미분학적 공간

"오늘의AI위키"는 AI 기술로 일관성 있고 체계적인 최신 지식을 제공하는 혁신 플랫폼입니다.
"오늘의AI위키"의 AI를 통해 더욱 풍부하고 폭넓은 지식 경험을 누리세요.

1. 개요

미분학적 공간은 집합 위에 정의된 미분학적 구조를 갖춘 공간으로, 매끄러운 다양체를 일반화한 개념이다. 미분학적 구조는 플롯이라고 불리는 함수들의 집합으로 구성되며, 덮개 공리, 국소성 공리, 매끄러운 호환성 공리를 만족해야 한다. 미분학적 공간은 몫공간, 곱공간, 함수 공간 등 다양한 연산을 통해 구성될 수 있으며, D-위상이라는 표준적인 위상을 갖는다. 미분학적 공간 사이의 사상은 매끄러운 함수로 정의되며, 서브덕션과 인덕션이라는 특별한 종류의 사상이 존재한다. 이 개념은 장마리 수리오에 의해 1979년에 도입되었다.

더 읽어볼만한 페이지

매끄러운 다양체 - 푸아송 다양체
푸아송 다양체는 매끄러운 다양체에 푸아송 괄호를 갖춘 구조로, 해밀턴 계의 일반화이며, 텐서장, 리 준대수 등으로 정의되고 물리학, 비가환 기하학 등과 연관된다.
매끄러운 다양체 - 준 리만 다양체
준 리만 다양체는 매끄러운 다양체에 대칭적이고 비자명적인 성질을 갖는 매끄러운 (0,2)-텐서장인 계량 텐서가 갖추어진 다양체이며, 계량 텐서가 양의 정부호일 경우 리만 다양체가 되고, 특히 부호수가 (dim M-1,1)인 다양체는 로런츠 다양체라고 불린다.
미분기하학 - 가우스 곡률
가우스 곡률은 3차원 유클리드 공간에 놓인 곡면의 두 주곡률의 곱으로, 곡면의 형태를 나타내는 지표이며 곡면 자체의 길이 측정만으로 결정되는 내재적인 값이다.
미분기하학 - 가우스의 빼어난 정리
가우스의 빼어난 정리는 곡면의 가우스 곡률이 외부 공간이 아닌 곡면 자체의 리만 계량만으로 결정된다는 정리로, 곡면의 변형 시 가우스 곡률이 보존됨을 의미하며, 지도 제작의 불가능성 증명과 고차원 리만 다양체 일반화에 응용되어 미분기하학과 일반 상대성 이론의 기초가 된다.

미분학적 공간
디피올로지 공간
정의
유형	집합
추가 구조	디피올로지
관련 분야	미분 기하학
속성
범주	데카르트 닫힌 범주
예시	매니폴드 궤다발 몫 공간 함수 공간
명명법
창시자	장마리 수리아우
창시 년도	1980년

2. 정의

집합 $X$ 위의 '''미분학적 구조'''(微分學的構造, 디피올로지/diffeology^영어) $\mathcal D = \{(n_i,U_i,f_i)\}_{i\in I}$ 는 다음과 같은 꼴의 순서쌍들의 집합이다.^[7]

$(n,U,f)$ 에서, $n\in\mathbb N$ 은 자연수이며, $U\subseteq\mathbb R^n$ 는 $n$ 차원 유클리드 공간의 열린집합이며, $f\colon U \to X$ 는 함수이다.

이는 다음 조건들을 만족시켜야 한다.

임의의 유클리드 공간 $\mathbb R^n$ 의 열린집합 $U\subseteq\mathbb R^n$ 및 임의의 원소 $x\in X$ 에 대하여, $x$ 값의 상수 함수 $(n,U,f\colon U\to X)$ 는 $\mathcal D$ 의 원소이다.
임의의 유클리드 공간 $\mathbb R^n$ 의 열린집합 $U\subseteq\mathbb R^n$ 및 임의의 함수 $f\colon U\to X$ 에 대하여, 만약 다음 조건이 성립한다면, $(n,U,f)\in\mathcal D$ 이다.
: 임의의 $u\in U$ 에 대하여, $(n,V,f\restriction V) \in \mathcal D$ 인 $u$ 의 열린 근방 $u\in V\subseteq U$ 가 존재한다.
임의의 $(n,U,f)\in\mathcal D$ 및 임의의 $V\subseteq\mathbb R^m$ 및 임의의 매끄러운 함수 $\phi\colon V\to U$ 에 대하여, $(m,V,f\circ\phi)\in\mathcal D$ 이다.

미분학적 구조를 갖춘 집합을 '''미분학적 공간'''이라고 한다.

두 미분학적 공간

(X,\mathcal D)

,

(Y,\mathcal E)

사이의 '''매끄러운 함수'''

\phi\colon X\to Y

는 다음 조건을 만족시키는 함수이다.

임의의 $(n,U,f)\in\mathcal D$ 에 대하여, $(n,U,\phi\circ f)\in\mathcal E$ 이다.

이를 통해 미분학적 공간의 범주를 정의할 수 있다.

집합 ''

X

'' 위의 '''미분학적 공간'''은 모든 상수 맵을 플롯으로 포함하고(덮개 공리), 주어진 맵 ''

f: U \to X

''에 대해 ''

U

''의 모든 점이 ''

f_{\mid V}

''가 플롯인 근방 ''

V \subset U

''를 가지면 ''

f

'' 자체도 플롯이며(국소성 공리), ''

p

''가 플롯이고 ''

f

''가 어떤

\mathbb{R}^m

의 열린 부분 집합에서 ''

p

''의 영역으로 가는 매끄러운 함수라면 합성 ''

p \circ f

''는 플롯인(매끄러운 호환성 공리) 조건을 만족하는, 열린 집합

\mathbb{R}^n

(''

n \geq 0

'')의 열린 부분 집합에서 ''

X

''로 가는 맵(map), 즉 '''플롯''' 또는 매개변수화의 모음이다.^[7] 특히, 모든 미분학적 공간은 ''

n = 0

''인 플롯으로 기본 집합의 원소를 포함한다.

더 추상적으로, 미분학적 공간은 모든 ''

n \geq 0

''에 대한

\mathbb{R}^n

의 열린 부분 집합과 열린 덮개에 대한 층이다.^[7]

2. 1. 플롯

미분학적 공간에서의 플롯은 유클리드 공간

\mathbb{R}^n

의 열린집합

U

에서

X

로 가는 함수

f\colon U \to X

이다.^[7] 플롯은 다음의 성질을 만족시킨다.

'''덮개 공리''': 모든 상수 맵은 플롯이다.
'''국소성 공리''': 주어진 맵 $f: U \to X$ 에 대해, $U$ 의 모든 점이 $f_{\mid V}$ 가 플롯인 근방 $V \subset U$ 를 가지면, $f$ 자체도 플롯이다.
'''매끄러운 호환성 공리''': $p$ 가 플롯이고, $f$ 가 어떤 $\mathbb{R}^m$ 의 열린 부분 집합에서 $p$ 의 영역으로 가는 매끄러운 함수라면, 합성 $p \circ f$ 는 플롯이다.^[7]

서로 다른 플롯의 영역은 서로 다른

n

값에 대해

\mathbb{R}^n

의 부분 집합일 수 있다. 특히, 모든 미분학적 공간은

n = 0

인 플롯으로 기본 집합의 원소를 포함한다.^[7]

2. 2. 미분학적 구조의 공리

집합 ''X'' 위의 '''미분학적 공간'''은 다음 공리를 만족하는 열린 집합

\mathbb{R}^n

(''n ≥ 0'')의 열린 부분 집합에서 ''X''로 가는 맵(map), 즉 '''플롯''' 또는 매개변수화의 모음으로 구성된다.^[7]

'''덮개 공리''': 모든 상수 함수는 플롯이다.^[7]
'''국소성 공리''': 주어진 맵 ''f: U → X''에 대해, ''U''의 모든 점이 ''f''를 제한한 함수가 플롯이 되는 근방을 가지면, ''f'' 자체도 플롯이다.^[7]
'''매끄러운 호환성 공리''': ''p''가 플롯이고, ''f''가 어떤 $\mathbb{R}^m$ 의 열린 부분 집합에서 ''p''의 영역으로 가는 매끄러운 함수라면, 합성 ''p ∘ f''는 플롯이다.^[7]

서로 다른 플롯의 영역은 서로 다른 ''n'' 값에 대해

\mathbb{R}^n

의 부분 집합일 수 있다. 특히, 모든 미분학적 공간은 ''n = 0''인 플롯으로 기본 집합의 원소를 포함한다. 미분학적 공간을 갖춘 집합을 '''미분학적 공간'''이라고 한다.^[7]

더 추상적으로, 미분학적 공간은 모든 ''n ≥ 0''에 대한

\mathbb{R}^n

의 열린 부분 집합과 열린 덮개에 대한 층이다.^[7]

2. 3. 미분학적 공간

집합

X

위의 '''미분학적 구조'''(微分學的構造, 디피올로지/diffeology^영어)

\mathcal D = \{(n_i,U_i,f_i)\}_{i\in I}

는 다음과 같은 꼴의 순서쌍들의 집합이다.^[7]

$(n,U,f)$ 에서, $n\in\mathbb N$ 은 자연수이며, $U\subseteq\mathbb R^n$ 는 $n$ 차원 유클리드 공간의 열린집합이며, $f\colon U \to X$ 는 함수이다.

이는 다음 조건들을 만족시켜야 한다.

임의의 유클리드 공간 $\mathbb R^n$ 의 열린집합 $U\subseteq\mathbb R^n$ 및 임의의 원소 $x\in X$ 에 대하여, $x$ 값의 상수 함수 $(n,U,f\colon U\to X)$ 는 $\mathcal D$ 의 원소이다.
임의의 유클리드 공간 $\mathbb R^n$ 의 열린집합 $U\subseteq\mathbb R^n$ 및 임의의 함수 $f\colon U\to X$ 에 대하여, 만약 다음 조건이 성립한다면, $(n,U,f)\in\mathcal D$ 이다.
: 임의의 $u\in U$ 에 대하여, $(n,V,f\restriction V) \in \mathcal D$ 인 $u$ 의 열린 근방 $u\in V\subseteq U$ 가 존재한다.
임의의 $(n,U,f)\in\mathcal D$ 및 임의의 $V\subseteq\mathbb R^m$ 및 임의의 매끄러운 함수 $\phi\colon V\to U$ 에 대하여, $(m,V,f\circ\phi)\in\mathcal D$ 이다.

미분학적 구조를 갖춘 집합을 '''미분학적 공간'''이라고 한다.

두 미분학적 공간

(X,\mathcal D)

,

(Y,\mathcal E)

사이의 '''매끄러운 함수'''

\phi\colon X\to Y

는 다음 조건을 만족시키는 함수이다.

임의의 $(n,U,f)\in\mathcal D$ 에 대하여, $(n,U,\phi\circ f)\in\mathcal E$ 이다.

이를 통해 미분학적 공간의 범주를 정의할 수 있다.

집합 ''

X

'' 위의 '''미분학적 공간'''은 모든 상수 맵을 플롯으로 포함하고(덮개 공리), 주어진 맵 ''

f: U \to X

''에 대해 ''

U

''의 모든 점이 ''

f_{\mid V}

''가 플롯인 근방 ''

V \subset U

''를 가지면 ''

f

'' 자체도 플롯이며(국소성 공리), ''

p

''가 플롯이고 ''

f

''가 어떤

\mathbb{R}^m

의 열린 부분 집합에서 ''

p

''의 영역으로 가는 매끄러운 함수라면 합성 ''

p \circ f

''는 플롯인(매끄러운 호환성 공리) 조건을 만족하는, 열린 집합

\mathbb{R}^n

(''

n \geq 0

'')의 열린 부분 집합에서 ''

X

''로 가는 맵(map), 즉 '''플롯''' 또는 매개변수화의 모음이다.^[7] 특히, 모든 미분학적 공간은 ''

n = 0

''인 플롯으로 기본 집합의 원소를 포함한다.

더 추상적으로, 미분학적 공간은 모든 ''

n \geq 0

''에 대한

\mathbb{R}^n

의 열린 부분 집합과 열린 덮개에 대한 층이다.^[7]

2. 4. 매끄러운 함수

두 미분학적 공간 사이의 사상은 첫 번째 공간의 모든 플롯과의 합성으로 두 번째 공간의 플롯이 얻어질 때 '''매끄럽다'''고 한다.^[7] 이 사상이 매끄럽고, 전단사이며, 그 역함수 또한 매끄러울 때 '''미분동형사상'''이라고 한다.^[7] 미분학적 공간 ''

X

''가 주어졌을 때, ''

U

''에서 정의된 이 공간의 플롯은 정확히 ''

U

''에서 ''

X

''로의 모든 매끄러운 사상이다.^[7]

미분학적 공간들은 범주를 형성하며, 여기서 사상은 매끄러운 사상이다.^[7] 미분학적 공간 범주는 많은 범주론적 연산에 대해 닫혀 있다. 예를 들어, 이 범주는 데카르트 닫힌 범주이며, 완비 및 쌍대 완비 범주이고, 더 일반적으로 준토포스이다.^[7]

3. 성질

미분학적 공간 $(X,\mathcal D)$ 위에는 표준적인 위상을 줄 수 있으며, 이 경우 집합이 열린집합일 필요충분조건은 다음과 같다.

: $B \in \operatorname{Open}(X) \iff \forall (n,U,f)\in\mathcal D\colon f^{-1}(B) \in \operatorname{Open}(\mathbb R^n)$

여기서 $\operatorname{Open}(\mathbb R^n)$ 은 $\mathbb R^n$ 의 열린집합들의 집합이다. 즉, 이 위상은 모든 함수 $f$ 들의 연속 함수가 되는 가장 섬세한 위상이다.

미분학적 공간의 범주는 준토포스를 이룬다.

미분 가능 공간은 자동으로 소위 '''D-위상'''을 갖는 위상 공간이 된다.^[8] 모든 플롯이 ( $\mathbb{R}^n$ 의 유클리드 위상과 관련하여) 연속 함수이 되도록 하는 극대 위상 공간이다.

다시 말해, 부분 집합 $U \subset X$ 가 열린 집합인 것은 플롯 $f$ 에 대해 $f^{-1}(U)$ 가 열린 집합일 때와 같다. 실제로 D-위상은 매끄러운 곡선에 의해 완전히 결정된다. 즉, 부분 집합 $U \subset X$ 가 열린 집합인 것은 모든 매끄러운 사상 $c: \mathbb{R} \to X$ 에 대해 $c^{-1}(U)$ 가 열린 집합일 때와 같다.^[16]

D-위상은 자동으로 국소 경로 연결이며^[9] 미분 가능 공간 간의 미분 가능한 사상은 자동으로 D-위상 사이에서 연속 함수가 된다.^[5]

3. 1. D-위상

미분학적 공간

(X,\mathcal D)

위에는 표준적인 위상을 줄 수 있다. 이 위상은 모든 플롯을 연속 함수로 만드는 가장 섬세한 위상이다.^[8]

미분학적 공간의 범주는 준토포스를 이룬다.

미분 가능 공간은 자동적으로 D-위상을 갖는 위상 공간이 된다.^[8] 부분 집합

U \subset X

가 D-위상에서 열린 집합인 것은 모든 플롯

f

에 대해

f^{-1}(U)

가 열린 집합일 때이다. D-위상은 매끄러운 곡선에 의해 완전히 결정된다. 즉, 부분 집합

U \subset X

가 열린 집합인 것은 모든 매끄러운 사상

c: \mathbb{R} \to X

에 대해

c^{-1}(U)

가 열린 집합일 때와 같다.^[16]

D-위상은 자동적으로 국소 경로 연결이며,^[9] 미분 가능 공간 간의 미분 가능한 사상은 자동적으로 D-위상 사이에서 연속 함수가 된다.^[5]

3. 2. 범주론적 성질

미분학적 공간

(X,\mathcal D)

위에는 표준적인 위상을 줄 수 있으며, 이 경우 집합이 열린집합일 필요 충분 조건은 다음과 같다.

:

B \in \operatorname{Open}(X) \iff \forall (n,U,f)\in\mathcal D\colon f^{-1}(B) \in \operatorname{Open}(\mathbb R^n)

여기서

\operatorname{Open}(\mathbb R^n)

은

\mathbb R^n

의 열린집합들의 집합이다. 즉, 이 위상은 모든 함수

f

들의 연속 함수가 되는 가장 섬세한 위상이다.

미분학적 공간의 범주는 준토포스를 이룬다.

4. 연산

미분학적 공간의 부분 집합은 표준적으로 미분학적 공간을 이룬다.^[16] ''Y''가 미분 기하학적 공간 ''X''의 부분 집합이면, ''Y''에 대한 부분 공간 미분 기하학은 이미지가 ''Y''의 부분 집합인 ''X''의 플롯으로 구성된 미분 기하학이다. ''Y''의 D-위상은 ''Y''가 열려있으면 ''X''의 D-위상의 부분 공간 위상과 같지만, 일반적으로 더 세밀할 수 있다.^[16]

미분학적 공간의 몫집합은 표준적으로 미분학적 공간을 이룬다. 동치 관계가 주어진 미분학적 공간의 몫집합에 대한 몫 미분 기하학은 원래 미분학적 공간의 플롯과 몫집합으로의 투영의 합성을 통해 정의된다. 이 몫 미분 기하학은 D-위상을 가지며, 이 위상은 원래 미분학적 공간의 D-위상의 몫 위상이다.

두 미분학적 공간 $X$ 와 $Y$ 가 주어졌을 때, 데카르트 곱 $X \times Y$ 에 대한 곱 미분학적 구조는 $X$ 와 $Y$ 의 모든 플롯의 곱으로 생성되는 미분 기하학이다.^[16] $X \times Y$ 의 D-위상은 $X$ 또는 $Y$ 가 국소 콤팩트인 경우 곱 위상과 같지만, 일반적으로 더 세밀할 수 있다.^[16]

두 미분학적 공간 사이의 매끄러운 함수들의 집합은 자연스럽게 미분학적 공간을 이룬다.^[16] 이러한 함수 공간의 미분학적 구조는 함수 미분 기하학이라고 불리며, 미분 가능한 맵의 집합 $\mathcal{C}^{\infty}(X,Y)$ 에 대한 미분 기하학으로 정의된다. 이 미분 기하학의 플롯은 $(u,x) \mapsto \phi(u)(x)$ 가 매끄럽도록 하는 맵 $\phi: U \to \mathcal{C}^{\infty}(X,Y)$ 이다 (여기서 $U \times X$ 는 곱 미분 기하학을 따른다).^[16]

4. 1. 부분 공간 미분학적 구조

미분학적 공간의 부분 집합은 표준적으로 미분학적 공간을 이룬다.^[16] ''Y''가 미분 기하학적 공간 ''X''의 부분 집합이면, ''Y''에 대한 부분 공간 미분 기하학은 이미지가 ''Y''의 부분 집합인 ''X''의 플롯으로 구성된 미분 기하학이다. ''Y''의 D-위상은 ''Y''가 열려있으면 ''X''의 D-위상의 부분 공간 위상과 같지만, 일반적으로 더 세밀할 수 있다.^[16]

4. 2. 몫공간 미분학적 구조

미분학적 공간의 몫집합은 표준적으로 미분학적 공간을 이룬다. 동치 관계가 주어진 미분학적 공간의 몫집합에 대한 몫 미분 기하학은 원래 미분학적 공간의 플롯과 몫집합으로의 투영의 합성을 통해 정의된다. 이 몫 미분 기하학은 D-위상을 가지며, 이 위상은 원래 미분학적 공간의 D-위상의 몫 위상이다.

4. 3. 곱 미분학적 구조

두 미분학적 공간

X

와

Y

가 주어졌을 때, 데카르트 곱

X \times Y

에 대한 곱 미분학적 구조는

X

와

Y

의 모든 플롯의 곱으로 생성되는 미분 기하학이다.^[16]

X \times Y

의 D-위상은

X

또는

Y

가 국소 콤팩트인 경우 곱 위상과 같지만, 일반적으로 더 세밀할 수 있다.^[16]

4. 4. 함수 공간 미분학적 구조

두 미분학적 공간 사이의 매끄러운 함수들의 집합은 자연스럽게 미분학적 공간을 이룬다.^[16] 이러한 함수 공간의 미분학적 구조는 함수 미분 기하학이라고 불리며, 미분 가능한 맵의 집합

\mathcal{C}^{\infty}(X,Y)

에 대한 미분 기하학으로 정의된다. 이 미분 기하학의 플롯은

(u,x) \mapsto \phi(u)(x)

가 매끄럽도록 하는 맵

\phi: U \to \mathcal{C}^{\infty}(X,Y)

이다 (여기서

U \times X

는 곱 미분 기하학을 따른다).^[16]

5. 예

모든 n차원 매끄러운 다양체 M은 미분학적 공간이다. 이 경우 미분학적 구조는 $\mathbb R^n$ 의 열린집합에서 M으로 가는 모든 매끄러운 함수들의 집합이다. 보다 일반적으로, 모든 프레셰 다양체는 미분학적 공간이다.

1차원 유클리드 공간 $\mathbb R$ 의 몫

: $\frac{\mathbb R}{\mathbb Z+\alpha\mathbb Z}$

을 생각하자. 이는 미분학적 공간의 몫이므로 미분학적 공간을 이룬다. 만약 $\alpha$ 가 유리수라면 이는 원과 동형이지만, 만약 무리수라면 이는 매끄러운 다양체가 아니다. 이 경우, 이는 위상 공간으로서 비이산 공간이나, 이는 자명하지 않은 미분학적 공간이다.

5. 1. 자명한 예

모든 집합은 가장 큰 미분 구조인 거친 미분 구조를 가질 수 있다. 이 경우 모든 함수가 매끄러운 함수가 되며, 해당 D-위상은 자명 위상이 된다. 또, 모든 집합은 가장 작은 미분 구조인 이산 미분 구조를 가질 수 있는데, 이 경우 국소적으로 상수 함수만이 매끄러운 함수가 되며, 해당 D-위상은 이산 위상이 된다.

5. 2. 다양체

모든 매끄러운 다양체는 미분학적 공간이다. 이 경우 미분학적 구조는

\mathbb R^n

의 열린집합에서 다양체로 가는 모든 매끄러운 함수들의 집합이다.^[11] 복소 다양체, 해석적 다양체 등도 추가 구조를 보존하는 사상으로 구성된 자연스러운 미분 위상성을 갖는다.^[11]

1차원 유클리드 공간

\mathbb R

의 몫

:

\frac{\mathbb R}{\mathbb Z+\alpha\mathbb Z}

을 생각하자. 이는 미분학적 공간의 몫이므로 미분학적 공간을 이룬다. 만약

\alpha

가 유리수라면 이는 원과 동형이지만, 만약 무리수라면 이는 매끄러운 다양체가 아니다. 이 경우, 이는 위상 공간으로서 비이산 공간이나, 이는 자명하지 않은 미분학적 공간이다.

미분 위상 공간에는 유한 선형 부분군인

\Gamma

에 대한 몫 공간

\mathbb{R}^n/\Gamma

를 기반으로 모델링된 오비폴드가 포함된다.^[11] 또는 경계가 있는 다양체와 모서리는 orthant 등을 기반으로 모델링된다.^[12]

모든 바나흐 다양체^[13], 프레셰 다양체^[14]^[15]는 미분학적 공간이다.

5. 3. 몫공간

무리 토러스와 같이, 몫공간을 통해 다양체가 아닌 미분학적 공간을 구성할 수 있다.^[18]

1차원 유클리드 공간

\mathbb{R}

의 몫

:

\frac{\mathbb{R}}{\mathbb{Z} + \alpha\mathbb{Z}}

을 생각하자. 이는 미분학적 공간의 몫이므로 미분학적 공간을 이룬다. 만약

\alpha

가 유리수라면 이는 원과 동형이지만, 만약 무리수라면 이는 매끄러운 다양체가 아니다. 이 경우, 이는 위상 공간으로서 비이산 공간이나, 이는 자명하지 않은 미분학적 공간이다.^[18]

어떤 무리수 ''

\alpha

''에 대한 몫

\mathbb{R}/(\mathbb{Z} + \alpha \mathbb{Z})

는 무리 토러스라고 불리며, 일반적인 2-토러스

\mathbb{R}^2/\mathbb{Z}^2

를 기울기 ''

\alpha

''인 선으로 나눈 몫과 미분동형이다. 이 공간은 자명하지 않은 미분기하학적 구조를 가지지만, D-위상은 자명 위상이다.^[18]

5. 4. 특이 공간

와이어 미분 구조와 같이, 특이점을 갖는 공간도 미분학적 공간으로 다룰 수 있다.^[5]^[17] 예를 들어, 1차원 유클리드 공간 '''R'''의 몫 ${\mathbb R}/{\mathbb Z+\alpha\mathbb Z}$을 생각하자. 이는 미분학적 공간의 몫이므로 미분학적 공간을 이룬다. 만약 α가 유리수라면 이는 원과 동형이지만, 만약 무리수라면 이는 매끄러운 다양체가 아니다. 이 경우, 이는 위상 공간으로서 비이산 공간이나, 자명하지 않은 미분학적 공간이다. 이와 같은 무리 토러스는 일반적인 2-토러스 ${\mathbb R^2}/{\mathbb Z^2}$를 기울기 α인 선으로 나눈 몫과 미분동형이다.^[18]

실수 집합 R은 매끄러운 다양체이다. 어떤 무리수 α에 대한 몫 R/(Z + αZ)는 무리 토러스라고 불리며, 일반적인 2-토러스 R²/Z²를 기울기 α인 선으로 나눈 몫과 미분동형이다. 이 공간은 자명하지 않은 미분기하학적 구조를 가지지만, D-위상은 자명 위상이다.

와이어 미분 위상(스파게티 미분 위상)은 플롯이 국소적으로 '''R'''을 통해 인수분해되는 미분 위상이다. 즉, 사상 p: U → R²가 플롯이 되려면, 모든 u ∈ U에 대해 p|_V = q ∘ F를 만족하는 u의 열린 이웃 V ⊆ U가 존재해야 하며, 여기서 F: V → R와 q: R → R²는 플롯이다. 이 미분 위상은 R² 상의 표준 미분 위상과 일치하지 않는다. 예를 들어, 항등 사상 id: R² → R²는 와이어 미분 위상에서 플롯이 아니다.

이 예는 플롯이 국소적으로 R^r을 통해 인수분해되는 미분 위상으로 확장될 수 있다. 더 일반적으로, 매끄러운 다양체 M 상에서 랭크-r-제한된 미분 위상을 고려할 수 있는데, 사상 U → M은 그 미분의 랭크가 r보다 작거나 같을 경우에만 플롯이 된다. r=1일 경우, 와이어 미분 위상을 얻게 된다.

6. 추가 구조

미분 위상 공간의 틀 내에서 카르탕-드람 미적분학을 개발할 수 있으며, 섬유 다발, 호모토피 등의 개념을 적절히 적용할 수 있다.^[5] 그러나 미분 위상 공간에 대한 접공간과 접다발의 정형적인 정의는 없다.^[10]

미분학적 공간 사이에는 두 가지 특별한 종류의 사상이 존재한다. '''서브덕션'''은 미분학적 공간 사이의 전사 함수 ''f: X \to Y''로, ''Y''의 미분 구조가 ''X''의 미분 구조의 푸시포워드인 경우이다. '''인덕션'''은 미분학적 공간 사이의 단사 함수 ''f: X \to Y''로, ''X''의 미분 구조가 ''Y''의 미분 구조의 풀백인 경우이다. 서브덕션과 인덕션은 자동적으로 매끄럽다.^[19]^[20]

매끄러운 매니폴드 ''X''와 ''Y''에 대하여 다음이 성립한다.

모든 전사 서브머전 $f:X \to Y$ 는 서브덕션이다.
서브덕션이 전사 서브머전일 필요는 없다. 예를 들어 $f(x,y) := xy$ 로 주어지는 $f:\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ 이 있다.
단사 이머전이 인덕션일 필요는 없다. 예를 들어 "8자 모양"의 매개화, $f(t) := (2\cos(t), \sin(2t))$ 로 주어지는 $f:\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}\right) \to \mathbb{R^2}$ 이 있다.
인덕션이 단사 이머전일 필요는 없다. 예를 들어 "반입방체" $f(t) := (t^2, t^3)$ 로 주어지는 $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}^2$ 가 있다.^[19]^[20]

미분학적 공간의 범주에서, 서브덕션은 정확히 강한 에피모피즘이며, 인덕션은 정확히 강한 모노모피즘이다. 서브덕션이자 인덕션인 사상은 미분동형사상이다.^[17]

6. 1. 서브덕션과 인덕션

미분학적 공간 사이에는 두 가지 특별한 종류의 사상이 존재한다. '''서브덕션'''은 미분학적 공간 사이의 전사 함수 ''f: X \to Y''로, ''Y''의 미분 구조가 ''X''의 미분 구조의 푸시포워드인 경우이다. '''인덕션'''은 미분학적 공간 사이의 단사 함수 ''f: X \to Y''로, ''X''의 미분 구조가 ''Y''의 미분 구조의 풀백인 경우이다. 서브덕션과 인덕션은 자동적으로 매끄럽다.^[19]^[20]

매끄러운 다양체 ''X''와 ''Y''에 대하여 다음이 성립한다.

모든 전사 서브머전 $f:X \to Y$ 는 서브덕션이다.
서브덕션이 전사 서브머전일 필요는 없다. 예를 들어 $f(x,y) := xy$ 로 주어지는 $f:\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ 이 있다.
단사 이머전이 인덕션일 필요는 없다. 예를 들어 "8자 모양"의 매개화, $f(t) := (2\cos(t), \sin(2t))$ 로 주어지는 $f:\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}\right) \to \mathbb{R^2}$ 이 있다.
인덕션이 단사 이머전일 필요는 없다. 예를 들어 "반입방체" $f(t) := (t^2, t^3)$ 로 주어지는 $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}^2$ 가 있다.^[19]^[20]

미분학적 공간의 범주에서, 서브덕션은 정확히 강한 에피모피즘이며, 인덕션은 정확히 강한 모노모피즘이다. 서브덕션이자 인덕션인 사상은 미분동형사상이다.^[17]

7. 역사

미분학적 공간의 개념은 프랑스의 수학자 장마리 수리오(Jean-Marie Souriau^프랑스어, 1922〜2012)가 1979년에 도입하였다.^[22] ‘미분학적 공간’(에스파스 디페올로지크/espace difféologique^프랑스어)이라는 이름은 디페오모르피즘/difféomorphisme^프랑스어(미분 동형 사상)과 에스파스 토폴로지크/espace topologique^프랑스어(위상 공간)의 합성어이다.

8. 같이 보기

참조

_[1] 간행물 Groupes differentiels http://link.springer[...] Springer Berlin Heidelberg 2022-01-16
_[2] 간행물 Groupes différentiels et physique mathématique http://link.springer[...] Springer-Verlag 2022-01-16
_[3] 서적 Revêtement et groupe fondamental des espaces différentiels homogènes ScD thesis, [[Université de Provence]]
_[4] 서적 Fibrés difféologiques et homotopie https://math.huji.ac[...] ScD thesis, [[Université de Provence]]
_[5] 서적 Diffeology https://www.ams.org/[...] American Mathematical Society 2013-04-09
_[6] 논문 Iterated path integrals https://www.ams.org/[...] 1977
_[7] 논문 Convenient categories of smooth spaces https://www.ams.org/[...] 2011
_[8] 서적 Fibrés difféologiques et homotopie https://math.huji.ac[...] ScD thesis, [[Université de Provence]]
_[9] 논문 Diffeological spaces https://www.revistap[...] 2006
_[10] 논문 Tangent spaces and tangent bundles for diffeological spaces 2016
_[11] 논문 Orbifolds as diffeologies https://www.ams.org/[...] 2010
_[12] 논문 Differential forms on manifolds with boundary and corners 2019
_[13] 논문 A characterization of smooth functions defined on a Banach space https://www.ams.org/[...] 1979
_[14] 논문 О многообразиях Фреше как диффеологических пространствах http://www.mathnet.r[...] 1992
_[15] 논문 Categorical differential geometry http://www.numdam.or[...] 1994
_[16] 논문 The D -topology for diffeological spaces http://www.msp.org/p[...] 2014-10-09
_[17] arXiv Elastic diffeological spaces 2023-01-06
_[18] 논문 Exemples de groupes difféologiques: flots irrationnels sur le tore 1985
_[19] arXiv Diffeological submanifolds and their friends 2022-04-21
_[20] 논문 Une C∞-application non-immersive qui possède la propriété universelle des immersions https://doi.org/10.1[...] 1982-09-01
_[21] 서적 https://bookstore.am[...]
_[22] 서적

본 사이트는 AI가 위키백과와 뉴스 기사,정부 간행물,학술 논문등을 바탕으로 정보를 가공하여 제공하는 백과사전형 서비스입니다.
모든 문서는 AI에 의해 자동 생성되며, CC BY-SA 4.0 라이선스에 따라 이용할 수 있습니다.
하지만, 위키백과나 뉴스 기사 자체에 오류, 부정확한 정보, 또는 가짜 뉴스가 포함될 수 있으며, AI는 이러한 내용을 완벽하게 걸러내지 못할 수 있습니다.
따라서 제공되는 정보에 일부 오류나 편향이 있을 수 있으므로, 중요한 정보는 반드시 다른 출처를 통해 교차 검증하시기 바랍니다.

문의하기 : help@durumis.com