 함수 합성 $(g \circ f)(x) \ = \ g(f(x))$ 를 나타내는 데 사용될 때, 텍스트 시퀀스는 그에 따라 다른 연산 시퀀스를 설명하기 위해 반전된다.

합성은 부분 함수에도 동일한 방식으로 정의되며, 케일리 정리는 와그너-프레스턴 정리라고 불리는 유사성을 갖는다.

10. 범주론

함수 합성은 범주론에서 사상의 합성으로 일반화된다. 함수를 사상으로 하는 집합의 범주는 전형적인 범주이다. 범주의 공리는 사실 함수 합성의 속성 및 정의에서 영감을 받았다.^[3]

10. 1. 단검 범주

합성에 의해 주어진 구조는 범주론에서 함수의 범주론적 대체물인 사상의 개념으로 공리화되고 일반화된다. 공식

('f' \circ 'g')^{-1} = ('g'^{-1} \circ 'f'^{-1})

에서 합성의 역순은 역관계를 사용하는 관계의 합성 및 군론에도 적용된다. 이러한 구조는 단검 범주를 형성한다.^[3]

11. 표기법

군론 등 일부 수학 분야에서는 합성 기호 ∘를 생략하고, ''g'' ∘ ''f'' 대신 ''gf''로 표기하기도 한다.

20세기 중반에는 일부 수학자들이 ''f''(''x'')를 ''xf'' 로, ''g''(''f''(''x''))를 (''xf'')''g''로 쓰는 후위 표기법을 사용하기도 했다. 이는 ''x''를 행 벡터로, ''f''와 ''g''를 행렬로, 합성을 행렬 곱셈으로 나타내는 경우처럼 전위 표기법보다 자연스러울 수 있다. 함수 합성은 교환 법칙이 성립하지 않으므로 순서가 중요하며, 후위 표기법은 변환 및 합성 순서가 읽는 순서와 일치한다는 장점이 있다.

후위 표기법에서 ''fg''는 먼저 ''f''를 적용하고 그 다음 ''g''를 적용한다는 의미이지만, 기호 순서가 모호해질 수 있다. 컴퓨터 과학자들은 ''f'' ; ''g'' 표기법을 사용하여 이러한 모호성을 해결한다. Z 표기법에서는 왼쪽 관계 합성을 위해 ⨾ 문자를 사용한다.

합성 기호 ∘는 유니코드에서 로 인코딩된다. TeX에서는 `\circ`로 표기한다.

11. 1. 후위 표기법

일부 수학자들은 후위 표기법을 채택하여, ''f''(''x'') 대신 ''xf'' 로, 그리고 ''g''(''f''(''x'')) 대신 (''xf'')''g''로 표기했다. 이는 ''x''가 행 벡터이고 ''f''와 ''g''가 행렬을 나타내며 합성이 행렬 곱셈인 경우와 같이, 많은 경우에 전위 표기법보다 더 자연스러울 수 있다. 함수 합성은 반드시 교환 법칙이 성립하는 것은 아니므로 순서가 중요하다. 오른쪽으로 적용되고 합성되는 연속적인 변환은 왼쪽에서 오른쪽으로 읽는 순서와 일치한다.

후위 표기법을 사용하는 수학자들은 ''fg''를, 즉 먼저 ''f''를 적용하고 그 다음 ''g''를 적용한다는 의미로 표기할 수 있으며, 이는 기호가 후위 표기법에서 나타나는 순서를 유지하므로 ''fg'' 표기를 모호하게 만든다. 컴퓨터 과학자들은 이를 위해 ''f'' ; ''g''를 쓸 수 있으며, 이로써 합성 순서를 명확히 한다. Z 표기법에서는 왼쪽 합성 연산자를 텍스트 세미콜론과 구별하기 위해 ⨾ 문자를 왼쪽 관계 합성에 사용한다. 모든 함수는 이항 관계이므로, 함수 합성에 [굵은] 세미콜론을 사용하는 것도 올바르다.

참조

_[1] 웹사이트 Composition https://mathworld.wo[...] 2020-08-28
_[2] 웹사이트 3.4: Composition of Functions https://math.librete[...] 2020-01-16
_[3] 웹사이트 Saunders Mac Lane - Quotations https://mathshistory[...] 2024-02-13

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