연접층 코호몰로지

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1. 개요

연접층 코호몰로지는 벡터 다발을 일반화한 것으로, 대수적 및 해석적 연접층의 개념을 포함한다. 위상 공간 X 위의 아벨 군 층 F에 대해 층 코호몰로지 군 H^i(X, F)는 전역 단면 함자의 오른쪽 유도 함자로 정의되며, 층의 짧은 완전열에 대한 긴 완전열을 제공한다. 세르의 소멸 정리, 고다이라 소멸 정리, 카르탕 정리 등은 연접층 코호몰로지의 중요한 소멸 정리이다. 세르 쌍대성은 푸앵카레 쌍대성의 유사체로, 호지 정리는 연접층 코호몰로지를 특이 코호몰로지와 연결하며, 리만-로흐 정리는 오일러 지표를 천 특성류를 통해 계산한다. GAGA 정리는 복소수 위의 대수다양체와 해당 해석 공간 간의 관계를 설명하며, 평면 곡선과 곱공간의 층 코호몰로지는 퀴네트 정리를 통해 계산할 수 있다. 변형 이론은 스킴의 변형을 연구하며, 접다발의 연접층 코호몰로지가 변형 클래스를 제어한다.

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연접층 코호몰로지

2. 연접층

연접층은 선형 다발을 일반화 한 결과로 볼 수 있다. 복소 해석 공간에 대한 '''해석적 연접층'''의 개념이 있고 이와 비슷하게 스킴에 대한 '''대수적 연접층'''이라는 개념이 있다. 두 가지 모두 주어진 공간 $X$ 와 환 층 $\mathcal O_X$ 로부터 정의된다. 그리고 정칙 함수 또는 정규 함수의 다발 및 연접층은 $\mathcal O_X$ -가군(즉, $\mathcal O_X$ -가군층) 범주의 충만한 부분 범주로 정의된다.

접다발 같은 선형 다발은 기하학에서 근본적인 역할을 한다. 보다 일반적으로, $X$ 의 닫힌 부분 다형체 $Y$ 의 경우, 포함 함수 $i: Y \to X$ 를 가진 $Y$ 위의 선형 다발 $E$ 는 $X$ 위의 연접층, 즉, $Y$ 밖에서 $0$ 인 직상층 $i_* E$ 를 결정한다. 이런 식으로, $X$ 에 대한 연접층으로 표현될 수 있는 $X$ 의 부분 다형체에 대한 많은 질문이 있다.

선형 다발과 달리, 해석적 또는 대수적 연접층은 아벨 범주를 형성하므로 핵, 상 및 여핵들 가져오기와 같은 작용에서 닫힌다. 스킴에서 '''준연접층'''은 무한 랭크 국소 자유 층를 포함하는 연접층의 일반화이다.

2. 1. 연접층의 정의

연접층은 선형 다발을 일반화 한 결과로 볼 수 있다. 복소 해석 공간에 대한 '''해석적 연접층'''의 개념이 있고 이와 비슷하게 스킴에 대한 '''대수적 연접층'''이라는 개념이 있다. 두 가지 모두 주어진 공간 X와 환 층 O_X로부터 정의된다. 그리고 정칙 함수 또는 정규 함수의 다발 및 연접층은 O_X-가군(즉, O_X-가군층) 범주의 충만한 부분 범주로 정의된다.

접다발 같은 선형 다발은 기하학에서 근본적인 역할을 한다.

X

의 닫힌 부분 다양체

Y

위의 선형 다발

E

는

X

위의 연접층, 즉,

Y

밖에서

0

인 직상층

i_* E

로 표현될 수 있다.(

i

는 포함 사상)

선형 다발과 달리, 해석적 또는 대수적 연접층은 아벨 범주를 형성하므로 핵, 상 및 여핵들 가져오기와 같은 작용에서 닫힌다. 스킴에서 '''준연접층'''은 무한 랭크 국소 자유 층를 포함하는 연접층의 일반화이다.

2. 2. 연접층의 성질

연접층은 선형 다발의 일반화로, 복소해석 공간 위의 '연접 해석적 층'과 스키마 위의 '연접 대수적 층'이 있다. 이들은 주어진 공간

X

와 환의 층

\mathcal O_X

(정칙 함수 또는 정칙 함수의 층)으로부터 정의되며,

\mathcal O_X

-가군 범주의 충만한 부분 범주이다.

접다발과 같은 벡터 다발은 기하학에서 중요한 역할을 한다. 닫힌 부분다양체

Y

와 포함 함수

i: Y \to X

에 대해,

Y

위의 벡터 다발

E

는

X

위의 연접층인 직상 층

i_* E

를 결정하며, 이는

Y

밖에서 0이다.

연접층은 아벨 범주를 이루므로 핵, 상, 여핵 등의 연산에 닫혀 있다. 스킴에서 '''준연접층'''은 무한 랭크 국소 자유층을 포함하는 연접층의 일반화이다.

3. 층 코호몰로지

위상 공간 X 위의 아벨 군의 층 $\mathcal F$ 에 대해, 정수 i에 대한 층 코호몰로지 군 $H^i(X, \mathcal F)$ 는 전역 단면 함자 $\mathcal F \mapsto \mathcal F(X)$ 의 오른쪽 유도 함자로 정의된다. 결과적으로, $H^i(X, \mathcal F)$ 는 i < 0에 대해 0이며, $H^0(X, \mathcal F)$ 는 $\mathcal F(X)$ 와 동일시될 수 있다. 층의 짧은 완전 순서 $0\to \mathcal A \to \mathcal B \to \mathcal C\to 0$ 에 대해, 코호몰로지 군의 긴 완전 순서가 존재한다:^[1]

: $0\to H^0(X,\mathcal A) \to H^0(X,\mathcal B) \to H^0(X,\mathcal C) \to H^1(X,\mathcal A) \to \cdots.$

만약 $\mathcal F$ 가 스킴 X 위의 $\mathcal O_X$ -가군 층이라면, ( X의 기본 위상 공간을 사용하여 정의된) 코호몰로지 군 $H^i(X, \mathcal F)$ 는 정칙 함수들의 환 $\mathcal O(X)$ 위의 가군이다. 예를 들어, X가 체 k 위의 스킴이라면, 코호몰로지 군 $H^i(X, \mathcal F)$ 는 k-벡터 공간이다. 일련의 다음 결과들 때문에 $\mathcal F$ 가 가결 층 또는 준가결 층일 때 이 이론은 강력해진다.

3. 1. 층 코호몰로지의 정의

위상 공간 ''X''에서 아벨 군 층

\mathcal F

의 경우, 정수 ''i''에 대한 층 코호몰로지 군

H^i(X, \mathcal F)

들은 전역 단면 함자

\mathcal F \mapsto \mathcal F(X)

의 오른쪽 유도 함자로 정의된다.^[17] 결과적으로, ''i'' < 0에 대해

H^i(X, \mathcal F)

는 0이고

H^0(X, \mathcal F)

는

\mathcal F(X)

와 같다.^[17] 층의 짧은 완전열

0\to \mathcal A \to \mathcal B \to \mathcal C\to 0

에 대해, 코호몰로지 군의 긴 완전열

:

0\to H^0(X,\mathcal A) \to H^0(X,\mathcal B) \to H^0(X,\mathcal C) \to H^1(X,\mathcal A) \to \cdots.

이 존재한다.^[17]^[1]

만약에

\mathcal F

가 스킴 ''X'' 위의

\mathcal O_X

-가군의 층이면, 기저 위상 공간 ''X''을 사용하여 정의된 코호몰로지 군

H^i(X, \mathcal F)

는 환

\mathcal O(X)

위의 가군이다. 예를 들어, ''X''가 체 ''k'' 위의 스킴이면, 코호몰로지 군

H^i(X, \mathcal F)

들은 ''k''-선형 공간이다. 이 이론은

\mathcal F

가 연접층 또는 준 연접층인 경우에 강력해진다.

3. 2. 층 코호몰로지의 계산

위상 공간 X에서 아벨 군 층 \mathcal F의 층 코호몰로지는 전역 단면 함자 \mathcal F \mapsto \mathcal F(X)의 오른쪽 유도 함자로 정의된다.^[17] i < 0에 대해 H^i(X, \mathcal F)는 0이고 H^0(X, \mathcal F)는 \mathcal F(X)로 규명 할 수 있다. 층의 짧은 완전열이 주어지면 코호몰로지 군의 긴 완전열이 존재한다.^[17]^[1]

\mathcal F가 스킴 X 위의 \mathcal O_X-가군 층이면, 코호몰로지 군 H^i(X, \mathcal F)는 정칙 함수 환 \mathcal O(X) 위의 가군이다. X가 체 k 위의 스킴이면, 코호몰로지 군은 k-벡터 공간이다. \mathcal F가 연접층 또는 준 연접층인 경우 이 이론은 강력해진다.

4. 소멸 정리

'''세르의 소멸 정리'''에 따르면 뇌터 환 위의 고유 스킴 $X$ 에 대한 모든 풍부한 선다발 $L$ 과 $X$ 위의 모든 연접층 $\mathcal F$ 에 대해, 모든 $m\geq m_0$ 에 대해 층 $\mathcal F\otimes L^{\otimes m}$ 이 전역 단면으로 생성되고 양의 차원에서 코호몰로지가 없는 정수 $m_0$ 가 존재한다.^[14]^[15]^[27]

세르의 소멸 정리는 유용하지만, $m_0$ 의 숫자가 명확하지 않다는 것은 문제가 될 수 있다. 고다이라 소멸 정리는 중요한 명시적 결과이다. 즉, $X$ 가 표수 0의 체 위의 매끄러운 사영 대수다양체이고, $L$ 이 $X$ 위의 풍부한 선다발이며, $K_X$ 가 표준 선다발인 경우, 모든 $j>0$ 에 대해

:: $H^j(X,K_X\otimes L)=0$

는 성립한다. 세르의 정리는 $L$ 의 큰 거듭제곱에 대해 동일한 소멸을 보장한다. 고다이라 소멸 정리와 그 일반화는 대수다양체의 분류와 최소 모형 프로그램에 근본적이다. 고다이라 소멸 정리는 양의 표수의 체에서는 성립하지 않는다.^[16]^[28]

복소해석학은 1953년 카르탕 정리 A와 B에 의해 혁신을 이루었다. 이 결과들은 $\mathcal F$ 가 슈타인 공간 $X$ 위의 가환 해석적 층이라면, $\mathcal F$ 는 전역 단면에 의해 생성되고, 모든 $i > 0$ 에 대해 $H^i(X, \mathcal F) = 0$ 임을 말해준다. (복소 공간 $X$ 는 어떤 $n$ 에 대해 $\Complex^n$ 의 닫힌 해석적 부분 공간과 동형일 때 그리고 그 때만 슈타인 공간이다.) 이러한 결과들은 주어진 특이점 또는 기타 속성을 가진 복소 해석 함수 구성에 대한 광범위한 이전 연구를 일반화한다.

1955년, 세르는 대수 기하학에 가환 층을 도입했다(처음에는 대수적으로 닫힌 체에서 시작했지만, 그 제약은 그로텐디크에 의해 제거되었다). 카르탕 정리의 유사성은 매우 일반적인 상황에서 성립한다: 만약 $\mathcal F$ 가 아핀 스킴 $X$ 위의 준 가환 층이라면, $\mathcal F$ 는 전역 단면에 의해 생성되고, $i>0$ 에 대해 $H^i(X, \mathcal F) = 0$ 이다.^[2] 이는 아핀 스킴 $X$ 위의 준 가환 층의 범주가 $\mathcal O(X)$ -가군의 범주와 동치라는 사실과 관련이 있으며, 이 동치는 층 $\mathcal F$ 를 $\mathcal O(X)$ -가군 $H^0(X, \mathcal F)$ 로 변환한다. 실제로, 아핀 스킴은 준 가환 층에 대한 고차 코호몰로지가 사라진다는 사실로 모든 준 컴팩트 스킴 중에서 특징지어진다.^[3]

4. 1. 아핀 스킴에서의 소멸 정리

세르는 1955년에 대수 기하학에 연접층을 도입했다.^[2] 카르탕 정리의 유사성은 매우 일반적인 상황에서 성립한다. 만약

\mathcal{F}

가 아핀 스킴

X

위의 준연접층이면,

\mathcal{F}

는 전역 단면에 의해 생성되며,

i>0

에 대해

H^i(X, \mathcal{F}) = 0

이다.^[2] 이는 아핀 스킴

X

위의 준연접층의 범주가

\mathcal{O}(X)

-가군의 범주와 동치라는 사실과 관련이 있으며, 이 동치는 층

\mathcal{F}

를

\mathcal{O}(X)

-가군

H^0(X, \mathcal{F})

로 변환한다.^[3] 아핀 스킴은 준연접층에 대한 고차 코호몰로지가 사라지는 것으로 모든 준콤팩트 스킴 중에서 특징지어진다.^[3]

복소해석학에서 1953년 카르탕 정리는 만약

\mathcal F

가 스테인 공간

X

의 해석적 연접층이면,

\mathcal F

는 전역 단면에 의해 생성되며, 모든

i>0

에 대해

H^i(X, \mathcal F) = 0

임을 보여주었다.

4. 2. 사영 공간에서의 소멸 정리

분리된 스킴 ''X''의 아핀 열린 덮개 {''U''_''i''}와 ''X'' 위의 준연접층 ''F''에 대해, 코호몰로지 군 H^*(''X'',''F'')들은 열린 덮개{''U''_''i''}와 관련하여 체흐 코호몰로지 군과 동형이다.^[2] 따라서 체흐 코호몰로지를 이용하여 사영 공간의 코호몰로지를 계산할 수 있다.^[18]

체 ''k'', 양의 정수 ''n'', 임의의 정수 ''j''에 대해, ''k'' 위의 사영 공간 '''P'''^''n''의 선다발 O(''j'') 계수 코호몰로지는 다음과 같이 주어진다:^[18]^[4]

:

H^i(\mathbb{P}^n,\mathcal O(j)) \cong \begin{cases}\bigoplus_{a_0,\ldots,a_n\geq 0,\; a_0+\cdots+a_n=j}\; k\cdot x_0^{a_0}\cdots x_n^{a_n} & i=0\\[6pt]0 & i \neq 0, n\\[6pt]\bigoplus_{a_0, \ldots,a_n<0,\; a_0+\cdots+a_n=j}\; k\cdot x_0^{a_0}\cdots x_n^{a_n} & i=n\end{cases}

이때, ''k'' 위의 사영 공간의 임의의 선다발에 계수 코호몰로지가 ''k''-선형 공간으로서 유한 차원을 갖는다는 것을 알 수 있다.

위에서 언급된 코호몰로지 군의 소멸 차원 ''n''은 그로텐디크 소멸 정리의 특수한 경우이다.^[19] 그로텐디크 소멸 정리에 따르면, ''n''차원 뇌터 위상 공간 ''X'' 위의 아벨 군 층 ''F''에 대해, ''i'' > ''n''이면 H^''i''(''X'',''F'') = 0이다.^[19]^[5]

4. 3. 기타 소멸 정리

뇌터 환 위의 고유 스킴

X

에 대한 모든 풍부한 선다발

L

과

X

위의 모든 가환층

\mathcal F

에 대해, 모든

m\geq m_0

에 대해 층

\mathcal F\otimes L^{\otimes m}

이 전역 단면으로 생성되고 양의 차원에서 코호몰로지가 없는 정수

m_0

가 존재한다는 것이 '''세르의 소멸 정리'''이다.^[14]^[15]^[27]

세르의 소멸 정리는 유용하지만,

m_0

의 숫자가 명확하지 않다는 것은 문제가 될 수 있다. 고다이라 소멸 정리는 중요한 명시적 결과이다. 즉,

X

가 표수 0의 체 위의 매끄러운 사영 대수다양체이고,

L

이

X

위의 풍부한 선다발이며,

K_X

가 표준 선다발인 경우, 모든

j>0

에 대해

::

H^j(X,K_X\otimes L)=0

는 성립한다. 세르의 정리는

L

의 큰 거듭제곱에 대해 동일한 소멸을 보장한다. 고다이라 소멸 정리와 그 일반화는 대수다양체의 분류와 최소 모형 프로그램에 근본적이다. 고다이라 소멸 정리는 양의 표수의 체에서는 성립하지 않는다.^[16]^[28]

5. 세르 쌍대성

세르 쌍대성은 연접층 코호몰로지에 대한 푸앵카레 쌍대성의 유사체이다.^[25]^[12] 이 비유에서 표준 다발 $K_X$ 은 유향 층의 역할을 한다. 즉, 체 '' $\mathbb K$ '' 위에 매끄러운 $n$ 차원 적절한 스킴 $X$ 에 대해 자연스러운 '''대각 사상''' $H^n(X, K_X)\to \mathbb K$ 이 있다. 이 사상은 $X$ 가 '''기하학적으로 연결되어''' 있는 경우, 즉, $X$ 를 '' $\mathbb K$ ''의 대수적 폐포로 기저 변화가 연결임을 의미하는 경우 동형사상이다.^[25]

$X$ 위의 선형 다발 $E$ 에 대한 세르 쌍대성은 다음 곱

: $H^i(X,E)\times H^{n-i}(X,K_X\otimes E^*)\to H^n(X,K_X)\to k$

는 모든 정수 $i$ 에 대한 완벽한 페어링이라 말한다.^[25] 특히, '' $\mathbb K$ ''-선형 공간 $H^i(X, E)$ 과 $H^{n-i}(X, K_X\otimes E^*)$ 는 동일한(유한한) 차원을 가진다.^[25]^[12]

예를 들어, 대수적으로 닫힌 체 '' $\mathbb K$ '' 위에서 매끄러운 사영 곡선 $X$ 의 경우, 세르 쌍대성은 $X$ 의 제1형식 공간 $H^0(X, \Omega^1) = H^0(X, K_X)$ 의 차원이 $X$ 의 종수( $H^1(X,\mathcal O_X)$ 차원)와 같음을 함의한다.

5. 1. 세르 쌍대성의 정의

체 ''k'' 위의 n차원 매끄러운 적절한 스킴 X에 대해, 자연스러운 대각 사상 Hⁿ(X, K_X) → k가 존재한다.^[25]^[12] 이 사상은 X가 기하학적으로 연결되어 있는 경우, 즉 X를 ''k''의 대수적 폐포로 당김(기저 변화)했을 때 연결 공간이 되는 경우에는 동형사상이 된다.^[25]^[12]

X 위의 선형 다발 E에 대해, 곱 Hⁱ(X, E) × H^n-i(X, K_X ⊗ E^*) → Hⁿ(X, K_X) → k는 모든 정수 i에 대한 완전 쌍대성을 이룬다.^[25]^[12] 특히, k-선형 공간 Hⁱ(X, E)와 H^n-i(X, K_X ⊗ E^*)는 같은 (유한한) 차원을 갖는다.^[25]^[12]

예를 들어, 대수적으로 닫힌 체 k 위의 매끄러운 사영 곡선 X의 경우, 세르 쌍대성은 X의 제1형식 공간 H⁰(X, Ω¹) = H⁰(X, K_X)의 차원이 X의 종수 (H¹(X, O_X)의 차원)와 같음을 의미한다.

5. 2. 세르 쌍대성의 응용

세르 쌍대성은 연접층 코호몰로지에 대한 푸앵카레 쌍대성의 유사체이다.^[25]^[12] 이 비유에서 표준 다발

K_X

은 유향 층의 역할을 한다. 체 ''

\mathbb K

'' 위에 매끄러운

n

차원 적절한 스킴

X

에 대해 자연 '''대각''' '''사상'''

H^n(X, K_X)\to \mathbb K

이 있으며,

X

가 '''기하학적으로 연결되어''' 있는 경우, 즉

X

를 ''

\mathbb K

''의 대수적 폐포로 기저 변화가 연결인 경우 동형사상이다.^[25]

X

위의 선형 다발

E

에 대한 세르 쌍대성은 곱

::

H^i(X,E)\times H^{n-i}(X,K_X\otimes E^*)\to H^n(X,K_X)\to k

이 모든 정수

i

에 대한 완벽한 페어링임을 의미한다.^[25]

H^i(X, E)

과

H^{n-i}(X, K_X\otimes E^*)

는 동일한(유한한) 차원을 가진다.^[25]^[12]

예를 들어, 대수적으로 닫힌 체 ''

\mathbb K

'' 위에서 매끄러운 사영 곡선

X

의 경우,

X

의 제 1형식 공간

H^0(X, \Omega^1) = H^0(X, K_X)

의 차원은

X

의 종수(

H^1(X,\mathcal O_X)

차원)와 같다.^[25]^[12]

6. GAGA 정리

GAGA 정리는 복소수 위의 대수다양체와 해당 해석 공간 사이의 관계를 설명하는 정리이다. 핵심 GAGA 정리(사영 사례에 대한 세르의 정리를 일반화한 그로텐디크에 의한)는 '' $\C$ '' 위의 유한형 스킴 '' $X$ ''의 경우, '' $X$ ''가 ''' $\C$ '''에 대해 적절하다면, '' $X$ ''의 대수적 연접층에서 관련 해석 공간 '' $X^{\text{an}}$ ''의 해석적 연접층까지의 함자는 범주의 동치성을 갖는다는 것이다.^[26]^[13]

더욱이, ''' $\C$ ''' 위의 적절한 스킴 '' $X$ '' 위의 모든 대수적 연접층 '' $E$ ''에 대해 유한 차원 복소 선형 공간 사이의 자연 사상

:: $H^i(X,E)\to H^i(X^{\text{an}},E^{\text{an}})$

은 모든 '' $i$ ''에 대한 동형사상이다.^[26]^[13] 여기서 첫 번째 군은 자리스키 위상을 사용하여 정의되고 두 번째 군은 고전(유클리드) 위상을 사용하여 정의된다.

예를 들어, 사영 공간에서 대수적 및 해석적 연접층 사이의 동등성은 $\mathbb {CP}^n$ 의 모든 닫힌 해석적 부분 공간이 대수적이라는 저우 정리를 암시한다.^[26]^[13]

6. 1. GAGA 정리의 내용

'''C''' 위의 유한형 스킴 ''X''에 대해, ''X''의 대수적 연접층에서 관련 해석 공간 ''X''^an의 해석적 연접층까지 함자가 존재한다.^[26]^[13] ''X''가 '''C'''에 대해 적절하다면, 이 함자는 범주의 동치성을 갖는다.^[26]^[13]

더욱이, '''C''' 위의 적절한 스킴 ''X'' 위의 모든 대수적 연접층 ''E''에 대해 유한 차원 복소 선형 공간 사이의 자연 사상

:

H^i(X,E)\to H^i(X^{\text{an}},E^{\text{an}})

은 모든 ''i''에 대한 동형사상이다.^[26]^[13] 여기서 첫 번째 군은 자리스키 위상을 사용하여 정의되고 두 번째 군은 고전(유클리드) 위상을 사용하여 정의된다.^[26]^[13]

예를 들어, 사영 공간에서 대수적 및 해석적 연접층 사이의 동등성은

\mathbb {CP}^n

의 모든 닫힌 해석적 부분 공간이 대수적이라는 저우 정리를 암시한다.^[26]^[13]

6. 2. GAGA 정리의 응용

GAGA 정리는 복소수에 대한 대수다양체을 해당 해석 공간과 관련시킨다.^[26]^[13] '''

\C

''' 위의 유한형 스킴 ''

X

''의 경우 ''

X

''의 대수적 연접층에서 관련 해석 공간 ''

X^{\text{an}}

''의 해석적 연접층까지 함자가 있다. 핵심 GAGA 정리(사영 사례에 대한 세르의 정리를 일반화한 그로텐디크에 의한)는 ''

X

''가 '''

\C

'''에 대해 적절하다면 이 함자는 범주의 동치성이라는 것이다.^[26]^[13]

더욱이, '''

\C

''' 위의 적절한 스킴 ''

X

'' 위의 모든 대수적 연접층 ''

E

''에 대해 유한 차원 복소 선형 공간 사이의 자연 사상

::

H^i(X,E)\to H^i(X^{\text{an}},E^{\text{an}})

은 모든 ''

i

''에 대한 동형사상이다.^[26]^[13] 여기서 첫 번째 군은 자리스키 위상을 사용하여 정의되고 두 번째 군은 고전(유클리드) 위상을 사용하여 정의된다. 예를 들어, 사영 공간에서 대수적 및 해석적 연접층 사이의 동등성은

\mathbb {CP}^n

의 모든 닫힌 해석적 부분 공간이 대수적이라는 저우 정리를 암시한다.^[26]^[13]

7. 호지 이론

호지 정리는 연접층 코호몰로지를 특이 코호몰로지 (또는 드람 코호몰로지)와 관련시킨다. 즉, 만약 $X$ 가 매끄러운 복소 사영 다양체이면, 복소 선형 공간의 표준 직합 분해가 있다. 모든 $a$ 에 대해,

:: $H^a(X,\mathbf{C})\cong \bigoplus_{b=0}^a H^{a-b}(X,\Omega^b),$

왼쪽에 있는 군은 $X(\mathbb C)$ 의 특이 코호몰로지를 의미한다. 유클리드 위상에서, 오른쪽에 있는 군은 (GAGA에 의해) 자리스키 또는 고전적 위상에서 취할 수 있는 연접층의 코호몰로지 군이다. $\mathbb C$ 위에서 매끄러운 적절한 스킴 $X$ 또는 모든 콤팩트 켈러 다양체에 대해 동일한 결론이 적용된다.

예를 들어, 호지 정리는 매끄러운 사영 곡선 $X$ 의 종수를 $H^1(X, \mathcal O)$ 의 차원으로 정의함을 의미한다. 이는 모든 체 '' $\mathbb K$ ''에 대해 의미가 있다. '' $\mathbb K$ ''가 복소수인 경우 이 정의는 위상 수학적 정의(첫 번째 베티 수의 절반)와 같다. 호지 이론은 복소 다형체의 위상 수학적 특성에 대한 많은 작업에 영감을 주었다.

7. 1. 호지 정리의 내용

호지 정리는 연접층 코호몰로지를 특이 코호몰로지 (또는 드람 코호몰로지)와 관련시킨다. 즉, 만약

X

가 매끄러운 복소 사영 다양체이면, 복소 벡터 공간의 정규 직합 분해가 존재한다.

::

H^a(X,\mathbf{C})\cong \bigoplus_{b=0}^a H^{a-b}(X,\Omega^b),

모든

a

에 대해. 좌변의 그룹은

X(\mathbf C)

의 특이 코호몰로지를 고전적(유클리드) 위상에서 의미하며, 우변의 그룹은 연접층의 코호몰로지 그룹으로, (GAGA에 의해) 자리스키 위상 또는 고전적 위상에서 모두 사용할 수 있다. 동일한 결론은

\mathbf C

위의 모든 매끄러운 고유 스킴

X

또는 모든 콤팩트한 켈러 다양체에 대해서도 성립한다.

예를 들어, 호지 정리는 매끄러운 사영 곡선

X

의 속을

H^1(X, \mathcal O)

의 차원으로 정의하는 것이 모든 체

k

에 대해 의미가 있으며,

k

가 복소수일 때 위상적 정의(첫 번째 베티 수의 절반)와 일치함을 의미한다. 호지 이론은 복소 대수 다양체의 위상적 속성에 대한 광범위한 연구를 촉발했다.

7. 2. 호지 이론의 응용

호지 정리는 연접층 코호몰로지를 특이 코호몰로지 (또는 드람 코호몰로지)와 관련시킨다. 즉,

X

가 매끄러운 복소 사영 다양체이면, 복소 벡터 공간의 정규 직합 분해가 존재한다.

::

H^a(X,\mathbf{C})\cong \bigoplus_{b=0}^a H^{a-b}(X,\Omega^b),

모든

a

에 대해. 좌변의 그룹은

X(\mathbf C)

의 특이 코호몰로지를 고전적(유클리드) 위상에서 의미하며, 우변의 그룹은 연접층의 코호몰로지 그룹으로, (GAGA에 의해) 자리스키 위상 또는 고전적 위상에서 모두 사용할 수 있다. 동일한 결론은

\mathbf C

위의 모든 매끄러운 고유 스킴

X

또는 모든 콤팩트한 켈러 다양체에 대해서도 성립한다.

예를 들어, 호지 정리는 매끄러운 사영 곡선

X

의 속을

H^1(X, \mathcal O)

의 차원으로 정의하는 것이 모든 체

k

에 대해 의미가 있으며,

k

가 복소수일 때 위상적 정의(첫 번째 베티 수의 절반)와 일치함을 의미한다. 호지 이론은 복소 대수 다양체의 위상적 속성에 대한 광범위한 연구를 촉발했다.

8. 리만-로흐 정리

체 ''k'' 위의 고유 스킴 ''X''에 대해, ''X'' 위의 가환층 ''E''의 오일러 지표는 정수이다.

:: $\chi(X,E)=\sum_j (-1)^j\dim_k(H^j(X,E)).$

가환층 ''E''의 오일러 지표는 체른 종류로부터 계산될 수 있으며, 이는 리만-로흐 정리와 그 일반화인 히르체브루흐-리만-로흐 정리 및 그로텐디크-리만-로흐 정리에 따른다. 예를 들어, ''L''이 체 ''k'' 위의 매끄럽고 고유하며 기하학적으로 연결된 곡선 ''X'' 위의 선다발인 경우,

:: $\chi(X,L)=\text{deg}(L)-\text{종수}(X)+1,$

여기서 deg(''L'')은 ''L''의 차수를 나타낸다.

소멸 정리를 결합하면, 리만-로흐 정리는 종종 선다발의 단면 벡터 공간의 차원을 결정하는 데 사용될 수 있다. ''X'' 위의 선다발이 충분한 단면을 가진다는 것을 아는 것은 차례로 ''X''에서 사영 공간으로의 사상, 아마도 닫힌 포함을 정의하는 데 사용될 수 있다. 이러한 접근 방식은 대수적 다양체를 분류하는 데 필수적이다.

리만-로흐 정리는 또한 아티야-싱어 지표 정리에 의해 콤팩트 복소다양체 위의 정칙 벡터 다발에도 적용된다.

8. 1. 리만-로흐 정리의 내용

체 ''k''에 대한 적절한 스킴 ''X''의 경우 ''X''에서 연접층 ''E''의 오일러 특성은 정수이다.

::

\chi(X,E)=\sum_j (-1)^j\dim_k(H^j(X,E)).

연접층 ''E''의 오일러 특성은 리만-로흐 정리와 그 일반화, 히르체부르흐-리만-로흐 정리 및 그로텐디크-리만-로흐 정리에 따라 ''E''의 천 특성류에서 계산할 수 있다. 예를 들어 ''L''이 체 ''k'' 위의 매끄럽고 기하학적으로 연결된 곡선 ''X''의 선 다발이면 다음과 같다.

::

\chi(X,L)=\text{deg}(L)-\text{genus}(X)+1,

여기서 deg(''L'')은 ''L''의 차수를 나타낸다.

소멸 정리와 결합할 때 리만-로흐 정리는 종종 선다발 단면의 선형 공간 차원을 결정하는 데 사용될 수 있다. ''X''의 선다발에 충분한 단면이 있음을 알면 ''X''에서 사영 공간, 아마도 닫힌 몰입으로서 사상을 정의하는 데 사용할 수 있다. 이 접근법은 다형체를 분류하는 데 필수적이다.

리만-로흐 정리는 또한 아티야-싱어 지표 정리에 의해 컴팩트 복소 다양체의 정칙 선형 다발에 대해 유지된다.

8. 2. 리만-로흐 정리의 응용

리만-로흐 정리는 체

\mathbb K

에 대한 적절한 스킴

X

에서 연접층

E

의 오일러 특성이 정수임을 나타낸다.

:

\chi(X,E)=\sum_j (-1)^j\dim_k(H^j(X,E)).

연접층

E

의 오일러 특성은 리만-로흐 정리와 그 일반화인 히르체부르흐-리만-로흐 정리 및 그로텐디크-리만-로흐 정리에 따라

E

의 천 특성류에서 계산할 수 있다. 예를 들어

L

이 체

\mathbb K

위의 매끄럽고 기하학적으로 연결된 곡선

X

의 선 다발이면 다음과 같다.

:

\chi(X,L)=\text{deg}(L)-\text{genus}(X)+1,

여기서

\text{deg}(L)

은

L

의 차수를 나타낸다.

소멸 정리와 결합할 때 리만-로흐 정리는 종종 선다발 단면의 선형 공간 차원을 결정하는 데 사용될 수 있다.

X

의 선다발에 충분한 단면이 있음을 알면

X

에서 사영 공간, 아마도 닫힌 몰입으로서 사상을 정의하는 데 사용할 수 있다. 이 접근법은 다형체를 분류하는 데 필수적이다.

리만-로흐 정리는 또한 아티야-싱어 지표 정리에 의해 컴팩트 복소 다양체의 정칙 선형 다발에 대해 유지된다.

9. 평면 곡선과 곱공간의 층 코호몰로지

매끄러운 $d$ 차 사영 평면 곡선 $C$ 가 주어지면, 층 코호몰로지 $H^*(C,\mathcal{O}_C)$ 는 코호몰로지에서 긴 완전열을 사용하여 쉽게 계산할 수 있다. 먼저, 매장 $i:C \to \mathbb{P}^2$ 에 대해 $i_*$ 가 완전하므로 코호몰로지 군의 동형

: $H^*(\mathbb{P}^2, i_*\mathcal{O}_C) \cong H^*(C, \mathcal{O}_C)$

이 있다. 이것은 $\mathbb{P}^2$ 위의 연접층의 짧은 완전열을 의미한다.

: $0 \to \mathcal{O}(-d) \to \mathcal{O} \to i_*\mathcal{O}_C \to 0$

이는 '''이데알 열'''^[20]라고 하며, 코호몰로지에서 긴 완전열을 통해 코호몰로지를 계산하는 데 사용할 수 있다. 이 열로부터,

: $\begin{align}0&\to H^0(\mathbb{P}^2, \mathcal{O}(-d)) \to H^0(\mathbb{P}^2, \mathcal{O}) \to H^0(\mathbb{P}^2, \mathcal{O}_C)\\&\to H^1(\mathbb{P}^2, \mathcal{O}(-d)) \to H^1(\mathbb{P}^2, \mathcal{O}) \to H^1(\mathbb{P}^2, \mathcal{O}_C)\\&\to H^2(\mathbb{P}^2, \mathcal{O}(-d)) \to H^2(\mathbb{P}^2, \mathcal{O}) \to H^2(\mathbb{P}^2, \mathcal{O}_C)\end{align}$

사영 공간에 대한 이전 계산을 사용하여 이를 단순화할 수 있다. 단순화를 위해 기저 환이 $\mathbb{C}$ 또는 대수적으로 닫힌 체라고 가정한다. 그러면 동형 사상

: $\begin{align}H^0(C,\mathcal{O}_C) &\cong H^0(\mathbb{P}^2,\mathcal{O}) \\H^1(C,\mathcal{O}_C) &\cong H^2(\mathbb{P}^2,\mathcal{O}(-d))\end{align}$

이 있다. 이는 곡선의 $H^1$ 가 랭크

:: ${d-1 \choose d-3 } = \frac{(d-1)(d-2)}{2}$

인 유한 차원 선형 공간임을 보여준다.

연접층 코호몰로지에서 다양체의 곱에 대한 퀴네트 공식의 유사성이 존재한다.^[7] 체 $k$ 위에서 아핀 대각선을 갖는 준콤팩트 스킴 $X,Y$ 가 주어지고 (예: 분리된 스킴), $\mathcal{F} \in \text{Coh}(X)$ 및 $\mathcal{G} \in \text{Coh}(Y)$ 라고 하자. 그러면 다음의 동형이 성립한다.

> $H^k(X\times_{\text{Spec}(k)}Y, \pi_1^*\mathcal{F}\otimes_{\mathcal{O}_{X\times_{\text{Spec}(k)} Y}}\pi_2^*\mathcal{G}) \cong \bigoplus_{i+j = k} H^i(X,\mathcal{F})\otimes_k H^j(Y,\mathcal{G})$

여기서 $\pi_1,\pi_2$ 는 $X\times_{\text{Spec}(k)} Y$ 에서 $X,Y$ 로의 표준 사영이다.

$X = \mathbb{P}^1 \times \mathbb{P}^1$ 에서, $\mathcal{O}_X(a,b) = \pi_1^*\mathcal{O}_{\mathbb{P}^1}(a) \otimes_{\mathcal{O}_X} \pi_2^*\mathcal{O}_{\mathbb{P}^1}(b)$ 의 일반적인 단면은 곡선 $C$ 를 정의하며, 다음의 이데알 열을 제공한다.

> $0 \to \mathcal{O}_X(-a,-b) \to \mathcal{O}_X \to \mathcal{O}_C \to 0$

그러면, 긴 완전열은 다음과 같다.

> $\begin{align}0&\to H^0(X, \mathcal{O}(-a,-b)) \to H^0(X, \mathcal{O}) \to H^0(X, \mathcal{O}_C)\\&\to H^1(X, \mathcal{O}(-a,-b)) \to H^1(X, \mathcal{O}) \to H^1(X, \mathcal{O}_C)\\&\to H^2(X, \mathcal{O}(-a,-b)) \to H^2(X, \mathcal{O}) \to H^2(X, \mathcal{O}_C)\end{align}$

다음이 주어진다.

> $\begin{align}H^0(C,\mathcal{O}_C) &\cong H^0(X,\mathcal{O}) \\H^1(C,\mathcal{O}_C) &\cong H^2(X,\mathcal{O}(-a,-b))\end{align}$

$H^1$ 이 곡선의 종수이므로, 퀴네트 공식을 사용하여 베티 수를 계산할 수 있다. 이는 다음과 같다.

> $H^2(X, \mathcal{O}_X(-a,-b)) \cong H^1(\mathbb{P}^1,\mathcal{O}(-a))\otimes_kH^1(\mathbb{P}^1,\mathcal{O}(-b))$

이는 $-a,-b \leq -2$ 일 때 다음과 같은 랭크를 가진다.

> $\binom{a-1}{a-2}\binom{b-1}{b-2} = (a-1)(b-1) = ab - a - b +1$ ^[8]

특히, 만약 $C$ 가 $\mathcal{O}(2,k)$ 의 일반적인 단면의 소멸 궤적에 의해 정의되면, 종수는 다음과 같다.

> $2k-2-k+1 = k-1$

따라서, 임의의 종수를 가진 곡선을 $\mathbb{P}^1\times\mathbb{P}^1$ 안에 찾을 수 있다.

9. 1. 평면 곡선의 층 코호몰로지

매끄러운 사영 평면 곡선

C

의 층 코호몰로지

H^*(C,\mathcal{O}_C)

는 코호몰로지의 긴 완전열을 사용하여 계산할 수 있다.^[20] 포함 사상

i:C \to \mathbb{P}^2

에 대해,

i_*

가 완전 사상이므로 코호몰로지 군의 동형 사상

H^*(\mathbb{P}^2, i_*\mathcal{O}_C) \cong H^*(C, \mathcal{O}_C)

이 존재한다.^[20] 이는

\mathbb{P}^2

위의 연접층의 짧은 완전열인 이데알 열^[20]

:

0 \to \mathcal{O}(-d) \to \mathcal{O} \to i_*\mathcal{O}_C \to 0

을 통해 코호몰로지를 계산할 수 있게 한다. 여기서

d

는

C

의 차수이다.

코호몰로지의 긴 완전열은 다음과 같다.

:

\begin{align}0&\to H^0(\mathbb{P}^2, \mathcal{O}(-d)) \to H^0(\mathbb{P}^2, \mathcal{O}) \to H^0(\mathbb{P}^2, \mathcal{O}_C)\\&\to H^1(\mathbb{P}^2, \mathcal{O}(-d)) \to H^1(\mathbb{P}^2, \mathcal{O}) \to H^1(\mathbb{P}^2, \mathcal{O}_C)\\&\to H^2(\mathbb{P}^2, \mathcal{O}(-d)) \to H^2(\mathbb{P}^2, \mathcal{O}) \to H^2(\mathbb{P}^2, \mathcal{O}_C)\end{align}

사영 공간에 대한 이전 계산을 통해, 기저 환이

\mathbb{C}

또는 대수적으로 닫힌 체라고 가정하면,

:

\begin{align}H^0(C,\mathcal{O}_C) &\cong H^0(\mathbb{P}^2,\mathcal{O}) \\H^1(C,\mathcal{O}_C) &\cong H^2(\mathbb{P}^2,\mathcal{O}(-d))\end{align}

와 같은 동형 사상이 존재한다.^[20]

이는 곡선의

H^1

가 랭크

{d-1 \choose d-3 } = \frac{(d-1)(d-2)}{2}

인 유한 차원 선형 공간임을 보여준다.^[20]

9. 2. 곱공간의 층 코호몰로지

퀴네트 공식의 유사성이 연접층 코호몰로지에서 다양체의 곱에 대해 존재한다.^[21]^[7] 체 ''k'' 위에서 아핀 대각선을 갖는 준콤팩트 스킴

X,Y

(예: 분리된 스킴)와

\mathcal{F} \in \text{Coh}(X)

,

\mathcal{G} \in \text{Coh}(Y)

에 대해, 다음 동형 사상이 성립한다.

$H^k(X\times_{\text{Spec}(k)}Y, \pi_1^*\mathcal{F}\otimes_{\mathcal{O}_{X\times_{\text{Spec}(k)} Y}}\pi_2^*\mathcal{G}) \cong \bigoplus_{i+j = k} H^i(X,\mathcal{F})\otimes_k H^j(Y,\mathcal{G})$

여기서

\pi_1,\pi_2

는

X\times_{\text{Spec}(k)} Y

에서

X,Y

로의 표준 사영이다.

예를 들어

X = \mathbb{P}^1 \times \mathbb{P}^1

에서,

\mathcal{O}_X(a,b) = \pi_1^*\mathcal{O}_{\mathbb{P}^1}(a) \otimes_{\mathcal{O}_X} \pi_2^*\mathcal{O}_{\mathbb{P}^1}(b)

의 일반적인 단면은 곡선

C

를 정의하며, 아이디얼 시퀀스

>

0 \to \mathcal{O}_X(-a,-b) \to \mathcal{O}_X \to \mathcal{O}_C \to 0

를 통해 긴 완전 시퀀스를 유도할 수 있다. 이를 통해

>

\begin{align}H^0(C,\mathcal{O}_C) &\cong H^0(X,\mathcal{O}) \\H^1(C,\mathcal{O}_C) &\cong H^2(X,\mathcal{O}(-a,-b))\end{align}

가 성립하며,

H^1

이 곡선의 종수이므로, 퀴네트 공식을 사용하여 베티 수를 계산할 수 있다.

>

H^2(X, \mathcal{O}_X(-a,-b)) \cong H^1(\mathbb{P}^1,\mathcal{O}(-a))\otimes_kH^1(\mathbb{P}^1,\mathcal{O}(-b))

이 때,

-a,-b \leq -2

이면, 랭크는 다음과 같다.

>

\binom{a-1}{a-2}\binom{b-1}{b-2} = (a-1)(b-1) = ab - a - b +1

^[8]

특히,

C

가

\mathcal{O}(2,k)

의 일반적인 단면의 소멸 궤적에 의해 정의되면, 종수는

2k-2-k+1 = k-1

이 된다. 따라서, 임의의 종수를 가진 곡선을

\mathbb{P}^1\times\mathbb{P}^1

안에서 찾을 수 있다.

10. 변형 이론(Applications)

변형 이론은 체 ''k''에 대한 스킴 ''X''가 주어지면 극소 이웃에 대한 ''X''의 변형을 연구한다. 환 위의 변형에 관한 가장 간단한 경우는 이원수 $R := k[\epsilon]/\epsilon^2$ 의 특수 올과 같은 '' $\text{Spec}\,R$ ''에 대한 스킴 '' $X_R$ ''이 있는지 검사하는 것이다.

: $X_R \times_{\operatorname{Spec } R} \operatorname{Spec} k$

이는 주어진 ''X''와 동형이다. ''X''가 매끄러운 경우, 접다발 $T_X$ 계수 연접층 코호몰로지는 ''X''의 변형 클래스를 제어한다. 즉, 위 유형의 변형의 동형 클래스는 첫 번째 일관된 코호몰로지 $H^1(X, T_X)$ 에 의해 매개변수화된다. 또한, $H^2(X, T_X)$ 에는 위와 같이 '' $\text{Spec}\,R$ ''에 대한 ''X''의 변형이 존재함과 소멸됨이 동치인 원소(방해 클래스)가 있다.

참조

_[1] Harv
_[2] Citation Stacks Project, Tag 01X8 http://stacks.math.c[...]
_[3] Citation Stacks Project, Tag 01XE http://stacks.math.c[...]
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_[6] 서적 Birational Geometry of Hypersurfaces 2019
_[7] 웹사이트 Section 33.29 (0BEC): Künneth formula—The Stacks project https://stacks.math.[...] 2020-02-23
_[8] 웹사이트 FOUNDATIONS OF ALGEBRAIC GEOMETRY CLASSES 35 AND 36 https://math.stanfor[...]
_[9] Citation Stacks Project, Tag 02O3 http://stacks.math.c[...]
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_[13] Harv
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_[16] 간행물 Contre-exemple au vanishing theorem en caractéristique p > 0 Springer-Verlag, Berlin, New York 1978
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_[19] Harv
_[20] 서적 Birational Geometry of Hypersurfaces 2019
_[21] 웹인용 Section 33.29 (0BEC): Künneth formula—The Stacks project https://stacks.math.[...] 2020-02-23
_[22] 웹인용 FOUNDATIONS OF ALGEBRAIC GEOMETRY CLASSES 35 AND 36 https://math.stanfor[...]
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_[24] Harv
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_[28] 간행물 Contre-exemple au vanishing theorem en caractéristique p > 0 Springer-Verlag, Berlin, New York 1978

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