호지 구조

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1. 개요

호지 구조는 대수 기하학에서 사용되는 중요한 개념으로, 대수적 다양체의 코호몰로지를 연구하는 데 사용된다. 순수 호지 구조, 혼합 호지 구조, 호지 구조의 변동, 호지 가군 등 다양한 관련 개념이 존재하며, 콤팩트 켈러 다양체의 코호몰로지는 순수 호지 구조를, 복소수 다양체의 코호몰로지는 혼합 호지 구조를 갖는다. 호지 구조는 콤팩트 켈러 다양체, 비특이 대수다양체, 특이 대수다양체 등 다양한 종류의 다양체에 적용되며, 특히 콤팩트 켈러 다양체의 코호몰로지는 호지 이론에 의해 분해된다. 또한, 혼합 호지 구조는 아벨 범주를 형성하며, 텐서곱과 같은 연산을 통해 탄나카 범주를 이룬다. 호지 구조는 모티브 이론과도 관련되어 있으며, 테이트 호지 구조와 같은 구체적인 예시를 통해 이해할 수 있다.

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호지 구조
호지 구조
형식
분야	대수기하학, 복소기하학
정의	계수층의 여과 및 분해, 코호몰로지 군에 대한 대합
관련 개념	호지 이론, 모티브, 대수 주기, 호지 추측
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2. 정의

2. 1. 순수 호지 구조

자유 아벨 군

H

와 복소수 벡터 공간의 유한 감소 여과

H\otimes_{\mathbb Z}\mathbb C=F^0\supseteq F^1\supseteq\cdots\supseteq F^n

를 통해 가중치

n

인 '''순수 호지 구조'''를 정의할 수 있다.^[12] 이 여과는 다음 성질을 만족시켜야 한다.

:

p+q=n+1

이라면,

F^p\cap\bar F^q=\{0\}

,

F^p\oplus\bar F^q=H\otimes\mathbb C

순수 호지 구조

(H,F^\bullet)

에 대하여, 다음과 같은 벡터 공간들을 정의한다.

:

H^{p,q}=F^p\cap\bar F^q

이때 다음이 성립한다.

:

H\otimes\mathbb C=H^{0,n}\oplus H^{1,n-1}\oplus\cdots\oplus H^{n,0}

:

\bar H^{p,q}\cong H^{q,p}

즉, 복소수 벡터 공간을 여러 부분 공간으로 분해할 수 있으며, 각 부분 공간은

p

와

q

의 합이

n

이 되는

(p, q)

쌍으로 나타내어지고, 서로 복소 켤레 관계를 이룬다.

이와 동등한 정의는, 아벨 군

H_{\Z}

와 그 복소화

H

를 복소 부분 공간

H^{p,q}

의 직합으로 분해한 것으로 구성되며, 여기서

p+q=n

이고,

H^{p,q}

의 복소 켤레는

H^{q,p}

이다.

:

H := H_{\Z}\otimes_{\Z} \Complex = \bigoplus\nolimits_{p+q=n}H^{p,q},

:

\overline{H^{p,q}}=H^{q,p}.

또 다른 동치인 정의는

H

의 직합 분해를 복소 부분 공간

F^pH (p \in \Z)

에 대한

H

의 '''호지 여과''', 즉 유한 감소 여과로 대체하여 얻어진다. 이는 다음 조건을 만족한다.

:

\forall p, q \ : \ p + q = n+1, \qquad F^p H\cap\overline{F^q H}=0 \quad \text{and} \quad F^p H \oplus \overline{F^q H}=H.

이 두 가지 설명 사이의 관계는 다음과 같다.

:

H^{p,q}=F^p H\cap \overline{F^q H},

:

F^p H= \bigoplus\nolimits_{i\geq p} H^{i,n-i}.

예를 들어,

X

가 콤팩트 켈러 다양체이고,

H_{\Z} = H^n (X, \Z)

가 정수 계수를 갖는 ''X''의

n

번째 코호몰로지 군이면,

H = H^n (X, \Complex)

는 복소 계수를 갖는 그의

n

번째 코호몰로지 군이고, 호지 이론은 위와 같이

H

를 직합으로 분해하여 이러한 데이터가 가중치

n

의 순수 호지 구조를 정의하도록 제공한다. 반면에, '''호지-드람 스펙트럼 열'''은 두 번째 정의에서처럼

F^p H

에 의해

H^n

을 감소 여과로 제공한다.^[1]

'''가중치 ''n''의 순수 호지 구조''' (''n'' ∈ '''Z''') (pure Hodge structure with weight n)는 유한 생성 아벨 군 ''H''_'''z'''와 그 복소화 ''H''를 복소 선형 공간으로서의 직합 분해를 제공하는 복소 부분 공간의 족 ''H^p''^,''q'' ''(p+q=n)''이며, ''H^p''^,''q''의 복소 켤레는 ''H^q''^,''p''라는 성질을 만족하는 것이다.

:

H := H_{\mathbf{Z}}\otimes_{\mathbf Z} {\mathbf C} = \bigoplus\nolimits_{p+q=n}H^{p,q},

:

\overline{H^{p,q}}=H^{q,p}.

이와 동치인 정의는 H의 직합 분해를 '''호지 여과''' (Hodge filtration)로 대체하여 얻을 수 있다. 호지 여과는 복소 선형 공간 ''H''의 유한 감소 여과 ''F^pH'' (''p'' ∈ '''Z''')로, 조건

:

\forall p, q \ : \ p + q = n+1, \ \ F^p H\cap\overline{F^q H}=0 \ \ \text{and}\ \  F^p H \oplus \overline{F^q H}=H.

을 만족하는 것이다. 이 두 관계는 다음 두 조건으로 주어진다.

:

H^{p,q}=F^p H\cap \overline{F^q H}

:

F^p H= \bigoplus\nolimits_{i\geq p} H^{i,n-i}

^[9]

2. 1. 1. 정의 1: 직합 분해

자유 아벨 군

H

와 복소수 벡터 공간의 유한 감소 여과

H\otimes_{\mathbb Z}\mathbb C=F^0\supseteq F^1\supseteq\cdots\supseteq F^n

를 통해 가중치

n

인 '''순수 호지 구조'''를 정의할 수 있다.^[12] 이 여과는 다음 성질을 만족시켜야 한다.

:

p+q=n+1

이라면,

F^p\cap\bar F^q=\{0\}

,

F^p\oplus\bar F^q=H\otimes\mathbb C

순수 호지 구조

(H,F^\bullet)

에 대하여, 다음과 같은 벡터 공간들을 정의한다.

:

H^{p,q}=F^p\cap\bar F^q

이때 다음이 성립한다.

:

H\otimes\mathbb C=H^{0,n}\oplus H^{1,n-1}\oplus\cdots\oplus H^{n,0}

:

\bar H^{p,q}\cong H^{q,p}

즉, 복소수 벡터 공간을 여러 부분 공간으로 분해할 수 있으며, 각 부분 공간은

p

와

q

의 합이

n

이 되는

(p, q)

쌍으로 나타내어지고, 서로 복소 켤레 관계를 이룬다.

'''아벨 군'''

H_{\Z}

와 그 복소화

H

를 복소 부분 공간

H^{p,q}

의 직합으로 분해한 것으로 구성되며, 여기서

p+q=n

이고,

H^{p,q}

의 복소 켤레는

H^{q,p}

이다.

:

H := H_{\Z}\otimes_{\Z} \Complex = \bigoplus\nolimits_{p+q=n}H^{p,q},

:

\overline{H^{p,q}}=H^{q,p}.

이와 동등한 정의는

H

의 직합 분해를 복소 부분 공간

F^pH (p \in \Z)

에 대한

H

의 '''호지 여과''', 즉 유한 감소 여과로 대체하여 얻어진다. 이는 다음 조건을 만족한다.

:

\forall p, q \ : \ p + q = n+1, \qquad F^p H\cap\overline{F^q H}=0 \quad \text{and} \quad F^p H \oplus \overline{F^q H}=H.

이 두 가지 설명 사이의 관계는 다음과 같다.

:

H^{p,q}=F^p H\cup \overline{F^q H},

:

F^p H= \bigoplus\nolimits_{i\geq p} H^{i,n-i}.

예를 들어,

X

가 콤팩트 켈러 다양체이고,

H_{\Z} = H^n (X, \Z)

가 정수 계수를 갖는 ''X''의

n

번째 코호몰로지 군이면,

H = H^n (X, \Complex)

는 복소 계수를 갖는 그의

n

번째 코호몰로지 군이고, 호지 이론은 위와 같이

H

를 직합으로 분해하여 이러한 데이터가 가중치

n

의 순수 호지 구조를 정의하도록 제공한다. 반면에, '''호지-드람 스펙트럼 열'''은 두 번째 정의에서처럼

F^p H

에 의해

H^n

을 감소 여과로 제공한다.^[1]

'''가중치 ''n''의 순수 호지 구조''' (''n'' ∈ '''Z''') (pure Hodge structure with weight n)는 유한 생성 아벨 군 ''H''_'''z'''와 그 복소화 ''H''를 복소 선형 공간으로서의 직합 분해를 제공하는 복소 부분 공간의 족 ''H^p''^,''q'' ''(p+q=n)''이며, ''H^p''^,''q''의 복소 켤레는 ''H^q''^,''p''라는 성질을 만족하는 것이다.

:

H := H_{\mathbf{Z}}\otimes_{\mathbf Z} {\mathbf C} = \bigoplus\nolimits_{p+q=n}H^{p,q},

:

\overline{H^{p,q}}=H^{q,p}.

이와 동치인 정의는 H의 직합 분해를 '''호지 여과''' (Hodge filtration)로 대체하여 얻을 수 있다. 호지 여과는 복소 선형 공간 ''H''의 유한 감소 여과 ''F^pH'' (''p'' ∈ '''Z''')로, 조건

:

\forall p, q \ : \ p + q = n+1,  \ \ F^p H\cap\overline{F^q H}=0 \ \ \text{and}\ \  F^p H \oplus \overline{F^q H}=H.

을 만족하는 것이다. 이 두 관계는 다음 두 조건으로 주어진다.

:

H^{p,q}=F^p H\cap \overline{F^q H}

:

F^p H= \bigoplus\nolimits_{i\geq p} H^{i,n-i}

예를 들어, ''X''를 콤팩트한 켈러 다양체로 하고, ''H''_'''Z''' = Hⁿ(''X'','''Z''')를 ''X''의 ''n''차 정수 계수 특이 코호몰로지 군으로 하면, ''H''=''H''_'''Z''' ⊗'''C'''는 복소 계수의 ''n''차 코호몰로지 군이 되며, 호지 이론에서 위와 같은 H의 직합 분해를 얻을 수 있으며, 이러한 데이터로부터 가중치 n의 순수 호지 구조가 정해진다. 또한, 이 경우의 대응하는 호지 여과를 '''호지-드 람 스펙트럴 열'''(Hodge-de Rham spectral sequence)에서 얻을 수도 있다.^[9]

2. 1. 2. 정의 2: 여과

무게

n

인 순수 호지 구조

(H,F^\bullet)

는 자유 아벨 군

H

와 복소수 벡터 공간의 유한 감소 여과

H\otimes_{\mathbb Z}\mathbb C=F^0\supseteq F^1\supseteq\cdots\supseteq F^n

로 정의할 수 있다. 이는 다음 성질을 만족시켜야 한다.^[12]

$p+q=n+1$ 이라면, $F^p\cap\bar F^q=\{0\}$ , $F^p\oplus\bar F^q=H\otimes\mathbb C$

이와 동등한 정의는

H

의 직합 분해를 복소 부분 공간

F^pH (p \in \Z)

에 대한

H

의 '''호지 여과''', 즉 유한 감소 여과로 대체하여 얻어진다. 이는 다음 조건을 만족한다.

:

\forall p, q \ : \ p + q = n+1, \qquad F^p H\cap\overline{F^q H}=0 \quad \text{and} \quad F^p H \oplus \overline{F^q H}=H.

이 두 가지 설명 사이의 관계는 다음과 같다.

:

H^{p,q}=F^p H\cup \overline{F^q H},

:

F^p H= \bigoplus\nolimits_{i\geq p} H^{i,n-i}.

'''가중치 ''n''의 순수 호지 구조''' (''n'' ∈ '''Z''') (pure Hodge structure with weight n)는 유한 생성 아벨 군 ''H''_'''z'''와 그 복소화 ''H''를 복소 선형 공간으로서의 직합 분해를 제공하는 복소 부분 공간의 족 ''H^p''^,''q'' ''(p+q=n)''이며, ''H^p''^,''q''의 복소 켤레는 ''H^q''^,''p''라는 성질을 만족하는 것이다.

:

H := H_{\mathbf{Z}}\otimes_{\mathbf Z} {\mathbf C} = \bigoplus\nolimits_{p+q=n}H^{p,q},

:

\overline{H^{p,q}}=H^{q,p}.

이와 동치인 정의는 H의 직합 분해를 '''호지 여과''' (Hodge filtration)로 대체하여 얻을 수 있다. 호지 여과는 복소 선형 공간 ''H''의 유한 감소 여과 ''F^pH'' (''p'' ∈ '''Z''')로, 조건

:

\forall p, q \ : \ p + q = n+1, \ \ F^p H\cap\overline{F^q H}=0 \ \ \text{and}\ \  F^p H \oplus \overline{F^q H}=H.

을 만족하는 것이다. 이 두 관계는 다음 두 조건으로 주어진다.

:

H^{p,q}=F^p H\cap \overline{F^q H}

:

F^p H= \bigoplus\nolimits_{i\geq p} H^{i,n-i}

^[9]

2. 1. 3. 호지 수

무게

n

의 순수 호지 구조

(H,F^\bullet)

의 '''호지 수'''(Hodge數, Hodge number}})

h^{{\bullet},{n-\bullet

^영어는 다음과 같다.^[12]

:

h^{p,n-p}=\dim_{\mathbb C}H^{p,q}=\dim_{\mathbb C}\operatorname{gr}^p_F(H\otimes_{\mathbb Z}\mathbb C)

여기서,

:

H^{p,q}=F^p\cap\bar F^q

이며, 다음이 성립한다.

:

H\otimes\mathbb C=H^{0,n}\oplus H^{1,n-1}\oplus\cdots\oplus H^{n,0}

:

\bar H^{p,q}\cong H^{q,p}

즉, 순수 호지 구조에서 각 부분 공간의 차원을 나타내는 호지 수는 중요한 불변량이다.

2. 1. 4. 극성화

무게

k

의 순수 호지 구조

H

위의 '''극성화'''(極性化, polarization^영어)

Q

는 다음 조건들을 만족시키는,

H

위의 정수 이차 형식이다.^[12]

$Q^{\mathbb C}(a,b)=(-1)^k\mathbb Q^{\mathbb C}(b,a)\qquad\forall a,b\in H\otimes_{\mathbb Z}\mathbb C$
$Q^{\mathbb C}(a,b)=0\forall a\in H^{p,q},\;b\in H^{p',q'},\;(p,q)\ne(q',p')$
$i^{p-q}Q(a,\bar a)\in\mathbb R^+\forall a\in H^{p,q}\setminus\{0\}$

2. 1. 5. 표현을 통한 정의

순수 호지 구조는 복소수 벡터 공간

H\otimes_{\mathbb Z}\mathbb C

위의, 복소수 곱셈군

\mathbb S(\mathbb R)=\mathbb C^\times

의 표현으로도 정의할 수 있다. 이 경우,

H^{p,q}

는

\mathbb C^\times

의 작용이

z\colon v\mapsto z^p\bar z^qv

의 꼴인 성분이다.^[12]

2. 2. 혼합 호지 구조

'''혼합 호지 구조'''(混合Hodge構造, mixed Hodge structure^영어)

(H,F^\bullet,W_\bullet)

는 다음 데이터로 구성된다.^[12]

아벨 군 $H$
$H\otimes\mathbb C$ 위의, 복소수 벡터 공간들의 유한 감소 여과 $H\otimes\mathbb C=F^0\supseteq F^1\supseteq\cdots\supseteq F^k$ . 이를 '''호지 여과'''(Hodge濾過, Hodge filtration^영어)라고 한다.
$H\otimes\mathbb Q$ 위의, 유리수 벡터 공간들의 유한 증가 여과 $W_0\subseteq W_1\subseteq\cdots\subseteq W_m=H\otimes\mathbb Q$ . 이를 '''무게 여과'''(-濾過, weight filtration^영어)라고 한다.

이는 다음을 만족시켜야 한다.

모든 $n$ 에 대하여, $\operatorname{gr}_n^W H =(W_n/W_{n-1})\otimes\mathbb C$ 위의 감소 여과 $F^p\operatorname{gr}_n^WH = (F^p\cap W_n\otimes\mathbb C+W_{n-1}\otimes\mathbb C)/(W_{n-1}\otimes\mathbb C)$ 는 무게 $n$ 의 순수 호지 구조를 이룬다.

혼합 호지 구조 위의 극성화는 무게 여과의 각 등급 성분에 주어지는 극성화로 구성된다.

혼합 호지 구조

(H,F^\bullet,W_\bullet)

의 '''호지 수'''(Hodge數, Hodge number^영어)

h^{\bullet,\bullet}

는 다음과 같다.^[12]

:

h^{p,q}=\dim_{\mathbb C}\operatorname{gr}_F^p\operatorname{gr}_{p+q}^W(H\otimes_{\mathbb Z}\mathbb C)

두 혼합 호지 구조

(H,F,W)

,

(H',F',W')

사이의 '''사상'''(寫像, morphism^영어)

f\colon H\to H'

은 다음과 같은 성질을 만족시키는, 아벨 군의 준동형이다.

$f(F^p)\subseteq F'^p$
$f(W_kH)\subseteq W'_k$

혼합 호지 구조와 그 사상들의 범주는 아벨 범주를 이룬다. 이 범주에서의 핵과 여핵은 (망각 함자를 통해) 복소수 벡터 공간에서의 핵 · 여핵과 일치한다. 또한, 이 범주는 텐서곱을 가지며, 텐서곱을 통하여 단나카 범주(Tannakian category^영어)를 이룬다.

1960년대 장피에르 세르는 베유 추측을 바탕으로 특이점(가능성이 있으며, 환원 가능)이고, 완전하지 않은 대수적 다양체도 '가상 베티 수'를 가져야 한다는 것을 알아냈다. 더 정확하게는, 모든 대수적 다양체 ''X''에 대해 '''가상 푸앵카레 다항식'''이라고 불리는 다항식 ''P''_''X''(''t'')를 할당할 수 있어야 하며, 다음 속성을 가진다.

만약 ''X''가 비특이적이고 사영적(또는 완전)이라면, $P_X(t) = \sum \operatorname{rank}(H^n(X))t^n$
만약 ''Y''가 ''X''의 닫힌 대수적 부분 집합이고 ''U'' = ''X'' \ ''Y''라면 $P_X(t)=P_Y(t)+P_U(t)$

이러한 다항식의 존재는 일반적인(특이하고 완전하지 않은) 대수적 다양체의 코호몰로지에서 호지 구조의 유추물의 존재로부터 파생될 수 있다. 새로운 특징은 일반적인 다양체의 ''n''차 코호몰로지가 서로 다른 가중치를 갖는 조각들을 포함하는 것처럼 보인다는 것이다. 이로 인해 알렉산더 그로텐디크는 모티브에 대한 추측적 이론을 세웠고, 피에르 들리뉴의 연구로 절정에 이른 호지 이론의 확장을 위한 탐구를 촉진했다. 그는 혼합 호지 구조의 개념을 도입하고, 그것들을 다루는 기술을 개발했으며, (히로나카 헤이스케의 특이점 해소를 기반으로) 그들의 구성을 제시하고, l-진 코호몰로지의 가중치와 연관시켜, 베유 추측의 마지막 부분을 증명했다.

정의를 설명하기 위해, 두 개의 비특이 성분

X_1

과

X_2

로 구성된 가약 복소 대수 곡선 ''X''의 경우를 고려해 보자. 이 성분들은 점

Q_1

과

Q_2

에서 횡단적으로 교차한다. 또한, 이 성분들이 콤팩트하지 않지만, 점

P_1, \dots ,P_n

을 추가하여 콤팩트화할 수 있다고 가정한다. 곡선 ''X''의 첫 번째 코호몰로지 군(콤팩트 지지)은 첫 번째 호몰로지 군과 쌍대 관계에 있으며, 이는 시각화하기 더 쉽다. 이 군에는 세 가지 유형의 1-사이클이 있다. 먼저, 펑크

P_i

주변의 작은 루프를 나타내는 원소

\alpha_i

가 있다. 그다음에는 각 성분의 콤팩트화의 첫 번째 호몰로지에서 파생된 원소

\beta_j

가 있다. 이 성분의 콤팩트화에서의 사이클에 해당하는

X_k \subset X

(

k=1,2

)에서의 1-사이클은 표준적이지 않다: 이러한 원소는

\alpha_1, \dots ,\alpha_n

의 스팬을 법으로 하여 결정된다. 마지막으로, 처음 두 유형을 법으로 하면, 이 군은 한 성분

X_1

의 경로를 따라

Q_1

에서

Q_2

로 이동하고 다른 성분

X_2

의 경로를 따라 돌아오는 조합 사이클

\gamma

에 의해 생성된다. 이는

H_1(X)

가 다음과 같은 증가 여과를 허용함을 시사한다.

:

0\subset W_0\subset W_1 \subset W_2=H^1(X),

그 연속 몫 ''W_n''/''W''_''n''−1은 매끄럽고 완전한 다양체의 코호몰로지에서 유래하므로 (순수) 호지 구조를 허용하지만, 다른 가중치를 가진다.

아벨 군 H_'''Z''' 위에 정의되는 '''혼합 호지 구조'''는, '''호지 여과'''(Hodge filtration)라고 불리는 복소 벡터 공간 H (H_'''Z'''의 복소화) 위의 유한한 감소 여과 F^p와, '''가중치 여과'''(Weight filtration)라고 불리는 유리 벡터 공간 H_'''Q''' = H_'''Z''' ⊗_'''Z''''''Q''' 위의 유한한 증가 여과 W_i의 쌍으로, W에 대한 H_'''Q'''의 차수별 몫 W_nH/W_n-1H과 그 복소화에 F로부터 유도되는 여과의 쌍이 모든 n에 대해 가중치 n의 순수 호지 구조가 되는 것을 말한다. 여기서 차수별 몫의 복소화

:

\operatorname{gr}_n^{W} H = W_n\otimes\mathbf{C}/W_{n-1}\otimes\mathbf{C}

에 ''F''로부터 유도되는 여과는 다음으로 주어진다.

:

F^p \operatorname{gr}_n^W H = (F^p\cap W_n\otimes\mathbf{C}+W_{n-1}\otimes\mathbf{C})/W_{n-1}\otimes\mathbf{C}

혼합 호지 구조의 사상 개념을 정의할 수 있으며, 이는 여과 ''F''와 ''W''와 호환되어야 하며, 다음을 증명한다.

:'''정리.''' ''혼합 호지 구조는 아벨 범주를 형성한다. 이 범주에서 커널과 코커널은 벡터 공간 범주의 일반적인 커널과 코커널과 일치하며, 유도된 여과를 갖는다.''

콤팩트 켈러 다양체의 전체 코호몰로지에는 혼합 호지 구조가 있으며, 여기서 가중치 여과의 ''n''차 공간 ''W_n''는 ''n''보다 작거나 같은 차수의 코호몰로지 군(유리수 계수)의 직합이다. 따라서 콤팩트 복소수 경우의 고전적인 호지 이론은 복소수 코호몰로지 군에 대한 이중 등급을 제공하는 것으로 생각할 수 있으며, 이는 특정 방식으로 호환되는 증가 여과 ''F^p''와 감소 여과 ''W_n''을 정의한다. 일반적으로 전체 코호몰로지 공간은 여전히 이 두 여과를 갖지만, 더 이상 직합 분해에서 나오지 않는다.

혼합 호지 구조의 범주는 혼합 호지 구조(H_'''Z''', W, F)에서 (H'_'''Z''', W', F')로 가는 사상을 H_'''Z'''에서 H'_'''Z'''로 가는 준동형으로 정의하며, 이는 각 여과와 일치한다. 이때 다음 정리가 성립한다.

:'''혼합 호지 구조의 범주는 아벨 범주이다. 이 범주에서의 핵과 여핵은 아벨 군의 일반적인 핵과 여핵(위에 정의된 자연스러운 혼합 호지 구조)과 일치한다.'''

또한 혼합 호지 구조에는 다양체의 곱에 해당하는 텐서곱이 자연스럽게 정의된다. 또한, 혼합 호지 구조의 범주에는 '''내부 Hom'''과 '''쌍대 대상'''도 존재하며, 이를 통해 혼합 호지 구조의 범주는 탄나카 범주가 된다. 탄나카-클레인의 쌍대성/Tannaka-Krein duality^영어에 의해, 이 범주는 어떤 군의 유한 차원 표현 범주와 동치이다.

델리뉴(Deligne)는 임의의 대수적 다양체의 ''n''차 코호몰로지 군이 표준적인 혼합 호지 구조를 가짐을 증명했다. 이 구조는 함자적이며, 다양체의 곱(''Künneth 동형사상'')과 코호몰로지에서의 곱과 호환된다. 완전 비특이 다양체 ''X''의 경우, 이 구조는 무게 ''n''의 순수 구조이며, 호지 여과(Hodge filtration)는 절단된 드람 복합체의 과잉 코호몰로지를 통해 정의될 수 있다.

모티브 이론을 사용하여, 유리수 계수를 가진 코호몰로지에 대한 무게 여과를 정수 계수를 가진 것으로 개선할 수 있다.

2. 2. 1. 정의

'''혼합 호지 구조'''(混合Hodge構造, mixed Hodge structure^영어)

(H,F^\bullet,W_\bullet)

는 다음 데이터로 구성된다.^[12]

아벨 군 $H$
$H\otimes\mathbb C$ 위의, 복소수 벡터 공간들의 유한 감소 여과 $H\otimes\mathbb C=F^0\supseteq F^1\supseteq\cdots\supseteq F^k$ . 이를 '''호지 여과'''(Hodge濾過, Hodge filtration^영어)라고 한다.
$H\otimes\mathbb Q$ 위의, 유리수 벡터 공간들의 유한 증가 여과 $W_0\subseteq W_1\subseteq\cdots\subseteq W_m=H\otimes\mathbb Q$ . 이를 '''무게 여과'''(-濾過, weight filtration^영어)라고 한다.

이는 다음을 만족시켜야 한다.

모든 $n$ 에 대하여, $\operatorname{gr}_n^W H =(W_n/W_{n-1})\otimes\mathbb C$ 위의 감소 여과 $F^p\operatorname{gr}_n^WH = (F^p\cap W_n\otimes\mathbb C+W_{n-1}\otimes\mathbb C)/(W_{n-1}\otimes\mathbb C)$ 는 무게 $n$ 의 순수 호지 구조를 이룬다.

아벨 군 H_'''Z''' 위의 '''혼합 호지 구조'''는, '''호지 여과'''(Hodge filtration)라고 불리는 복소 벡터 공간 H (H_'''Z'''의 복소화) 위의 유한한 감소 여과 F^p와, '''가중치 여과'''(Weight filtration)라고 불리는 유리 벡터 공간 H_'''Q''' = H_'''Z''' ⊗_'''Z''''''Q''' 위의 유한한 증가 여과 W_i의 쌍으로, W에 대한 H_'''Q'''의 차수별 몫 W_nH/W_n-1H과 그 복소화에 F로부터 유도되는 여과의 쌍이 모든 n에 대해 가중치 n의 순수 호지 구조가 되는 것을 말한다. 여기서 차수별 몫의 복소화

:

\operatorname{gr}_n^{W} H = W_n\otimes\mathbf{C}/W_{n-1}\otimes\mathbf{C}

에 ''F''로부터 유도되는 여과는 다음으로 주어진다.

:

F^p \operatorname{gr}_n^W H = (F^p\cap W_n\otimes\mathbf{C}+W_{n-1}\otimes\mathbf{C})/W_{n-1}\otimes\mathbf{C}

2. 2. 2. 호지 수

혼합 호지 구조

(H,F^\bullet,W_\bullet)

의 '''호지 수'''(Hodge數, Hodge number^영어)

h^{\bullet,\bullet}

는 다음과 같이 정의된다.^[12]

:

h^{p,q}=\dim_{\mathbb C}\operatorname{gr}_F^p\operatorname{gr}_{p+q}^W(H\otimes_{\mathbb Z}\mathbb C)

2. 2. 3. 사상

두 혼합 호지 구조

(H,F,W)

,

(H',F',W')

사이의 '''사상'''(寫像, morphism^영어)

f\colon H\to H'

은 아벨 군의 준동형이며, 다음 성질을 만족시킨다.

$f(F^p)\subseteq F'^p$
$f(W_kH)\subseteq W'_k$

혼합 호지 구조와 그 사상들의 범주는 아벨 범주를 이룬다.^[12] 이 범주에서의 핵과 여핵은 (망각 함자를 통해) 복소수 벡터 공간에서의 핵 · 여핵과 일치한다. 또한, 이 범주는 텐서곱을 가지며, 텐서곱을 통하여 단나카 범주(Tannakian category^영어)를 이룬다.

혼합 호지 구조의 범주는 혼합 호지 구조(H_'''Z''', W, F)에서 (H'_'''Z''', W', F')로 가는 사상을 H_'''Z'''에서 H'_'''Z'''로 가는 준동형으로 정의하며, 이는 각 여과와 일치한다. 이때 다음 정리가 성립한다.

:'''혼합 호지 구조의 범주는 아벨 범주이다. 이 범주에서의 핵과 여핵은 아벨 군의 일반적인 핵과 여핵(위에 정의된 자연스러운 혼합 호지 구조)과 일치한다.'''

또한 혼합 호지 구조에는 다양체의 곱에 해당하는 텐서곱이 자연스럽게 정의된다. 또한, 혼합 호지 구조의 범주에는 '''내부 Hom'''과 '''쌍대 대상'''도 존재하며, 이를 통해 혼합 호지 구조의 범주는 탄나카 범주가 된다. 탄나카-클레인의 쌍대성/Tannaka-Krein duality^영어에 의해, 이 범주는 어떤 군의 유한 차원 표현 범주와 동치이다. 들린(Pierre Deligne)과 밀른(James S. Milne)은 이상의 내용을 밝혀냈다.^[11]

3. 다양체의 호지 구조

콤팩트 켈러 다양체의 복소수 계수 특이 코호몰로지는 호지 이론에 의해 분해되며, 이는 무게 $n$ 의 순수 호지 구조를 이룬다.^[12] 모든 차수의 코호몰로지들의 직합은 혼합 호지 구조를 이룬다. 두 콤팩트 켈러 다양체 사이의 정칙 사상은 순수 호지 구조의 사상을 유도한다.^[12]

콤팩트 켈러 다양체의 코호몰로지는 호지 구조를 가지며, ''n''차 코호몰로지군은 가중치 ''n''의 순수 구조를 갖는다. 복소수 다양체의 코호몰로지는 혼합 호지 구조를 갖는다.

$d$ 차의 매끄러운 사영 초곡면 $X\subset \mathbb{P}^{n+1}$ 에 대한 호지 구조는 그리피스에 의해 "대수적 매니폴드의 주기 적분" 논문에서 명시적으로 연구되었다. 만약 $f\in \Complex [x_0,\ldots,x_{n+1}]$ 가 초곡면 $X$ 를 정의하는 다항식이라면, 등급이 매겨진 야코비안 몫 링 $R(f) = \frac{\Complex[x_0,\ldots,x_{n+1}]}{\left( \frac{\partial f}{\partial x_0}, \ldots, \frac{\partial f}{\partial x_{n+1}}\right)}$ 는 $X$ 의 중간 코호몰로지의 모든 정보를 포함한다. 그는 $H^{p,n-p}(X)_\text{prim} \cong R(f)_{(n+1-p)d - n -2}$ 를 보였다.

예를 들어, $g = x_0^4 + \cdots + x_3^4$ 로 주어진 K3 곡면을 고려해 보면, $d = 4$ 이고 $n = 2$ 이다. 그러면, 등급이 매겨진 야코비안 링은 $\frac{\Complex [x_0,x_1,x_2,x_3]}{(x_0^3,x_1^3,x_2^3,x_3^3)}$ 이다. 원시 코호몰로지 그룹에 대한 동형사상은 $H^{p,n-p}(X)_{prim} \cong R(g)_{(2+1 - p)4 - 2 - 2} = R(g)_{4(3-p) - 4}$ 이다. 따라서

$\begin{align}H^{0,2}(X)_\text{prim} &\cong R(g)_8 = \Complex \cdot x_0^2x_1^2x_2^2x_3^2 \\H^{1,1}(X)_\text{prim} &\cong R(g)_4\\H^{2,0}(X)_\text{prim} &\cong R(g)_0 = \Complex \cdot 1\end{align}$ 이다.

$R(g)_4$ 는

$\begin{array}{rrrrrrrr}x_0^2 x_1^2, & x_0^2 x_1 x_2, & x_0^2x_1x_3, & x_0^2x_2^2, & x_0^2x_2x_3, & x_0^2x_3^2, & x_0x_1^2x_2, & x_0x_1^2x_3, \\x_0 x_1 x_2^2, & x_0 x_1 x_2 x_3, & x_0x_1x_3^2, & x_0x_2^2x_3, & x_0x_2x_3^2, & x_1^2x_2^2, & x_1^2x_2x_3, & x_1^2x_3^2, \\x_1 x_2^2 x_3, & x_1 x_2 x_3^2, & x_2^2x_3^2\end{array}$ 로 스팬된 벡터 공간이며, 19차원이다. Lefschetz 클래스 $[L]$ 로 주어진 $H^{1,1}(X)$ 에 추가적인 벡터가 있다. Lefschetz 초평면 정리를 통해 호지 쌍대성에 따르면, 나머지 코호몰로지는 $H^{k,k}(X)$ 에 있으며, 1차원이다.

이전의 동형사상을 사용하여 $d$ 차 평면 곡선의 속(genus)을 확인할 수도 있다. $x^d + y^d + z^d$ 가 매끄러운 곡선이고 Ehresmann 섬유화 정리는 모든 다른 속 $g$ 의 매끄러운 곡선이 미분동형임을 보장하므로, 속은 동일하다. 따라서, 원시 코호몰로지를 야코비안 링의 등급 부분과 동형사상을 사용하여, $H^{1,0} \cong R(f)_{d-3} \cong \Complex [x,y,z]_{d-3}$ 임을 알 수 있다. 이는 차원이 ${2 + d - 3 \choose 2} = {d-1 \choose 2} = \frac{(d-1)(d-2)}{2}$ 임을 의미한다.

완전 교차의 호지 수는 프리드리히 히르체브루흐에 의해 발견된 조합 공식을 통해 쉽게 계산할 수 있다.^[8]

3. 1. 켈러 다양체

콤팩트 켈러 다양체의 복소수 계수 특이 코호몰로지는 호지 이론에 의해 분해되며, 이는 무게

n

의 순수 호지 구조를 이룬다.^[12] 모든 차수의 코호몰로지들의 직합은 혼합 호지 구조를 이룬다. 두 콤팩트 켈러 다양체 사이의 정칙 사상은 순수 호지 구조의 사상을 유도한다.^[12]

콤팩트 켈러 다양체의 코호몰로지는 호지 구조를 가지며, ''n''차 코호몰로지군은 가중치 ''n''의 순수 구조를 갖는다. 복소수 다양체의 코호몰로지는 혼합 호지 구조를 갖는다.

d

차의 매끄러운 사영 초곡면

X\subset \mathbb{P}^{n+1}

에 대한 호지 구조는 그리피스에 의해 "대수적 매니폴드의 주기 적분" 논문에서 명시적으로 연구되었다. 만약

f\in \Complex [x_0,\ldots,x_{n+1}]

가 초곡면

X

를 정의하는 다항식이라면, 등급이 매겨진 야코비안 몫 링

R(f) = \frac{\Complex[x_0,\ldots,x_{n+1}]}{\left( \frac{\partial f}{\partial x_0}, \ldots, \frac{\partial f}{\partial x_{n+1}}\right)}

는

X

의 중간 코호몰로지의 모든 정보를 포함한다. 그는

H^{p,n-p}(X)_\text{prim} \cong R(f)_{(n+1-p)d - n -2}

를 보였다.

예를 들어,

g = x_0^4 + \cdots + x_3^4

로 주어진 K3 곡면을 고려해 보면,

d = 4

이고

n = 2

이다. 그러면, 등급이 매겨진 야코비안 링은

\frac{\Complex [x_0,x_1,x_2,x_3]}{(x_0^3,x_1^3,x_2^3,x_3^3)}

이다. 원시 코호몰로지 그룹에 대한 동형사상은

H^{p,n-p}(X)_{prim} \cong R(g)_{(2+1 - p)4 - 2 - 2} = R(g)_{4(3-p) - 4}

이다. 따라서

\begin{align}H^{0,2}(X)_\text{prim} &\cong R(g)_8 = \Complex \cdot x_0^2x_1^2x_2^2x_3^2 \\H^{1,1}(X)_\text{prim} &\cong R(g)_4\\H^{2,0}(X)_\text{prim} &\cong R(g)_0 = \Complex \cdot 1\end{align}

이다.

R(g)_4

는

\begin{array}{rrrrrrrr}x_0^2 x_1^2, & x_0^2 x_1 x_2, & x_0^2x_1x_3, & x_0^2x_2^2, & x_0^2x_2x_3, & x_0^2x_3^2, & x_0x_1^2x_2, & x_0x_1^2x_3, \\x_0 x_1 x_2^2, & x_0 x_1 x_2 x_3, & x_0x_1x_3^2, & x_0x_2^2x_3, & x_0x_2x_3^2, & x_1^2x_2^2, & x_1^2x_2x_3, & x_1^2x_3^2, \\x_1 x_2^2 x_3, & x_1 x_2 x_3^2, & x_2^2x_3^2\end{array}

로 스팬된 벡터 공간이며, 19차원이다. Lefschetz 클래스

[L]

로 주어진

H^{1,1}(X)

에 추가적인 벡터가 있다. Lefschetz 초평면 정리를 통해 호지 쌍대성에 따르면, 나머지 코호몰로지는

H^{k,k}(X)

에 있으며, 1차원이다.

이전의 동형사상을 사용하여

d

차 평면 곡선의 속(genus)을 확인할 수도 있다.

x^d + y^d + z^d

가 매끄러운 곡선이고 Ehresmann 섬유화 정리는 모든 다른 속

g

의 매끄러운 곡선이 미분동형임을 보장하므로, 속은 동일하다. 따라서, 원시 코호몰로지를 야코비안 링의 등급 부분과 동형사상을 사용하여,

H^{1,0} \cong R(f)_{d-3} \cong \Complex [x,y,z]_{d-3}

임을 알 수 있다. 이는 차원이

{2 + d - 3 \choose 2} = {d-1 \choose 2} = \frac{(d-1)(d-2)}{2}

임을 의미한다.

완전 교차의 호지 수는 프리드리히 히르체브루흐에 의해 발견된 조합 공식을 통해 쉽게 계산할 수 있다.^[8]

3. 2. 비특이 대수다양체

(완비가 아닐 수 있는) 복소수 비특이 대수다양체의 특이 코호몰로지 위에는 자연스럽게 혼합 호지 구조가 존재한다.^[12] 이는 함자적이며, 복소수 비특이 대수다양체의 범주에서 혼합 호지 구조의 범주로 가는 함자를 이룬다.^[12]^[13]^[14]

비특이 사영 대수다양체

X

의 닫힌 비특이 부분다양체

Y\hookrightarrow X

가 주어지면, 상대 코호몰로지의 긴 완전열이 존재한다.

:

\cdots\to H^i(X,Y)\to H^i(X)\to H^i(Y)\to H^{i+1}(X,Y)\to H^{i+1}(X)\to\cdots

이는 혼합 호지 구조의 긴 완전열을 이룬다.^[12] 이 경우

H^\bullet(X)

는 순수 호지 구조이지만,

H^\bullet(X,Y)

및

H^\bullet(Y)

는 순수 호지 구조가 아닐 수 있다.

델리뉴는 임의의 대수적 다양체의 ''n''차 코호몰로지 군이 표준적인 혼합 호지 구조를 가짐을 증명했다. 이 구조는 함자적이며, 다양체의 곱(''Künneth 동형사상'')과 코호몰로지에서의 곱과 호환된다.

증명은 대략적으로 비콤팩트성과 특이성을 처리하는 두 부분으로 구성된다. 두 부분 모두 특이점 해소(히로나카의 결과)를 필수적으로 사용한다. 특이한 경우, 다양체는 단체적 스킴으로 대체되어 더 복잡한 호몰로지 대수를 이끌어내며, 복합체(코호몰로지와 반대)에 대한 호지 구조라는 기술적인 개념이 사용된다.

모티브 이론을 사용하여, 유리수 계수를 가진 코호몰로지에 대한 무게 여과를 정수 계수를 가진 것으로 개선할 수 있다.

3. 3. 특이 대수다양체

(특이점을 가질 수 있는) 임의의 복소수 준사영 대수다양체에 대해서도 혼합 호지 구조를 자연스럽게 정의할 수 있다.^[15] 일부 경우 이는 미분 형식으로 계산할 수 있다.^[16]

델리뉴(Deligne)는 임의의 대수적 다양체의 ''n''차 코호몰로지 군이 표준적인 혼합 호지 구조를 가짐을 증명했다. 이 구조는 함자적이며, 다양체의 곱(''Künneth 동형사상'')과 코호몰로지에서의 곱과 호환된다. 완전 비특이 다양체 ''X''의 경우, 이 구조는 무게 ''n''의 순수 구조이며, 호지 여과(Hodge filtration)는 절단된 드람 복합체의 과잉 코호몰로지를 통해 정의될 수 있다.

증명은 대략적으로 비콤팩트성과 특이성을 처리하는 두 부분으로 구성된다. 두 부분 모두 특이점 해소(히로나카(Hironaka)의 결과)를 필수적으로 사용한다. 특이한 경우, 다양체는 단체적 스킴으로 대체되어 더 복잡한 호몰로지 대수를 이끌어내며, 복합체(코호몰로지와 반대)에 대한 호지 구조라는 기술적인 개념이 사용된다.

모티브 이론을 사용하여, 유리수 계수를 가진 코호몰로지에 대한 무게 여과를 정수 계수를 가진 것으로 개선할 수 있다.

4. 관련 개념

필립 오거스터스 그리피스가 도입한^[17]^[18]^[19] '''호지 구조의 변동'''(Hodge構造의變動, variation of Hodge structure^영어)은 대략 어떤 복소다양체로 매개변수화된 호지 구조들의 족이다.

사이토 모리히코( 斎藤盛彦^일본어 )가 도입한^[20] '''호지 가군'''(Hodge加群, Hodge module^영어)은 대략 "호지 구조들의 층"으로 생각할 수 있다.

호지 구조와 혼합 호지 구조의 개념을 기반으로 하는 기계 장치는 알렉산더 그로텐디크가 구상한 모티브 이론의 아직은 대부분 추측에 불과한 부분이다. 비특이 대수 다양체 ''X''에 대한 산술적 정보는, ''X''의 l-adic 코호몰로지에 작용하는 프로베니우스 원소의 고유값으로 인코딩되며, 복소 대수 다양체로 간주되는 ''X''에서 발생하는 호지 구조와 공통점을 가지고 있다. 세르게이 겔판트와 유리 마닌은 1988년경 그들의 저서 ''호몰로지 대수 방법''에서, 다른 코호몰로지 군에 작용하는 갈루아 대칭과는 달리 "호지 대칭"의 기원은 매우 신비롭다고 언급했다. 그 이후, 거울 대칭의 발견과 수학적 정식화로 인해 이 신비는 더욱 깊어졌다.

호지 추측
호지 이론
호지 구조의 ''p''-진 유사물
대수적 미분 형식

4. 1. 호지 구조의 변동

'''호지 구조의 변동'''(영어: variation of Hodge structure)은 복소다양체로 매개변수화된 호지 구조들의 족으로, 필립 오거스터스 그리피스가 도입하였다.^[17]^[18]^[19] 이는 다양체의 모듈라이 공간 연구에 중요한 역할을 한다.

복소다양체 ''X'' 위의 무게 ''n''의 호지 구조의 변형은 ''X'' 위의 유한 생성 아벨 군의 국소적으로 상수인 층 ''S''와, 다음 두 가지 조건을 만족하는 ''S'' ⊗ ''O''_''X''에 대한 감소하는 호지 여과 ''F''로 구성된다.

여과는 층 ''S''의 각 줄기에 무게 ''n''의 호지 구조를 유도한다.
('''그리피스 횡단성''') ''S'' ⊗ ''O_X'' 위의 자연 연결은 $F^n$ 을 $F^{n-1} \otimes \Omega^1_X.$ 으로 맵핑한다.

여기서, ''S'' 위의 평탄한 연결과 ''O''_''X'' 위의 평탄한 연결 ''d''에 의해 유도된 ''S'' ⊗ ''O_X'' 위의 자연(평탄) 연결은 가우스-마닌 연결 ∇이며, 피카르-푸흐스 방정식으로 설명할 수 있다. ''O_X''는 ''X'' 위의 정칙 함수의 층이며,

\Omega^1_X

는 ''X'' 위의 1-형식의 층이다.

'''혼합 호지 구조의 변형'''은 ''S''에 등급 또는 여과 ''W''를 추가하여 유사한 방식으로 정의할 수 있다. 예를 들어, 대수적 사상

f:\Complex ^n \to \Complex

에서 전형적인 예를 찾을 수 있다.

:

\begin{cases}f:\Complex ^2 \to \Complex \\f(x,y) = y^6 - x^6\end{cases}

은

:

X_t = f^{-1}(\{t\}) = \left \{(x,y)\in\Complex ^2: y^6 - x^6 = t \right \}

와 같은 올을 갖는데,

t\neq 0

일 때 종수 10의 매끄러운 평면 곡선이고,

t=0

에서 특이 곡선으로 퇴화된다. 그러면 코호몰로지 층

:

\R f_*^i \left( \underline{\Q}_{\Complex ^2} \right)

은 혼합 호지 구조의 변형을 제공한다.

사이토 모리히코( 斎藤盛彦^일본어 )가 도입한^[20] '''호지 가군'''(Hodge加群, Hodge module^영어)은 "호지 구조들의 층"으로 생각할 수 있다.

4. 2. 호지 가군

호지 가군(Hodge module^영어)은 대략 "호지 구조들의 층"으로 생각할 수 있다. 사이토 모리히코( 斎藤盛彦^일본어)가 도입하였다.^[20] 호지 모듈은 복소다양체 상의 호지 구조의 변형을 일반화한 것이다. 대략적으로 말해, 다양체 위의 호지 구조의 다발과 같은 것으로 생각할 수 있다.

각각의 매끄러운 복소 다양체에 대해, 이에 부수하는 혼합 호지 가군의 아벨 범주가 있다. 이것들은 형식적으로 다양체 위의 층의 범주와 같은 행동을 한다. 예를 들어, 다양체 간의 사상 ''f''는, 층의 사상처럼, 혼합 호지 가군(의 유도 범주) 사이의 함자

f^*,\ f_*,\ f_!,\ f^!

를 유발한다.

5. 예시

'''테이트-호지 구조''' Tate Hodge structure^영어 $\Z(1)$ 는 $\Z$ 모듈이 $2\pi i\Z$ ( $\Complex$ 의 부분군)로 주어지는 호지 구조이며, $\Z(1) \otimes \Complex = H^{-1,-1}.$ 이다. 따라서 정의에 의해 순수 가중치 −2이고, 동형사상까지 유일한 1차원 순수 호지 구조이다.^[6] 더 일반적으로, 그 ''n''차 텐서 거듭제곱은 $\Z(n)$ 으로 표시되며, 이는 1차원이고 가중치 −2''n''의 순수 구조이다.

콤팩트 켈러 다양체의 코호몰로지는 호지 구조를 가지며, ''n''차 코호몰로지군은 가중치 ''n''의 순수 구조를 갖는다.

복소수 다양체(특이점 또는 비정칙점일 수 있음)의 코호몰로지는 혼합 호지 구조를 갖는다. 이는 Deligne에 의해 매끄러운 다양체에 대해 1971년^[6]과 1971년에, 그리고 1974년에 일반적으로 증명되었다.^[7]

정규 교차 특이점을 갖는 사영 다양체 $X$ 에 대해, 퇴화된 E₂-페이지를 갖는 스펙트럼 시퀀스가 있으며, 이 시퀀스는 모든 혼합 호지 구조를 계산한다. E₁-페이지는 심플 세트에서 파생된 미분을 갖는 명시적인 항을 갖는다.^[6]

모든 매끄러운 다양체 ''X''는 정규 교차 제수(divisor)를 여집합으로 갖는 매끄러운 콤팩트화를 허용한다. 해당 로그 형식은 ''X''의 코호몰로지에서 혼합 호지 구조를 명시적으로 설명하는 데 사용될 수 있다.^[7]

$d$ 차의 매끄러운 사영 초곡면 $X\subset \mathbb{P}^{n+1}$ 에 대한 호지 구조는 그리피스에 의해 "대수적 매니폴드의 주기 적분" 논문에서 명시적으로 연구되었다. 만약 $f\in \Complex [x_0,\ldots,x_{n+1}]$ 가 초곡면 $X$ 를 정의하는 다항식이라면, 등급이 매겨진 야코비안 몫 링

::

R(f) = \frac{\Complex[x_0,\ldots,x_{n+1}]}{\left( \frac{\partial f}{\partial x_0}, \ldots, \frac{\partial f}{\partial x_{n+1}}\right)}

는

X

의 중간 코호몰로지의 모든 정보를 포함한다. 그는 다음을 보여준다.

::

H^{p,n-p}(X)_\text{prim} \cong R(f)_{(n+1-p)d - n -2}

::예를 들어,

g = x_0^4 + \cdots + x_3^4

로 주어진 K3 곡면을 고려해 보자. 따라서

d = 4

이고

n = 2

이다. 그러면, 등급이 매겨진 야코비안 링은 다음과 같다.

::

\frac{\Complex [x_0,x_1,x_2,x_3]}{(x_0^3,x_1^3,x_2^3,x_3^3)}

::원시 코호몰로지 그룹에 대한 동형사상은 다음과 같다.

::

H^{p,n-p}(X)_{prim} \cong R(g)_{(2+1 - p)4 - 2 - 2} = R(g)_{4(3-p) - 4}

::따라서

::

::  \begin{align}::  H^{0,2}(X)_\text{prim} &\cong R(g)_8 = \Complex \cdot x_0^2x_1^2x_2^2x_3^2 \\::  H^{1,1}(X)_\text{prim} &\cong R(g)_4\\::  H^{2,0}(X)_\text{prim} &\cong R(g)_0 = \Complex \cdot 1::  \end{align}::

::

R(g)_4

는 다음으로 스팬된 벡터 공간임을 유의하라.

::

\begin{array}{rrrrrrrr}::  x_0^2 x_1^2, & x_0^2 x_1 x_2, & x_0^2x_1x_3, & x_0^2x_2^2, & x_0^2x_2x_3, & x_0^2x_3^2, & x_0x_1^2x_2, & x_0x_1^2x_3, \\::  x_0 x_1 x_2^2, & x_0 x_1 x_2 x_3, & x_0x_1x_3^2, & x_0x_2^2x_3, & x_0x_2x_3^2, & x_1^2x_2^2, & x_1^2x_2x_3, & x_1^2x_3^2, \\::  x_1 x_2^2 x_3, & x_1 x_2 x_3^2, & x_2^2x_3^2::  \end{array}

::이는 19차원이다. Lefschetz 클래스

[L]

로 주어진

H^{1,1}(X)

에 추가적인 벡터가 있다. Lefschetz 초평면 정리를 통해 호지 쌍대성에 따르면, 나머지 코호몰로지는

H^{k,k}(X)

에 있으며, 1차원이다. 따라서 호지 다이아몬드는 다음과 같다.

::

우리는 이전의 동형사상을 사용하여 $d$ 차 평면 곡선의 속(genus)을 확인할 수도 있다. $x^d + y^d + z^d$ 가 매끄러운 곡선이고 Ehresmann 섬유화 정리는 모든 다른 속 $g$ 의 매끄러운 곡선이 미분동형임을 보장하므로, 속은 동일하다. 따라서, 원시 코호몰로지를 야코비안 링의 등급 부분과 동형사상을 사용하여, $H^{1,0} \cong R(f)_{d-3} \cong \Complex [x,y,z]_{d-3}$ 임을 알 수 있다. 이는 차원이 ${2 + d - 3 \choose 2} = {d-1 \choose 2} = \frac{(d-1)(d-2)}{2}$ 임을 의미한다.

완전 교차의 호지 수는 쉽게 계산할 수 있다. 프리드리히 히르체브루흐에 의해 발견된 조합 공식이 있다.^[8]

5. 1. 무게 0 또는 1의 호지 구조

임의의 아벨 군

H

에, 다음과 같이 자명하게 무게 0의 순수 호지 구조를 줄 수 있다.

:

H^{0,0}=H\otimes_{\mathbb Z}\mathbb C

:

F^0=H\otimes_{\mathbb Z}\mathbb C

만약 호지 구조의 차수

(p,q)

가 둘 다 음이 아닌 정수라면 이는 무게 0의 유일한 순수 호지 구조이다.

아벨 군

H

위의, 무게 1의 순수 호지 구조는 (만약 차수

(p,q)

가 모두 음이 아닌 정수라면) 실수 벡터 공간

H\otimes_{\mathbb Z}\mathbb R

위의 복소구조

:

J\colon H\otimes_{\mathbb Z}\mathbb R\to H\otimes_{\mathbb Z}\mathbb R

:

J^2=-1

와 같다. 이 경우,

:

H^{1,0}=\{v\in H\otimes_{\mathbb Z}\mathbb C\colon J^{\mathbb C}v=iv\}

:

H^{0,1}=\{v\in H\otimes_{\mathbb Z}\mathbb C\colon J^{\mathbb C}v=-iv\}

이다. 여기서

:

J^{\mathbb C}\colon H\otimes_{\mathbb Z}\mathbb C\to H\otimes_{\mathbb Z}\mathbb C

:

(J^{\mathbb C})^2=-1

는

J

의 복소수체로의 선형 확대이다.

'''테이트 호지 구조'''(Tate Hodge structure^영어)

\mathbb Z(1)

는

\mathbb Z

위에 정의되는, 무게

-2

의 순수 호지 구조이다.^[12] 이의 텐서곱을 취하여 얻는, 자명한 무게

-2n

의 호지 구조는

\mathbb Z(n)

으로 쓴다.

5. 2. 테이트 뒤틂

무게 $k$의 순수 호지 구조 $(H,F^\bullet)$ 및 정수 $r$가 주어졌을 때, '''테이트 뒤틂'''(Tate twist^영어) $H(r)$는 다음과 같은, 무게 $k+2r$의 순수 호지 구조이다.^[12]

아벨 군으로서, $H(r)=H$
$H(r)^{p,q}=H^{p-r,q-r}$
'''테이트-호지 구조''' $\Z(1)$는 $\Z$ 모듈이 $2\pi i\Z$($\Complex$의 부분군)로 주어지는 호지 구조이며, $\Z(1) \otimes \Complex = H^{-1,-1}$이다. 따라서 정의에 의해 순수 가중치 −2이고, 동형사상까지 유일한 1차원 순수 호지 구조이다. 더 일반적으로, 그 ''n''차 텐서 거듭제곱은 $\Z(n)$으로 표시되며, 이는 1차원이고 가중치 −2''n''의 순수 구조이다.

콤팩트 켈러 다양체의 코호몰로지는 호지 구조를 가지며, ''n''차 코호몰로지군은 가중치 ''n''의 순수 구조를 갖는다. 복소수 다양체(특이점 또는 비정칙점일 수 있음)의 코호몰로지는 혼합 호지 구조를 갖는다. 이는 Deligne에 의해 매끄러운 다양체에 대해 1971년과 1971년에, 그리고 1974년에 일반적으로 증명되었다.^[6]^[7]

5. 3. 구멍을 뚫은 타원 곡선

복소수 타원 곡선

E

에 서로 다른 닫힌 점

z_1,\dots,z_k\in E

가 주어졌을 때, 점을 제거한 타원 곡선의 혼합 호지 구조는 다음과 같다.^[12] 특이 코호몰로지는 다음과 같이 주어진다.

:

H^0(E\setminus\{z_1,\dots,z_k\};\mathbb Q)=0

:

H^1(E\setminus\{z_1,\dots,z_k\};\mathbb Q)\cong\mathbb Q^{k+1}\qquad(k>1)

:

H^2(E\setminus\{z_1,\dots,z_k\};\mathbb Q)=0\qquad(k>0)

상대 코호몰로지의 긴 완전열을 사용하면,

:

0\to H^0(E,E\setminus\{z_1,\dots,z_k\};\mathbb Q)=0\to H^0(E;\mathbb Q)\to H^0(E\setminus\{z_1,\dots,z_k\};\mathbb Q)\to H^1(E,E\setminus\{z_1,\dots,z_k\};\mathbb Q)=0\to H^1(E;\mathbb Q)\to H^1(E\setminus\{z_1,\dots,z_k\};\mathbb Q)\to H^2(E,E\setminus\{z_1,\dots,z_k\};\mathbb Q)\to H^2(E;\mathbb Q)\to H^2(E\setminus\{z_1,\dots,z_k\};\mathbb Q)=0

와 같이 되고, 이는 다음과 같이 분해된다.

:

0\to H^0(E;\mathbb Q)\to H^0(E\setminus\{z_1,\dots,z_k\};\mathbb Q)\to0

:

0\to  H^1(E;\mathbb Q)\to H^1(E\setminus\{z_1,\dots,z_k\};\mathbb Q)\to H^2(E,E\setminus\{z_1,\dots,z_k\};\mathbb Q)\to H^2(E;\mathbb Q)\to0

긴 완전열의 사상은 혼합 호지 구조의 사상을 이루므로, 이를 무게에 따라 분해하면 다음과 같다.

:

0\to H^1(E;\mathbb Q)\cong\mathbb Q^2\to \operatorname{gr}_1^WH^1(E\setminus\{z_1,\dots,z_k\};\mathbb Q)\to\operatorname{gr}_1^W H^2(E,E\setminus\{z_1,\dots,z_k\};\mathbb Q)=0

:

0\to \operatorname{gr}_2^W H^1(E\setminus\{z_1,\dots,z_k\};\mathbb Q)\to H^2(E,E\setminus\{z_1,\dots,z_k\};\mathbb Q)\cong\mathbb Q^k\to H^2(E;\mathbb Q)\cong\mathbb Q\to0

즉,

:

\operatorname{gr}_0^WH^0(E\setminus\{z_1,\dots,z_k\};\mathbb Q)=H^0(E\setminus\{z_1,\dots,z_k\};\mathbb Q)

:

\dim_{\mathbb Q}\operatorname{gr}_1^W H^1(E\setminus\{z_1,\dots,z_k\};\mathbb Q)=2

:

\operatorname{gr}_2^W H^1(E\setminus\{z_1,\dots,z_k\};\mathbb Q)=H^2(E\setminus\{z_1,\dots,z_k\};\mathbb Q)

이며, 구멍이 뚫린 타원 곡선의 1차 코호몰로지의 혼합 호지 구조는 무게 1 및 2를 가진다.

5. 4. 횡단 교차

두 개의 비특이 사영 대수다양체가 횡단 교차(transversal intersection)하는 경우, 그 합집합의 호지 구조를 계산할 수 있다.^[21] 대수적 위상수학에 따르면, 특이 코호몰로지 위에 마이어-피토리스 완전열이 존재하며, 이는 혼합 호지 구조의 완전열을 이룬다. 이 완전열에서

H^i(X_1\cap X_2)

와

H^i(X_1)\oplus H^i(X_2)

는 무게

i

의 순수 호지 구조를 가지지만,

H^i(X)

는 일반적으로 무게

i

및

i-1

을 갖는 혼합 호지 구조이다.^[21]

참조

_[1] 문서
_[2] 문서
_[3] 논문 A Naive Guide to Mixed Hodge Theory
_[4] 문서
_[5] 논문 Descent, motives and ''K''-theory
_[6] 간행물 Hodge Theory Working Seminar-Spring 2005 http://www3.nd.edu/~[...]
_[7] 간행물 Hodge Theory Working Seminar-Spring 2005 http://www3.nd.edu/~[...]
_[8] 웹사이트 Hodge diamond of complete intersections https://math.stackex[...] 2013-12-14
_[9] 문서
_[10] 문서
_[11] 문서
_[12] 서적
_[13] 서적 Actes du Congrès International des Mathématiciens (Nice, 1970) Gauthier-Villars 2015-03-08
_[14] 저널 Théorie de Hodge II http://www.numdam.or[...]
_[15] 저널 Théorie de Hodge III http://www.numdam.or[...]
_[16] 저널
_[17] 저널 Periods of integrals on algebraic manifolds I (construction and properties of the modular varieties)
_[18] 저널 Periods of integrals on algebraic manifolds II (local study of the period mapping) American Journal of Mathematics
_[19] 저널 Periods of integrals on algebraic manifolds III (some global differential-geometric properties of the period mapping) http://www.numdam.or[...]
_[20] 서적
_[21] 서적

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