호지 이론

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1. 개요
2. 리만 다양체의 호지 이론
3. 복소 다양체의 호지 이론
4. 대수 순환과 호지 추측
5. 일반화
6. 역사
참조

1. 개요

호지 이론은 리만 다양체, 복소 다양체 등에서 미분 형식과 코호몰로지 간의 관계를 연구하는 수학 분야이다. 특히, 드람 코호몰로지를 통해 다양체의 위상적 정보를 파악하고, 호지 쌍대성과 라플라시안을 이용하여 조화 형식과 코호몰로지 클래스의 동형성을 밝히는 호지 정리를 제시한다. 콤팩트 켈러 다양체와 복소 사영 다양체에서 호지 분해, 호지 수, 호지 다이아몬드 등을 통해 코호몰로지를 분석하고, 대수적 순환과 호지 추측을 통해 대수 기하학과 연결된다. 혼합 호지 구조, 타원 복합체 등으로 일반화되었으며, 윌리엄 밸런스 더글러스 호지에 의해 1930년대에 도입되었다.

2. 리만 다양체의 호지 이론

매끄러운 ''n''차원 콤팩트 가향 리만 다양체 $(M,g)$ 위에서, 미분 형식들의 드람 복합체와 그 코호몰로지를 다룰 수 있다.

임의의 $\alpha\in\Omega^k(M)$ , $\beta\in\Omega^{k+1}(M)$ 에 대하여, 다음을 만족하는 (외)미분의 (형식적인) 딸림연산자 $d^\dagger$ ('''공미분'''(codifferential^영어))를 정의할 수 있다.

: $\int_M \langle d\alpha,\beta\rangle_{k+1} \,dV = \int_M\langle\alpha,d^\dagger\beta\rangle_k \,dV$

(여기서 $\langle,\rangle_k$ 는 $k$ 차 미분 형식의 내적으로, 리만 계량으로부터 정의한다.)

라플라스 연산자 $\Delta$ 는 다음과 같이 정의한다.

: $\Delta=dd^\dagger+d^\dagger d$

$\Delta\alpha=0$ 이면 $\alpha$ 는 '''조화 형식'''(調和形式, harmonic form^영어)이라고 부른다. 모든 조화 형식은 미분과 공미분에 대하여 닫혀 있다. 즉 $\Delta\alpha=0$ 이면 $d\alpha=0$ 이며 $d^\dagger\alpha=0$ 이다.

2. 1. 드람 코호몰로지

매끄러운 ''n''차원 콤팩트 가향 리만 다양체

(M,g)

위에

k

차 미분 형식의 층

\Omega^k(M)

을 정의할 수 있다. 이 경우 미분 형식 층은 드람 복합체

:

0\rightarrow \Omega^0(M) \xrightarrow{d_0} \Omega^1(M)\xrightarrow{d_1} \cdots\xrightarrow{d_{n-1}} \Omega^n(M)\xrightarrow{d_n} 0

를 이룬다. 여기서

d_k

는 외미분이다. 이 복합체로 정의한 코호몰로지는 드람 코호몰로지

H^k(M)

이다.

드람 정리는 ''M''의 실수 계수를 갖는 특이 코호몰로지가 드람 복합체에 의해 계산된다고 말한다.

:

H^k(M,\mathbf{R})\cong \frac{\ker d_k}{\operatorname{im} d_{k-1}}.

^[1]

호지 이론의 원래 공식화는 드람 복합체에 대한 것이다.

M

은 콤팩트하고 방향을 가질 수 있는 다양체로 매끄러운 계량

g

를 갖는다고 하고,

\Omega^k(M)

는

M

위의

k

-차 미분 형식의 공간으로 한다. 이에 대해 미분 연산자가 이루는 열

:

0\rightarrow \Omega^0(M) \xrightarrow{d_0} \Omega^1(M)\xrightarrow{d_1} \cdots\xrightarrow{d_{n-1}} \Omega^n(M)\xrightarrow{d_n} 0

은 드람 복합체라고 불린다. 여기서

d_k

는

\Omega^k(M)

위의 외미분을 나타낸다. 이때 드람 코호몰로지는

:

H^k(M)=\ker d_k/\operatorname{im}d_{k-1}

로 정의되는 벡터 공간의 계열을 말한다.^[2]

2. 2. 호지 쌍대성과 공미분

매끄러운 ''n''차원 콤팩트 가향 리만 다양체

(M,g)

위에서

k

차 미분 형식의 층

\Omega^k(M)

을 생각하면, 외미분

d_k

에 대해 드람 복합체를 정의할 수 있다.

이제 외미분의 (형식적인) 딸림연산자

d^\dagger

를 생각하자. 임의의

\alpha\in\Omega^k(M)

,

\beta\in\Omega^{k+1}(M)

에 대하여, 다음 식을 만족하는 연산자

d^\dagger

를 찾을 수 있다.

:

\int_M \langle d\alpha,\beta\rangle_{k+1} \,dV = \int_M\langle\alpha,d^\dagger\beta\rangle_k \,dV

이러한 연산자

d^\dagger

를 '''공미분'''(codifferential^영어)이라고 부른다. 이는 다음과 같이 정의된다.

:

d^\dagger_k=(-)^{nk+n+1}*d*

여기서

*\colon\Omega^k(M)\to\Omega^{n-k}(M)

은 '''호지 별연산자'''(Hodge star operator^영어)라 불리는 연산자로, 형식을 레비치비타 기호와 축약시키는 연산이다.

라플라스 연산자

\Delta

는 다음과 같이 정의된다.

:

\Delta=dd^\dagger+d^\dagger d

2. 3. 조화 형식

라플라스 연산자의 값이 0인 형식을 '''조화 형식'''(調和形式, harmonic form^영어)이라고 부른다. 즉,

\Delta\alpha=0

이면

\alpha

는 조화 형식이다. 모든 조화 형식은 미분과 여미분(codifferential)에 대하여 닫혀 있다. 다시 말해,

\Delta\alpha=0

이면

d\alpha=0

이며

d^\dagger\alpha=0

이다.^[4] 여기서

d

는 외미분이고,

d^\dagger

는 여미분이다.

좀 더 자세히 설명하면, 닫힌 다양체 위의 리만 다양체의 모든 조화 형식 ''α''는 닫힌 형식이면서 동시에 여닫힌 형식이다. 이는

d\alpha = 0

이고

\delta\alpha=0

임을 의미한다. 여기서

\delta

는 여미분이다.

2. 4. 호지 분해와 호지 정리

임의의

k

차 미분 형식

\omega

는 조화 성분

\alpha

, 닫힌 성분

d\beta

, 공닫힌(coclosed^영어) 성분

d^\dagger\gamma

로 유일하게 분해할 수 있다. 이를 '''호지 분해'''(Hodge decomposition^영어)라고 한다.

:

\omega=\alpha+d\beta+d^\dagger\gamma

만약

\omega

가 닫힌 형식이라면 (

d\omega=0

) 공닫힌 성분은 항상 0이다.

:

\omega=\alpha+d\beta

여기서 조화 성분만을 취하면,

k

차 조화 형식의 벡터 공간

\mathcal H_\Delta^k(M)

과

k

차 드람 코호몰로지

H^k(M,\mathbb R)

과의 동형사상을 얻는다.

:

\mathcal H_\Delta^k(M)\cong H^k(M,\mathbb R)

이를 '''호지 정리'''(Hodge's theorem^영어)라고 한다. 다시 말하면, 임의의 코호몰로지 동치류

[\alpha]\in H^k

에서 유일한 조화 형식인 대표

\alpha\in[\alpha]

를 찾을 수 있다.

호지 정리는 타원형 편미분 방정식 이론을 사용하여 증명되었으며, 호지의 초기 논증은 1940년대에 고다이라 등에 의해 완성되었다.^[4]

호지 정리의 변형은 '''호지 분해'''이다. 이는 닫힌 리만 다양체 위의 모든 미분 형식 ''ω''가 다음 형식의 세 부분의 합으로 고유하게 분해된다는 것을 말한다.^[5]

:

\omega = d \alpha +\delta \beta + \gamma,

여기서 ''γ''는 조화적이다. :

\Delta\gamma=0

2. 5. 타원 복합체의 호지 이론

아티야와 보트는 드람 복합체를 일반화하여 타원 복합체를 정의했으며, 호지 정리는 이 설정으로 확장된다.^[11] 닫힌 매끄러운 다양체 ''M'' 위에 부피 형식 ''dV''를 갖춘 계량(metric)이 갖춰진 벡터 다발

E_0, E_1, \ldots, E_N

이 있다고 가정하자.

:

L_i:\Gamma(E_i)\to\Gamma(E_{i+1})

는 이러한 벡터 다발의 C^∞ 단면에 작용하는 선형 미분 연산자이며, 유도된 수열

:

0\to\Gamma(E_0)\to \Gamma(E_1) \to \cdots \to \Gamma(E_N) \to 0

는 타원 복합체이다. 다음 직접 합을 도입한다.

:

\begin{align}\mathcal E^\bullet &= \bigoplus\nolimits_i \Gamma(E_i) \\L &= \bigoplus\nolimits_i L_i:\mathcal E^\bullet\to\mathcal E^\bullet\end{align}

그리고

L^*

를

L

의 수반 연산자라고 하자. 타원 연산자

\Delta:=LL^*+L^*L

를 정의한다. 드람의 경우와 마찬가지로, 이는 조화 단면의 벡터 공간을 생성한다.

:

\mathcal H=\{e\in\mathcal E^\bullet\mid\Delta e=0\}.

H:\mathcal E^\bullet\to\mathcal H

를 직교 투영이라고 하고, ''G''를

\Delta

에 대한 그린 연산자라고 하자. 그러면 '''호지 정리'''는 다음을 주장한다.^[6]

# ''H''와 ''G''는 잘 정의되어 있다.

#

\text{Id}=H+\Delta G=H+G\Delta

#

LG=GL

,

L^*G=GL^*

# 복합체의 코호몰로지는 조화 단면의 공간

H(E_j)\cong\mathcal H(E_j)

와 정규적으로 동형이며, 즉 각 코호몰로지 클래스는 고유한 조화 대표자를 갖는다.

이 상황에는 드람 복합체에 대한 위의 설명을 일반화하는 호지 분해도 있다.

3. 복소 다양체의 호지 이론

에르미트 다양체는 리만 다양체이므로, 실수 다양체의 경우와 같이 $d=\partial+\bar\partial$ 를 기반으로 라플라스 연산자

: $\Delta=dd^\dagger+d^\dagger d$

를 정의할 수 있다. 즉 에르미트 공간에는 $\Delta_\partial$ , $\Delta_{\bar\partial}$ , $\Delta$ 세 개의 라플라스 연산자와 그에 관련된 호지 코호몰로지가 존재한다.

만약 에르미트 형식이 닫혀 있다면 ( $d\omega=\partial\omega=\bar\partial\omega=0$ ) $(M,\omega)$ 는 켈러 다양체를 이룬다. 이 경우 라플라스 연산자 사이에 다음 관계가 성립한다.

: $\Delta=2\Delta_\partial=2\Delta_{\bar\partial}$

따라서 어느 라플라스 연산자를 쓰는지에 상관없이 같은 코호몰로지를 얻는다.

'''X'''를 매끄러운 복소 사영 다양체라고 하자. 즉, '''X'''는 어떤 복소 사영 공간 '''CP'''^''N''의 닫힌 복소 부분 다양체이다. Chow의 정리에 따르면, 복소 사영 다양체는 자동으로 대수적이다. 즉, '''CP'''^''N''에서의 동차 다항식 방정식의 소실에 의해 정의된다. '''CP'''^''N''의 표준 리만 메트릭은 복소 구조와 강한 호환성을 갖는 '''X'''에 대한 리만 메트릭을 유도하여 '''X'''를 Kähler 다양체로 만든다.

복소 다양체 '''X'''와 자연수 ''r''에 대해, '''X''' 위의 모든 C^∞ ''r''-형식(복소 계수)은 $(p,q)$ 형식의 합으로 유일하게 쓸 수 있으며, $p+q=r$ 인 형식은 지역적으로 다음과 같은 유한 합으로 쓸 수 있음을 의미한다.

: $f\, dz_1\wedge\cdots\wedge dz_p\wedge d\overline{w_1}\wedge\cdots\wedge d\overline{w_q}$

여기서 ''f''는 C^∞ 함수이고 ''z''_s와 ''w''_s는 정칙 함수이다. Kähler 다양체에서 조화 형식의 $(p,q)$ 성분은 다시 조화적이다. 따라서 모든 콤팩트 Kähler 다양체 '''X'''에 대해, 호지 정리는 복소 계수를 갖는 '''X'''의 코호몰로지를 복소 벡터 공간의 직합으로 분해한다.^[7]

: $H^r(X,\mathbf{C})=\bigoplus_{p+q=r} H^{p,q}(X).$

이 분해는 실제로 Kähler 메트릭의 선택과 무관하다(그러나 일반적인 콤팩트 복소 다양체에 대한 유사한 분해는 없다). 반면에 호지 분해는 복소 다양체로서의 '''X'''의 구조에 진정으로 의존하는 반면, 그룹 $H^r(X,\mathbf{C})$ 는 '''X'''의 기본 위상 공간에만 의존한다.

이러한 조화적인 표현들의 외적 곱을 취하는 것은 코호몰로지에서의 컵 곱에 해당하므로, 복소 계수를 갖는 컵 곱은 호지 분해와 호환된다.

: $\smile \colon H^{p,q}(X) \times H^{p',q'}(X) \rightarrow H^{p+p',q+q'}(X).$

호지 분해의 부분 $H^{p,q}(X)$ 는 가환층 코호몰로지 그룹과 동일시될 수 있으며, 이는 Kähler 메트릭의 선택이 아닌 복소 다양체로서의 '''X'''에만 의존한다.^[8]

: $H^{p,q}(X)\cong H^q(X,\Omega^p),$

여기서 $\Omega^p$ 는 '''X''' 위의 정칙 ''p''-형식의 층을 나타낸다. 예를 들어, $H^{p,0}(X)$ 는 '''X''' 위의 정칙 ''p''-형식의 공간이다. (만약 '''X'''가 사영적이라면, 세르의 GAGA 정리는 모든 '''X''' 위의 정칙 ''p''-형식이 실제로 대수적임을 의미한다.)

'''호지 수''' $h^{p,q}(X)$ 는 복소 벡터 공간 $H^{p,q}(X)$ 의 차원을 의미한다. 이것들은 매끄러운 복소 사영 다양체의 중요한 불변량이며; '''X'''의 복소 구조가 연속적으로 변할 때 변하지 않지만, 일반적으로 위상 불변량은 아니다. 호지 수의 속성 중에는 '''호지 대칭''' $h^{p,q} = h^{q,p}$ (왜냐하면 $H^{p,q}(X)$ 는 $H^{q,p}(X)$ 의 켤레 복소수)과 $h^{p,q}=h^{n-p,n-q}$ (세르 쌍대성에 의하여)가 있다.

매끄러운 복소 사영 다양체(또는 콤팩트 Kähler 다양체)의 호지 수는 호지 다이아몬드에 나열할 수 있다.

'''X'''의 베티 수는 주어진 행의 호지 수의 합이다. 호지 이론의 기본적인 응용은 호지 대칭에 의해 매끄러운 복소 사영 다양체(또는 콤팩트 Kähler 다양체)의 홀수 베티 수 $b_{2a+1}$ 이 짝수라는 것이다. 이는 일반적으로 콤팩트 복소 다양체에 대해서는 사실이 아닌데, 이는 호프 곡면의 예에서 볼 수 있으며, 이 곡면은 $S^1 \times S^3$ 와 미분 동형이므로 $b_1 = 1$ 을 갖는다.

"Kähler 패키지"는 호지 이론을 기반으로 매끄러운 복소 사영 다양체(또는 콤팩트 Kähler 다양체)의 코호몰로지에 대한 강력한 제약 조건의 집합이다. 결과에는 레프셰츠 초평면 정리, 하드 레프셰츠 정리, 호지-리만 쌍선형 관계가 포함된다.^[9] 이러한 결과의 대부분은 Kähler 항등식 및 $\partial \bar \partial$ -렘마를 포함하여 호지 이론을 사용하여 콤팩트 Kähler 다양체에 대해 증명될 수 있는 기본적인 기술적 도구에서 따른다.

호지 이론과 비가환 호지 이론과 같은 확장은 콤팩트 Kähler 다양체의 가능한 기본군에 대한 강력한 제약 조건도 제공한다.

3. 1. 에르미트 다양체와 돌보 코호몰로지

''n''차원 복소다양체

M

과 그 위에 정의된 (1,1)-형식(에르미트 형식)

\omega

를 생각하자. 이 형식이

\omega=\omega^*

를 만족한다고 가정하면,

(M,\omega)

는 에르미트 다양체이며, 복소다양체에서 리만 구조와 유사한 개념이다.

이 경우, 돌보 연산자(Dolbeault operator)

\partial\colon\Omega^{p,q}(M)\to\Omega^{p+1,q}(M)

,

\bar\partial\colon\Omega^{p,q}(M)\to\Omega^{p,q+1}(M)

을 생각하자. 에르미트 형식을 써서 내적

:

\langle\alpha,\beta\rangle=\int_M\alpha^*\beta\;\omega^n/n!

를 정의한다. 이 내적을 써서 딸림연산자

\partial^\dagger

와

\bar\partial^\dagger

를 정의할 수 있다. 이를 써서 라플라스 연산자

:

\Delta_\partial=\partial\partial^\dagger+\partial^\dagger\partial

:

\Delta_{\bar\partial}=\bar\partial\bar\partial^\dagger+\bar\partial^\dagger\bar\partial

를 정의한다. 라플라스 연산자가 0인 형식을 마찬가지로 조화 형식으로 일컫는다.

이들은 마찬가지로

:

\Delta_\partial\alpha=0\implies\partial\alpha=0,\partial^\dagger\alpha=0

:

\Delta_{\bar\partial\alpha}=0\implies\bar\partial\alpha=0,\bar\partial^\dagger\alpha=0

임을 보일 수 있다. 이 경우에도 마찬가지로 호지 정리가 성립한다. 즉

\Delta_{\bar\partial}

에 대한 조화 형식의 벡터 공간은 돌보 코호몰로지 공간

H^{p,q}_{\bar\partial}

과 동형이다.

3. 2. 켈러 다양체

에르미트 형식이 닫혀 있는 경우 (

d\omega=\partial\omega=\bar\partial\omega=0

),

(M,\omega)

는 켈러 다양체를 이룬다. 이 경우 라플라스 연산자 사이에 다음 관계가 성립한다.^[7]

:

\Delta=2\Delta_\partial=2\Delta_{\bar\partial}

따라서 어느 라플라스 연산자를 쓰는지에 상관없이 같은 코호몰로지를 얻는다.

3. 3. 복소 사영 다양체의 호지 이론

매끄러운 복소 사영 다양체 '''''

X

'''''는 어떤 복소 사영 공간 '''''

\mathbb{CP}^N

'''''의 닫힌 복소 부분 다양체이다. 저우의 정리에 따르면, 복소 사영 다양체는 자동으로 대수적이다. 즉, '''''

\mathbb{CP}^N

'''''에서 동차 다항식의 영점 집합으로 정의된다. '''''

\mathbb{CP}^N

'''''의 표준 리만 계량은 복소 구조와 호환되는 '''''

X

'''''의 리만 계량을 유도하여 '''''

X

'''''를 켈러 다양체로 만든다.

복소 다양체 '''''

X

'''''와 자연수 '''''

r

'''''에 대해, '''''

X

'''''(복소 계수 포함)의 모든 '''''

C^{\infty}

''''' 제 '''''

r

'''''형식은 '''''

p+q=r

'''''인

(p,q)

-형식의 합으로 유일하게 쓸 수 있다. 켈러 다양체에서 조화 형식의 '''''

(p,q)

''''' 성분은 다시 조화 형식이므로, 임의의 콤팩트 켈러 다양체 '''''

X

'''''에 대해 호지 정리는 복소 선형 공간들의 직합으로서 복소 계수를 사용한 '''''

X

'''''의 코호몰로지 분해를 제공한다.^[12]

:

H^r(X,\mathbf{C})=\bigoplus_{p+q=r} H^{p,q}(X).

이 분해는 켈러 계량의 선택과 무관하지만, 호지 분해는 '''''

X

'''''의 복소 다양체로서의 구조에 의존하는 반면, 군 '''''

H^{r}(X,\C)

'''''은 '''''

X

'''''의 기저 위상 공간에만 의존한다.

코호몰로지의 합곱은 복소수 계수가 있는 경우 호지 분해와 호환된다.

:

\smile \colon H^{p,q}(X) \times H^{p',q'}(X) \rightarrow H^{p+p',q+q'}(X).

호지 분해의 각 성분 '''''

H^{p,q}(X)

'''''는 연접층 코호몰로지 군으로 식별할 수 있으며, 이는 복소 다양체로서 '''''

X

'''''에만 의존한다(켈러 계량 선택과 무관).^[13]

:

H^{p,q}(X)\cong H^q(X,\Omega^p),

여기서 '''''

\Omega^p

'''''는 '''''

X

'''''에서 정칙 제 '''''

p

'''''형식의 층을 나타낸다. 예를 들어, '''''

H^{p,0}(X)

'''''는 '''''

X

''''' 상의 정칙 제 '''''

p

'''''형식의 공간이다.

'''호지 수''' '''''

h^{p,q}(X)

'''''는 복소수 선형 공간 '''''

H^{p,q}(X)

'''''의 차원을 의미하며, 매끄러운 복소 사영 다형체의 중요한 불변량이다. 이들은 '''''

X

'''''의 복소 구조가 연속적으로 변할 때 변하지 않지만, 일반적으로 위상 불변량은 아니다. 호지 수의 성질 중에는 '''호지 대칭 ''

h^{p,q}=h^{q,p}

''''' ('''''

H^{p,q}(X)

'''''는 '''''

H^{q,p}(X)

'''''의 켤레 복소수이기 때문) 및 '''''

h^{p,q}=h^{n-p,n-q}

''''' (세르 쌍대성에 의해)가 있다.

매끄러운 복소 사영 다형체(또는 콤팩트 켈러 다양체)의 호지 수는 '''호지 다이아몬드'''에 나열될 수 있다. '''''

X

'''''의 베티 수는 주어진 행에 있는 호지 수의 합이다. 호지 이론의 기본 적용은 호지 대칭에 의해 매끄러운 복소 사영 다형체(또는 콤팩트 켈러 다양체)의 홀수 베티 수 '''''

b_{2a+1}

'''''이 짝수라는 것이다.

4. 대수 순환과 호지 추측

대수적 순환(algebraic cycle)은 어떤 대수다양체의 부분다양체들의 정수 계수 선형 결합을 말한다. '''''X'''''가 매끄러운 복소 사영 다양체일 때, '''''X'''''의 여차원 '''''p'''''인 복소 부분 다양체 '''''Y'''''는 코호몰로지 군 $H^{2p}(X,\Z)$ 의 원소를 정의한다. 이 원소는 복소 코호몰로지 $H^{2p}(X,\Complex)$ 에서 호지 분해의 $H^{p,p}(X)$ 성분에 속하는 특별한 성질을 갖는다.

호지 추측은 이 성질의 역을 주장한다. 즉, $H^{2p}(X,\Z)$ 의 원소 중 복소 코호몰로지에서의 상이 $H^{p,p}(X)$ 에 속하는 모든 원소는 '''''X'''''의 대수적 순환의 정수 계수 선형 결합으로 표현될 수 있다는 것이다.

호지 분해는 일반적으로 정수 또는 유리수 계수 코호몰로지에서는 나타나지 않는 복소수 계수 코호몰로지의 분해이다. 따라서 교집합 $(H^{2p}(X,\Z)/{\text{torsion}})\cap H^{p,p}(X)\subseteq H^{2p}(X,\Complex)$ 는 $H^{2p}(X,\Z)/\text{torsion}$ 전체보다 훨씬 작을 수 있으며, 이는 호지 수 $h^{p,p}$ 가 클 때 두드러진다. 즉, 호지 추측은 '''''X'''''의 복소 부분 다양체의 가능한 "모양"이 '''''X'''''의 호지 구조에 의해 결정된다고 예측한다.

레프셰츠 (1,1)-정리는 호지 추측이 '''''p'''''=1인 경우에 참임을 증명한다.^[15]

다형체 '''''X'''''의 호지 구조는 '''''X'''''의 호몰로지류에 대한 '''''X'''''의 대수 미분 형식의 적분을 설명하며, 이는 미적분학의 기본 문제와 관련이 있다. 일반적으로 대수 함수의 적분은 닫힌 형식이 없으며, 주기(period)로 알려진 대수 함수의 정적분은 초월수가 될 수 있다. 호지 추측의 어려움은 이러한 적분에 대한 이해 부족을 반영한다.

예를 들어, 매끄러운 복소 사영 K3 곡면 '''''X'''''의 경우, 군 $H^2(X,\Z)$ 는 $\Z^{22}$ 와 동형이고, $H^{1,1}(X)$ 는 $\C^{20}$ 과 동형이다. 이들의 교집합은 1에서 20 사이의 랭크를 가질 수 있으며, 이를 '''''X'''''의 피카르 수라고 한다. 모든 사영 K3 곡면의 모듈라이 공간은 가산개의 성분으로 구성되며, 각 성분의 복소 차원은 19이다. 피카르 수가 '''''a'''''인 K3 곡면의 부분 공간은 차원이 '''''20-a'''''이다.^[15]

5. 일반화

피에르 들리뉴는 혼합 호지 구조를 갖는 코호몰로지를 이용하여 호지 이론을 모든 복소 대수 다양체로 확장하는 혼합 호지 이론을 발표하였다.

사이토 모리히코는 모든 복소 사영 다양체의 교차 호몰로지가 매끄러운 경우와 마찬가지로 순수 호지 구조를 가짐을 보여주면서, 호지 이론을 특이 다양체로 일반화하였다.

필립 그리피스는 '''호지 구조의 변형''' 개념을 통해 다양체 족과 관련된 주기 매핑을 연구하였고, 사이토 모리히코의 호지 모듈 이론은 이를 일반화한 것이다.

6. 역사

윌리엄 밸런스 더글러스 호지는 1930년대에 호지 이론을 도입하였고, 1941년 《조화 적분의 이론과 응용》^[16]에 집대성하였다. 여기서 "조화 적분"은 호지가 조화 형식을 불렀던 이름이다.

1920년대에는 대수적 위상수학 분야가 아직 초기 단계여서 코호몰로지 개념이 개발되지 않았고, 미분 형식과 위상의 상호 작용에 대한 이해가 부족했다. 1928년, 엘리 카르탕은 ''Sur les nombres de Betti des espaces de groupes clos''라는 메모에서 미분 형식과 위상이 연결되어야 한다고 제안했지만 증명하지는 못했다. 당시 학생이었던 조르주 드 람은 이 메모를 읽고 영감을 받았다. 1931년 논문에서 그는 현재 드 람 정리라고 불리는 놀라운 결과를 증명했다. 스토크스 정리에 의해, 특이 사슬을 따라 미분 형식을 적분하면 임의의 콤팩트한 매끄러운 다양체 $M$ 에 대해 다음과 같은 쌍선형 짝을 유도한다.

: $H_k(M; \mathbf{R}) \times H^k_{\text{dR}}(M; \mathbf{R}) \to \mathbf{R}.$

드 람 정리는 이것이 완벽한 쌍이므로 왼쪽에 있는 각 항이 서로의 선형 공간 쌍대라고 주장한다. 현대 수학에서 드 람 정리는 실수 계수 특이 코호몰로지가 드 람 코호몰로지와 동형이라는 진술로 더 자주 표현된다.

: $H^k_{\text{sing}}(M; \mathbf{R}) \cong H^k_{\text{dR}}(M; \mathbf{R}).$

드 람의 원래 진술은 푸앵카레 쌍대성의 결과이다.

이와는 별도로, 솔로몬 렙셰츠는 1927년 논문에서 리만의 정리를 다시 증명하기 위해 위상수학적 방법을 사용했다.^[17] 현대 수학에서 $\omega_1$ 과 $\omega_2$ 가 대수 곡선 $C$ 의 정칙 미분이면 $C$ 가 복소수 차원이 하나만 있기 때문에 쐐기 곱은 반드시 $0$ 이다. 결과적으로 그들의 코호몰로지류의 합곱은 $0$ 이며, 명시적으로 만들면 렙셰츠는 리만 관계의 새로운 증명을 제공했다. 또한, $\omega$ 가 $0$ 이 아닌 정칙 미분이면 $\sqrt{-1}\,\omega \wedge \bar\omega$ 는 양의 부피 형식이므로, 렙셰츠는 이를 통해 리만의 부등식을 재유도할 수 있었다.

1929년 호지는 렙셰츠의 논문을 알게 되었고, 대수 곡면에 유사한 원리가 적용됨을 즉시 관찰했다. 즉, $\omega$ 가 대수 곡면에서 $0$ 이 아닌 정칙적 형식이면, $\sqrt{-1}\,\omega \wedge \bar\omega$ 는 양수이므로 $\omega$ 와 $\bar\omega$ 의 합곱은 $0$ 이 아니어야 한다. 따라서 $\omega$ 자체는 $0$ 이 아닌 코호몰로지류를 나타내야 하므로 주기가 모두 $0$ 일 수는 없다. 이것은 세베리의 질문을 해결했다.^[18]

호지는 이러한 기술이 더 높은 차원의 다형체에도 적용되어야 한다고 생각했다. 그는 동료인 피터 프레져의 추천으로 드 람의 논문을 읽으면서, 리만 곡면의 정칙 1형의 실수 부분과 허수 부분이 어떤 의미에서 서로 쌍대적이라는 것을 깨달았다. 그는 더 높은 차원에서 비슷한 쌍대성이 있어야 한다고 의심했고, 이 쌍대성은 현재 호지 별 연산자 로 알려져 있다. 또한 각 코호몰로지류가 외미분 연산자 아래에서 그것과 그것의 쌍대가 사라지는 성질을 가진 유일한 대표를 가져야 한다고 추측했는데, 이들이 바로 조화 형식이다.

호지는 1930년대 대부분을 이 문제에 바쳤다. 1933년에 증명에 대한 초기 출판 시도가 있었지만, 그는 그것이 "극단적으로 조잡하다"고 생각했다. 헤르만 바일은 호지의 증명이 올바른지 여부를 결정할 수 없었다. 1936년에 호지는 새로운 증명을 발표했으나, Bohnenblust가 심각한 결함을 발견했다. 헤르만 바일과 고다이라 구니히코는 독립적으로 오류를 수정하기 위해 호지의 증명을 수정했고, 이는 호지가 추구하던 조화 형식과 코호몰로지류 사이의 동형사상을 확립했다.

마이클 아티야는 호지의 업적에 대해 다음과 같이 평했다.

> 돌이켜 보면 존재 정리의 기술적 어려움은 실제로 중요한 새로운 아이디어를 필요로 하지 않고 단지 고전적 방법의 신중한 확장을 필요로 한다는 것이 분명하다. 호지의 주요 공헌이었던 진정한 참신함은 조화 적분의 개념과 대수 기하학과의 관련성에 있었다. 기술에 대한 개념의 승리는 호지의 위대한 전임자 베른하르트 리만의 작업에서 비슷한 일화를 연상시킨다.

참조

_[1] 논문 A glimpse of the de Rham era https://web.archive.[...] 2018-10-15
_[2] 논문 Correspondences Between Algebraic Curves
_[3] 간행물 William Vallance Douglas Hodge, 17 June 1903 – 7 July 1975
_[4] 서적 Theorem 6.11
_[5] 서적 Theorem 6.8
_[6] 서적 Theorem IV.5.2
_[7] 서적 Corollary 3.2.12
_[8] 서적 Corollary 2.6.21
_[9] 서적 sections 3.3 and 5.2; sections 0.7 and 1.2; v. 1, ch. 6, and v. 2, ch. 1
_[10] 서적 p. 594
_[11] 서적 Theorem IV.5.2
_[12] 서적 Corollary 3.2.12
_[13] 서적 Corollary 2.6.21
_[14] 서적 sections 3.3 and 5.2; sections 0.7 and 1.2; v. 1, ch. 6, and v. 2, ch. 1
_[15] 서적 p. 594
_[16] 서적 Theory and Applications of Harmonic Integrals Cambridge University Press 1941
_[17] 논문 Correspondences Between Algebraic Curves
_[18] 간행물 William Vallance Douglas Hodge, 17 June 1903 – 7 July 1975

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