강력수

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1. 개요
2. 정의
3. 성질
4. 강력수의 합과 차
- 4.1. 강력수의 차로 표현
- 4.2. 강력수의 합으로 표현
5. 일반화
6. 기타 성질
참조

1. 개요

강력수는 모든 소인수 p에 대해 p²이 그 수를 나누는 양의 정수이다. 처음 몇 개의 강력수는 1, 4, 8, 9, 16, 25, 27, 32, 36, 49, ... 이다. x 이하의 강력수의 개수를 추정하는 문제는 수론에서 중요하게 다루어지며, 리만 제타 함수를 이용하여 점근적으로 근사할 수 있다. 또한, 펠 방정식과 같은 수학적 도구를 활용하여 연속하는 강력수를 연구하며, 강력수의 합과 차로 정수를 표현하는 문제, k-강력수, k-강력수의 합, k-강력수 등차수열, k-다중 제곱수 등과 같은 일반화된 개념 및 성질도 연구된다.

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강력수
개요
정의	모든 소인수가 1보다 큰 제곱수로 나누어 떨어지는 정수
다른 이름	다멱수, 강력수, 제곱수
예시
예시	1, 4, 8, 9, 16, 25, 27, 32, 36, 49, 64, 72, 81, 100, 108, 121, 125, 128, 144, 169, 196, 200, 216, 225, 243, 256, 288, 289, 324, 338, 343, 361, 392, 400, 432, 441, 484, 500, 512, 529, 576, 578, 625, 648, 675, 676, 729, 784, 800, 841, 864, 900, 961, 968, 972, 1000, 1024, 1089, 1125, 1152, 1156, 1200, 1215, 1216, 1225, 1250, 1296, 1300, 1331, 1352, 1369, 1444, 1458, 1521, 1568, 1600, 1681, 1682, 1728, 1764, 1800, 1849, 1875, 1922, 1936, 2000, 2025, 2048, 2116, 2167, 2178, 2187, 2209, 2250, 2304, 2312, 2375, 2401, 2432, 2500, 2592, 2601, 2646, 2662, 2700, 2704, 2744, 2809, 2888, 2916, 2975, 3000, 3025, 3072, 3125, 3136, 3200, 3250, 3362, 3375, 3380, 3456, 3481, 3528, 3600, 3645, 3686, 3721, 3844, 3872, 3888, 3904, 3969, 4000, 4050, 4096, ... (id=A001694)
성질
제곱수로 나누어 떨어지는 수	소인수분해에서 모든 소수의 지수가 2 이상인 경우
세제곱수로 나누어 떨어지는 수	소인수분해에서 모든 소수의 지수가 3 이상인 경우
특징	모든 강력수는 어떤 정수 a, b에 대해 a^2 - b^3 꼴로 표현 가능
분포
개수 함수	강력수의 개수를 나타내는 함수 (수론적 함수)
점근적 행동	x가 무한대로 갈 때 강력수의 개수 함수는 특정 상수와 x^(1/2)에 비례 (∑_{n≤x, n은 강력수} 1) ∼ ζ(3/2)/ζ(3) x^(1/2)
상수	ζ(3/2)/ζ(3) ≈ 2.173...
관련 개념
약한 강력수	모든 소인수의 제곱이 아닌 소인수가 적어도 하나 존재하는 정수

2. 정의

양의 정수 $n$ 에 대하여, 다음 세 조건은 서로 동치이며, 이를 만족시키는 $n$ 을 '''강력수'''라고 한다.

임의의 소수 $p$ 에 대하여, 만약 $p$ 가 $n$ 의 약수라면, $p^2$ 역시 $n$ 의 약수이다.
$n=a^2b^3$ 인 양의 정수 $a,b$ 가 존재한다.
$\textstyle\sum_{d\mid n}\phi(d)\phi(n/d)\mu(d)>0$ . 여기서 $\phi$ 는 오일러 피 함수, $\mu$ 는 뫼비우스 함수이다.

만약 ''m'' = ''a''²''b''³이면, ''a''의 소인수 분해에 있는 모든 소수는 ''m''의 소인수 분해에서 지수가 최소 2로 나타나고, ''b''의 소인수 분해에 있는 모든 소수는 ''m''의 소인수 분해에서 지수가 최소 3으로 나타나므로, ''m''은 강력수이다.

반대로, 각 ''α''_''i'' ≥ 2인 소인수 분해

:

m = \prod p_i^{\alpha_i},

를 갖는 강력수 ''m''이 주어졌을 때, ''α''_''i''가 홀수이면 ''γ''_''i''를 3으로 정의하고, 그렇지 않으면 0으로 정의하고, ''β''_''i'' = ''α''_''i'' − ''γ''_''i''로 정의한다. 그러면 모든 ''β''_''i''는 음이 아닌 짝수 정수이고, 모든 γ_i는 0 또는 3이므로,

:

m = \left(\prod p_i^{\beta_i}\right)\left(\prod p_i^{\gamma_i}\right) = \left(\prod p_i^{\beta_i/2} \right)^2 \left( \prod p_i^{\gamma_i/3}\right)^3

은 ''m''을 제곱과 세제곱의 곱으로 나타내는 표현이 된다.

비공식적으로 설명하면, ''m''의 소인수 분해가 주어지면, 홀수 지수를 갖는 ''m''의 소인수의 곱을 ''b''로 한다(없으면 ''b''를 1로 한다). ''m''은 강력수이므로, 홀수 지수를 갖는 각 소인수는 지수가 최소 3이므로, ''m''/''b''³은 정수이다. 또한, ''m''/''b''³의 각 소인수는 짝수 지수를 가지므로, ''m''/''b''³은 완전 제곱수이고, 이를 ''a''²이라고 한다. 그러면 ''m'' = ''a''²''b''³이다. 예를 들어:

:

m = 21600 = 2^5 \times 3^3 \times 5^2 \, ,

:

b = 2 \times 3 = 6 \, ,

:

a = \sqrt{\frac{m}{b^3}} = \sqrt{2^2 \times 5^2} = 10 \, ,

:

m = a^2b^3 = 10^2 \times 6^3 \, .

이 방식으로 계산된 표현 ''m'' = ''a''²''b''³은 ''b''가 제곱-무료 정수라는 속성을 가지며, 이 속성에 의해 고유하게 정의된다.

3. 성질

강력수는 소인수분해했을 때 각 소인수의 지수가 1보다 큰 수를 말한다. 즉, 어떤 소수의 제곱으로 나누어떨어지는 수이다.

다거듭제곱수는 ''a''²''b''³ (''a'', ''b''는 자연수)의 형태로 표시된다. 여기서 ''b''가 제곱 인수를 갖지 않는 정수라는 조건이 붙으면, 다거듭제곱수는 이 형태로 유일하게 표현된다.

''k''(''x'')를 [1,''x''] 구간 내의 강력수의 개수라고 하면, ''k''(''x'')는 ''x''의 제곱근에 비례한다. 더 정확하게는 다음과 같다.

: $cx^{1/2}-3x^{1/3}\le k(x) \le cx^{1/2}, c = \zeta(3/2)/\zeta(3) = 2.173 \ldots$ ^[1]

홀수나 4의 배수는 다거듭제곱수, 특히 제곱수의 차로 나타낼 수 있다. 예를 들어 다음과 같다.

:2 = 3³ − 5²

:10 = 13³ − 3⁷

:18 = 19² − 7³ = 3²(3³ − 5²)

골롬은 6은 다거듭제곱수의 차로 나타낼 수 없다고 예상했지만, 나르키에비치는 6 = 5⁴7³ − 463² 와 같이 6도 다거듭제곱수의 차로 무수히 많이 표현될 수 있음을 보였다. 맥다니엘은 모든 정수가 서로소인 다거듭제곱수의 차로 무수히 많은 방법으로 표시됨을 증명하였다.^[1]

에르되시는 충분히 큰 모든 정수는 많아야 3개의 다거듭제곱수의 합으로 표시된다고 예상했고, 로저 히스-브라운이 이를 증명하였다.^[1]

3. 1. 초기 강력수

처음 몇 강력수는 다음과 같다.

: 1, 4, 8, 9, 16, 25, 27, 32, 36, 49, 64, 72, 81, 100, 108, 121, 125, 128, 144, 169, 196, 200, 216, 225, 243, 256, 288, 289, 324, 343, 361, 392, 400, 432, 441, 484, 500, 512, 529, 576, 625, 648, 675, 676, 729, 784, 800, 841, 864, 900, 961, 968, 972, 1000, ...

3. 2. 점근적 근사

양의 실수

x

이하의 강력수의 수는 다음과 같이 점근적으로 근사할 수 있다.

:

(\zeta(3/2)/\zeta(3))x^{1/2}+(\zeta(2/3)/\zeta(2))x^{1/3}+o(x^{1/6})

여기서

\zeta

는 리만 제타 함수이다.

3. 3. 역수 합의 수렴

강력수의 역수 합은 수렴한다. 이 합은 다음과 같은 무한 곱으로 표현될 수 있다.

:

\prod_p\left(1+\frac{1}{p(p-1)}\right)=\frac{\zeta(2)\zeta(3)}{\zeta(6)} = \frac{315}{2\pi^4}\zeta(3)=1.9435964368\ldots,

^[1]

여기서 ''p''는 모든 소수를 거치며, ''ζ''(''s'')는 리만 제타 함수를 나타내고, ''ζ''(3)는 아페리 상수이다.

3. 4. 연속하는 강력수

펠 방정식은 무수히 많은 정수 해를 가지므로, 연속적인 강력수의 쌍이 무수히 많다.^[1] 더 일반적으로, 어떤 완전 세제곱수에 대해 펠 방정식을 풀어서 연속적인 강력수를 찾을 수 있다. 그러나 이 방식으로 형성된 쌍의 두 강력수 중 하나는 제곱수여야 한다.

가이에 따르면, 에르되시는

(23^3, 2^3 3^2 13^2)

와 같이 쌍의 어떤 수도 제곱수가 아닌 연속적인 강력수의 쌍이 무수히 많은지 질문했다. 워커(Walker)는

3^3c^2 + 1 = 7^3d^2

가 무수히 많은 해를 갖는다는 것을 보여주면서 실제로 이러한 쌍이 무수히 많다는 것을 보였다.

워커는 이 방정식에 대한 해가 모든 홀수 정수

k

에 대해 다음 수를 고려하여 생성됨을 보였다.

:

(2\sqrt{7}+3\sqrt{3})^{7k}=a\sqrt{7}+b\sqrt{3},

7로 나누어지는 정수

a

와 3으로 나누어지는 정수

b

에 대해, 그리고

a

와

b

로부터 연속적인 강력수

7a^2

와

3b^2

을 구성하며

7a^2 = 1 + 3b^2

이다.

이 계열에서 가장 작은 연속 쌍은

k=1

,

a=2637362

,

b=4028637

에 대해 생성된다.

:

7\cdot 2637362^2 = 2^2\cdot 7^3\cdot 13^2\cdot 43^2\cdot 337^2=48689748233308

그리고

:

3\cdot 4028637^2 = 3^3\cdot 139^2\cdot 9661^2 = 48689748233307.

에르되시, 몰린, 월시는 세 개의 연속적인 강력수는 존재하지 않는다는 에르되시 추측을 제시하였다.^[2] 만약 세 개의 연속적인 강력수의 짝이 존재한다면, 가장 작은 항은 36을 기준으로 7, 27 또는 35와 합동이어야 한다.

abc 추측이 참이라면, 세 개의 연속적인 강력수의 집합은 유한하다.

4. 강력수의 합과 차

어떤 홀수는 두 연속 제곱수의 차이로 나타낼 수 있고, 4의 배수는 2만큼 차이나는 두 수의 제곱의 차이로 나타낼 수 있다. 그러나 2로 나누어 떨어지지만 4로 나누어 떨어지지 않는 단일 짝수는 제곱수의 차이로 표현될 수 없다.

이러한 사실은 어떤 단일 짝수가 강력수의 차이로 표현될 수 있는지를 묻는 질문을 제기한다.

에르되시는 충분히 큰 모든 정수는 많아야 세 개의 강력수의 합으로 표현된다고 추측했으며, 이는 로저 히스-브라운에 의해 증명되었다.

4. 1. 강력수의 차로 표현

어떤 홀수는 두 연속 제곱수의 차이로 나타낼 수 있다. (''k'' + 1)² = ''k''² + 2''k'' + 1이므로, (''k'' + 1)² − ''k''² = 2''k'' + 1이다. 마찬가지로, 4의 배수는 2만큼 차이나는 두 수의 제곱의 차이로 나타낼 수 있다. (''k'' + 2)² − ''k''² = 4''k'' + 4. 그러나 2로 나누어 떨어지지만 4로 나누어 떨어지지 않는 단일 짝수는 제곱수의 차이로 표현될 수 없다.

이러한 사실은 어떤 단일 짝수가 강력수의 차이로 표현될 수 있는지를 묻는 질문을 제기한다. 골롬은 몇 가지 표현을 제시했다.

:2 = 3³ − 5²

:10 = 13³ − 3⁷

:18 = 19² − 7³ = 3⁵ − 15².

6은 이러한 방식으로 표현될 수 없다는 추측이 있었고, 골롬은 두 강력수의 차이로 표현될 수 없는 정수가 무한히 많을 것이라고 추측했다. 그러나 나르키에비츠는 6이 다음과 같이 무한히 많은 방식으로 표현될 수 있음을 보였다.

:6 = 5⁴7³ − 463²,

맥다니엘은 모든 정수가 이러한 표현을 무한히 많이 가진다는 것을 보였다.

4. 2. 강력수의 합으로 표현

에르되시는 충분히 큰 모든 정수는 많아야 세 개의 강력수의 합으로 표현된다고 추측했으며, 이는 로저 히스-브라운(1987)에 의해 증명되었다.

5. 일반화

일반적으로 어떤 수를 소인수분해했을 때 나타나는 모든 소인수의 지수가 ''k'' 이상인 정수를 생각할 수 있다. 이러한 수를 ''k''-강력수(''k''-powerful number), ''k''-충만수(''k''-ful number) 또는 ''k''-완전수(''k''-full number)라고 부른다.^[1]

(2^''k''+1-1)^''k'', 2^''k''(2^''k''+1-1)^''k'', (2^''k''+1-1)^''k''+1는 등차수열을 이루는 ''k''-강력수이다.

5. 1. k-강력수의 정의

어떤 수를 소인수분해했을 때, 모든 소인수의 지수가 ''k'' 이상인 정수를 ''k''-강력수라고 정의한다. ''k''-강력수는 ''k''-충만수 또는 ''k''-완전수라고도 한다.^[1]

5. 2. k-강력수의 등차수열

(2^''k''+1-1)^''k'', 2^''k''(2^''k''+1-1)^''k'', (2^''k''+1-1)^''k''+1는 등차수열의 ''k''-강력수이다. ''a''₁, ''a''₂, ..., ''a''_''s''가 공차 ''d''를 갖는 ''k''-강력수 등차수열이면, 다음 수열 역시 ''s'' + 1 개의 항을 갖는 ''k''-강력수 등차수열이다.

: ''a''₁(''a''_''s'' + ''d'')^''k'',

''a''₂(''a''_''s'' + ''d'')^''k'', ..., ''a''_''s''(''a''_''s'' + ''d'')^''k'', (''a''_''s'' + ''d'')^''k''+1

''k''-강력수를 포함하는 다음 항등식이 성립한다.

:''a''^''k''(''a''^''ℓ'' + ... + 1)^''k'' + ''a''^{''k'' + 1}(''a''^''ℓ'' + ... + 1)^''k'' + ... + ''a''^{''k'' + ''ℓ''}(''a''^''ℓ'' + ... + 1)^''k'' = ''a''^''k''(''a''^''ℓ'' + ... +1)^''k''+1.

이 항등식은 그 합도 ''k''-강력수인 무한히 많은 ''l''+1-튜플 ''k''-강력수를 제공한다. 니타이(Nitaj)는 서로소인 3-강력수에서 ''x'' + ''y'' = ''z''를 만족하는 무한히 많은 해가 존재함을 보였다. 코헨(Cohen)은 서로소이고 세제곱수가 아닌 3-강력수에서 ''x'' + ''y'' = ''z''를 만족하는 무한한 해 집합을 다음과 같이 구성했다.

:''X'' = 9712247684771506604963490444281, ''Y'' = 32295800804958334401937923416351, ''Z'' = 27474621855216870941749052236511

위 삼중항 (''X'', ''Y'', ''Z'')는 방정식 32''X''³ + 49''Y''³ = 81''Z''³의 해이다. 여기서 ''X''′ = ''X''(49''Y''³ + 81''Z''³), ''Y''′ = -''Y''(32''X''³ + 81''Z''³), ''Z''′ = ''Z''(32''X''³ - 49''Y''³)로 설정하고 공통 인수를 제거하면 또 다른 해를 얻을 수 있다.

5. 3. k-강력수의 합

''k''-강력수를 포함하는 항등식은 다음과 같다.

:''a''^''k''(''a''^''ℓ'' + ... + 1)^''k'' + ''a''^{''k'' + 1}(''a''^''ℓ'' + ... + 1)^''k'' + ... + ''a''^{''k'' + ''ℓ''}(''a''^''ℓ'' + ... + 1)^''k'' = ''a''^''k''(''a''^''ℓ'' + ... +1)^''k''+1.

이 항등식은 그 합도 ''k''-강력수인 무한히 많은 ''l''+1-튜플 ''k''-강력수를 제공한다. 니타이(Nitaj)는 서로 소인 3-강력수에서 무한히 많은 ''x'' + ''y'' = ''z''의 해가 있음을 보여주었다^[1]. 코헨(Cohen)은 다음과 같이 서로 소인 비 세제곱 3-강력수에서 ''x'' + ''y'' = ''z''의 무한한 해 집합을 구성하였다.

:''X'' = 9712247684771506604963490444281, ''Y'' = 32295800804958334401937923416351, ''Z'' = 27474621855216870941749052236511

위 삼중항은 방정식 32''X''³ + 49''Y''³ = 81''Z''³의 해이다. ''X''′ = ''X''(49''Y''³ + 81''Z''³), ''Y''′ = -''Y''(32''X''³ + 81''Z''³), ''Z''′ = ''Z''(32''X''³ - 49''Y''³)로 설정하고 공통 제수를 생략함으로써 다른 해를 구성할 수 있다.

6. 기타 성질

연속하는 다중 제곱수의 쌍에는 (8, 9), (288, 289), (675, 676) 등이 있다.
연속으로 ''k''-다중 제곱수가 나타나는 수에는 4, 8, 48, 242, 844, 22020, 217070, … 등이 있다.
연속으로 ''k''-다중 제곱수가 나타나는 수의 작은 쪽 수는 8, 24, 27, 44, 48, 49, 63, 75, 80, 98, 99, 116, 120, 124, 125, 135, … 등이다.
3연속으로 ''k''-다중 제곱수가 나타나는 수의 최소 수는 48, 98, 124, 242, 243, 342, 350, 423, 475, … 등이다.
4연속으로 ''k''-다중 제곱수가 나타나는 수의 최소 수는 242, 844, 845, 1680, 1681, … 등이다.
5연속으로 ''k''-다중 제곱수가 나타나는 수의 최소 수는 844, 1680, 2888, … 등이다.
홀수 ''k''-다중 제곱수는 9, 25, 27, 45, 49, 63, 75, 81, 99, 117, 121, 125, 135, 147, 153, … 등이다.

참조

_[1] 논문 null 1970
_[2] 간행물 On Consecutive Triples of Powerful Numbers https://scholar.rose[...]

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