자유 가군

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 자유 가군
3. 성질
- 3.1. 불변 기저 수 성질 (IBN)
4. 예
- 4.1. 불변 기저 수 성질의 실패
5. 구성
6. 보편 성질
7. 일반화
8. 역사
참조

1. 개요

자유 가군은 곱셈 항등원을 갖는 환 위의 가군으로, 기저를 가질 수 있는 가군을 의미한다. 자유 가군은 선형 독립인 원소들의 집합인 기저를 가지며, 기저의 존재는 가군의 모든 원소를 기저 원소의 선형 결합으로 유일하게 나타낼 수 있게 한다. 자유 가군은 사영 가군이며, 불변 기저 수 성질을 만족하는 환에서는 기저의 크기가 유일하게 결정되어 계수를 정의할 수 있다. 자유 가군은 보편 성질을 만족하며, 사영 가군, 평탄 가군, 비틀림이 없는 가군 등으로 일반화될 수 있다. 기저의 개념은 데데킨트에 의해 도입되었고, 하멜 기저는 하멜에 의해 연구되었다.

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자유 가군
정의
정의	수학에서, 자유 가군은 기저를 갖는 가군이다.
성질
성질	모든 벡터 공간은 자유 가군이다.
영어
영어 이름	Free module

2. 정의

모든 환은 곱셈 항등원을 가지며, 모든 가군에 항등원이 항등 함수로 작용한다고 가정한다.

'''순서 기저'''(順序基底, ordered basis^영어)는 전순서를 부여한 기저이다. 유한 순서 기저 $\{b_1, b_2, \dots, b_n\}$ 을 가진 자유 가군 $M$ 의 임의의 원소 $m\in M$ 는 다음과 같이 표준적으로 유일하게 표시할 수 있다.

: $m=r_1b_1+r_2b_2+\cdots+r_nb_n\qquad(r_1,\dots,r_n\in R)$

이 경우, $r_i$ 를 $m$ 의 ''' $i$ 번째 좌표'''( $i$ th coordinate^영어)라고 한다. 행렬 표기법을 사용할 경우, 흔히 이는 다음과 같이 표기한다.

: $m=\begin{pmatrix}r_1\\r_2\\\vdots\\r_n\end{pmatrix}$

기저가 무한일 때, $M$ 의 랭크는 기저의 농도이다.

2. 1. 자유 가군

환

R

위의 왼쪽 가군

M

의 '''기저'''(basis^영어) 또는 '''하멜 기저'''(Hamel basis^영어)는 다음 두 조건을 만족시키는 부분 집합

B\subseteq M

이다.

(선형 생성) 임의의 가군 원소 $m\in M$ 에 대하여, $m=r_1b_1+r_2b_2+\cdots+r_nb_n$ 인 유한 개의 기저 원소 $b_1,b_2,\dots,b_n\in B$ 및 $r_1,r_2,\dots,r_n\in R$ 가 존재한다.
(선형 독립) 임의의 유한 개의 기저 원소 $b_1,b_2,\dots,b_n\in B$ 및 $r_1,r_2,\dots,r_n\in R$ 에 대하여, 만약 $0=r_1b_1+r_2b_2+\cdots+r_nb_n$ 이라면, $0=r_1=r_2=\cdots=r_n$ 이다.

오른쪽 가군의 경우도 마찬가지로 정의된다.

만약 왼쪽 가군

_RM

의 기저

B

가 존재한다면, 가군의 모든 원소

m

은 다음과 같은 꼴로 (항의 순서를 무시하면) 유일하게 나타낼 수 있다.

:

m=r_1b_1+r_2b_2+\cdots+r_nb_n\qquad(n\in\mathbb N,\;r_1,\dots,r_n\in R\setminus\{0\},\;b_1,\dots,b_n\in B)

(여기서

\mathbb N

은 음이 아닌 정수의 집합이며, 0개의 항의 합은

0\in M

으로 정의한다.)

(곱셈 항등원을 갖춘) 환

R

위의 '''자유 왼쪽 가군'''(free left module^영어)은 적어도 하나의 기저를 가질 수 있는

R

위의 왼쪽 가군이다. 오른쪽 가군에 대해서도 기저 및 '''자유 오른쪽 가군'''(free right module^영어)을 마찬가지로 정의할 수 있다.

환

R

과

R

-가군

M

에 대해, 집합

E\subseteq M

이

M

의 기저가 되기 위한 조건은 다음과 같다.

$E$ 는 $M$ 의 생성집합이다. 즉, $M$ 의 모든 원소는 $E$ 의 원소에 $R$ 의 계수를 곱한 유한 합으로 나타낼 수 있다.
$E$ 는 선형 독립이다. 즉, 서로 다른 원소 $\{e_1,\dots,e_n\}\subset E$ 에 대해 $r_1 e_1 + r_2 e_2 + \cdots + r_n e_n = 0_M$ 이면 $r_1 = r_2 = \cdots = r_n = 0_R$ 이다. ( $0_M$ 은 $M$ 의 영원소이고, $0_R$ 은 $R$ 의 영원소이다.)

자유 가군은 기저를 가진 가군이다.^[2]

정의의 두 번째 조건의 즉각적인 결과는 첫 번째 조건에서 계수가 ''M''의 각 원소에 대해 유일하다는 것이다.

R

이 불변 기저수를 가지면, 정의에 따라 두 기저는 같은 기수를 갖는다. 0이 아닌 가환환은 불변 기저수를 갖는다. 임의의 (따라서 모든) 기수의 기수를 자유 가군

M

의 '''계수'''라고 부른다. 이 기수가 유한하면 자유 가군은 ''유한 계수의 자유 가군'' 이라고 한다.

R

-가군

M

이 기저를 가질 때,

M

은 '''자유 가군'''이라고 한다^[6]。

무한 자유 기저의 정의는,

E

가 무한히 많은 원소를 가진다는 것을 제외하면, 마찬가지이다. 그러나 합은 유한하며, 어떤

x

에 대해서도

E

의 유한 개의 원소만 포함된다.

3. 성질

모든 자유 가군은 사영 가군이다. 반대로, (가환) 국소환 또는 주 아이디얼 정역에 대한 사영 가군은 자유 가군이다.

나눗셈환 위의 모든 왼쪽 가군은 자유 왼쪽 가군이며, 나눗셈환 위의 모든 오른쪽 가군은 자유 오른쪽 가군이다. (이 사실을 증명하기 위해서는 일반적으로 선택 공리가 필요하다.) 특히, 체 위의 가군은 벡터 공간이라고 하며, 벡터 공간은 항상 자유 가군이다.

3. 1. 불변 기저 수 성질 (IBN)

환

R

위의 왼쪽 가군으로서 서로 동형인 임의의 두 양의 정수

m,n\in\mathbb Z^+

에 대하여

_R(R^m)\cong {}_R(R^n)

이면

m=n

이 성립할 경우,

R

를 왼쪽 '''불변 기저 수 성질'''(不變基底數性質, invariant basis number property^영어, 약자 IBN)을 만족시킨다고 한다. 불변 기저 수 성질을 만족시키는 환 위의 자유 가군의 경우, 그 계수를 유일하게 정의할 수 있다.

다음과 같은 환들은 왼쪽 가군에 대한 불변 기저 수 성질을 만족시킨다.

자명환이 아닌 가환환
자명환이 아닌 왼쪽 뇌터 환
자명환이 아닌 반국소환(semilocal ring^영어, 제이컵슨 근기에 대한 몫환이 반단순환인 환)

특히, 모든 나눗셈환은 왼쪽·오른쪽 불변 기저 수 성질을 만족시킨다.

불변 기수 성질은 유한 집합에서만 의미가 있는데, 이는 무한 기저의 경우 그 크기가 항상 불변이기 때문이다. 구체적으로, 환

R

위의 왼쪽 가군

V

의 두 기저

B,B'\subseteq V

가 주어졌다고 하자. 또한,

B

가 무한 집합이라고 하자. 그렇다면 항상

|B|=|B'|

이다.

따라서, 불변 기저 수 성질을 만족시키는 환 위의 자유 가군의 경우, 그 기저의 크기는 불변량을 이룬다. 이를 자유 가군의 '''계수'''(rank^영어) 또는 (특히 나눗셈환 위의 가군의 경우) '''차원'''(dimension^영어) 또는 '''하멜 차원'''(Hamel dimension^영어)이라고 한다.

환

R

위의 다음과 같은 세 성질을 생각하자.^[7]

#

R

는 왼쪽 자유 기저 수 성질을 만족시킨다.

# 임의의 자연수

n

에 대하여, 자유 왼쪽 가군

R^n

은

n

개 미만의 원소로 생성될 수 없다.

# 임의의 자연수

n

및 자유 왼쪽 가군

R^n

의 크기

n

의 부분 집합

\{v_1,v_2,\dots,v_n\}\subseteq R^n

에 대하여, 만약

Rv_1+Rv_2+\cdots+Rv_n=R^n

이라면

\{v_1,\dots,v_n\}

은 기저를 이룬다.

조건 2는 조건 1을 함의하며, 조건 3은 조건 2를 함의한다. 그러나 그 역은 성립하지 않는다. 즉, 조건 1을 만족시키지만 조건 2를 만족시키지 않는 환이 존재하며, 조건 2를 만족시키지만 조건 3을 만족시키지 않는 환이 존재한다.

이들에 대한 충분 조건은 다음과 같다.

자명환이 아닌 왼쪽 뇌터 환은 조건 1~3을 만족시킨다.^[7]
자명환이 아닌 오른쪽 뇌터 환은 조건 1~3을 만족시킨다.^[7]
자명환이 아닌 가환환은 조건 1~3을 만족시킨다.^[7]

R

이 불변 기저 수를 가지면, 정의에 따라 두 기저는 같은 기수를 갖는다. 예를 들어, 0이 아닌 가환환은 불변 기저 수를 갖는다. 임의의 (따라서 모든) 기수의 기수를 자유 가군

M

의 '''계수'''라고 부른다. 이 기수가 유한하면 자유 가군은 ''유한 계수의 자유 가군'' 또는 계수가

n

으로 알려진 경우 ''계수

n

의 자유 가군''이라고 한다.

R

이 기저 수 일정 성질(IBN)을 가지면, 정의에 의해 임의의 두 기저는 같은 농도를 가진다. 임의의 (따라서 모든) 기저의 농도를 자유 가군

M

의 '''랭크'''('''계수''')라고 하며, 농도가 유한하면,

M

을 '''랭크

n

의 자유 가군''', 또는 단순히 '''유한 랭크의 자유 가군'''이라고 한다.

4. 예

환 R을 스스로에 대한 가군으로 보았을 때, R의 임의의 기수 κ에 대한 직합 R^(⊕κ)은 자유 가군이다. 자유 아벨 군은 정수환 Z 위의 자유 가군이다. 영가군은 공집합을 기저로 갖는 자유 가군이다.^[3]

다음은 자유 가군의 예시이다.

경우	설명
R이 자신 위의 계수 1인 자유 가군 (좌/우 가군)	임의의 단위원은 기저이다.
R이 가환환인 경우, R의 영이 아닌 아이디얼 I	자유 가군일 필요충분조건은 영인자가 아닌 원소로 생성되는 주 아이디얼이고, 생성원이 기저인 경우이다.
주 아이디얼 정역 (예: Z) 위	자유 가군의 부분 가군은 자유 가군이다.
R이 가환환인 경우, 변수 X에 대한 다항식 환 R[X]	1, X, X², ...를 기저로 하는 자유 가군이다.
A[t]가 가환환 A 위의 다항식 환, f가 차수 d의 단항 다항식, B = A[t]/(f) 및 ξ가 B에서 t의 이미지	B는 A를 부분환으로 포함하며, 1, ξ, …, ξ^d-1를 기저로 하는 A-가군으로서 자유 가군이다.
임의의 음이 아닌 정수 n에 대해, 좌 R-가군으로서의 R의 n개의 복사본의 데카르트 곱 Rⁿ	자유 가군이다. 만약 R이 불변 기저 수를 갖는다면, 그 계수는 n이다.
자유 가군들의 직합	자유 가군이지만, 자유 가군들의 무한 데카르트 곱은 일반적으로 자유 가군이 아니다(cf. Baer–Specker group).

4. 1. 불변 기저 수 성질의 실패

자명환은 (자명하게) 불변 기저 수 성질을 만족시키지 않는다. 사실, 임의의 (유한 또는 무한) 기수

\kappa

에 대하여

0^{\kappa}

는 (한원소 집합이므로) 자명환 위의 영가군이다.^[1]

임의의 환

R

에 대하여, '''열 유한 행렬환'''(ring of column-finite matrices^영어)

\operatorname{CFM}(\mathbb N;R)

을 다음과 같은 꼴의 "행렬"로 구성된 환이라고 하자.^[1]

$\operatorname{CFM}(\mathbb N;R)$ 의 원소 $(r_{i,j})_{i,j=0,1,2,\dots}$ ( $r_{i,j}\in R$ )는 $R$ 계수의 $\mathbb N\times\mathbb N$ "행렬"이다.
$\operatorname{CFM}(\mathbb N;R)$ 의 원소의 각 열에서, 0이 아닌 성분의 수는 유한하다.

둘째 조건 때문에 두 행렬의 곱은 무한한 합을 필요로 하지 않아 잘 정의된다. 이 경우, 다음과 같은 왼쪽 가군 동형 사상이 존재하므로, 불변 기저 수 성질이 성립하지 않는다.^[1]

:

\operatorname{CFM}(\mathbb N;R)\to\operatorname{CFM}(\mathbb N;R)^2

:

(r_{i,j})_{i,j\in\mathbb N}\mapsto\left((r_{i,2j})_{i,j\in\mathbb N},(r_{i,2j+1})_{i,j\in\mathbb N}\right)

즉, 이 가군 동형 사상은 짝수 번째 열과 홀수 번째 열을 분리하는 것이다.^[1]

5. 구성

집합 E와 링 R이 주어졌을 때, E를 기저로 갖는 자유 R-가군 R^(E)는 E에서 R로 가는 함수 중 유한 개의 원소를 제외하고 모두 0인 함수들의 집합으로 구성할 수 있다. 이는 R의 복사본들의 가군의 직합으로 표현된다.

: $R^{(E)} = \bigoplus_{e \in E} R$

구체적으로, R^(E)는 데카르트 곱 $\prod_E R$ 의 부분 가군이며, 유한 개의 0이 아닌 성분만을 갖는 원소들로 구성된다. E의 원소 e는 R^(E)의 원소로 식별될 수 있는데, 이 원소의 e번째 성분은 1(R의 단위)이고 다른 모든 성분은 0이다. 따라서 R^(E)의 각 원소는 다음과 같이 유일하게 표현 가능하다.

: $\sum_{e \in E} c_e e ,$

여기서 유한 개의 c_e만 0이 아니다. 이는 E의 원소들의 형식적 선형 결합이라고 불린다.

R^(E)는 다음과 같이 정의되는 함수들의 집합으로도 구성할 수 있다.

: $R^{(E)} = \{ f: E \to R \mid f(x) = 0 \text { for all but finitely many } x \in E \}.$

이 집합은 다음과 같이 정의되는 덧셈과 스칼라 곱셈에 대해 좌 가군의 구조를 갖는다.

덧셈: (f + g)(x) = f(x) + g(x) (E의 모든 x에 대해)
스칼라 곱셈: (r f)(x) = r f(x) (R의 r과 E의 x에 대해)

R^(E)의 각 원소 f는 다음과 같이 유일하게 표현될 수 있다.

:

f = \sum_{e \in E} c_e \delta_e

여기서 c_e는 R의 원소이고, 유한 개만 0이 아니며, δ_e는 다음과 같이 정의되는 크로네커 델타의 변형이다.

:

\delta_e(x) = \begin{cases} 1_R \quad\mbox{if } x=e \\ 0_R \quad\mbox{if } x\neq e \end{cases}

이 표현은 { δ_e | e ∈ E }가 R^(E)의 기저임을 의미한다. 사상 e ↦ δ_e는 E와 이 기저 사이의 전단사를 이룬다.

다른 구성 방법으로, 집합 E 위의 자유 R-가군 C(E)는 다음과 같이 정의할 수 있다.

밑집합: C(E)는 E에서 R로 가는 함수 f: E → R 중 유한 개를 제외한 모든 x ∈ E에 대해 f(x) = 0인 함수들의 집합이다.
가법: 두 원소 f, g ∈ C(E)에 대해, (f + g)(x) = f(x) + g(x) (∀x ∈ E)로 정의한다.
반원: f ∈ C(E)에 대해, (-f)(x) = -(f(x)) (∀x ∈ E)로 정의한다.
스칼라 곱: α ∈ R, f ∈ C(E)에 대해, (αf)(x) = α(f(x)) (∀x ∈ E)로 정의한다.

C(E)의 기저는 {δ_a: a ∈ E}로 주어지며, δ_a는 다음과 같다.

:

\delta_a(x) = \begin{cases} 1, & \text{if } x=a; \\ 0, &\text{if } x\neq a \end{cases}

이는 크로네커 델타의 변형이며, 집합 {a}의 지시 함수의 특별한 경우이다.

사상 ι: E → C(E)를 ι(a) = δ_a로 정의하면, 이 사상은 E와 기저 벡터 {δ_a}_a∈E 사이의 전단사를 제공한다.

6. 보편 성질

위에 정의된 포함 사상 $\iota : E\to R^{(E)}$ 는 다음과 같은 보편 성질을 갖는다. 집합 $E$ 에서 좌 $R$ -가군 $N$ 으로 가는 임의의 함수 $f : E\to N$ 이 주어지면, $f = \overline{f} \circ\iota$ 를 만족하는 유일한 가군 준동형 사상 $\overline{f}: R^{(E)}\to N$ 이 존재한다. 즉, $\overline{f}$ 는 다음 공식으로 정의된다.

: $\overline{f}\left (\sum_{e \in E} r_e e \right) = \sum_{e \in E} r_e f(e)$

그리고 $\overline{f}$ 는 ''선형성에 의해 $f$ 를 확장''하여 얻어진다고 말한다. 유일성은 각 $R$ -선형 사상 $R^{(E)} \to N$ 이 $E$ 로의 제한에 의해 고유하게 결정된다는 것을 의미한다.

보편 성질의 일반적인 경우와 마찬가지로, 이것은 $R^{(E)}$ 를 표준 동형 사상까지 정의한다. 또한 각 집합 $E$ 에 대해 $\iota : E\to R^{(E)}$ 의 형성은 함자를 결정한다.

: $R^{(-)}: \textbf{Set} \to R\text{-}\mathsf{Mod}, \, E \mapsto R^{(E)}$ ,

집합 범주에서 좌 $R$ -가군의 범주로 가는 함자이다. 이것은 자유 함자라고 불리며, 각 집합 $E$ 와 좌 가군 $N$ 에 대해 자연스러운 관계를 만족한다.

: $\operatorname{Hom}_{\textbf{Set}}(E, U(N)) \simeq \operatorname{Hom}_R(R^{(E)}, N), \, f \mapsto \overline{f}$

여기서 $U: R\text{-}\mathsf{Mod} \to \textbf{Set}$ 는 망각 함자를 의미하며, $R^{(-)}$ 는 망각 함자의 왼쪽 수반이다.

위에 정의된 사상 $\iota : E \to C(E)$ 는 다음과 같은 보편성을 가진다.^[1]

; 자유 가군의 보편성

: 임의의 $R$ -가군 $M$ 과 임의의 사상 $\varphi\colon E\to M$ 에 대해, $\varphi = \psi\circ\iota$ 를 만족하는 가군 준동형 $\psi\colon C(E)\to M$ 이 유일하게 존재한다.

더욱이 자유 가군의 구성을 함자 $C \colon \operatorname{\mathcal{Set}} \to R\operatorname{-\mathcal{Mod}}$ 로 본다면, 이것은 망각 함자 $U \colon R\operatorname{-\mathcal{Mod}} \to \operatorname{\mathcal{Set}}$ 의 왼쪽 수반 함자라는 것을 알 수 있다. 즉, 자연 동형이 성립한다.^[1]

: $\operatorname{\mathcal{Set}}(E, U(M)) \cong R\operatorname{-\mathcal{Mod}}(C(E), M)$

7. 일반화

자유 가군에 대해 참인 많은 명제들은 특정 더 큰 가군 종류로 확장된다. 사영 가군은 자유 가군의 직합 부분 가군이다. 평탄 가군은 평탄 가군과의 텐서 곱이 완전열을 보존한다는 성질로 정의된다. 비틀림이 없는 가군은 훨씬 더 넓은 종류를 형성한다. 주 아이디얼 정역('''Z''') 위의 유한 생성 가군에 대해, 자유, 사영, 평탄, 비틀림이 없다는 성질은 서로 동치이다.

자유 가군에 대한 많은 명제는 일반적인 환 위의 가군에 대해서는 성립하지 않지만, 자유 가군의 일종의 일반화에 대해서는 여전히 성립한다. 사영 가군은 자유 가군의 직합 인자이므로, 자유 가군으로의 단사가 존재하며, 그 기저를 사영 가군에 관한 어떤 증명에서 사용할 수 있다. 더 약한 일반화로서 평탄 가군이나 꼬임이 없는 가군이 있다. 평탄 가군은 텐서곱이 완전열을 보존한다는 성질을 가진다. 환이 특별한 성질을 가지면, 역이 성립하는 경우가 있다. 예를 들어, 임의의 완전 국소 데데킨트 환 위의 모든 꼬임이 없는 가군은 평탄 가군, 사영 가군, 자유 가군이기도 하다.

8. 역사

기저의 개념은 게오르크 프로베니우스의 1844년 저서에 등장하지만,^[8] 프로베니우스는 이에 대한 용어를 도입하지 않았다. 이후 리하르트 데데킨트는 1894년에 대수적 수론을 다루는 과정에서 기저(Basis|바지스^de)라는 용어를 (오늘날과 같은 뜻으로) 도입하여 사용하였다.^[8]^[9]

"하멜 기저"라는 용어는 게오르크 카를 빌헬름 하멜(1877~1954)의 이름을 딴 것이다. 1905년에 하멜은 선택 공리를 사용하여, 실수 집합 $\mathbb R$ 가 유리수 벡터 공간으로서 (하멜) 기저를 가짐을 증명하였다.^[10]

참조

_[1] 서적 An Introduction to Group Representation Theory https://books.google[...]
_[2] 서적 Encyclopaedia of Mathematics, Volume 4 https://books.google[...]
_[3] 문서
_[4] 인용
_[5] 인용 https://books.google[...]
_[6] 인용 https://books.google[...]
_[7] 저널 Some remarks on the invariant basis number property 1996-09
_[8] 저널 A general outline of the genesis of vector space theory 1995
_[9] 서적 Vorlesungen über Zahlentheorie https://archive.org/[...] Druck und Verlag von Friedrich Vieweg und Sohn 1894
_[10] 저널 Eine Basis aller Zahlen und die unstetigen Lösungen der Funktionalgleichung: ''f''(''x''+''y'')=''f''(''x'')+''f''(''y'') http://resolver.sub.[...] 1905

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