유계형 집합

"오늘의AI위키"는 AI 기술로 일관성 있고 체계적인 최신 지식을 제공하는 혁신 플랫폼입니다.
"오늘의AI위키"의 AI를 통해 더욱 풍부하고 폭넓은 지식 경험을 누리세요.

1. 개요
2. 정의
3. 성질
4. 예
5. 관련 개념
6. 역사
참조

1. 개요

유계형 집합은 집합 X 위의 유계형(bornology)을 갖춘 집합 (X, B)을 의미하며, 유계형은 덮개이며 순서 아이디얼인 집합족 B⊆P(X)이다. 유계형 집합과 유계형 함수들의 범주는 준토포스이며, 유계형 집합은 함수해석학에서 유계형 공간, 준-유계형 공간, 초유계형 공간과 같은 관련 개념을 갖는다. 유계형 집합의 개념은 조지 매키에 의해 연구되었고, 니콜라 부르바키에 의해 "유계형"이라는 용어가 도입되었다.

더 읽어볼만한 페이지

위상 벡터 공간 - 프레셰 공간
프레셰 공간은 국소 볼록 공간의 한 종류로, 평행 이동 불변 거리 함수 또는 반노름의 가산 집합을 사용하여 위상을 정의하며, 바나흐 공간을 일반화한 공간으로 함수해석학에서 중요한 역할을 한다.
위상 벡터 공간 - 국소 볼록 공간
국소 볼록 공간은 함수 해석학에서 위상 벡터 공간의 특수한 형태를 지칭하며, 볼록 집합이나 반노름을 이용해 정의되고 함수 공간과 관련된 문제 해결에 사용되는 중요한 개념이다.
일반위상수학 - 극한
극한은 수학에서 함수의 값이나 수열의 항이 특정 값에 가까워지는 현상을 기술하는 개념으로, ε-δ 논법으로 엄밀하게 정의되며 수렴, 연속성, 미적분학 등 다양한 분야에서 활용되고, 고대 그리스에서 시작하여 19세기에 현대적 정의가 완성되었다.
일반위상수학 - 스콧 위상
스콧 위상은 부분 순서 집합 위에 정의되는 위상으로, 하향 집합과 directed set의 상한에 대해 닫혀있는 집합을 닫힌 집합으로 정의하며, 컴퓨터 과학, 특히 프로그램 의미론에서 연속 함수의 개념을 일반화하고 프로그램의 계산 과정을 모델링하는 데 사용된다.

유계형 집합
개요
유형	함수해석학의 개념
정의
대상	국소 볼록 공간
관련 개념
관련 개념	배럴 공간 준배럴 공간 몽텔 공간 완비 공간 LF-공간 핵 공간 F-공간
영어
영어 명칭	Bornological space
프랑스어	Espace bornologique

2. 정의

집합 $X$ 위의 '''유계형'''(bornology^영어)은 다음 두 조건을 만족시키는 집합족 $\mathcal B\subseteq\mathcal P(X)$ 이다.

덮개이다. 즉, $\textstyle\bigcup\mathcal B=X$ 이다.
순서 아이디얼이다. 즉, 다음 세 조건이 성립한다.
* $\varnothing\in\mathcal B$
* (하집합성) 임의의 $B\in\mathcal B$ 및 $S\subseteq X$ 에 대하여, $S\cap B\in\mathcal B$
* (상향성) 임의의 $B,B'\in\mathcal B$ 에 대하여, $B\cup B'\in\mathcal B$

\mathcal B

의 원소를 '''유계 집합'''이라고 한다. 유계형을 갖춘 집합

(X,\mathcal B)

를 '''유계형 집합'''이라고 한다.

같은 집합

X

위의 두 유계형

\mathcal B

,

\mathcal B'

에 대하여, 만약

\mathcal B\subseteq\mathcal B'

이라면,

\mathcal B

가 더 '''엉성하다'''(coarser^영어)고 하며, 반대로

\mathcal B'

이 더 '''섬세하다'''(finer^영어)고 한다.

두 유계형 집합

(X,\mathcal B_X)

,

(Y,\mathcal B_Y)

사이의 함수

f\colon X\to Y

가 다음 조건을 만족시킨다면, '''유계형 함수'''(bounded map^영어)라고 한다.

유계 집합의 상은 유계 집합이다. 즉, 임의의 $B_X\in\mathcal B_X$ 에 대하여, $f(B_X)\in\mathcal B_Y$ 이다.

3. 성질

임의의 유계형 집합 $(X,\mathcal B)$ 에서, $X$ 의 유한 부분 집합은 항상 유계 집합이다. 유계형 집합과 유계형 함수들의 범주는 준토포스이다.^[1]

$(X, \mathcal{B})$ 와 $(Y, \mathcal{C})$ 가 유계형 집합이면, $X \times Y$ 위의 곱 유계형은 기저로 $B \in \mathcal{B}$ 이고 $C \in \mathcal{C}$ 인 모든 $B \times C$ 형태의 집합을 모임으로 갖는 유계형이다.

$X$ 를 체 $\mathbb{K}$ 위의 벡터 공간으로 하고, $\mathbb{K}$ 는 유계형 $\mathcal{B}_{\mathbb{K}}$ 를 갖는다고 하자. $X$ 위의 유계형 $\mathcal{B}$ 가 벡터 덧셈, 스칼라 곱셈, 균형 덮개 생성에 대해 안정적일 때 (즉, 두 유계 집합의 합이 유계인 경우 등) $X$ 위의 '''벡터 유계형'''이라고 한다.

벡터 유계형 $\mathcal{B}$ 가 볼록 덮개를 형성하는 데 안정적일 때 (즉, 유계 집합의 볼록 덮개가 유계인 경우) '''볼록 벡터 유계형'''이라고 한다. 그리고 벡터 유계형 $\mathcal{B}$ 는 $X$ 의 유일한 유계 벡터 부분 공간이 0차원 자명 공간 $\{ 0 \}$ 일 때 '''분리되었다'''고 한다.

4. 예

유계형 집합의 예시는 다음과 같다.

임의의 집합 ''X''에 대해, ''X''의 이산 위상은 유계 집합계를 이룬다.
임의의 집합 ''X''에 대해, ''X''의 유한(또는 가산 무한) 부분 집합 전체가 이루는 족은 유계 집합계를 이룬다.
임의의 T1 공간 ''X''에 대해, 콤팩트한 폐포를 갖는 부분집합 전체가 이루는 족은 유계 집합계를 이룬다.
임의의 거리화 가능 국소 볼록 공간은 유계형 공간이다. 특히 임의의 프레셰 공간은 유계형 공간이다.
임의의 ''LF''-공간, 즉 프레셰 공간의 협의 귀납 극한이 되는 임의의 국소 볼록 공간은 유계형 공간이다.
유계형 공간의 분리 몫은 또한 유계형 공간이다.
유계형 공간의 국소 볼록 직합 또는 귀납 극한도 유계형 공간이다.
프레셰 공간 및 몽텔 공간은 유계형 공간이 되는 강한 쌍대성을 갖는다.

4. 1. 집합

집합

X

및 무한 기수

\kappa

가 주어졌을 때, 크기가

\kappa

미만인 부분 집합들의 족

:

\mathcal P_{<\kappa}(X)=\{S\subseteq X\colon |S|<\kappa\}

은 유계형 집합을 이룬다.

특수한 경우로 다음이 있다.

$\kappa=\aleph_0$ 인 경우, $\mathcal P_{<\aleph_0}(X)$ -유계 집합은 유한 부분 집합이다. 이는 $X$ 위의 가장 엉성한 유계형이다.
$\kappa>|S|$ 인 경우, 모든 부분 집합이 $\mathcal P_{<\kappa}(X)$ -유계 집합이다. 이는 $X$ 위의 가장 섬세한 유계형이다.

특히, 만약

X

가 유한 집합일 경우

\mathcal B_{<\kappa}=\mathcal P(X)

들은

\kappa

에 관계없이 모두 일치하며, 이는

X

위의 유일한 유계형이다.

4. 2. 위상 공간

T₁ 공간

X

에서, 폐포가 콤팩트 집합인 부분 집합들의 족은 유계형을 이룬다.

4. 3. 거리 공간

거리 공간

(X,d)

에서, 다음과 같은 집합족은 유계형을 이룬다.

:

\mathcal B=\{S\subseteq X\colon\operatorname{diam}_dS<\infty\}

여기서

:

\operatorname{diam}S=\sup_{s,t\in S}d(s,t)

는

S

의 지름이다.

4. 4. 위상 벡터 공간

위상체

K

위의 위상 벡터 공간

V

위의 폰 노이만 유계형(von Neumann bornology^영어)은 다음과 같다.

:

B\in\mathcal B\iff\forall U\in\mathcal N_0\exists r\in K^\times\colon B\subseteq rU

여기서

$\mathcal N_0$ 는 영벡터의 근방 필터이다.
$K^\times=K\setminus\{0\}$ 는 $K$ 의 가역원군이다.

두 위상 벡터 공간

V

,

W

사이의 연속 선형 변환

T\colon V\to W

은 폰 노이만 유계 함수이다.

T

가 연속 함수라고 하자. 임의의 폰 노이만 유계 집합

B\subseteq V

가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 임의의 열린 근방

U\ni 0_W

에 대하여,

T^{-1}(U)\ni0_V

는

0_V

의 열린 근방이다.

B

가 폰 노이만 유계 집합이므로,

B\subseteq rT^{-1}(U)

인

r\in K^\times

가 존재한다. 따라서

T(B)\subseteq rU

이며, 따라서

T(B)

역시 폰 노이만 유계 집합이다.

그러나 일반적으로 폰 노이만 유계 선형 변환이 연속 함수일 필요는 없다. 다만, 만약

V

가 거리화 가능 국소 볼록 배럴 공간이며

W

가 국소 볼록 공간인 경우, 선형 변환

V\to W

에 대하여 연속 함수인 것은 유계인 것과 동치이다.

4. 5. 순서 집합

(X,\lesssim)

가 상향 원순서 집합일 때, 상계를 갖는 부분 집합들의 족은 유계형을 이룬다. 마찬가지로,

(X,\lesssim)

가 하향 원순서 집합일 때, 하계를 갖는 부분 집합들의 족은 유계형을 이룬다. 만약

(X,\lesssim)

가 상향 원순서 집합이자 하향 원순서 집합이라면 (예를 들어,

X

가 공집합이 아닌 전순서 집합이라면), 상계와 하계를 둘 다 갖는 부분 집합들의 족 역시 유계형을 이룬다.

4. 6. 측도 공간

측도 공간

(X,\Sigma,\mu)

에서

\mu

가 완비 측도이고 모든 한원소 집합이 가측 집합이며 그 측도가 0일 때, 측도가 0인 가측 집합들의 족은 유계형을 이룬다.

5. 관련 개념

국소 볼록 보른 공간의 강한 쌍대 공간은 완비 위상 벡터 공간이다.
모든 국소 볼록 보른 공간은 준통형 공간이다.
모든 하우스도르프 순차적 완비 보른 TVS는 초보른 공간이다.
따라서 모든 완비 하우스도르프 보른 공간은 초보른 공간이다.
특히, 모든 프레셰 공간은 초보른 공간이다.
국소 볼록 초보른 공간의 유한 곱은 초보른 공간이다.
모든 하우스도르프 보른 공간은 준배럴 공간이다.
보른 공간 $X$ 가 연속 쌍대 $X^{\prime}$ 을 가질 때, $X$ 의 위상은 매키 위상 $\tau(X, X^{\prime})$ 과 일치한다.
특히, 보른 공간은 매키 공간이다.
모든 준완비(모든 닫힌 유계 집합이 완비) 보른 공간은 배럴 공간이다. 그러나 배럴 공간이 아닌 보른 공간이 존재한다.
모든 보른 공간은 노름 공간의 귀납적 극한이다(공간이 준완비인 경우 바나흐 공간).
$X$ 를 연속 쌍대 $X^{\prime}$ 을 갖는 거리화 가능 국소 볼록 공간이라고 할 때, 다음은 동치이다.

번호	내용
1	$\beta(X^{\prime}, X)$ 는 보른 공간이다.
2	$\beta(X^{\prime}, X)$ 는 준배럴 공간이다.
3	$\beta(X^{\prime}, X)$ 는 배럴 공간이다.
4	$X$ 는 구분 가능한 공간이다.

$L : X \to Y$ 가 국소 볼록 공간 사이의 선형 사상이고, $X$ 가 보른 공간인 경우, 다음은 동치이다.

번호	내용
1	$L : X \to Y$ 는 연속이다.
2	$L : X \to Y$ 는 순차적으로 연속이다.
3	$X$ 에서 유계인 모든 집합 $B \subseteq X$ 에 대해 $L(B)$ 는 유계이다.
4	$x_{\bull} = (x_i)_{i=1}^\infty$ 가 $X$ 에서 영수열이면 $L \circ x_\bull = (L(x_i))_{i=1}^\infty$ 는 $Y$ 에서 영수열이다.
5	$x_\bull = (x_i)_{i=1}^\infty$ 가 $X$ 에서 매키 수렴 영수열이면 $L \circ x_\bull = (L(x_i))_{i=1}^\infty$ 는 $Y$ 의 유계 부분 집합이다.

$X$ 와 $Y$ 가 국소 볼록 TVS이고 연속 선형 사상 공간 $L_b(X; Y)$ 에 $X$ 의 유계 부분 집합에 대한 균등 수렴 위상이 부여된 경우, $X$ 가 보른 공간이고 $Y$ 가 완비이면 $L_b(X; Y)$ 는 완비 TVS이다.
특히, 국소 볼록 보른 공간의 강한 쌍대 공간은 완비이다. 그러나 보른 공간일 필요는 없다.

;부분 집합

국소 볼록 보른 공간에서 모든 볼록 보르니보러스 집합 $B$ 는 $0$ 의 근방이다( $B$ 는 원반일 필요가 없다).
국소 볼록 거리화 가능 위상 벡터 공간의 모든 보르니보러스 부분 집합은 원점의 근방이다.
보른 공간의 닫힌 벡터 부분 공간은 보른 공간일 필요가 없다.

임의의 집합 ''X''에 대해, ''X'' 위의 '''유계형 집합''' 또는 '''유계상'''은 ''X''의 부분 집합족 '''B'''로, 다음 조건을 만족한다.

조건	설명
B는 X를 덮는다.	$\scriptstyle X = \bigcup \mathbf{B};$
B는 포함 관계에 대해 닫혀 있다.	A ∈ B이고 A′ ⊆ A이면, A′ ∈ B;
B는 유한 합집합에 대해 닫혀 있다.	B₁, ..., B_n ∈ B, 이면 $\scriptstyle \bigcup_{i = 1}^{n} B_{i} \in \mathbf{B}$

이때 집합족 '''B'''의 각 원소는 ''X''의 '''유계 집합'''이라고 불리며, 쌍 (''X'', '''B''')를 '''유계상 부착 집합'''이라고 한다.

유계형 집합 '''B'''의 '''유계 기저''' 또는 '''유계 집합의 기본계'''란 '''B'''의 부분 집합 '''B'''₀으로, '''B'''의 각 원소가 '''B'''₀의 원소의 부분 집합이 될 때를 말한다.

체 ''K'' 위의 벡터 공간 ''X''에 대해, ''X'' 위의 '''선형 유계형 집합계'''는 ''X'' 위의 유계 집합계 '''B'''로, 벡터의 덧셈 및 스칼라 곱셈에 대해 닫혀 있고, 또한 균형 포를 정의할 수 있을 때 (즉, 두 유계 집합의 합집합이 또한 유계인 경우)를 말한다. '''B'''가 볼록 폐포의 정의에 대해 닫혀 있을 때 (즉, 유계 집합의 볼록 폐포가 다시 유계일 때), '''B'''는 '''볼록 선형 유계형 집합계'''라고 한다. ''X''의 유계 부분 공간이 자명한 부분 공간(0만으로 이루어진 부분 공간)일 때, 유계형 집합계는 '''분리'''되었다고 한다. 유계 집합계 '''B'''의 부분 집합 '''A'''가 '''유계 흡수'''라고 하는 것은, 임의의 유계 집합을 흡수할 때를 말한다. 선형 유계형 집합계의 경우, '''A'''가 유계 흡수한다는 것은 임의의 유계 균형 집합을 흡수할 때이며, 볼록 선형 유계형 집합계의 경우, 임의의 유계 원반을 흡수할 때 '''A'''는 유계 흡수한다.

5. 1. 유계형 공간 (Bornological space)

국소 볼록 위상 벡터 공간은 그 위상이 자연스러운 방식으로 그 볼로지로부터 복구될 수 있는 공간이다. 연속 쌍대 공간

X^{\prime}

을 갖는 국소 볼록 하우스도르프 공간

X

가 다음 조건들을 만족하면 '''유계형 공간'''이라고 한다.

$X$ 의 폰 노이만 유계형 집합으로부터 유도된 국소 볼록 위상은 $X$ 의 위상과 일치한다.
$X$ 위에 정의된 임의의 유계 반노름은 연속이다.
임의의 국소 볼록 공간 $Y$ 에 대해 $X$ 로부터 $Y$ 로의 임의의 유계 선형 작용소가 연속이다.
$X$ 는 노름 공간의 귀납 극한이다.
$X$ 는 $D$ 가 모든 유계 닫힌 원판(또는 $X$ 의 모든 유계 원판)을 맴돌 때의 노름 공간 $X_D$ 의 귀납 극한과 일치한다.
$X$ 의 임의의 볼록, 평형이자 흡수적인 부분 집합이 영벡터 0의 근방을 이룬다.
$X$ 에 매키 위상 $\tau(X, X')$ 을 부여할 때, $X$ 위의 임의의 유계 선형 범함수가 연속이다.
$X$ 는 다음 두 조건을 모두 만족한다.
$X$ 는 '''볼록 열형'''(''convex-sequential'') 또는 '''C-열형'''(''C-sequential'')이다. 즉, $X$ 의 임의의 볼록 열형 열린 집합이 열린다.
$X$ 는 '''점렬 유계형'''(''sequentially-bornological'') 공간 또는 '''S-유계형'''(''S-bornological'') 공간이다. 즉, $X$ 의 임의의 볼록이자 흡수적인 부분 집합이 점렬 열림이 된다(단, $X$ 의 부분 집합 $A$ 가 '''점렬 열림'''(''sequentially open'')이라는 것은 0을 수렴하는 임의의 열이 $A$ 에 거의 포함된다는 것을 의미한다. 열형 공간도 참조).

다음 위상 선형 공간은 유계형 공간이다.

임의의 거리화 가능 국소 볼록 공간은 유계형 공간이다. 특히 임의의 프레셰 공간은 유계형 공간이다.
임의의 ''LF''-공간, 즉 프레셰 공간의 협의 귀납 극한이 되는 임의의 국소 볼록 공간은 유계형 공간이다.
유계형 공간의 분리 몫은 또한 유계형 공간이다.
유계형 공간의 국소 볼록 직합 또는 귀납 극한도 유계형 공간이다.
프레셰 공간 및 몽텔 공간은 유계형 공간이 되는 강한 쌍대성을 갖는다.
바나흐 공간의 임의의 유계 닫힌 원판은 바나흐 원판이다.
$U$ 가 $X$ 의 영벡터 0의 볼록 균형 닫힌 근방이면, $X$ 의 위상선형 공간으로서의 위상은 $r$ 이 임의의 양수를 넘나들 때의 $rU$ 를 근방계로 유도된다. 이 위상을 가진 $X$ 를 $X_U$ 로 표기하지만, 이 위상은 반드시 하우스도르프도 완비도 되지 않는다. 그래서 하우스도르프 공간 $X_U$ /Ker(μ_''U'')의 완비를 $\hat{X}_U$ 로 표기하면, 이 $\hat{X}_U$ 는 완비 하우스도르프 공간이며 μ_''U''는 이 공간상의 노름이 된다. 즉 $\hat{X}_U$ 는 바나흐 공간이다. $U$ 의 극집합을 $D^{\prime}$ 라고 하면, $X$ ^∗에서 약한 컴팩트 유계 등연속이므로, 열등 완비이다.

위상선형공간 ''X''의 원판이 '''열계포섭'''(''infrabornivorous'')이라는 것은 임의의 바나흐 원판을 포섭할 때를 말한다. ''X''가 국소 볼록 하우스도르프 공간이라면, 원판이 열계포섭이 되기 위한 필요충분 조건은 임의의 콤팩트 원판을 포섭하는 것이다. 국소 볼록 공간이 '''초계위상 공간'''(''ultrabornological'')이라는 것은 다음 조건 중 하나를 만족할때를 말한다.

임의의 열계포섭 원판이 0의 근방이 된다.
''X''는, ''D''가 ''X''의 모든 콤팩트 원판을 넘나들 때의 공간 ''X''_''D''의 귀납 극한에 일치한다.
임의의 바나흐 원판 위에서 유계가 되는 ''X'' 위의 반노름이 반드시 연속이다.
임의의 국소 볼록 공간 ''Y''와 임의의 선형 사상 ''u'': ''X'' → ''Y''에 대해, 임의의 바나흐 원판 위에서 ''u''가 유계라면 ''u''는 연속이다.
임의의 바나흐 공간 ''Y''와 임의의 선형 사상 ''u'': ''X'' → ''Y''에 대해, 임의의 바나흐 원판 위에서 ''u''가 유계라면 ''u''는 연속이다.

5. 2. 준-유계형 공간 (Quasi-bornological space)

위상 벡터 공간(TVS)

(X, \tau)

에 연속 쌍대 공간

X^{\prime}

이 있을 때, 다음 조건 중 하나가 성립하면 '''준-유계형 공간'''이라고 한다.

#

X

에서 다른 TVS로의 모든 유계 선형 연산자는 연속이다.

#

X

에서 완비 거리화 가능 TVS로의 모든 유계 선형 연산자는 연속이다.^[1]

# 보르니보러스(bornivorous) 스트링(string)의 모든 매듭은 원점의 근방이다.

모든 의사 거리화 가능 TVS는 준-유계형 공간이다. 모든 보르니보러스 집합이 원점의 근방인 TVS

(X, \tau)

는 준-유계형 공간이다.

X

가 준-유계형 TVS이면

\tau

보다 약한

X

위의 가장 미세한 국소 볼록 위상은

X

를 국소 볼록 유계형 공간으로 만든다. 함수 해석학에서, 국소 볼록 위상 벡터 공간은 그 위상이 자연스러운 방식으로 그 볼로지로부터 복구될 수 있는 볼로지 공간이다.

모든 국소 볼록 준-유계형 공간은 유계형 공간이지만, 준-유계형 공간이 아닌 유계형 공간도 존재한다.

5. 3. 초유계형 공간 (Ultrabornological space)

위상 벡터 공간

X

에서의 원반이 모든 바나흐 원반을 흡수하면 '''초태생적'''이라고 한다. 국소 볼록 공간은 다음 조건 중 하나를 만족하면 '''초태생적'''이라고 한다.

임의의 열계포섭 원판이 0의 근방이 된다.
''X''는, ''D''가 ''X''의 모든 콤팩트 원판을 넘나들 때의 공간 ''X''_''D''의 귀납 극한에 일치한다.
임의의 바나흐 원판 위에서 유계가 되는 ''X'' 위의 반노름이 반드시 연속이다.
임의의 국소 볼록 공간 ''Y''와 임의의 선형 사상 ''u'': ''X'' → ''Y''에 대해, 임의의 바나흐 원판 위에서 ''u''가 유계라면 ''u''는 연속이다.
임의의 바나흐 공간 ''Y''와 임의의 선형 사상 ''u'': ''X'' → ''Y''에 대해, 임의의 바나흐 원판 위에서 ''u''가 유계라면 ''u''는 연속이다.

초경계 위상 공간의 유한 직적 및 귀납적 극한은 또한 초경계 위상 공간이다.

6. 역사

유계형 집합의 개념은 조지 매키(George Mackey^영어)가 최초로 연구하였다. 이후 니콜라 부르바키가 "유계형"(bornologie|보르놀로지^프랑스어)이라는 용어를 도입하였다. 이는 borné|보르네^프랑스어(유계 집합) + -ologie|올로지^프랑스어(위상 topologie|토폴로지^프랑스어의 어미)의 합성어이다.

본 사이트는 AI가 위키백과와 뉴스 기사,정부 간행물,학술 논문등을 바탕으로 정보를 가공하여 제공하는 백과사전형 서비스입니다.
모든 문서는 AI에 의해 자동 생성되며, CC BY-SA 4.0 라이선스에 따라 이용할 수 있습니다.
하지만, 위키백과나 뉴스 기사 자체에 오류, 부정확한 정보, 또는 가짜 뉴스가 포함될 수 있으며, AI는 이러한 내용을 완벽하게 걸러내지 못할 수 있습니다.
따라서 제공되는 정보에 일부 오류나 편향이 있을 수 있으므로, 중요한 정보는 반드시 다른 출처를 통해 교차 검증하시기 바랍니다.

문의하기 : help@durumis.com