준동형

"오늘의AI위키"는 AI 기술로 일관성 있고 체계적인 최신 지식을 제공하는 혁신 플랫폼입니다.
"오늘의AI위키"의 AI를 통해 더욱 풍부하고 폭넓은 지식 경험을 누리세요.

1. 개요
2. 정의
3. 예시
4. 특별한 준동형
5. 핵 (Kernel)
6. 관계 구조
7. 형식 언어 이론
참조

1. 개요

준동형은 같은 부호수를 갖는 두 구조 사이에서 연산과 관계를 보존하는 함수이다. 연산과 관계의 보존 정도에 따라 강준동형, 단준동형, 전준동형, 동형 사상 등으로 분류된다. 준동형은 반군, 모노이드, 군, 환, 벡터 공간 등 다양한 대수 구조 사이에서 정의되며, 각 대수 구조의 연산을 보존한다. 자기 사상, 자기 동형 사상, 단사 사상, 전사 사상 등 특별한 종류의 준동형이 존재하며, 커널은 준동형의 중요한 개념 중 하나이다. 형식 언어 이론에서는 문자열의 연접을 보존하는 함수를 준동형이라고 한다.

더 읽어볼만한 페이지

모형 이론 - 괴델의 불완전성 정리
괴델의 불완전성 정리는 산술을 표현할 수 있는 무모순적 공리계는 그 안에서 증명하거나 반증할 수 없는 명제가 존재하며, 특히 체계 스스로의 무모순성을 증명할 수 없다는 수학적 논리 분야의 핵심 정리이다.
모형 이론 - 괴델의 완전성 정리
괴델의 완전성 정리는 1차 논리 이론에서 모형 이론적 진리와 증명 이론적 진리가 같음을 나타내며, 연역 체계가 완전함을 보장하고 일차 논리에서 통사론적 결과와 의미론적 결과가 동일하다는 것을 의미한다.
추상대수학 - 직교
직교는 수학에서 수직으로 만나는 기하학적 개념에서 시작하여 내적 공간의 벡터 내적이 0이거나 가군과 쌍대 가군의 원소가 특정 조건을 만족할 때 성립하며, 직교 집합, 직교 기저, 직교 여공간 등의 구조를 정의하고 푸리에 급수, 상대성이론, 양자역학 등 다양한 분야에서 활용될 뿐 아니라 컴퓨터 과학, 통계학, 법률, 예술 등에서도 독립적인 요소나 개념을 나타내는 데 사용된다.
추상대수학 - 코시 열
코시 열은 무한수열에서 항들이 뒤로 갈수록 서로 가까워지는 수열로, 수렴열은 항상 코시 열이지만 그 역은 성립하지 않을 수 있으며, 실수의 완비성 정의 및 무한급수 수렴성 판정에 중요한 역할을 하는 개념이다.
함수와 사상 - 적분
적분은 아르키메데스가 고안하고 앙리 르베그가 완성한 미적분학의 핵심 개념으로, 도형의 면적과 부피를 구하는 데 사용되며 미분과 역의 관계를 갖고, 확률, 넓이, 부피 계산 등 다양한 분야에서 활용된다.
함수와 사상 - 지수 함수
지수 함수는 양의 상수 *a*를 밑으로 하는 *y = a^x* 형태의 함수이며, 특히 자연로그의 역함수인 *e^x*는 다양한 정의와 응용을 가지며 복소수로 확장될 수 있다.

준동형
정의
설명	수학에서 준동형사상은 대수적 구조 사이의 구조를 보존하는 함수이다. 보다 공식적으로는, 두 개의 대수적 구조 A와 B가 주어졌을 때, A에서 B로 가는 준동형사상은 A의 연산을 B의 연산과 호환시키는 함수 f: A → B이다.
예시
군 준동형사상	두 군 사이의 준동형사상은 군 연산을 보존하는 함수이다.
환 준동형사상	두 환 사이의 준동형사상은 환 연산을 보존하는 함수이다.
선형 변환	두 벡터 공간 사이의 선형 변환은 벡터 덧셈과 스칼라 곱셈을 보존하는 함수이다.
유형
단사 준동형사상 (monomorphism)	단사 함수인 준동형사상
전사 준동형사상 (epimorphism)	전사 함수인 준동형사상
전단사 준동형사상 (isomorphism)	전단사 함수인 준동형사상
자기 준동형사상 (endomorphism)	정의역과 공역이 같은 준동형사상
자기 동형사상 (automorphism)	정의역과 공역이 같은 전단사 준동형사상
관련 개념
핵 (kernel)	준동형사상에 의해 항등원으로 보내지는 원소들의 집합
상 (image)	준동형사상의 공역에서 정의역의 모든 원소에 대한 상들의 집합
성질
준동형사상의 합성	두 준동형사상의 합성은 준동형사상이다.
준동형사상 정리	준동형사상의 상은 정의역을 핵으로 나눈 몫군과 동형이다.
추가 정보
어원	(homós, "같은") + (morphḗ, "형태")

2. 정의

같은 부호수(signature) ${\displaystyle \sigma =(F,R)}$의 두 구조 ${\displaystyle (A,F_{A},R_{A})}$, ${\displaystyle (B,F_{B},R_{B})}$ 사이의 '''준동형'''은 다음 조건을 만족시키는 함수 ${\displaystyle \phi \colon A\to B}$이다.

(연산의 보존) 모든 ${\displaystyle n}$항 연산 ${\displaystyle f\in F}$ 및 ${\displaystyle a_{1},a_{2},\dots ,a_{n}\in A}$에 대하여,

:${\displaystyle \phi (f_{A}(a_{1},a_{2},\dots ,a_{n}))=f_{B}(\phi (a_{1}),\phi (a_{2}),\dots ,\phi (a_{n}))}$

(관계의 보존) 모든 ${\displaystyle n}$항 관계 ${\displaystyle r\in R}$ 및 ${\displaystyle a_{1},a_{2},\dots ,a_{n}\in A}$에 대하여,

:${\displaystyle r_{A}(a_{1},a_{2},\dots ,a_{n})\implies r_{B}(\phi (a_{1}),\phi (a_{2}),\dots ,\phi (a_{n}))}$

같은 부호수 ${\displaystyle \sigma =(F,R)}$의 두 구조 ${\displaystyle (A,F_{A},R_{A})}$, ${\displaystyle (B,F_{B},R_{B})}$ 사이의 '''강준동형'''(強準同型, strong homomorphism^영어)은 다음 조건을 추가로 만족시키는 준동형 ${\displaystyle \phi \colon A\to B}$이다.

모든 ${\displaystyle n}$항 관계 ${\displaystyle r\in R}$ 및 ${\displaystyle a_{1},\dots ,a_{n}\in A}$에 대하여,

:${\displaystyle r_{A}(a_{1},a_{2},\dots ,a_{n})\iff r_{B}(\phi (a_{1}),\phi (a_{2}),\dots ,\phi (a_{n}))}$

대수 구조의 경우, 관계가 없으므로 강준동형과 준동형의 개념이 일치한다.

준동형 사상은 같은 유형의 두 대수 구조 (예: 두 개의 군, 두 개의 체, 두 개의 벡터 공간) 사이의 사상으로, 구조의 연산을 보존한다.^[3] 이는 두 집합 ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$ 사이의 사상 ${\displaystyle f:A\to B}$가 주어졌을 때, ${\displaystyle \cdot }$이 (편의상 이항 연산으로 가정된) 구조의 연산이라면,

:${\displaystyle f(x\cdot y)=f(x)\cdot f(y)}$

가 ${\displaystyle A}$의 모든 원소 ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle y}$에 대해 성립함을 의미한다.^[3] 종종 ${\displaystyle f}$가 연산을 보존하거나 연산과 호환된다고 말한다.

형식적으로, 사상 ${\displaystyle f:A\to B}$가 ${\displaystyle A}$와 ${\displaystyle B}$ 모두에 정의된 아리티 ${\displaystyle k}$의 연산 ${\displaystyle \mu }$를 보존한다는 것은, 모든 원소 ${\displaystyle a_{1},...,a_{k}}$ in ${\displaystyle A}$에 대해

:${\displaystyle f(\mu _{A}(a_{1},\ldots ,a_{k}))=\mu _{B}(f(a_{1}),\ldots ,f(a_{k}))}$

임을 의미한다.

준동형 사상에 의해 보존되어야 하는 연산에는 0-항 연산, 즉 상수가 포함된다. 특히, 구조의 유형에 의해 항등원이 요구될 때, 첫 번째 구조의 항등원은 두 번째 구조의 해당 항등원으로 매핑되어야 한다.

예시는 다음과 같다.

반군 준동형 사상은 반군 연산을 보존하는 반군 사이의 사상이다.
모노이드 준동형 사상은 모노이드 연산을 보존하고 첫 번째 모노이드의 항등원을 두 번째 모노이드의 항등원(0-항 연산)으로 매핑하는 모노이드 사이의 사상이다.
군 준동형 사상은 군 연산을 보존하는 군 사이의 사상이다. 이것은 군 준동형 사상이 첫 번째 군의 항등원을 두 번째 군의 항등원으로 매핑하고, 첫 번째 군의 원소의 역원을 이 원소의 상의 역원으로 매핑함을 의미한다. 따라서 군 사이의 반군 준동형 사상은 필연적으로 군 준동형 사상이다.
환 준동형 사상은 환의 덧셈, 환의 곱셈, 그리고 곱셈 항등원을 보존하는 환 사이의 사상이다. 곱셈 항등원을 보존할지 여부는 사용 중인 '환'의 정의에 따라 달라진다. 곱셈 항등원이 보존되지 않으면, rng 준동형 사상이 있다.
선형 사상은 벡터 공간의 준동형 사상이다. 즉, 아벨 군 구조와 스칼라 곱셈을 보존하는 벡터 공간 사이의 군 준동형 사상이다.
가군 준동형 사상은 가군 사이의 선형 사상이라고도 하며, 유사하게 정의된다.
대수 준동형 사상은 대수 연산을 보존하는 사상이다.

대수 구조는 둘 이상의 연산을 가질 수 있으며, 준동형 사상은 각 연산을 보존해야 한다. 따라서 일부 연산만 보존하는 사상은 구조의 준동형 사상이 아니라, 보존된 연산만 고려하여 얻은 부분 구조의 준동형 사상일 뿐이다. 예를 들어, 모노이드 연산은 보존하지만 항등원은 보존하지 않는 모노이드 간의 사상은 모노이드 준동형 사상이 아니라, 반군 준동형 사상일 뿐이다.

준동형 사상의 소스 및 대상에서 연산에 대한 표기법이 같을 필요는 없다. 예를 들어, 실수는 덧셈에 대해 군을 형성하고, 양의 실수는 곱셈에 대해 군을 형성한다. 지수 함수

:${\displaystyle x\mapsto e^{x}}$

는

:${\displaystyle e^{x+y}=e^{x}e^{y}}$

을 만족하며, 따라서 이 두 군 사이의 준동형 사상이다. 그것은 심지어 동형 사상 (아래 참조)인데, 그 역함수, 자연 로그는

:${\displaystyle \ln(xy)=\ln(x)+\ln(y)}$

을 만족하며, 또한 군 준동형 사상이다.

3. 예시

반군 준동형 사상은 반군 사이의 사상으로, 반군 연산을 보존한다.
모노이드 준동형 사상은 모노이드 사이의 사상으로, 모노이드 연산을 보존하고 첫 번째 모노이드의 항등원을 두 번째 모노이드의 항등원(0-항 연산)으로 매핑한다.
군 준동형 사상은 군 사이의 사상으로, 군 연산을 보존한다. 군 준동형 사상은 첫 번째 군의 항등원을 두 번째 군의 항등원으로 매핑하고, 첫 번째 군의 원소의 역원을 이 원소의 상의 역원으로 매핑한다. 따라서 군 사이의 반군 준동형 사상은 필연적으로 군 준동형 사상이다.
환 준동형 사상은 환 사이의 사상으로, 환의 덧셈, 곱셈, 그리고 곱셈 항등원을 보존한다. 곱셈 항등원을 보존할지 여부는 사용 중인 ''환''의 정의에 따라 달라진다. 곱셈 항등원이 보존되지 않으면, rng 준동형 사상이 된다.
선형 사상은 벡터 공간의 준동형 사상이다. 즉, 아벨 군 구조와 스칼라 곱셈을 보존하는 벡터 공간 사이의 군 준동형 사상이다.
가군 준동형 사상은 가군 사이의 선형 사상이라고도 하며, 유사하게 정의된다.
대수 준동형 사상은 대수 연산을 보존하는 사상이다.

대수 구조는 둘 이상의 연산을 가질 수 있으며, 준동형 사상은 각 연산을 보존해야 한다. 따라서 일부 연산만 보존하는 사상은 그 구조의 준동형 사상이 아니라, 보존된 연산만 고려하여 얻은 부분 구조의 준동형 사상일 뿐이다. 예를 들어 모노이드 연산은 보존하지만 항등원은 보존하지 않는 모노이드 간의 사상은 모노이드 준동형 사상이 아니라 반군 준동형 사상일 뿐이다.

준동형 사상의 예시는 다음과 같다.

실수는 덧셈에 대해 군을 형성하고, 양의 실수는 곱셈에 대해 군을 형성한다. 지수 함수

:

x\mapsto e^x

는

:

e^{x+y} = e^xe^y

를 만족하며, 따라서 이 두 군 사이의 준동형 사상이다. 이 함수의 역함수인 자연 로그는

:

\ln(xy)=\ln(x)+\ln(y)

를 만족하며, 이 또한 군 준동형 사상이다.

실수는 덧셈과 곱셈을 모두 가지는 환이다. 모든 2×2 행렬의 집합도 행렬 덧셈과 행렬 곱셈에 의해 환을 이룬다. 함수 f를 다음과 같이 정의하면,

:

f(r) = \begin{pmatrix}r & 0 \\0 & r\end{pmatrix}

여기서 r은 실수이고, f는 환의 준동형사상이다. f는 덧셈

:

f(r+s) = \begin{pmatrix}r+s & 0 \\0 & r+s\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}r & 0 \\0 & r\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}s & 0 \\0 & s\end{pmatrix} = f(r) + f(s)

과 곱셈

:

f(rs) = \begin{pmatrix}rs & 0 \\0 & rs\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}r & 0 \\0 & r\end{pmatrix} \begin{pmatrix}s & 0 \\0 & s\end{pmatrix} = f(r)\,f(s)

을 모두 보존하기 때문이다.

0이 아닌 복소수는 곱셈 연산 하에서 군을 형성하며, 0이 아닌 실수도 마찬가지이다. 0이 아닌 복소수에서 0이 아닌 실수로 가는 함수 f를 다음과 같이 정의한다.

:

f(z) = |z|

즉, f는 복소수 z의 절댓값이다. 그러면 f는 곱셈을 보존하므로 군의 준동형사상이다.

:

f(z_1 z_2) = |z_1 z_2| = |z_1| |z_2| = f(z_1) f(z_2)

f는 덧셈을 보존하지 않으므로 환의 준동형사상으로는 확장될 수 없다.

:

|z_1 + z_2| \ne |z_1| + |z_2|

모노이드 $(\mathbb{N}, +, 0)$ 에서 모노이드 $(\mathbb{N}, \times, 1)$ 로의 모노이드 준동형사상 f는 $f(x+y) = f(x) \times f(y)$ 및 $f(0) = 1$ 를 만족한다.
합성 대수 A는 체 F 위에서 ''노름''이라고 불리는 이차 형식 $N: A \to F$ 를 가지며, 이는 A의 곱셈 군에서 F의 곱셈 군으로 가는 군 준동형사상이다.

3. 1. 마그마와 군

마그마 준동형은 마그마 연산을 보존하는 함수이다. 군 준동형은 군 연산을 보존하는 함수이다. 군의 공리에 따라, 군 준동형은 항등원과 역원을 자동적으로 보존한다.^[3]

마그마

(M,\cdot)

는 하나의 이항 연산을 갖는 대수 구조이다. 마그마 준동형

\phi\colon M\to N

은 모든

m,n\in M

에 대하여

:

\phi(m\cdot n)=\phi(m)\cdot\phi(n)

인 함수이다.

군

(G,\cdot,^{-1},1)

은 이항 연산

\cdot

, 일항 연산

^{-1}

, 영항 연산

1

을 갖는 대수 구조이다. 군 준동형

\phi\colon G\to H

는 모든

g,g'\in G

에 대하여

:

\phi(g\cdot g')=\phi(g)\cdot\phi(g')

인 함수이다. 군의 경우, 군의 공리에 따라 항등원과 역원에 대한 조건은 자동적으로 만족하므로, 이들을 생략할 수 있다.

3. 2. 유사환과 환

유사환 준동형은 유사환의 연산을 보존하는 함수이다. 환 준동형은 환의 덧셈, 곱셈, 곱셈 항등원을 보존하는 함수이다. 환 준동형은 유사환 준동형보다 더 강한 조건이다.^[3] 예를 들어, 정수 환에서 정수 환의 곱으로 가는 사상

\mathbb Z\to\mathbb Z\times\mathbb Z

,

n\mapsto(0,n)

은 유사환 준동형이지만 환 준동형은 아니다.

3. 3. 벡터 공간

체 ''K'' 위의 벡터 공간 ''V''는 덧셈(+)과 스칼라 곱(α_''k'')을 연산으로 갖는 대수계 (''V'', +, 0, -·, {α_''k''}_{''k''∈''K''})이다. (여기서 0은 영원이고, -·는 덧셈에 관한 역원을 주는 단항 연산이다.)

두 벡터 공간 (''V'', +, {α_k}_{''k''∈''K''}), (''W'', +′, {β_''k''}_{''k''∈''K''}) (β_k: ''W'' → ''W''; β_''k''(''w'') := ''kw'' for ''k'' ∈ ''W'') 사이의 준동형 ''f'': ''V'' → ''W''는 다음을 만족한다.

$f(v_1 + v_2) = f(v_1) +' f(v_2) \quad (v_1,\,v_2 \in V),$
$f(kv) = f(\alpha_k(v)) = \beta_k(f(v)) = kf(v)\quad (v \in V)$

벡터 공간 사이의 준동형 사상을 일반적으로 선형 사상이라고 부른다.

3. 4. 격자

격자

(L,\vee,\wedge)

는 이항 연산

\vee

와

\wedge

를 갖는 대수 구조이다. 격자 준동형

\phi\colon L\to M

은 모든

a,b\in L

에 대하여 다음 조건을 만족하는 함수이다.

$\phi(a\vee b)=\phi(a)\vee\phi(b)$
$\phi(a\wedge b)=\phi(a)\wedge\phi(b)$

격자는 표준적인 부분 순서 집합 구조를 가지므로, 위 두 조건으로부터 격자 준동형이 항상 단조함수임을 보일 수 있다. 그러나 그 역은 일반적으로 성립하지 않는다.

유계 격자

(L,\vee,\wedge,\bot,\top)

는 이항 연산

\vee

와

\wedge

, 영항 연산

\bot

과

\top

을 갖는 대수 구조이다. 유계 격자 준동형

\phi\colon L\to M

은 모든

a,b\in L

에 대하여 다음 조건을 만족하는 함수이다.

$\phi(a\vee b)=\phi(a)\vee\phi(b)$
$\phi(a\wedge b)=\phi(a)\wedge\phi(b)$
$\phi(\bot)=\bot$
$\phi(\top)=\top$

이는 격자 준동형보다 더 강한 조건이다. 즉, 두 유계 격자 사이의 유계 격자 준동형은 격자 준동형이지만, 그 역은 일반적으로 성립하지 않는다.

3. 5. 그래프

그래프의 언어

\langle\sim\rangle

는 아무런 연산을 갖지 않고, 하나의 이항 관계

v_1\sim v_2

를 갖는 언어이다. 이 경우

v_1\sim v_2

는 "

v_1=v_2

이거나, 아니면

v_1

과

v_2

사이에 변이 존재한다"로 해석한다.

이 언어의 구조는 그래프이며, 구조로서의 준동형은 그래프의 준동형이다.

3. 6. 전순서

전순서 집합의 언어

\langle \le

는 아무런 연산을 갖지 않고, 하나의 이항 관계

\le

를 갖는 언어이며, 이 언어의 구조는 전순서 집합이다. 이 경우, 준동형은 순서를 보존하는 함수(증가 함수)이다.

4. 특별한 준동형

준동형 사상은 대수 구조의 연산을 보존하는 사상으로, 다양한 종류가 있다.

반군 준동형 사상: 반군 연산을 보존한다.
모노이드 준동형 사상: 모노이드 연산과 항등원을 보존한다.
군 준동형 사상: 군 연산을 보존하며, 자동적으로 항등원과 역원을 보존한다.
환 준동형 사상: 환의 덧셈, 곱셈, 곱셈 항등원을 보존한다. (곱셈 항등원 보존 여부는 환의 정의에 따라 다름)
선형 사상: 벡터 공간의 준동형 사상으로, 아벨 군 구조와 스칼라 곱셈을 보존한다.
가군 준동형 사상: 가군 사이의 선형 사상이다.
대수 준동형 사상: 대수 연산을 보존한다.

실수의 덧셈군과 양의 실수의 곱셈군 사이에서 지수 함수는

:

e^{x+y} = e^xe^y,

를 만족하여 준동형 사상이며, 역함수인 자연 로그

:

\ln(xy)=\ln(x)+\ln(y),

역시 군 준동형 사상이다.

4. 1. 동형 사상 (Isomorphism)

같은 유형의 대수 구조 사이의 동형사상은 일반적으로 전단사 준동형사상으로 정의된다.^[4]rp|134^영어^[5]rp|28^영어

더 일반적인 범주론의 맥락에서 동형사상은 역함수인 사상으로 정의되기도 한다. 대수 구조의 특정 경우에는 두 정의가 동일하지만, 기본 집합이 있는 비대수 구조의 경우에는 다를 수 있다.

더 정확하게는,

:

f: A\to B

가 (준)동형사상이라면, 다음과 같은 준동형사상이 존재할 경우 역함수를 가진다.

:

g: B\to A

이는 다음 조건을 만족한다.

:

f\circ g = \operatorname{Id}_B \qquad \text{and} \qquad g\circ f = \operatorname{Id}_A.

만약

A

와

B

가 기본 집합을 가지고,

f: A \to B

가 역함수

g

를 갖는다면,

f

는 전단사 함수이다. 사실,

f(x) = f(y)

이면

x = g(f(x)) = g(f(y)) = y

이므로

f

는 단사 함수이고, 임의의

x

가

B

에 존재하고

x = f(g(x))

를 가지므로,

x

는

A

의 원소의 상이 되므로

f

는 전사 함수이다.

반대로,

f: A \to B

가 대수 구조 사이의 전단사 준동형사상인 경우,

g(y)

가

f(x) = y

인

A

의 유일한 원소

x

인 사상

g: B \to A

를 생각할 수 있다. 이 때,

f \circ g = \operatorname{Id}_B \text{ and } g \circ f = \operatorname{Id}_A

를 가지며,

g

가 준동형사상임을 보이는 것만 남았다. 만약

*

가 구조의 이항 연산인 경우,

B

의 원소의 모든 쌍

x

,

y

에 대해 다음이 성립한다.

:

g(x*_B y) = g(f(g(x))*_Bf(g(y))) = g(f(g(x)*_A g(y))) = g(x)*_A g(y),

따라서

g

는

*

와 호환된다. 이 증명은 모든 아리티에 대해 유사하므로,

g

는 준동형사상이다.

이 증명은 비대수 구조에는 적용되지 않는다. 예를 들어, 위상 공간의 경우, 사상은 연속 함수이고 전단사 연속 함수의 역함수는 반드시 연속적이지 않다. 따라서 동형 사상 또는 쌍연속 함수라고 하는 위상 공간의 동형사상은 역함수도 연속인 전단사 연속 함수이다.

준동형 사상 ''f''가 역사상 ''f''⁻¹를 갖고, ''f''⁻¹도 또한 준동형일 때, ''f''를 '''동형 사상''' 또는 단순히 동형이라고 한다. ''f''가 동형이라면 ''f''⁻¹도 동형이다. 어떤 수학적 구조를 갖는 두 집합 ''A'', ''B'' 사이에 준동형 사상이 존재할 때, ''A''와 ''B''는 준동형이라고 하며, 동형 사상이 존재할 때는 동형이라고 한다. 서로 동형인 집합은 그 구조에 관해서는 같은 것으로 간주할 수 있다.

체의 준동형(단위원을 갖는 환으로서의 준동형)은 항상 단사이며, 영 사상이 아니므로 그 상과 원래의 체는 동형이 된다. 따라서 체의 경우에는 준동형이라고 하지 않고 '''안으로의 동형''' (isomorphic into)^영어이라고 부르며, 전사라면 '''위로의 동형''' (isomorphic onto)^영어이라고 한다. 또한, 군이나 환의 준동형, 벡터 공간의 선형 사상(환 위의 가군으로서의 준동형)은 전단사이면 동형이다.

4. 2. 자기 사상 (Endomorphism)

자기 사상은 정의역과 공역이 같은 사상이다.^[4]

대수적 구조 또는 범주의 대상의 자기 사상은 합성에 따라 모노이드를 형성한다.

벡터 공간 또는 가군의 자기 사상은 환을 형성한다. 유한한 차원의 벡터 공간 또는 자유 가군의 경우, 기저를 선택하면 자기 사상의 환과 동일한 차원의 정사각 행렬의 환 사이에 환 동형 사상이 유도된다.

대수계(''A'', ''R'')에서, 정의역과 공역이 모두 ''A''인 준동형 사상 ''f'': ''A'' → ''A''는 ''A'' 위의 '''자기 준동형'''(endomorphism^영어)이라고 한다.

''G''가 군일 때, ''G'' 위의 자기 준동형 ''f'', ''g''에 대해, ''f''(''x'')''g''(''y'') = ''g''(''y'')''f''(''x'')가 모든 ''x'', ''y'' ∈ ''G''에 대해 성립하면 ''f''와 ''g''는 '''가법 가능'''하다고 하며, (''f'' + ''g'')(''x'') := ''f''(''x'')''g''(''x'') (''x'' ∈ ''G'')로 정의한다. 특히, ''G''가 아벨 군이면 ''G'' 위의 모든 자기 준동형 End(''G'')에 대해 가법이 정의되고, 사상의 합성을 곱으로 하여 End(''G'')는 환이 된다. 이것을 ''G'' 위의 '''자기 준동형환'''이라고 한다.

4. 3. 자기 동형 사상 (Automorphism)

자기 동형 사상은 동형 사상이기도 한 자기 준동형 사상이다.^[4] 대수 구조 또는 범주의 대상의 자기 동형 사상은 합성에 따라 군을 형성하며, 이를 구조의 자기 동형군이라고 한다.

이름이 붙여진 많은 군들은 어떤 대수 구조의 자기 동형 군이다. 예를 들어, 일반 선형 군은 체에 대한 차원의 벡터 공간의 자기 동형 군이다.

체의 자기 동형 군은 갈루아에 의해 다항식의 근을 연구하기 위해 도입되었으며, 갈루아 이론의 기초가 된다.

대수계(''A'', ''R'')에 대해, 시역과 종역이 같은 ''A''인 준동형 사상 ''f'': ''A'' → ''A''는 ''A'' 위의 '''자기 준동형'''이라고 하며, 더욱이 ''f''가 동형 사상일 때에는 ''A'' 위의 '''자기 동형'''이라고 한다. ''A'' 위의 자기 동형 전체 Aut(''A'')는 사상의 합성을 이항 연산으로 생각하면, 항등 사상 id_''A''를 단위원으로 하고, 역사상을 역원으로 하는 군을 이룬다. 이것을 ''A'' 위의 '''자기 동형군'''이라고 부른다.

4. 4. 단사 사상 (Monomorphism)

대수적 구조에서 단사 사상은 일반적으로 단사인 준동형 사상으로 정의된다.^[4]

더 일반적인 범주론 맥락에서, 단사 사상은 '''왼쪽에서 소거 가능'''한 사상으로 정의된다.^[6] 이는 (준)동형사상

f:A \to B

가 모든 다른 대상

C

에서

A

로 가는 사상

g

,

h

의 쌍에 대해

f \circ g = f \circ h

가

g = h

를 의미하는 경우 단사 사상임을 의미한다.

이 두 가지 ''단사 사상'' 정의는 모든 일반적인 대수적 구조에 대해 동일하다. 보다 정확하게는, 모든 준동형사상이 단사 사상인 체와 제한 없이 연산과 공리(항등식)가 정의되는 대수적 구조인 다양체에 대해 동일하다(체는 곱셈 역원이 단항 연산 또는 곱셈의 속성으로 정의되므로 다양체를 형성하지 않으며, 두 경우 모두 0이 아닌 요소에 대해서만 정의된다).

특히, 단사 사상에 대한 두 정의는 집합, 마그마, 반군, 모노이드, 군, 환, 체, 벡터 공간 및 가군에 대해 동일하다.

'''분리 단사 사상'''은 왼쪽 역을 가지므로 스스로 다른 준동형사상의 오른쪽 역인 준동형사상이다. 즉, 준동형사상

f\colon A \to B

는 준동형사상

g\colon B \to A

가 존재하여

g \circ f = \operatorname{Id}_A

를 만족하는 경우 분리 단사 사상이다. 분리 단사 사상은 ''단사 사상''의 두 가지 의미 모두에서 항상 단사 사상이다. 집합과 벡터 공간의 경우 모든 단사 사상은 분리 단사 사상이지만, 이 속성은 대부분의 일반적인 대수적 구조에 대해서는 성립하지 않는다.

4. 5. 전사 사상 (Epimorphism)

대수학에서 에피모르피즘은 종종 전사 준동형 사상으로 정의된다.^[4]^[5] 반면에, 범주론에서 에피모르피즘은 우측 소거 가능 사상으로 정의된다.^[6] 이는 (준동형) 사상

f: A \to B

가 임의의 다른 대상

C

로 가는 두 사상

g

,

h

에 대해, 등식

g \circ f = h \circ f

가

g = h

를 함의하는 경우를 의미한다.

전사 준동형 사상은 항상 우측 소거 가능하지만, 대수적 구조에 대해 그 역은 항상 성립하지 않는다. 그러나 ''에피모르피즘''의 두 정의는 집합, 벡터 공간, 아벨 군, 가군(증명은 아래 참조), 그리고 군에 대해서는 동치이다.^[7] 이러한 구조가 모든 수학, 특히 선형대수학과 호몰로지 대수학에서 갖는 중요성은 두 개의 비동치 정의가 공존하는 이유를 설명할 수 있다.

비전사 에피모르피즘이 존재하는 대수적 구조에는 반군과 환이 있다. 가장 기본적인 예시는 정수를 유리수에 포함시키는 것으로, 이는 환과 곱셈 반군의 준동형 사상이다. 두 구조 모두에서 단사 사상이자 비전사 에피모르피즘이지만, 동형 사상은 아니다.^[6]^[8]

이 예의 광범위한 일반화는 곱셈 집합에 의한 환의 국소화이다. 모든 국소화는 환 에피모르피즘이며, 일반적으로 전사적이지 않다. 국소화는 가환대수학과 대수기하학에서 기본적이므로, 이러한 분야에서 에피모르피즘을 우측 소거 가능한 준동형 사상으로 정의하는 것이 일반적으로 선호된다.
분할 에피모르피즘은 우측 역원을 갖는 준동형 사상이며, 따라서 다른 준동형 사상의 좌역원이다. 즉, 준동형 사상

f\colon A \to B

에 대해 준동형 사상

g\colon B \to A

가 존재하여

f\circ g = \operatorname{Id}_B

가 되는 경우 분할 에피모르피즘이다. 분할 에피모르피즘은 ''에피모르피즘''의 두 의미 모두에서 항상 에피모르피즘이다. 집합과 벡터 공간의 경우, 모든 에피모르피즘은 분할 에피모르피즘이지만, 이 성질은 대부분의 일반적인 대수적 구조에 대해 성립하지 않는다.

요약하면, 다음과 같다.

:

\text {분할 에피모르피즘} \implies \text{에피모르피즘 (전사)} \implies \text {에피모르피즘 (우측 소거 가능)};

마지막 함의는 집합, 벡터 공간, 가군, 아벨 군 및 군에 대해 동치 관계이며, 첫 번째 함의는 집합과 벡터 공간에 대해 동치 관계이다.

5. 핵 (Kernel)

Kernel^영어은 준동형 $f$ 에 대해, 상(image)이 항등원으로 가는 원소들의 집합이다.^[3]

어떤 준동형 $f: X \to Y$ 는 $f(a) = f(b)$ 일 때 $a \sim b$ 에 의해 $X$ 에 대한 동치 관계 $\sim$ 를 정의한다. 관계 $\sim$ 은 $f$ 의 '''핵'''이라고 한다. 이것은 $X$ 에 대한 합동 관계이다.

대수적 구조가 어떤 연산에 대한 군일 때, 이 연산의 항등원의 동치류 $K$ 는 동치 관계를 특징짓기에 충분하다. 이 경우 동치 관계에 의한 몫은 $X/K$ 로 표시된다(일반적으로 " $X$ mod $K$ "로 읽는다). 또한 이 경우 $\sim$ 이 아닌 $K$ 가 $f$ 의 커널이라고 불린다. 주어진 유형의 대수적 구조의 준동형의 커널에는 자연스럽게 어떤 구조가 갖춰져 있다. 커널의 이러한 구조 유형은 아벨 군, 벡터 공간 및 가군의 경우와 동일하지만, 군 준동형의 커널에 대한 정규 부분군 및 환 준동형의 커널에 대한 아이디얼과 같이 다른 경우에 다르며 특정 이름이 부여되었다(비가환환의 경우, 커널은 양쪽 아이디얼이다).

6. 관계 구조

모형 이론에서는 연산과 관계를 모두 포함하는 구조로 준동형의 개념을 일반화한다. 같은 부호수 $\sigma=(F,R)$의 두 구조 $ (A, F_A, R_A) $, $ (B, F_B, R_B) $ 사이의 준동형은 다음 조건을 만족시키는 함수 $\phi\colon A\to B$이다.

(연산의 보존) 모든 $n$항 연산 $f\in F$ 및 $a_1, a_2, \dots, a_n\in A$에 대하여,

:$\phi(f_A(a_1, a_2, \dots, a_n))=f_B(\phi(a_1), \phi(a_2), \dots, \phi(a_n))$

(관계의 보존) 모든 $n$항 관계 $r\in R$ 및 $a_1, a_2, \dots, a_n\in A$에 대하여,

:$r_A(a_1, a_2, \dots, a_n)\implies r_B(\phi(a_1), \phi(a_2), \dots, \phi(a_n))$

같은 부호수의 두 구조 사이의 '''강준동형'''(強準同型, strong homomorphism^영어)은 다음 조건을 추가로 만족시키는 준동형 $\phi\colon A\to B$이다.

모든 $n$항 관계 $r\in R$ 및 $a_1, \dots, a_n\in A$에 대하여,

:$r_A(a_1, a_2, \dots, a_n)\iff r_B(\phi(a_1), \phi(a_2), \dots, \phi(a_n))$

대수 구조의 경우, 관계가 없으므로 강준동형과 준동형의 개념이 일치한다.

모형 이론에서 대수적 구조의 개념은 연산과 관계를 모두 포함하는 구조로 일반화된다. ''L''을 함수 기호와 관계 기호로 구성된 시그니처라고 하고, ''A'', ''B''를 두 개의 ''L''-구조라고 하면, ''A''에서 ''B''로의 '''준동형 사상'''은 ''A''의 정의역에서 ''B''의 정의역으로의 매핑 ''h''로서, 다음과 같은 조건을 만족한다.

각 ''n''항 함수 기호 ''F'' ∈ ''L''에 대해, ''h''(''F''^''A''(''a''₁,…,''a''_''n'')) = ''F''^''B''(''h''(''a''₁),…,''h''(''a''_''n'')).
각 ''n''항 관계 기호 ''R'' ∈ ''L''에 대해, ''R''^''A''(''a''₁,…,''a''_''n'')는 ''R''^''B''(''h''(''a''₁),…,''h''(''a''_''n''))을 함의한다.

이진 관계가 하나만 있는 특수한 경우, 그래프 준동형 사상의 개념을 얻는다.^[9]

7. 형식 언어 이론

형식 언어 연구에서 준동형은 "morphism"이라고도 불린다.^[11] 알파벳 $\Sigma_1$ 과 $\Sigma_2$ 가 주어졌을 때, 모든 $u,v \in \Sigma_1$ 에 대해 $h(uv) = h(u) h(v)$ 를 만족하는 함수 $h \colon \Sigma_1^* \to \Sigma_2^*$ 를 $\Sigma_1^*$ 에 대한 "준동형"이라고 한다.^[12] $h$ 가 $\Sigma_1^*$ 에 대한 준동형이고, $\varepsilon$ 이 빈 문자열을 나타낸다면, 모든 $x \neq \varepsilon$ in $\Sigma_1^*$ 에 대해 $h(x) \neq \varepsilon$ 일 때 $h$ 를 $\varepsilon$ "-free homomorphism"이라고 한다.

모든 $a \in \Sigma_1$ 에 대해 $|h(a)| = k$ 를 만족하는 $\Sigma_1^*$ 에 대한 준동형 $h \colon \Sigma_1^* \to \Sigma_2^*$ 를 $k$ "-uniform" 준동형이라고 한다.^[13] 모든 $a \in \Sigma_1$ 에 대해 $|h(a)| = 1$ 이면(즉, $h$ 가 1-uniform이면), $h$ 를 "coding" 또는 "projection"이라고도 한다.

알파벳 $\Sigma$ 로 구성된 단어의 집합 $\Sigma^*$ 는 $\Sigma$ 에 의해 생성된 자유 모노이드로 간주될 수 있다. 여기서 모노이드 연산은 연접이고 항등원은 빈 단어이다. 이러한 관점에서, 언어 준동형은 정확히 모노이드 준동형이다.^[14]

참조

_[1] 서적 Vorlesungen über die Theorie der automorphen Functionen https://archive.org/[...] B.G. Teubner 1897–1912
_[2] 간행물 Ueber den arithmetischen Charakter der zu den Verzweigungen (2,3,7) und (2,4,7) gehörenden Dreiecksfunctionen https://babel.hathit[...] 1892
_[3] 문서
_[4] 서적 Lattice theory American Mathematical Society
_[5] 서적 A Course in Universal Algebra http://www.math.uwat[...] S. Burris and H.P. Sankappanavar
_[6] 서적 Categories for the Working Mathematician Springer-Verlag
_[7] 뉴스 A group epimorphism is surjective The American Mathematical Monthly 1970-02-01
_[8] 서적 Hopf Algebra: An Introduction Marcel Dekker
_[9] 문서
_[10] 문서
_[11] 문서
_[12] 문서
_[13] 문서
_[14] 문서

본 사이트는 AI가 위키백과와 뉴스 기사,정부 간행물,학술 논문등을 바탕으로 정보를 가공하여 제공하는 백과사전형 서비스입니다.
모든 문서는 AI에 의해 자동 생성되며, CC BY-SA 4.0 라이선스에 따라 이용할 수 있습니다.
하지만, 위키백과나 뉴스 기사 자체에 오류, 부정확한 정보, 또는 가짜 뉴스가 포함될 수 있으며, AI는 이러한 내용을 완벽하게 걸러내지 못할 수 있습니다.
따라서 제공되는 정보에 일부 오류나 편향이 있을 수 있으므로, 중요한 정보는 반드시 다른 출처를 통해 교차 검증하시기 바랍니다.

문의하기 : help@durumis.com