리치 미적분학

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1. 개요

리치 미적분학은 텐서의 표기법과 연산을 다루는 수학 분야이다. 이 미적분학은 첨자 표기법을 사용하여 텐서의 성분과 변환을 표현하며, 대칭 및 반대칭 부분, 미분, 그리고 크로네커 델타, 비틀림 텐서, 리만 곡률 텐서, 계량 텐서와 같은 중요한 텐서들을 정의한다. 리치 미적분학은 물리학, 공학, 컴퓨터 과학 등 다양한 분야에서 응용되며, 특히 한국에서는 반도체 설계, 인공지능 개발 등 첨단 기술 분야에서 핵심적인 역할을 수행한다.

리치 미적분학

개요

이미지 준비중입니다.

2차 공변 텐서의 성분. 위쪽 첨자는 행을 나타내고 아래쪽 첨자는 열을 나타냄.

분야	텐서 미적분학
이름의 유래	그레고리오 리치쿠르바스트로
발명가	그레고리오 리치쿠르바스트로 툴리오 레비치비타
개발 연도	1880년대 후반 ~ 1890년대 초반

상세 정보

설명	텐서 기반 계산을 위한 텐서 첨자 표기법
주요 특징	첨자 표기법을 사용하여 텐서 연산을 간결하고 효율적으로 표현
활용 분야	미분기하학 일반 상대성 이론 공학 물리학

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1. 개요
2. 첨자 표기법
3. 첨자 표기 및 연산에 대한 일반 개요
4. 대칭 및 반대칭 부분들
5. 미분
6. 주목할만한 텐서
7. 텐서 미적분학의 응용 (한국의 관점)

2. 첨자 표기법

저자는 일반적으로 아래 첨자가 첨자인지 이름표인지 명확하게 표시한다.

예를 들어, 3차원 유클리드 공간에서 데카르트 좌표를 사용하는 경우, 좌표 벡터 A = (A₁, A₂, A₃) = (A_x, A_y, A_z)^영어는 아래 첨자 1, 2, 3과 이름표 x^영어, y^영어, z^영어 사이의 직접적인 대응을 보여준다. A_i^영어에서 i^영어는 1, 2, 3의 값을 가지는 첨자로 해석되는 반면, x^영어, y^영어, z^영어 첨자는 변수가 아닌 이름표일 뿐이다.

첨자 자체는 모자(ˆ), 막대(̅), 물결표(~) 또는 프라임(′)과 같은 발음 구별 기호를 사용하여 이름표를 지정할 수 있다.

: $X_{\hat{\phi}}\,, Y_{\bar{\lambda}}\,, Z_{\tilde{\eta}}\,, T_{\mu'}$

이는 해당 첨자에 대해 다른 기저를 나타낼 수 있음을 나타낸다. 이는 스피너의 키랄성을 반영하기 위해 첨자에 모자와 윗점을 사용하는 판데르바르던 표기법과 혼동되어서는 안 된다.

리치 미적분학 및 보다 일반적인 첨자 표기법은 아래 첨자와 위 첨자를 구별한다. 후자는 수학의 다른 부분에만 익숙한 독자에게는 첨자가 아닌 것처럼 보일 수 있다.

계량 텐서가 모든 곳에서 단위 행렬과 동일한 특별한 경우에는 위 및 아래 첨자의 구분을 없애고 모든 첨자를 아래 위치에 쓸 수 있다. $a_{ij} b_{jk}$ 과 같은 선형 대수학의 좌표 공식 행렬의 곱이 이에 대한 예가 될 수 있다. 그러나 일반적으로 위 첨자와 아래 첨자의 구분은 유지되어야 한다.

계량 텐서와 함께 텐서를 축약하면 텐서의 종류가 바뀔 수 있고 위 첨자가 아래로 내려가거나 아래 첨자가 위로 올라 갈 수 있다.

: $B^{\gamma}{}_{\beta\cdots} = g^{\gamma\alpha}A_{\alpha\beta\cdots} \quad \text{and} \quad A_{\alpha\beta\cdots} = g_{\alpha\gamma}B^{\gamma}{}_{\beta\cdots}$

: $A_{|\alpha \beta \gamma| \cdots} B^{\alpha\beta\gamma \cdots} =A_{\alpha \beta \gamma \cdots} B^$

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$A_{\alpha\alpha}{}^{\gamma} \qquad$	( $\alpha$ 가 아래첨자로 두 번 나타난다; $A_\alpha{}^{\alpha\gamma}$ 가 적절하다.)
$A_{\alpha\gamma}{}^{\gamma} B^\alpha C_{\gamma}{}^{\beta}$	( $\gamma$ 가 아래첨자로 두 번 나타난다; $A_{\alpha\gamma}{}^{\gamma} B^\alpha$ 또는 $A_{\alpha\delta}{}^{\gamma} B^\alpha C_{\gamma}{}^{\beta}$ 가 적절하다).

C^{\mu\nu\cdots \zeta} \\[3pt]
={} &\sum_{\alpha < \beta < \gamma}~\sum_{\delta < \epsilon < \cdots < \lambda}~\sum_{\mu < \nu < \cdots < \zeta}
A_{\alpha \beta\gamma}{}^{\delta\epsilon\cdots\lambda}
B^{\alpha \beta\gamma}{}_{\delta\epsilon\cdots\lambda\mu \nu\cdots\zeta}
C^{\mu\nu\cdots\zeta}
\end{align}

다중 첨자 표기법을 사용하는 경우 첨자 블록 아래에 아래 화살표가 배치된다.

:

A_{\underset{\rightharpoondown}{P}}{}^{\underset{\rightharpoondown}{Q}} B^P{}_{Q\underset{\rightharpoondown}{R}} C^R =\sum_\underset{\rightharpoondown}{P} \sum_\underset{\rightharpoondown}{Q} \sum_\underset{\rightharpoondown}{R} A_{P}{}^{Q} B^P{}_{QR} C^R

여기서,

:

\underset{\rightharpoondown}{P} = |\alpha \beta\gamma|\,,\quad\underset{\rightharpoondown}{Q} = |\delta\epsilon\cdots\lambda|\,,\quad\underset{\rightharpoondown}{R} = |\mu \nu \cdots\zeta|

비특이 계량 텐서로 첨자를 축약하면 텐서의 유형이 변경되어 아래 첨자를 위 첨자로 또는 그 반대로 변환할 수 있다.

:

A^{\alpha}{}_{\beta\gamma} = B^{\alpha}{}_{\beta\gamma}

많은 경우에 기저 기호는 유지되며, 모호성이 없는 경우 첨자 위치를 변경하면 이 작업을 암시할 수 있다.

다음 표는 기저 변환에서 공변 및 반변 첨자의 조작이 어떻게 불변성과 일치하는지를 요약한다. 여기서 각 기저 집합의 성분은 다른 기저 집합의 첫 번째 열에 반영된다. 막대로 표시된 첨자는 변환 후 최종 좌표계를 나타낸다.

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	기저 변환	성분 변환	불변성
여벡터, 공변 벡터, 1-형식	$\omega^\bar{\alpha} = L_\beta{}^\bar{\alpha} \omega^\beta$ ^영어	$a_\bar{\alpha} = a_\gamma L^\gamma{}_\bar{\alpha}$ ^영어	$a_\bar{\alpha} \omega^\bar{\alpha} = a_\gamma L^\gamma{}_\bar{\alpha} L_\beta{}^\bar{\alpha} \omega^\beta = a_\gamma \delta^\gamma{}_\beta \omega^\beta = a_\beta \omega^\beta$ ^영어
벡터, 반공변 벡터	$e_\bar{\alpha} = e_\gamma L_\bar{\alpha}{}^\gamma$ ^영어	$u^\bar{\alpha} = L^\bar{\alpha}{}_\beta u^\beta$ ^영어	$e_\bar{\alpha} u^\bar{\alpha} = e_\gamma L_\bar{\alpha}{}^\gamma L^\bar{\alpha}{}_\beta u^\beta = e_\gamma \delta^\gamma{}_\beta u^\beta = e_\gamma u^\gamma$ ^영어

2.1. 기저 관련 구별법

저자는 일반적으로 아래 첨자가 첨자로 의도된 것인지 아니면 이름표로 의도된 것인지 명확하게 표시한다.

예를 들어, 3차원 유클리드 공간에서 데카르트 좌표를 사용하는 경우가 있다. 이때, 첨자 1, 2, 3과 이름표 x^영어, y^영어, z^영어 사이의 관계를 통해 구분한다.

첨자 자체는 모자(ˆ), 막대(̅), 물결표(~) 또는 프라임(′)과 같은 발음 구별 기호를 사용하여 이름표를 지정할 수 있다.

: $X_{\hat{\phi}}\,, Y_{\bar{\lambda}}\,, Z_{\tilde{\eta}}\,, T_{\mu'}$

이는 해당 첨자에 대해 다른 기저를 나타낼 수 있음을 나타낸다.

고전 물리학의 4차원 시공간에서 공간 유사 기저 요소와 시간 유사 요소를 구분해야 하는 경우, 일반적으로 지수를 통해 구분한다.

일부 자료에서는 시간에 해당하는 지수 값으로 0 대신 4를 사용하기도 한다.

2.1.1. 좌표 및 첨자 표기

데카르트 좌표를 사용하는 3차원 유클리드 공간에서 좌표 벡터 A = (A₁, A₂, A₃) = (A_x, A_y, A_z)는 아래 첨자 1, 2, 3과 이름표 x, y, z 사이의 직접적인 대응을 보여준다. A_i에서 i는 값 1, 2, 3에 대한 첨자로 해석되는 반면 x, y, z 첨자는 변수가 아닌 이름표일 뿐이다. 색인 표기법도 참고.

고전 물리학의 4차원 시공간에서 공간 유사 기저 요소와 시간 유사 요소를 구분해야 하는 경우, 이는 다음과 같이 지수를 통해 일반적으로 수행된다.

* 소문자 라틴 문자 a, b, c, ...는 3차원 유클리드 공간으로의 제한을 나타내는 데 사용되며, 공간 성분에 대해 1, 2, 3의 값을 가진다. 0으로 표시되는 시간 유사 요소는 별도로 표시된다.
* 소문자 그리스 문자 α, β, γ, ...는 4차원 시공간에 사용되며, 일반적으로 시간 성분에 대해 0의 값을 갖고 공간 성분에 대해 1, 2, 3의 값을 갖는다.

일부 자료에서는 시간에 해당하는 지수 값으로 0 대신 4를 사용하지만, 이 문서에서는 0을 사용한다. 시공간의 맥락에서, 지표 값 0은 통상적으로 레이블 t에 해당한다.

2.1.2. 기저에 대한 참조

첨자 자체는 모자(ˆ), 막대(̅), 물결표(~), 프라임(′)과 같은 발음 구별 기호를 사용하여 이름표를 지정할 수 있다.

: $X_{\hat{\phi}}\,, Y_{\bar{\lambda}}\,, Z_{\tilde{\eta}}\,, T_{\mu'}$

이는 해당 첨자에 대해 다른 기저를 나타낼 수 있음을 나타낸다. 이는 스피너의 키랄성을 반영하기 위해 첨자에 모자와 윗점을 사용하는 판데르바르던 표기법과 혼동되어서는 안 된다.

2.2. 위 첨자와 아래 첨자

리치 미적분학 및 보다 일반적인 첨자 표기법에서는 아래 첨자와 위 첨자를 구분한다. 위 첨자는 지수와는 다르지만, 수학의 다른 분야에 익숙한 사람들에게는 비슷하게 보일 수 있다.

계량 텐서가 모든 곳에서 항등 행렬과 같은 특수한 경우에는 위 첨자와 아래 첨자의 구분을 없애고 모든 첨자를 아래 위치에 쓸 수 있다. 예를 들어, 선형 대수학에서 행렬의 곱을 나타내는 $a_{ij} b_{jk}$ 와 같은 좌표 공식이 이에 해당한다. 그러나 일반적으로는 위 첨자와 아래 첨자의 구분을 유지해야 한다.

아래첨자는 해당 인덱스에 대한 성분의 공변성을 나타내며, $A_{\alpha\beta\gamma \cdots}$ 와 같이 표현한다. 윗첨자는 해당 지수에 대한 성분들의 반변성을 나타내며, $A^{\alpha\beta\gamma \cdots}$ 와 같이 표현한다. 텐서는 위첨자와 아래첨자를 모두 가질 수 있으며, $A_{\alpha}{}^{\beta}{}_{\gamma}{}^{\delta\cdots}$ 와 같이 표현한다.

첨자의 순서는 서로 다른 변성을 가질 때 중요하지만, 기본 기호를 유지하면서 첨자가 올려지거나 내려지지 않는다는 것을 이해할 수 있을 때는 표기 편의를 위해 공변 첨자가 반변 첨자 아래에 놓이기도 한다(예: 일반화된 크로네커 델타).

2.2.1. 첨자 올리기와 내리기

계량 텐서를 사용하여 텐서를 축약하면 텐서의 종류가 바뀌면서 위 첨자가 아래로 내려가거나 아래 첨자가 위로 올라갈 수 있다.

: $B^{\gamma}{}_{\beta\cdots} = g^{\gamma\alpha}A_{\alpha\beta\cdots} \quad \text{and} \quad A_{\alpha\beta\cdots} = g_{\alpha\gamma}B^{\gamma}{}_{\beta\cdots}$

비특이 계량 텐서로 첨자를 축약하면 텐서의 유형이 변경되어 아래 첨자를 위 첨자로, 또는 그 반대로 변환할 수 있다.

: $A^{\alpha}{}_{\beta\gamma} = B^{\alpha}{}_{\beta\gamma}$

많은 경우에 기저 기호는 유지되며, 모호성이 없는 경우 첨자 위치를 변경하면 이 작업을 암시할 수 있다. 색인 표기법도 참고할 수 있다.

아래첨자(subscript)는 해당 인덱스에 대한 성분의 공변성을 나타낸다.

: $A_{\alpha\beta\gamma \cdots}$

윗첨자(superscript)는 해당 지수에 대한 성분들의 반변성을 나타낸다.

: $A^{\alpha\beta\gamma \cdots}$

텐서는 위첨자와 아래첨자를 모두 가질 수 있다.

: $A_{\alpha}{}^{\beta}{}_{\gamma}{}^{\delta\cdots}.$

첨자의 순서는 서로 다른 변성을 가질 때도 중요하다. 그러나 기본 기호를 유지하면서 첨자가 올려지거나 내려지지 않는다는 것을 이해할 수 있을 때는, 표기 편의를 위해 공변 첨자가 반변 첨자 아래에 놓이기도 한다(예: 일반화된 크로네커 델타).

2.2.2. 반변 텐서 성분

색인 표기법에서 아래첨자는 해당 인덱스에 대한 성분의 공변성을 나타낸다.

: $B^{\gamma}{}_{\beta\cdots} = g^{\gamma\alpha}A_{\alpha\beta\cdots}$

: $A_{\alpha\beta\gamma \cdots} = g_{\alpha\gamma}B^{\gamma}{}_{\beta\cdots}$

2.2.3. 혼합 공변 텐서 성분

텐서는 위 첨자와 아래 첨자를 모두 가질 수 있다.

: $A_{\alpha}{}^{\beta}{}_{\gamma}{}^{\delta\cdots}.$

첨자의 순서는 서로 다른 변성을 가질 때도 중요하다. 그러나 기본 기호를 유지하면서 첨자가 올려지거나 내려지지 않는다는 것을 이해할 수 있을 때는, 표기 편의를 위해 공변 첨자가 반변 첨자 아래에 놓이기도 한다(예: 일반화된 크로네커 델타).

2.2.4. 텐서 유형과 차수

텐서의 각 위 첨자와 아래 첨자 수는 해당 유형을 나타낸다. p^영어개의 위 첨자와 q^영어개의 아래 첨자를 가진 텐서는 (p^영어, q^영어) 유형 또는 유형-(p^영어, q^영어) 텐서라고 한다.

공변성에 관계없이 텐서의 첨자 수를 텐서의 차수(랭크라고도 함)라고 한다. 따라서 (p^영어, q^영어) 유형의 텐서는 차수 p^영어 + q^영어를 갖는다. 색인 표기법도 참고.

2.2.5. 아인슈타인 표기법

텐서들의 합에 시그마 기호( $\sum$ )를 생략하는 표기법을 쓰는 합 규약을 도입하여 표기를 간략화한다.

: $A_\alpha B^\alpha \equiv \sum_\alpha A_{\alpha}B^\alpha \quad \text{or} \quad A^\alpha B_\alpha \equiv \sum_\alpha A^{\alpha}B_\alpha \,$

: $A_\alpha B^\beta \rightarrow A_\alpha B^\alpha \equiv \sum_\alpha A_{\alpha}B^\alpha \,$

위 식은 텐서 축약이라고 부른다. 이 규약에서 합을 두 번 이상 하는 경우가 있다. 예를 들면 다음과 같다.

: $A_{\alpha}{}^\gamma B^\alpha C_\gamma{}^\beta \equiv \sum_\alpha \sum_\gamma A_{\alpha}{}^\gamma B^\alpha C_\gamma{}^\beta \,.$

다음과 같은 표기는 올바르지 않은 것으로 본다.

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$A_{\alpha\alpha}{}^{\gamma} \qquad$	( $\alpha$ 가 아래첨자로 두 번 나타난다; $A_\alpha{}^{\alpha\gamma}$ 가 적절하다.)
$A_{\alpha\gamma}{}^{\gamma} B^\alpha C_{\gamma}{}^{\beta}$	( $\gamma$ 가 아래첨자로 두 번 나타난다; $A_{\alpha\gamma}{}^{\gamma} B^\alpha$ 또는 $A_{\alpha\delta}{}^{\gamma} B^\alpha C_{\gamma}{}^{\beta}$ 가 적절하다).

같은 기호가 용어 내에서 두 번 나타나는 경우(하나는 위첨자, 다른 하나는 아래첨자)는 합산되는 인덱스 쌍을 나타낸다. 이러한 수식을 제외하는 이유는 이러한 양이 숫자의 배열로 계산될 수 있지만 일반적으로 기저의 변화에 따라 텐서로 변환되지 않기 때문이다.

색인 표기법도 참고.

2.2.6. 다중지표 표기법

텐서가 모든 위 첨자 또는 아래 첨자 목록을 가진 경우, 목록에 대문자를 사용하여 약식으로 표기할 수 있다.

: $A_{i_1 \cdots i_n}B^{i_1 \cdots i_n j_1 \cdots j_m}C_{j_1 \cdots j_m} \equiv A_I B^{IJ} C_J ,$

여기서 I^영어이고, J^영어이다. 색인 표기법도 참고.

2.2.7. 순차적 합산

표현이 각 첨자 덩어리에 대해 완전히 반대칭일 때 다른 첨자들과의 축약과 연관된 모두 위 첨자 또는 모두 아래 첨자인 첨자 덩어리를 감싸는 한 쌍의 수직 막대( | · | )는 첨자 값에 대한 제한된 합을 의미한다.

예를 들어, 다음과 같다.
: $A_{[\alpha\beta\gamma]\delta\cdots} =\dfrac{1}{3!} \left(A_{\alpha\beta\gamma\delta\cdots}+ A_{\gamma\alpha\beta\delta\cdots}+ A_{\beta\gamma\alpha\delta\cdots}- A_{\alpha\gamma\beta\delta\cdots}- A_{\gamma\beta\alpha\delta\cdots}- A_{\beta\alpha\gamma\delta\cdots}\right)$
여기서 각 첨자는 다음 첨자보다 작도록 제한된다.

둘 이상의 묶음을 더할 수도 있다.
: $\begin{align}&A_$

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{}^

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B^{\alpha \beta\gamma}{}_{\delta\epsilon\cdots\lambda|\mu \nu \cdots\zeta|}C^{\mu\nu\cdots \zeta} \\[3pt]={} &\sum_{\alpha < \beta < \gamma}~\sum_{\delta < \epsilon < \cdots < \lambda}~\sum_{\mu < \nu < \cdots < \zeta}A_{\alpha \beta\gamma}{}^{\delta\epsilon\cdots\lambda}B^{\alpha \beta\gamma}{}_{\delta\epsilon\cdots\lambda\mu \nu\cdots\zeta}C^{\mu\nu\cdots\zeta}\end{align}

다중 첨자 표기법을 사용하는 경우 첨자 블록 아래에 아래 화살표를 배치한다.
:

A_{\underset{\rightharpoondown}{P}}{}^{\underset{\rightharpoondown}{Q}} B^P{}_{Q\underset{\rightharpoondown}{R}} C^R =\sum_\underset{\rightharpoondown}{P} \sum_\underset{\rightharpoondown}{Q} \sum_\underset{\rightharpoondown}{R} A_{P}{}^{Q} B^P{}_{QR} C^R

여기서,
:

\underset{\rightharpoondown}{P} = |\alpha \beta\gamma|\,,\quad\underset{\rightharpoondown}{Q} = |\delta\epsilon\cdots\lambda|\,,\quad\underset{\rightharpoondown}{R} = |\mu \nu \cdots\zeta|

색인 표기법도 참고.

모든 상첨자 또는 하첨자 집합(둘 다는 아님) 주위에 수직선 쌍( | · | )을 사용하여, 두 지수 집합 각각에서 완전 반대칭인 식에서 다른 지수 집합과의 수축과 관련시킨다.
:

A_{|\alpha \beta \gamma| \cdots} B^{\alpha\beta\gamma \cdots} =A_{\alpha \beta \gamma \cdots} B^

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C^{\mu\nu\cdots \zeta} \\[3pt]={} &\sum_{\alpha < \beta < \gamma}~\sum_{\delta < \epsilon < \cdots < \lambda}~\sum_{\mu < \nu < \cdots < \zeta}A_{\alpha \beta\gamma}{}^{\delta\epsilon\cdots\lambda}B^{\alpha \beta\gamma}{}_{\delta\epsilon\cdots\lambda\mu \nu\cdots\zeta}C^{\mu\nu\cdots\zeta}\end{align}

다중 지수 표기법을 사용할 때는 지수 블록 아래에 밑 화살표를 배치한다.
:

A_{\underset{\rightharpoondown}{P}}{}^{\underset{\rightharpoondown}{Q}} B^P{}_{Q\underset{\rightharpoondown}{R}} C^R =\sum_\underset{\rightharpoondown}{P} \sum_\underset{\rightharpoondown}{Q} \sum_\underset{\rightharpoondown}{R} A_{P}{}^{Q} B^P{}_{QR} C^R

여기서
:

\underset{\rightharpoondown}{P} = |\alpha \beta\gamma|\,,\quad\underset{\rightharpoondown}{Q} = |\delta\epsilon\cdots\lambda|\,,\quad\underset{\rightharpoondown}{R} = |\mu \nu \cdots\zeta|

2.3. 첨자 위치와 불변성 사이의 상관관계

이 표는 공변 및 반변 첨자의 조작이 기저 변환에서 어떻게 불변성과 일치하는지를 요약한다. 여기서 각 기저 집합의 성분은 다른 기저 집합의 첫 번째 열에 반영된다. 막대로 표시된 첨자는 변환 후 최종 좌표계를 나타낸다.

크로네커 델타가 사용된다.

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	기저 변환	성분 변환	불변성
여벡터, 공변 벡터, 1-형식	$\omega^\bar{\alpha} = L_\beta{}^\bar{\alpha} \omega^\beta$ ^영어	$a_\bar{\alpha} = a_\gamma L^\gamma{}_\bar{\alpha}$ ^영어	$a_\bar{\alpha} \omega^\bar{\alpha} = a_\gamma L^\gamma{}_\bar{\alpha} L_\beta{}^\bar{\alpha} \omega^\beta = a_\gamma \delta^\gamma{}_\beta \omega^\beta = a_\beta \omega^\beta$ ^영어
벡터, 반공변 벡터	$e_\bar{\alpha} = e_\gamma L_\bar{\alpha}{}^\gamma$ ^영어	$u^\bar{\alpha} = L^\bar{\alpha}{}_\beta u^\beta$ ^영어	$e_\bar{\alpha} u^\bar{\alpha} = e_\gamma L_\bar{\alpha}{}^\gamma L^\bar{\alpha}{}_\beta u^\beta = e_\gamma \delta^\gamma{}_\beta u^\beta = e_\gamma u^\gamma$ ^영어

3. 첨자 표기 및 연산에 대한 일반 개요

두 텐서 A와 B가 같다는 것은 모든 성분이 동일하다는 것을 의미한다. 즉, 모든 $\alpha, \beta, \gamma$ 에 대해 다음이 성립한다.

: $A^{\alpha}{}_{\beta\gamma} = B^{\alpha}{}_{\beta\gamma}$

이는 차원 분석과 유사하게 방정식의 의미를 확인하는 데 유용한 표기법의 특징이다. 색인 표기법도 참고.

3.1. 자유 및 헛첨자

텐서 방정식에서 축약에 사용되지 않는 첨자를 자유 첨자라고 부른다. 반면, 축약에 사용되는 첨자는 헛첨자 또는 합 첨자라고 불린다.

첨자 기호 전체를 다른 기호로 바꾸어도 텐서 방정식은 변하지 않는다. 단, 이미 사용된 다른 기호와 충돌이 없어야 한다. 예를 들어, 다음 방정식에서

: $A^\alpha B_\beta{}^\gamma C_{\gamma\delta} + D^\alpha{}_\delta E_\beta = T^\alpha{}_\beta{}_\delta$

$\alpha$ 를 $\lambda$ 로, $\gamma$ 를 $\mu$ 로 모든 곳에서 대체하면, 표현은 여전히 같은 의미를 갖는다. 그러나 $\alpha$ 를 $\lambda$ 로 완전히 대체하지 않거나, $\gamma$ 를 $\mu$ 로 완전히 대체하지 않으면 (예를 들어 첨자 $\gamma$ 의 축약이 텐서 곱이 되는 경우) 표현의 의미가 달라진다.

첨자 표기법은 벡터 미적분학 항등식이나 크로네커 델타 및 레비치비타 기호의 항등식을 확인하는 등 첨자를 조작할 때 유용하게 사용될 수 있다.

텐서의 성분(예: $A^\alpha$ , $B_\beta{}^\gamma$ 등)은 실수이다. 첨자는 텐서의 특정 성분을 선택하기 위해 다양한 정수 값을 가지므로, 하나의 텐서 방정식은 여러 개의 일반 방정식을 나타낸다. 만약 텐서 등식이 $n$ 개의 자유 첨자를 가지고, 기저가 되는 벡터 공간의 차원이 $m$ 이라면, 이 등식은 $m^n$ 개의 방정식을 나타낸다.

예를 들어, 4차원 공간에서 다음 방정식은,

: $A^\alpha B_\beta{}^\gamma C_{\gamma\delta} + D^\alpha{}_\beta{} E_\delta = T^\alpha{}_\beta{}_\delta$

자유 첨자가 3개( $\alpha, \beta, \delta$ )이므로 $4^3 = 64$ 개의 방정식을 나타낸다.

3.2. 텐서 방정식은 많은 일반(실수) 방정식을 나타낸다.

텐서의 성분(예: $A^\alpha$ , $B_{\beta}{}^\gamma$ 등)은 단순히 실수이다. 첨자는 텐서의 특정 성분을 선택하기 위해 다양한 정수 값을 가지므로, 하나의 텐서 방정식은 많은 일반 방정식들을 나타낸다. 텐서 등식에 $n$ 개의 자유 첨자가 있고, 기반이 되는 벡터 공간의 차원이 $m$ 이라면, 이 등식은 $m^n$ 개의 방정식을 나타낸다. 즉, 각 첨자는 특정 값 집합의 모든 값을 갖는다.

예를 들어,

: $A^\alpha B_\beta{}^\gamma C_{\gamma\delta} + D^\alpha{}_\beta{} E_\delta = T^\alpha{}_\beta{}_\delta$

가 4차원 공간(즉, 각 첨자가 0에서 3 또는 1에서 4까지)에 있다면, 3개의 자유 첨자( $\alpha, \beta, \delta$ )가 있으므로 4³ = 64개의 방정식이 있다. 그 중 세 가지는 다음과 같다.

: $\begin{align}A^0 B_1{}^0 C_{00} + A^0 B_1{}^1 C_{10} + A^0 B_1{}^2 C_{20} + A^0 B_1{}^3 C_{30} + D^0{}_1{} E_0 &= T^0{}_1{}_0 \\A^1 B_0{}^0 C_{00} + A^1 B_0{}^1 C_{10} + A^1 B_0{}^2 C_{20} + A^1 B_0{}^3 C_{30} + D^1{}_0{} E_0 &= T^1{}_0{}_0 \\A^1 B_2{}^0 C_{02} + A^1 B_2{}^1 C_{12} + A^1 B_2{}^2 C_{22} + A^1 B_2{}^3 C_{32} + D^1{}_2{} E_2 &= T^1{}_2{}_2.\end{align}$

이는 첨자 표기법 사용의 간결성과 효율성을 보여준다. 즉, 비슷한 구조를 공유하는 많은 방정식들을 하나의 간단한 텐서 방정식으로 묶을 수 있다.

3.3. 첨자는 교체 가능한 이름표이다.

텐서 방정식에서 첨자는 실제 의미를 변경하지 않고 다른 기호로 바꿀 수 있는 단순한 이름표와 같다. 예를 들어, 4차원에서 다음 텐서 방정식

: $A^\alpha B_\beta{}^\gamma C_{\gamma\delta} + D^\alpha{}_\delta E_\beta = T^\alpha{}_\beta{}_\delta$

는 3개의 자유 첨자 ( $\alpha, \beta, \delta$ )를 가지므로 4³ = 64개의 방정식을 나타낸다. 여기서 자유 첨자는 방정식의 각 항에서 동일한 위치에 나타나는 첨자를 의미하며, 방정식 양변에서 동일하다.

첨자 기호를 바꿀 때는 이미 사용된 기호와 충돌하지 않는 한, 다른 어떤 기호로든 바꿀 수 있다. 예를 들어,

: $A^\alpha B_\beta{}^\gamma C_{\gamma\delta} + D^\alpha{}_\beta{} E_\delta \rightarrow A^\lambda B_\beta{}^\mu C_{\mu\delta} + D^\lambda{}_\beta{} E_\delta$

와 같이 바꿀 수 있다. 여기서 $\lambda$ 는 $\alpha$ 를, $\mu$ 는 $\gamma$ 를 모든 곳에서 대체했기 때문에 식의 의미는 동일하게 유지된다.

하지만,

: $A^\alpha B_\beta{}^\gamma C_{\gamma\delta} + D^\alpha{}_\beta{} E_\delta \nrightarrow A^\lambda B_\beta{}^\gamma C_{\mu\delta} + D^\alpha{}_\beta{} E_\delta$

와 같이 바꾸는 것은 잘못된 변경이다. $\lambda$ 가 $\alpha$ 를 완전히 대체하지 않았고, $\mu$ 가 $\gamma$ 를 완전히 대체하지 않았기 때문이다.

첨자 표기법은 벡터 미적분학 항등식이나 크로네커 델타, 레비-치비타 기호의 항등식을 확인할 때 유용하게 사용될 수 있다.

3.4. 첨자는 매 항마다 동일함

텐서 표현식에서 자유 첨자는 모든 항에서 항상 동일한 (위 또는 아래) 위치에 나타나며, 텐서 방정식에서 자유 첨자는 양쪽에서 동일하다. 합 첨자(해당 첨자에 대한 합을 의미)는 동일할 필요가 없다. 예를 들면 다음과 같다.

: $A^\alpha B_\beta{}^\gamma C_{\gamma\delta} + D^\alpha{}_\delta E_\beta = T^\alpha{}_\beta{}_\delta$

잘못된 표현은 다음과 같다.

: $A^\alpha B_\beta{}^\gamma C_{\gamma\delta} + D_\alpha{}_\beta{}^\gamma E^\delta.$

즉, 반복되지 않는 첨자는 방정식의 모든 항에서 동일한 유형이어야 한다. 위 항등식에서 $\alpha, \beta, \delta$ 는 전체적으로 일직선이고 $\gamma$ 는 축약으로 인해 한 항에 2번(위 첨자로 1회, 아래 첨자로 1회) 발생하므로 유효한 표현이다. 유효하지 않은 표현에서 $\beta$ 는 정렬되지만 $\alpha$ 와 $\delta$ 는 정렬되지 않으며 $\gamma$ 는 한 항(축약)에 두 번 나타나고 다른 항에 한 번 나타나 일관성이 없다.

3.5. 암시된 경우 대괄호와 구두점을 한 번 사용함

여러 첨자(미분, 대칭 등)에 규칙을 적용할 때, 규칙을 나타내는 대괄호 또는 구두점 기호는 해당 규칙이 적용되는 첨자의 한 묶음에만 표시된다.

괄호가 '공변 첨자'를 묶는 경우, 규칙은 '괄호 안에 있는 모든 공변 첨자'에만 적용되며, 괄호 사이 중간에 배치되는 반공변 첨자에는 적용되지 않는다.

마찬가지로 대괄호가 '반공변 첨자'를 묶는 경우 규칙은 중간에 배치된 공변 첨자가 아닌 '모든 묶인 반공변 첨자'에만 적용된다. 색인 표기법도 참고.

여러 지수(미분, 대칭화 등)에 규칙을 적용할 때도 마찬가지로, 규칙을 나타내는 괄호 또는 구두점 기호는 해당 규칙이 적용되는 지수 그룹 중 하나에만 표시된다.

괄호 안에 '공변 지수'가 있는 경우, 규칙은 괄호 안에 포함된 '모든 공변 지수'에만 적용되며, 괄호 사이에 위치한 반변 지수에는 적용되지 않는다.

마찬가지로, 괄호 안에 '반변 지수'가 있는 경우, 규칙은 '괄호 안에 포함된 모든 반변 지수'에만 적용되며, 중간에 위치한 공변 지수에는 적용되지 않는다.

4. 대칭 및 반대칭 부분들

텐서의 대칭 및 반대칭 부분은 괄호와 대괄호를 사용하여 나타낼 수 있다. 괄호는 대칭 부분을, 대괄호는 반대칭 부분을 나타낸다.

임의의 텐서는 대칭 부분과 반대칭 부분의 합으로 표현될 수 있다. 예를 들어 텐서 $A_{\alpha\beta\gamma\cdots}$ 는 다음과 같이 분해할 수 있다.

: $A_{\alpha\beta\gamma\cdots} = A_{(\alpha\beta)\gamma\cdots}+A_{[\alpha\beta]\gamma\cdots}$

여기서 $A_{(\alpha\beta)\gamma\cdots}$ 는 텐서 $A_{\alpha\beta\gamma\cdots}$ 의 첨자 $\alpha$ , $\beta$ 에 대한 대칭 부분을, $A_{[\alpha\beta]\gamma\cdots}$ 는 반대칭 부분을 나타낸다.

* 대칭 부분은 첨자의 순서를 바꾸어도 값이 변하지 않는 성분이다.
* 반대칭 부분은 첨자의 순서를 바꿀 때 부호가 반대로 바뀌는 성분이다.

하지만 이러한 분해는 오직 두 개의 첨자에 대해서만 적용되며, 세 개 이상의 첨자에 대해서는 일반적으로 성립하지 않는다.

4.1. 텐서의 대칭 부분

괄호 ()는 텐서의 대칭화된 부분을 나타낸다. $p$ 개의 지수를 대칭화할 때, $\sigma$ 를 사용하여 1부터 $p$ 까지의 숫자들의 순열을 나타내고, 해당 지수 $\alpha_{\sigma(i)}$ 에 대한 순열의 합을 구한 다음, 순열의 개수로 나눈다( $i = 1, 2, 3, ..., p$ ).

: $A_{(\alpha_1\alpha_2\cdots\alpha_p)\alpha_{p + 1}\cdots\alpha_q} =\dfrac{1}{p!} \sum_{\sigma} A_{\alpha_{\sigma(1)}\cdots\alpha_{\sigma(p)}\alpha_{p + 1}\cdots\alpha_{q}} \,.$

예를 들어, 두 개의 대칭화 지수는 두 개의 지수를 순열하고 합한다는 것을 의미한다.

: $A_{(\alpha\beta)\gamma\cdots} = \dfrac{1}{2!} \left(A_{\alpha\beta\gamma\cdots} + A_{\beta\alpha\gamma\cdots} \right)$

세 개의 대칭화 지수의 경우, 합하고 순열해야 할 세 개의 지수가 있다.

: $A_{(\alpha\beta\gamma)\delta\cdots} =\dfrac{1}{3!} \left(A_{\alpha\beta\gamma\delta\cdots}+ A_{\gamma\alpha\beta\delta\cdots}+ A_{\beta\gamma\alpha\delta\cdots}+ A_{\alpha\gamma\beta\delta\cdots}+ A_{\gamma\beta\alpha\delta\cdots}+ A_{\beta\alpha\gamma\delta\cdots}\right)$

대칭화는 덧셈에 대해 분배적이다.

: $A_{(\alpha} \left(B_{\beta)\gamma\cdots} + C_{\beta)\gamma\cdots} \right) = A_{(\alpha}B_{\beta)\gamma\cdots} + A_{(\alpha}C_{\beta)\gamma\cdots}$

다음과 같은 경우에는 지수가 대칭화의 일부가 아니다.

* 같은 수준에 있지 않은 경우, 예를 들어

*: $A_{(\alpha}B^{\beta}{}_{\gamma)} = \dfrac{1}{2!} \left(A_{\alpha}B^{\beta}{}_{\gamma} + A_{\gamma}B^{\beta}{}_{\alpha} \right)$

* 괄호 안에 있고 수직선(|⋅⋅⋅|) 사이에 있는 경우

*: $A_{(\alpha}B_$

👆

좌우로 밀어서 보기

{}_{\gamma)} = \dfrac{1}{2!} \left(A_{\alpha}B_{\beta \gamma} + A_{\gamma}B_{\beta \alpha} \right)

여기서

\alpha

와

\gamma

지수는 대칭화되고

\beta

는 그렇지 않다.

4.2. 텐서의 반대칭 부분

대괄호([])는 여러 지수에 걸쳐 텐서의 반대칭 부분을 나타낸다. p개의 반대칭 지수의 경우, 해당 지수의 순열에 대한 합을 순열의 부호를 곱한 다음, 순열의 수로 나눈다.

: $\begin{align}& A_{[\alpha_1\cdots\alpha_p]\alpha_{p+1}\cdots\alpha_q} \\[3pt]={} & \dfrac{1}{p!} \sum_{\sigma}\sgn(\sigma) A_{\alpha_{\sigma(1)}\cdots\alpha_{\sigma(p)}\alpha_{p+1}\cdots\alpha_{q}} \\={} & \delta_{\alpha_1 \cdots \alpha_p}^{\beta_1 \dots \beta_p} A_{\beta_1 \cdots \beta_p\alpha_{p+1}\cdots\alpha_q} \\\end{align}$

여기서 $\delta_{\alpha_1 \cdots \alpha_p}^{\beta_1 \dots \beta_p}$ 는 일반화된 크로네커 델타로, 차수는 2p이다.

예를 들어, 두 개의 반대칭 지수는 다음을 의미한다.

: $A_{[\alpha\beta]\gamma\cdots} = \dfrac{1}{2!} \left(A_{\alpha\beta\gamma\cdots} - A_{\beta\alpha\gamma\cdots} \right)$

세 개의 반대칭 지수는 다음을 의미한다.

: $A_{[\alpha\beta\gamma]\delta\cdots} =\dfrac{1}{3!} \left(A_{\alpha\beta\gamma\delta\cdots}+ A_{\gamma\alpha\beta\delta\cdots}+ A_{\beta\gamma\alpha\delta\cdots}- A_{\alpha\gamma\beta\delta\cdots}- A_{\gamma\beta\alpha\delta\cdots}- A_{\beta\alpha\gamma\delta\cdots}\right)$

더 구체적인 예로, F가 전자기 텐서를 나타낸다면,

: $0 = F_{[\alpha\beta, \gamma]} = \dfrac{1}{3!} \left(F_{\alpha\beta,\gamma}+ F_{\gamma\alpha,\beta}+ F_{\beta\gamma,\alpha}- F_{\beta\alpha,\gamma}- F_{\alpha\gamma,\beta}- F_{\gamma\beta,\alpha}\right) \,$

라는 방정식은 자기 가우스 법칙과 패러데이 유도 법칙을 나타낸다.

반대칭화는 덧셈에 대해 분배된다.

: $A_{[\alpha} \left(B_{\beta]\gamma\cdots} + C_{\beta]\gamma\cdots} \right) =A_{[\alpha}B_{\beta]\gamma\cdots} + A_{[\alpha}C_{\beta]\gamma\cdots}$

대칭화와 마찬가지로, 지수는 다음과 같은 경우에는 반대칭화되지 않는다.

* 같은 레벨에 있지 않은 경우
* : $A_{[\alpha}B^{\beta}{}_{\gamma]} = \dfrac{1}{2!} \left(A_{\alpha}B^{\beta}{}_{\gamma} - A_{\gamma}B^{\beta}{}_{\alpha} \right)$
* 대괄호 안에 있고 수직 막대(|⋅⋅⋅|) 사이에 있는 경우
* : $A_{[\alpha}B_$

👆

좌우로 밀어서 보기

{}_{\gamma]} = \dfrac{1}{2!} \left(A_{\alpha}B_{\beta \gamma} - A_{\gamma}B_{\beta \alpha} \right)

여기서 α와 γ 지수는 반대칭화되고, β는 그렇지 않다.

4.3. 대칭 부분과 반대칭 부분의 합

임의의 텐서는 대칭 부분과 반대칭 부분의 합으로 표현될 수 있다. 예를 들어 텐서 $A_{\alpha\beta\gamma\cdots}$ 는 다음과 같이 분해할 수 있다.

: $A_{\alpha\beta\gamma\cdots} = A_{(\alpha\beta)\gamma\cdots}+A_{[\alpha\beta]\gamma\cdots}$

여기서 $A_{(\alpha\beta)\gamma\cdots}$ 는 텐서 $A_{\alpha\beta\gamma\cdots}$ 의 첨자 $\alpha$ , $\beta$ 에 대한 대칭 부분을, $A_{[\alpha\beta]\gamma\cdots}$ 는 반대칭 부분을 나타낸다.

* 대칭 부분은 첨자의 순서를 바꾸어도 값이 변하지 않는 성분이다. 예를 들어, 두 첨자에 대한 대칭 부분은 다음과 같이 정의된다.

: $A_{(\alpha\beta)\gamma\cdots} = \dfrac{1}{2!} \left(A_{\alpha\beta\gamma\cdots} + A_{\beta\alpha\gamma\cdots} \right)$

* 반대칭 부분은 첨자의 순서를 바꿀 때 부호가 반대로 바뀌는 성분이다. 예를 들어, 두 첨자에 대한 반대칭 부분은 다음과 같이 정의된다.

: $A_{[\alpha\beta]\gamma\cdots} = \dfrac{1}{2!} \left(A_{\alpha\beta\gamma\cdots} - A_{\beta\alpha\gamma\cdots} \right)$

위 식에서 $A_{(\alpha\beta)\gamma\cdots}$ 와 $A_{[\alpha\beta]\gamma\cdots}$ 에 대한 표현을 더하면 원래 텐서 $A_{\alpha\beta\gamma\cdots}$ 를 얻을 수 있다.

하지만 이러한 분해는 오직 두 개의 첨자에 대해서만 적용되며, 세 개 이상의 첨자에 대해서는 일반적으로 성립하지 않는다.

5. 미분

텐서 미적분학에서 사용되는 다양한 종류의 미분 연산은 다음과 같이 나타낼 수 있다. 간결성을 위해 도함수는 쉼표나 쌍반점 뒤에 첨자를 추가하여 표시할 수 있다.

* 편미분: 텐서 성분의 편미분과 관련된 표현식은 좌표 기저에만 적용된다.
* 공변 도함수: 접속이 주어진 경우에만 정의된다.
* 외미분: 기저 변환에서 공변인 미분이다. 계량 텐서나 접속이 필요 없으며 미분 다양체의 구조만 필요하다.
* 리 미분: 기저 변환에서 공변인 또 다른 도함수이다. 외미분과 마찬가지로 계량 텐서나 접속에 의존하지 않는다.

5.1. 편미분

리치 미적분학에서 대부분의 표현식은 임의의 기저에 대해 유효하지만, 텐서 성분의 편미분과 관련된 표현식은 좌표 기저에만 적용된다. 좌표는 보통 $x^\mu$ 로 표시되지만, 일반적으로 벡터의 성분을 형성하지는 않는다. 다양체 및 좌표계 선택에 대한 동일한 제약 조건에서 좌표에 대한 편도함수는 공변적인 결과를 생성한다.

텐서장 성분의 좌표 변수 $x^\gamma$ 에 대한 편미분을 나타내기 위해, 좌표 변수의 추가된 아래 첨자 앞에 쉼표가 배치된다.

: $A_{\alpha\beta\cdots,\gamma} = \dfrac{\partial}{\partial x^\gamma} A_{\alpha\beta\cdots}$

이 작업은 반복될 수 있다(쉼표를 추가하지 않고).

: $A_{\alpha_1\alpha_2\cdots\alpha_p\,,\,\alpha_{p+1}\cdots\alpha_q} =\dfrac{\partial}{\partial x^{\alpha_q}}\cdots\dfrac{\partial}{\partial x^{\alpha_{p+2}}}\dfrac{\partial}{\partial x^{\alpha_{p+1}}} A_{\alpha_1\alpha_2\cdots\alpha_p}.$

이러한 성분은 미분되는 표현식이 스칼라가 아닌 한 공변적으로 변환되지 않는다. 이 도함수는 곱 규칙과 좌표들의 도함수로 특징지어진다.

: $x^{\alpha}{}_{, \gamma} = \delta^{\alpha}_\gamma ,$

여기서 $\delta$ 는 크로네커 델타이다.

5.2. 공변 도함수

공변 도함수는 접속이 주어진 경우에만 정의된다. 임의의 텐서장에 대해, 아래 첨자(공변 첨자) 앞에 있는 쌍반점(;)은 공변 미분을 나타낸다. 쌍반점 대신에 빗금(/)이나 막대(|)를 쓰는 경우도 있다.

스칼라 함수, 반공변 벡터 및 공변 벡터의 공변 도함수는 다음과 같다.

: $f_{;\beta} = f_{,\beta}$
: $A^{\alpha}{}_{;\beta} = A^{\alpha}{}_{,\beta} + \Gamma^{\alpha} {}_{\gamma\beta}A^\gamma$
: $A_{\alpha ;\beta} = A_{\alpha,\beta} - \Gamma^{\gamma} {}_{\alpha\beta}A_\gamma \,,$

여기서 Γ^α_γβ^영어는 접속 계수이다.

임의의 텐서의 경우:

: $\begin{align}T^{\alpha_1 \cdots \alpha_r}{}_{\beta_1 \cdots \beta_s ; \gamma}& \\= T^{\alpha_1 \cdots \alpha_r}{}_{\beta_1 \cdots \beta_s , \gamma}&+ \, \Gamma^{\alpha_1}{}_{\delta \gamma} T^{\delta \alpha_2 \cdots \alpha_r}{}_{\beta_1 \cdots \beta_s} + \cdots + \Gamma^{\alpha_r}{}_{\delta \gamma} T^{\alpha_1 \cdots \alpha_{r-1} \delta}{}_{\beta_1 \cdots \beta_s} \\&- \, \Gamma^\delta{}_{\beta_1 \gamma} T^{\alpha_1 \cdots \alpha_r}{}_{\delta \beta_2 \cdots \beta_s} - \cdots - \Gamma^\delta{}_{\beta_s \gamma} T^{\alpha_1 \cdots \alpha_r}{}_{\beta_1 \cdots \beta_{s-1} \delta}\,.\end{align}$

텐서의 공변 도함수에 대한 대체 표기법은 첨자 ∇_β^영어이다. 벡터장 A^α^영어 의 경우:

: $\nabla_\beta A^\alpha = A^\alpha{}_{;\beta} \,.$

벡터 v^γ^영어를 따라 임의의 텐서장의 방향 미분에 대한 공변 공식화는 공변 도함수와의 축약으로 표현될 수 있다. 예:

: $v^\gamma A_{\alpha ;\gamma} \,.$

텐서장의 이 도함수의 성분은 공변적으로 변환되므로 아래 표현식(편도함수 및 접속 계수)이 별도로 공변적으로 변환되지 않음에도 불구하고 다른 텐서장을 형성한다.

이 도함수의 특징은 곱 규칙을 따른다는 것이다.

: $(A^{\alpha}{}_{\beta\cdots}B^{\gamma}{}_{\delta\cdots})_{;\epsilon} = A^{\alpha}{}_{\beta\cdots;\epsilon}B^{\gamma}{}_{\delta\cdots} + A^{\alpha}{}_{\beta\cdots}B^{\gamma}{}_{\delta\cdots;\epsilon} \,.$

5.2.1. 접속의 종류들

미분 다양체의 접다발에 대한 코쥘 접속을 아핀 접속이라고 한다.

계량 텐서의 공변 미분이 사라지는 접속은 계량 접속이다.

: $g_{\mu \nu ; \xi} = 0 \,.$

계량 접속이기도 한 아핀 접속을 리만 접속이라고 한다. 비틀림이 없는 (즉, 비틀림 텐서가 사라지는) 리만 접속은 레비치비타 접속이다.

좌표 기반 표현에서 레비치비타 접속에 대한 기호를 제2종 크리스토펠 기호 라고 한다.

5.3. 외미분

미분 형식이라고도 불리는 성분 A{{sub^영어를 갖는 완전 반대칭 유형 텐서장의 외미분은 기저 변환에서 공변인 미분이다. 이는 계량 텐서나 접속이 필요 없으며 미분 다양체의 구조만 필요하다. 좌표 기반 표현에서는 텐서 성분의 편도함수에 대한 반대칭으로 표현될 수 있다.

: $(\mathrm{d}A)_{\gamma\alpha_1\cdots\alpha_s} = \frac{\partial}{\partial x^{[\gamma}} A_{\alpha_1\cdots\alpha_s]} = A_{[\alpha_1\cdots\alpha_s,\gamma]} .$

이 도함수는 반공변 첨자가 있거나 완전 반대칭이 아닌 텐서장에서는 정의되지 않는다. 등급화된 곱 규칙이 특징이다. 간결성을 위해 미분은 쉼표 또는 세미콜론 뒤에 지수를 추가하여 표시할 수 있다.

미분 형식이라고도 불리는 성분 A{{sub^영어인 완전 반대칭형 텐서장의 외미분은 기저 변환에 대해 공변하는 미분이다. 이 미분은 계량 텐서나 접속에 의존하지 않으며, 단지 미분 가능한 다양체의 구조만을 필요로 한다. 좌표 기저에서, 텐서 성분의 편미분을 반대칭화한 형태로 표현될 수 있다.

: $(\mathrm{d}A)_{\gamma\alpha_1\cdots\alpha_s} = \frac{\partial}{\partial x^{[\gamma}} A_{\alpha_1\cdots\alpha_s]} = A_{[\alpha_1\cdots\alpha_s,\gamma]} .$

이 미분은 반변 지수를 갖거나 완전 반대칭이 아닌 텐서장에는 정의되지 않는다. 외미분은 등급 곱 규칙으로 특징지어진다.

5.4. 리 미분

리 미분은 기저 변환에서 공변인 또 다른 도함수이다. 외미분과 마찬가지로 계량 텐서나 접속에 의존하지 않는다. 반공변 벡터장 $X^\rho$ (의 흐름)에 따른 (r, s)-텐서장 $T$ 의 리 미분은 좌표 기반 표현을 사용하여 다음과 같이 표현될 수 있다.

: $\begin{align}(\mathcal{L}_X T)^{\alpha_1 \cdots \alpha_r}{}_{\beta_1 \cdots \beta_s}& \\= X^\gamma T^{\alpha_1 \cdots \alpha_r}{}_{\beta_1 \cdots \beta_s, \gamma}& - \, X^{\alpha_1}{}_{, \gamma} T^{\gamma \alpha_2 \cdots \alpha_r}{}_{\beta_1 \cdots \beta_s} - \cdots - X^{\alpha_r}{}_{, \gamma} T^{\alpha_1 \cdots \alpha_{r-1} \gamma}{}_{\beta_1 \cdots \beta_s} \\& + \, X^{\gamma}{}_{, \beta_1} T^{\alpha_1 \cdots \alpha_r}{}_{\gamma \beta_2 \cdots \beta_s} + \cdots + X^{\gamma}{}_{, \beta_s} T^{\alpha_1 \cdots \alpha_r}{}_{\beta_1 \cdots \beta_{s-1} \gamma} \,.\end{align}$

이 미분은 곱 규칙과 반공변 벡터장의 리 미분 자체가 0이라는 사실이 특징이다.

: $(\mathcal{L}_X X)^{\alpha} = X^\gamma X^\alpha{}_{,\gamma} - X^\alpha{}_{,\gamma} X^\gamma = 0 \,.$

간결성을 위해 미분은 쉼표 또는 세미콜론 뒤에 지수를 추가하여 표시할 수 있다.

6. 주목할만한 텐서

텐서 미적분학에서 중요하게 사용되는 몇 가지 텐서는 다음과 같다.

* [[크로네커 델타]]: 곱하고 축약할 때 단위 행렬과 같은 역할을 한다. 다양체의 차원을 나타내는 불변량을 제공한다.
* 비틀림 텐서( $T^\alpha{}_{\beta\gamma}$ ): 아핀 접속에서 정의되는 텐서이다. 레비치비타 접속의 경우 이 텐서는 0이다.
* [[리만 곡률 텐서]]( $R^\rho{}_{\sigma\mu\nu}$ ): 크리스토펠 기호를 사용하여 정의되며, 공변 미분의 교환자로 표현될 수 있다. 이는 리치 항등식을 통해 일반화할 수 있다.
* [[계량 텐서]]( $g_{α\beta}$ ): 접공간에 내적을 나타내는 텐서로, 첨자를 낮추거나 곡선의 길이를 계산하는 데 사용된다. 역행렬 $g^{\alpha\beta}$ 는 첨자를 높이는 데 사용된다.

6.1. 크로네커 델타

크로네커 델타는 곱하고 축약할 때 단위 행렬과 같다.

: $\begin{align}\delta^{\alpha}_{\beta} \, A^{\beta} &= A^{\alpha} \\\delta^{\mu}_{\nu} \, B_{\mu} &= B_{\nu} .\end{align}$

성분 δ^라틴어{{su^라틴어는 모든 기저에서 동일하며 (1, 1)^라틴어형 불변 텐서, 즉 기저 다양체의 항등 사상에 대한 접다발의 항등원을 형성하므로 그 대각합은 불변이다. 이 대각합은 다양체의 차원이다.

이 크로네커 델타는 일반화된 크로네커 델타 계열 중 하나이다. 일반화된 2p^라틴어 차 크로네커 델타는 다음과 같이 크로네커 델타로 정의될 수 있다(일반적인 정의에는 오른쪽에 p!^라틴어의 추가 승수가 포함된다).

: $\delta^{\alpha_1 \cdots \alpha_p}_{\beta_1 \cdots \beta_p} = \delta^{[\alpha_1}_{\beta_1} \cdots \delta^{\alpha_p]}_{\beta_p} ,$

첨자 p^라틴어에 대해 반대칭화로 작용한다.

: $\delta^{\alpha_1 \cdots \alpha_p}_{\beta_1 \cdots \beta_p} \, A^{\beta_1 \cdots \beta_p} = A^{[\alpha_1 \cdots \alpha_p]} .$

6.2. 비틀림 텐서

아핀 접속에는 비틀림 텐서 $T^\alpha{}_{\beta\gamma}$ 가 있다.

: $T^\alpha{}_{\beta\gamma} = \Gamma^\alpha{}_{\beta\gamma} - \Gamma^\alpha{}_{\gamma\beta} - \gamma^\alpha{}_{\beta\gamma}$

여기서 $\gamma^\alpha{}_{\beta\gamma}$ 는 국소 기저의 리 괄호 성분이며, 좌표 기저에서는 사라진다.

레비치비타 접속의 경우 이 텐서는 0으로 정의되며, 좌표 기저에서는 다음 방정식을 얻는다.

: $\Gamma^\alpha{}_{\beta\gamma} = \Gamma^\alpha{}_{\gamma\beta}$

6.3. 리만 곡률 텐서

리만 곡률 텐서는 다음과 같이 정의된다.

: $R^\rho{}_{\sigma\mu\nu} = \Gamma^\rho{}_{\nu\sigma,\mu}- \Gamma^\rho{}_{\mu\sigma,\nu}+ \Gamma^\rho{}_{\mu\lambda}\Gamma^\lambda{}_{\nu\sigma}- \Gamma^\rho{}_{\nu\lambda}\Gamma^\lambda{}_{\mu\sigma} \,,$

여기서 Γ^영어는 크리스토펠 기호이다.

이 텐서는 공변 미분의 교환자로 표현될 수 있다. 즉,

: $A_{\nu ; \rho \sigma} - A_{\nu ; \sigma \rho} = A_{\beta} R^{\beta}{}_{\nu \rho \sigma} \,,$

이는 접속(connection)에 비틀림(torsion)이 없기 때문이며, 다시 말해 비틀림 텐서가 0이기 때문이다.

이것은 임의의 텐서에 대해 두 공변 미분의 교환자를 얻기 위해 다음과 같이 일반화할 수 있다.

: $\begin{align}T^{\alpha_1 \cdots \alpha_r}{}_{\beta_1 \cdots \beta_s ; \gamma \delta}&- T^{\alpha_1 \cdots \alpha_r}{}_{\beta_1 \cdots \beta_s ; \delta \gamma} \\&\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!= - R^{\alpha_1}{}_{\rho \gamma \delta} T^{\rho \alpha_2 \cdots \alpha_r}{}_{\beta_1 \cdots \beta_s}- \cdots- R^{\alpha_r}{}_{\rho \gamma \delta} T^{\alpha_1 \cdots \alpha_{r-1} \rho}{}_{\beta_1 \cdots \beta_s} \\&+ R^\sigma{}_{\beta_1 \gamma \delta} T^{\alpha_1 \cdots \alpha_r}{}_{\sigma \beta_2 \cdots \beta_s}+ \cdots+ R^\sigma{}_{\beta_s \gamma \delta} T^{\alpha_1 \cdots \alpha_r}{}_{\beta_1 \cdots \beta_{s-1} \sigma} \,\end{align}$

위 식은 종종 리치 항등식이라고 불린다.

6.4. 계량 텐서

계량 텐서는 접공간에 내적을 나타내는 텐서로, g{{sub^영어로 표기한다. 계량 텐서는 첨자를 낮추는 데 사용되며, 곡선의 길이를 계산하는 데에도 쓰인다.

계량 텐서의 역행렬 g{{sup^영어은 첨자를 높이는 데 사용되는 중요한 텐서이다. 이 두 텐서는 다음 관계를 만족한다.

: $g^{αβ}g_{βγ} = δ^α_γ\,.$

계량 텐서는 공간과 같은 곡선의 길이를 다음과 같이 제공한다.

: $\text{길이} = \int^{y_2}_{y_1} \sqrt{g_{αβ}\frac{dx^α}{dγ}\frac{dx^β}{dγ}}\,dγ\,.$

여기서 γ^영어는 경로의 임의의 매끄럽고 엄격하게 단조로운 매개변수화이다.

또한, 계량 텐서는 시간과 같은 곡선의 지속 시간을 다음과 같이 제공한다.

: $\text{지속 시간} = \int^{t_2}_{t_1} \sqrt{\frac{-1}{c^2}g_{αβ}\frac{dx^α}{dγ}\frac{dx^β}{dγ}}\,dγ\,.$

여기서 γ^영어는 궤적의 임의의 매끄럽고 엄격하게 단조로운 매개변수화이다. (선 요소 참조)

7. 텐서 미적분학의 응용 (한국의 관점)

텐서 미적분학은 물리학, 공학, 컴퓨터 과학 등 여러 분야에 응용되고 있다. 특히 한국의 과학 기술 발전과 관련하여 다음과 같은 응용 사례를 들 수 있다.

(하위 섹션의 내용과 겹치지 않도록 작성해야 하며, 아래 내용은 예시이므로 실제 내용은 원본 소스를 기반으로 작성해야 한다.)

* (예시) 한국의 반도체 산업에서 텐서 미적분학은 소자 설계 및 공정 최적화에 활용될 수 있다.
* (예시) 한국의 자동차 산업에서 텐서 미적분학은 차량의 구조 해석 및 충돌 안전성 분석에 사용될 수 있다.
* (예시) 한국의 인공지능 연구에서 텐서 미적분학은 딥러닝 모델 개발 및 성능 향상에 기여할 수 있다.

7.1. 물리학

텐서 미적분학은 물리학, 공학, 컴퓨터 과학 분야에서 탄성, 연속체 역학, 전자기학(전자기장의 수학적 설명 참조), 일반 상대성 이론(일반 상대성 이론의 수학 참조), 양자장론, 기계 학습 등 여러 분야에 응용되고 있다.

7.2. 공학

텐서 미적분학은 물리학, 공학, 컴퓨터 과학 분야에서 탄성, 연속체 역학, 전자기학(전자기장의 수학적 설명 참조) 등 많은 응용 분야를 가지고 있다.

7.3. 컴퓨터 과학

텐서 미적분학은 기계 학습을 포함하여 컴퓨터 과학 등 여러 분야에서 응용되고 있다.

분야	텐서 미적분학
이름의 유래	그레고리오 리치쿠르바스트로
발명가	그레고리오 리치쿠르바스트로 툴리오 레비치비타
개발 연도	1880년대 후반 ~ 1890년대 초반

상세 정보

설명	텐서 기반 계산을 위한 텐서 첨자 표기법
주요 특징	첨자 표기법을 사용하여 텐서 연산을 간결하고 효율적으로 표현
활용 분야	미분기하학 일반 상대성 이론 공학 물리학