클라우지우스-클라페롱 방정식

1. 개요

클라우지우스-클라페롱 방정식은 압력-온도 다이어그램에서 두 상을 구분하는 공존 곡선의 기울기를 나타내는 열역학 방정식이다. 이 방정식은 비잠열, 온도, 비체적 변화를 포함하며, 물질의 상전이와 관련된 압력 및 온도 변화 사이의 관계를 설명한다. 클라우지우스-클라페롱 방정식은 클라페롱 방정식의 특별한 경우로, 기체와 응축상 사이의 상전이에서 이상 기체 근사를 사용하여 유도된다. 이 방정식은 화학 및 화학 공학, 기상학 및 기후학 등 다양한 분야에서 응용되며, 특정 조건에서의 상전이 예측에도 사용된다.

2. 정의

압력-온도 (P-T) 다이어그램에서 두 상을 구분하는 선을 공존 곡선이라고 한다. 클라페롱 방정식은 이 곡선의 각 점에서 접선의 기울기를 나타낸다.

:$\backslash frac\{\backslash mathrm\{d\}P\}\{\backslash mathrm\{d\}T\}\; =\; \backslash frac\{L\}\{T\backslash ,\backslash Delta\; v\}=\backslash frac\{\backslash Delta\; s\}\{\backslash Delta\; v\},$

위 식에서 $\backslash mathrm\{d\}P/\backslash mathrm\{d\}T$는 공존 곡선에 대한 접선의 기울기, $L$은 비 잠열, $T$는 온도, $\backslash Delta\; v$는 상전이의 특정 부피 변화, $\backslash Delta\; s$는 상전이의 특정 엔트로피 변화이다.

:$\backslash frac\{\backslash mathrm\{d\}\; P\}\{\backslash mathrm\{d\}\; T\}\; =\; \backslash frac\; \{P\; L\}\{T^2\; R\}$

위 식은 적당한 온도와 압력에 대한 잠열을 이용하여 보다 편리하게 표현한 것이다.

특정 엔트로피 $s$는 균질한 물질이 가지는 특징적인 함숫값이고, $v$는 비부피, $T$는 온도이다.

:$\backslash mathrm\{d\}\; s\; =\; \backslash left(\backslash frac\{\backslash partial\; s\}\{\backslash partial\; v\}\backslash right)\_T\; \backslash ,\; \backslash mathrm\{d\}\; v\; +\; \backslash left(\backslash frac\{\backslash partial\; s\}\{\backslash partial\; T\}\backslash right)\_v\; \backslash ,\; \backslash mathrm\{d\}\; T.$

클라우지우스-클라페롱 방정식은 일정한 온도와 압력에서 상이 변화하는 동안 닫힌계의 거동을 특성화한다.

:$\backslash mathrm\{d\}\; s\; =\; \backslash left(\backslash frac\{\backslash partial\; s\}\{\backslash partial\; v\}\backslash right)\_T\; \backslash ,\backslash mathrm\{d\}\; v.$

맥스웰 관계식을 사용하면 위 식은 다음과 같이 된다.

:$\backslash mathrm\{d\}\; s\; =\; \backslash left(\backslash frac\{\backslash partial\; P\}\{\backslash partial\; T\}\backslash right)\_v\; \backslash ,\backslash mathrm\{d\}\; v$

이때 $P$는 압력이다. 압력과 온도는 일정하므로 온도에 대한 압력의 미분은 변하지 않는다. 따라서 특정 엔트로피의 편도함수는 전체 도함수로 변경될 수 있다.

:$\backslash mathrm\{d\}\; s\; =\; \backslash frac\{\backslash mathrm\{d\}\; P\}\{\backslash mathrm\{d\}\; T\}\; \backslash ,\; \backslash mathrm\{d\}\; v$

온도에 대한 압력의 총 미분은 초기 단계 $\backslash alpha$에서 최종 단계 $\backslash beta$로 적분할 때 다음과 같이 나타낼 수 있다.

:$\backslash frac\{\backslash mathrm\{d\}\; P\}\{\backslash mathrm\{d\}\; T\}\; =\; \backslash frac\; \{\backslash Delta\; s\}\{\backslash Delta\; v\}$

여기서 $\backslash Delta\; s\backslash equiv\; s\_\backslash beta-s\_\backslash alpha$이고 $\backslash Delta\; v\backslash equiv\; v\_\{\backslash beta\}-v\_\{\backslash alpha\}$이며, 각각 비엔트로피와 비체적의 변화를 의미한다. 상 변화가 내부적으로 가역적인 과정이고 닫힌계라면 열역학 제1법칙에 따라 다음이 성립한다.

:$\backslash mathrm\{d\}\; u\; =\; \backslash delta\; q\; +\; \backslash delta\; w\; =\; T\backslash ;\backslash mathrm\{d\}\; s\; -\; P\backslash ;\backslash mathrm\{d\}\; v$

$u$는 시스템의 내부에너지이다. 일정한 압력과 온도(상 변화 중) 및 비엔탈피 정의 $h$에 따라 다음을 얻는다.

:$\backslash mathrm\{d\}\; h\; =\; T\; \backslash ;\backslash mathrm\{d\}\; s\; +\; v\; \backslash ;\backslash mathrm\{d\}\; P$

:$\backslash mathrm\{d\}\; h\; =\; T\backslash ;\backslash mathrm\{d\}s$

:$\backslash mathrm\{d\}s\; =\; \backslash frac\; \{\backslash mathrm\{d\}\; h\}\{T\}$

상 변화 중 일정한 압력과 온도가 주어지면 다음과 같은 식을 얻을 수 있다.

:$\backslash Delta\; s\; =\; \backslash frac\; \{\backslash Delta\; h\}\{T\}$

비잠열의 정의인 $L\; =\; \backslash Delta\; h$를 대입하면 다음과 같다.

:$\backslash Delta\; s\; =\; \backslash frac\{L\}\{T\}$

이 결과를 압력 도함수($\backslash mathrm\{d\}P/\backslash mathrm\{d\}T\; =\; \backslash Delta\; s\; /\; \backslash Delta\; v$)에 대입하면 다음 식을 얻는다.

:$\backslash frac\{\backslash mathrm\{d\}\; P\}\{\backslash mathrm\{d\}\; T\}\; =\; \backslash frac\; \{L\}\{T\; \backslash ,\; \backslash Delta\; v\}.$

이 결과는 $\backslash mathrm\{d\}P/\backslash mathrm\{d\}T$ 공존 곡선의 기울기와 같으며, 클라페롱 방정식이라고도 한다.

$P(T)$는 $L/(T\; \backslash ,\; \backslash Delta\; v)$ (특정 잠열 $L$, 온도 $T$, 비체적의 변화 $\backslash Delta\; v$)의 함수이다. 특정 값 대신 상응하는 몰 값을 사용할 수도 있다.

3. 유도

클라우지우스-클라페롱 방정식은 상평형 그림에서 두 상 사이의 경계, 즉 공존 곡선의 기울기를 나타내는 중요한 식이다. 이 식은 다양한 방법으로 유도될 수 있다.

* 상태 가정을 이용한 유도: 엔트로피 변화와 열역학 제1법칙을 이용하여 유도한다.
* 깁스-듀앙 관계식을 이용한 유도: 두 상의 화학적 잠재력이 같다는 조건에서 출발하여 유도한다.
* 저온에서 이상 기체 근사를 이용한 유도: 이상 기체 가정을 통해 클라우지우스-클라페롱 방정식을 유도하며, 이는 증기압과 온도의 관계를 설명하는 데 유용하다.

클라페롱은 수평 등압선이 있는 습증기의 카르노 과정을 고려하여 다음과 같이 유도하였다. 압력은 온도만의 함수이므로 등압선도 등온선이다. 그 과정에 극소량의 물 $\backslash mathrm\{d\}x$와 온도의 극미한 차이 $\backslash mathrm\{d\}T$가 있다면, 흡수된 열량은 다음과 같다.

:$Q=L\backslash ,\backslash mathrm\{d\}x$

수행된 작업의 양은 다음과 같다.

:$W=\backslash frac\{\backslash mathrm\{d\}p\}\{\backslash mathrm\{d\}T\}\backslash ,\backslash mathrm\{d\}T(V$-V')\,\mathrm{d}x

$V$-V'는 끓는 물의 부피와 포화 증기의 부피 차이이다.

이 양의 비율은 카르노 엔진의 효율이며, $\backslash frac\{1\}\{T\}\backslash ,\backslash mathrm\{d\}T$로 표현된다. 대입 및 재배열하면 다음을 얻는다.

:$\backslash frac\{\backslash mathrm\{d\}p\}\{\backslash mathrm\{d\}T\}\; =\; \backslash frac\{L\}\{T(V\text{'}\text{'}-V\text{'})\}$

3.1. 상태 가정을 이용한 유도

압력 – 온도 (P – T) 다이어그램에서 두 상을 구분하는 선을 공존 곡선이라고 한다. 클라페롱 방정식은 이 곡선의 각 점에서 접선의 기울기를 알려준다.

:$\backslash frac\{\backslash mathrm\{d\}P\}\{\backslash mathrm\{d\}T\}\; =\; \backslash frac\{L\}\{T\backslash ,\backslash Delta\; v\}=\backslash frac\{\backslash Delta\; s\}\{\backslash Delta\; v\},$

이 식에서 $\backslash mathrm\{d\}P/\backslash mathrm\{d\}T$는 공존 곡선에 대한 접선의 기울기, $L$는 비 잠열, $T$는 온도, $\backslash Delta\; v$는 상전이의 특정 부피 변화이며, $\backslash Delta\; s$는 상전이의 특정 엔트로피 변화이다.

:$\backslash frac\{\backslash mathrm\{d\}\; P\}\{\backslash mathrm\{d\}\; T\}\; =\; \backslash frac\; \{P\; L\}\{T^2\; R\}$

위 식은 적당한 온도와 압력에 대한 잠열의 관점에서 보다 편리한 형태로 표현한 것이다.
하나의 상태를 가정하여 특정 엔트로피 $s$는 균질한 물질이 가지는 특징적인 함숫값이고, $v$는 비부피, $T$는 온도이다.

:$\backslash mathrm\{d\}\; s\; =\; \backslash left(\backslash frac\{\backslash partial\; s\}\{\backslash partial\; v\}\backslash right)\_T\; \backslash ,\; \backslash mathrm\{d\}\; v\; +\; \backslash left(\backslash frac\{\backslash partial\; s\}\{\backslash partial\; T\}\backslash right)\_v\; \backslash ,\; \backslash mathrm\{d\}\; T.$

클라우지우스-클라페롱 방정식은 일정한 온도와 압력에서 상이 변화하는 동안 닫힌계의 거동을 특성화한다.

:$\backslash mathrm\{d\}\; s\; =\; \backslash left(\backslash frac\{\backslash partial\; s\}\{\backslash partial\; v\}\backslash right)\_T\; \backslash ,\backslash mathrm\{d\}\; v.$

적절한 맥스웰 관계식을 사용하면 위 식이 된다.

:$\backslash mathrm\{d\}\; s\; =\; \backslash left(\backslash frac\{\backslash partial\; P\}\{\backslash partial\; T\}\backslash right)\_v\; \backslash ,\backslash mathrm\{d\}\; v$

이때 $P$는 압력이다. 압력과 온도는 일정하므로 온도에 대한 압력의 미분은 변하지 않는다. 따라서 특정 엔트로피의 편도함수는 전체 도함수로 변경될 수 있다.

:$\backslash mathrm\{d\}\; s\; =\; \backslash frac\{\backslash mathrm\{d\}\; P\}\{\backslash mathrm\{d\}\; T\}\; \backslash ,\; \backslash mathrm\{d\}\; v$

온도에 대한 압력의 총 미분은 초기 단계 $\backslash alpha$에서 최종 단계 $\backslash beta$로 적분할 때 다음을 얻을 수 있다.

:$\backslash frac\{\backslash mathrm\{d\}\; P\}\{\backslash mathrm\{d\}\; T\}\; =\; \backslash frac\; \{\backslash Delta\; s\}\{\backslash Delta\; v\}$

이때 $\backslash Delta\; s\backslash equiv\; s\_\backslash beta-s\_\backslash alpha$이고 $\backslash Delta\; v\backslash equiv\; v\_\{\backslash beta\}-v\_\{\backslash alpha\}$이다. 이들은 각각 비엔트로피와 비체적의 변화를 의미한다. 상 변화가 내부적으로 가역적인 과정이고 우리 시스템이 닫혀 있다는 점을 감안할 때 열역학 제1법칙은 다음과 같다.

:$\backslash mathrm\{d\}\; u\; =\; \backslash delta\; q\; +\; \backslash delta\; w\; =\; T\backslash ;\backslash mathrm\{d\}\; s\; -\; P\backslash ;\backslash mathrm\{d\}\; v$

$u$는 시스템의 내부에너지이다. 일정한 압력과 온도(상 변화 중) 및 비엔탈피 정의 $h$를 통해 다음을 얻을 수 있다.

:$\backslash mathrm\{d\}\; h\; =\; T\; \backslash ;\backslash mathrm\{d\}\; s\; +\; v\; \backslash ;\backslash mathrm\{d\}\; P$

:$\backslash mathrm\{d\}\; h\; =\; T\backslash ;\backslash mathrm\{d\}s$

:$\backslash mathrm\{d\}s\; =\; \backslash frac\; \{\backslash mathrm\{d\}\; h\}\{T\}$

상 변화 중 일정한 압력과 온도가 주어지면 다음과 같은 식을 얻을 수 있다.

:$\backslash Delta\; s\; =\; \backslash frac\; \{\backslash Delta\; h\}\{T\}$

비잠열의 정의인 $L\; =\; \backslash Delta\; h$를 대입하면 다음과 같다.

:$\backslash Delta\; s\; =\; \backslash frac\{L\}\{T\}$

이 결과를 위에 주어진 압력 도함수에 대입하면($\backslash mathrm\{d\}P/\backslash mathrm\{d\}T\; =\; \backslash Delta\; s\; /\; \backslash Delta\; v$), 다음 식을 얻을 수 있다.

:$\backslash frac\{\backslash mathrm\{d\}\; P\}\{\backslash mathrm\{d\}\; T\}\; =\; \backslash frac\; \{L\}\{T\; \backslash ,\; \backslash Delta\; v\}.$

이 결과는 $\backslash mathrm\{d\}P/\backslash mathrm\{d\}T$ 공존 곡선의 기울기와 같으며, 클라페롱 방정식이라고도 한다.

$P(T)$ 기능에 $L/(T\; \backslash ,\; \backslash Delta\; v)$ 특정 잠열의 $L$, 온도 $T$, 비체적의 변화 $\backslash Delta\; v$ 값 대신 상응하는 몰 값을 사용할 수도 있다.

3.2. 깁스-듀앙 관계식을 이용한 유도

두 상 $\backslash alpha$와 $\backslash beta$가 서로 접촉하고 평형 상태에 있으면, 그들의 화학적 잠재력은 다음과 같은 관계를 가진다.

: $\backslash mu\_\backslash alpha\; =\; \backslash mu\_\backslash beta.$

또한, 공존 곡선을 따라서는 다음이 성립한다.

: $\backslash mathrm\{d\}\backslash mu\_\backslash alpha\; =\; \backslash mathrm\{d\}\backslash mu\_\backslash beta.$

따라서 깁스-듀앙 관계식을 사용할 수 있다.

: $\backslash mathrm\{d\}\backslash mu\; =\; M(-s\; \backslash ,\; \backslash mathrm\{d\}T\; +\; v\; \backslash ,\; \backslash mathrm\{d\}P)$

여기서 $s$는 특정 엔트로피, $v$는 비부피, $M$는 몰 질량이다. 이 값들을 통해 다음 식을 얻을 수 있다.

: $-(s\_\backslash beta-s\_\backslash alpha)\; \backslash ,\; \backslash mathrm\{d\}T\; +\; (v\_\backslash beta-v\_\backslash alpha)\; \backslash ,\; \backslash mathrm\{d\}P\; =\; 0$

이 식을 재배열하면 다음과 같다.

: $\backslash frac\{\backslash mathrm\{d\}P\}\{\backslash mathrm\{d\}T\}\; =\; \backslash frac\{s\_\backslash beta-s\_\backslash alpha\}\{v\_\backslash beta-v\_\backslash alpha\}\; =\; \backslash frac\{\backslash Delta\; s\}\{\backslash Delta\; v\}$

여기서 클라페롱 방정식의 유도는 이전 섹션에서와 같이 계속된다.

3.3. 저온에서 이상 기체 근사를 이용한 유도 (클라우지우스-클라페롱 방정식)

압력 – 온도 (P – T) 다이어그램에서 두 상을 구분하는 선을 공존 곡선이라고 한다. 클라페롱 방정식은 이 곡선의 각 점에서 접선의 기울기를 알려준다.

:$\backslash frac\{\backslash mathrm\{d\}P\}\{\backslash mathrm\{d\}T\}\; =\; \backslash frac\{L\}\{T\backslash ,\backslash Delta\; v\}=\backslash frac\{\backslash Delta\; s\}\{\backslash Delta\; v\},$

이 식에서 $\backslash mathrm\{d\}P/\backslash mathrm\{d\}T$는 공존 곡선에 대한 접선의 기울기, $L$는 비 잠열, $T$는 온도, $\backslash Delta\; v$는 상전이의 특정 부피 변화이며, $\backslash Delta\; s$는 상전이의 특정 엔트로피 변화이다.

:$\backslash frac\{\backslash mathrm\{d\}\; P\}\{\backslash mathrm\{d\}\; T\}\; =\; \backslash frac\; \{P\; L\}\{T^2\; R\}$

위 식은 적당한 온도와 압력에 대한 잠열의 관점에서 보다 편리한 형태로 표현한 것이다.
물질의 상전이가 기상과 응축상(액체 또는 고체) 사이에 있고 그 물질의 임계온도보다 훨씬 낮은 온도에서 일어날 때, 기상의 비체적 $v\_\{\backslash mathrm\{g\}\}$가 응축 단계의 $v\_\{\backslash mathrm\{c\}\}$를 크게 초과한다. 따라서 대략적인 식을 다음과 같이 쓸 수 있다.

:$\backslash Delta\; v\; =v\_\{\backslash mathrm\{g\}\}\backslash left(1-\backslash tfrac\{v\_\{\backslash mathrm\{c\}\}\}\{v\_\{\backslash mathrm\{g\}\}\}\backslash right)\backslash approx\; v\_\{\backslash mathrm\{g\}\}$

낮은 온도에서 압력도 낮으면 기체는 이상 기체 법칙에 의해 근사될 수 있으므로 식을 다음과 같이 정리할 수 있다.

:$v\_\{\backslash mathrm\{g\}\}\; =\; \backslash frac\{RT\}\; P$

$P$는 압력, $R$는 기체 상수, $T$는 온도이다. 위 식을 클라페롱 방정식에 대입하면 다음과 같다.

:$\backslash frac\{\backslash mathrm\{d\}\; P\}\{\backslash mathrm\{d\}\; T\}\; =\; \backslash frac\{L\}\{T\backslash ,\backslash Delta\; v\}$

이로써 클라우지우스-클라페롱 방정식을 얻을 수 있다.

:$\backslash frac\{\backslash mathrm\{d\}\; P\}\{\backslash mathrm\{d\}\; T\}\; =\; \backslash frac\; \{P\; L\}\{T^2\; R\}$

낮은 온도 및 압력의 경우 $L$은 물질의 비잠열이다. 구체적이고 상응하는 몰 값 대신(즉, $L$ = kJ/mol 이나 R^영어 = 8.31 J mol ^-1 K ^-1) 사용할 수 있다.

$(P\_1,T\_1)$과 $(P\_2,T\_2)$는 각각 $\backslash alpha$와 $\backslash beta$ 두 단계 사이의 공존 곡선을 따르는 임의의 두 점이다.

일반적으로, $L$은 온도의 함수로 두 지점 사이에서 변한다. 하지만 만약 $L$을 상수로 근사한다면 다음과 같은 식이 된다.

:$\backslash frac\; \{\backslash mathrm\{d\}\; P\}\{P\}\; \backslash cong\; \backslash frac\; \{L\}\{R\}\; \backslash frac\; \{\backslash mathrm\{d\}T\}\{T^2\},$

:$\backslash int\_\{P\_1\}^\{P\_2\}\backslash frac\{\backslash mathrm\{d\}P\}\{P\}\; \backslash cong\; \backslash frac\; L\; R\; \backslash int\_\{T\_1\}^\{T\_2\}\; \backslash frac\; \{\backslash mathrm\{d\}\; T\}\{T^2\}$

:$\backslash ln\; P\backslash Big|\_\{P=P\_1\}^\{P\_2\}\; \backslash cong\; -\backslash frac\{L\}\{R\}\; \backslash cdot\; \backslash left.\backslash frac\{1\}\{T\}\; \backslash right|\_\{T=T\_1\}^\{T\_2\}$

또는 다음과 같이 쓸 수도 있다.

:$\backslash ln\; \backslash frac\; \{P\_2\}\{P\_1\}\; \backslash cong\; -\backslash frac\; \{L\}\{R\}\; \backslash left\; (\; \backslash frac\; \{1\}\{T\_2\}\; -\; \backslash frac\; \{1\}\{T\_1\}\; \backslash right\; )$

이 마지막 방정식은 특정 부피 데이터를 요구하지 않고 평형 또는 포화 증기압 및 온도를 상 변화의 잠열과 관련시키기 때문에 사용하기에 편리하다. 예를 들어, 몰 증발 엔탈피가 40.7 kJ/mol이고 R^영어 = 8.31 J mol ^-1 K ^-1인 끓는점 근처의 물의 경우, 다음과 같은 상수값을 가진다.

:$\{P\_\{vap\}(T)\}\; \backslash cong\; 1\; \backslash text\{\; bar\; \}\; \backslash exp(-\backslash frac\; \{40700\; \backslash text\{\; K\}\}\{\backslash text\{8.31\}\}\; \backslash left\; (\; \backslash frac\; \{1\}\{T\}\; -\; \backslash frac\; \{1\}\{373\; \backslash text\{\; K\}\}\; \backslash right\; ))$

4. 클라페롱의 유도

압력 – 온도 (P – T) 다이어그램에서 두 상을 구분하는 선을 공존 곡선이라고 한다. 클라페롱 방정식은 이 곡선의 각 점에서 접선의 기울기를 알려준다.

:$\backslash frac\{\backslash mathrm\{d\}P\}\{\backslash mathrm\{d\}T\}\; =\; \backslash frac\{L\}\{T\backslash ,\backslash Delta\; v\}=\backslash frac\{\backslash Delta\; s\}\{\backslash Delta\; v\},$

이 식에서 $\backslash mathrm\{d\}P/\backslash mathrm\{d\}T$는 공존 곡선에 대한 접선의 기울기, $L$는 비 잠열, $T$는 온도, $\backslash Delta\; v$는 상전이의 특정 부피 변화이며, $\backslash Delta\; s$는 상전이의 특정 엔트로피 변화이다.

:$\backslash frac\{\backslash mathrm\{d\}\; P\}\{\backslash mathrm\{d\}\; T\}\; =\; \backslash frac\; \{P\; L\}\{T^2\; R\}$

위 식은 적당한 온도와 압력에 대한 잠열의 관점에서 보다 편리한 형태로 표현한 것이다. 클라페롱의 원 논문에서는 다음과 같이 유도하고 있다. 클라페롱은 수평 등압선이 있는 습증기의 카르노 과정을 고려했다. 압력은 온도만의 함수이므로 등압선도 등온선이다. 그 과정에 극소량의 물이 포함된다면, $\backslash mathrm\{d\}x$, 그리고 온도의 극미한 차이 $\backslash mathrm\{d\}T$에서 흡수된 열량은 다음과 같이 지정된다.

:$Q=L\backslash ,\backslash mathrm\{d\}x$

수행된 작업의 양은 다음과 같다.

:$W=\backslash frac\{\backslash mathrm\{d\}p\}\{\backslash mathrm\{d\}T\}\backslash ,\backslash mathrm\{d\}T(V$-V')\,\mathrm{d}x

$V$-V'는 끓는 물의 부피와 포화 증기의 부피 사이의 부피 차이이다.

이 양의 비율은 카르노 엔진의 효율이며, $\backslash frac\{1\}\{T\}\backslash ,\backslash mathrm\{d\}T$로 표현된다. 대입 및 재배열하면 다음을 얻을 수 있다.

:$\backslash frac\{\backslash mathrm\{d\}p\}\{\backslash mathrm\{d\}T\}\; =\; \backslash frac\{L\}\{T(V\text{'}\text{'}-V\text{'})\}$

5. 응용

클라우지우스-클라페롱 방정식은 다양한 분야에 응용된다.

기상학 및 기후학

대기의 수증기는 강수를 포함한 여러 기상 현상을 일으킨다. 일반적인 대기 조건에서 수증기에 대한 클라우지우스-클라페롱 방정식은 다음과 같다.

:$\backslash frac\{\backslash mathrm\{d\}e\_s\}\{\backslash mathrm\{d\}T\}\; =\; \backslash frac\{L\_v(T)\; e\_s\}\{R\_v\; T^2\}$

* $e\_s$: 포화 증기압
* $T$: 온도
* $L\_v$: 물의 증발 비열
* $R\_v$: 수증기의 기체상수

여기서, 아우구스트-로슈-마그누스 공식을 통해 다음과 같은 근사값을 얻을 수 있다.

:$e\_s(T)=\; 6.1094\; \backslash exp\; \backslash left(\; \backslash frac\{17.625T\}\{T+243.04\}\; \backslash right)$

위 식에서, $e\_s$는 hPa이고 $T$는 섭씨로 표시된다. 이 방정식에 따르면, 포화 수증기압은 온도에 따라 거의 기하급수적으로 변하므로, 대기의 수분 보유 능력은 온도가 1°C 상승할 때마다 약 7%씩 증가한다.

특정 조건에서의 상전이 예측

클라우지우스-클라페롱 방정식은 주어진 상황에서 상전이가 발생하는지 여부를 결정하는 데 사용될 수 있다. 예를 들어, 특정 온도에서 얼음을 녹이는 데 필요한 압력을 계산할 수 있다. 물은 0 °C에서 녹을 때 부피가 감소하는 특이한 성질을 가지고 있다.

:$\backslash Delta\; P\; =\; \backslash frac\{L\}\{T\backslash ,\backslash Delta\; v\}\; \backslash ,\; \backslash Delta\; T$

* $L\; =\; 3.34\; \backslash times\; 10^5\; \backslash text\{\; J\}/\backslash text\{kg\}$ (물에 대한 융해열)
* $T\; =\; 273$K (절대 온도)
* $\backslash Delta\; v\; =\; -9.05\backslash times10^\{-5\}\; \backslash text\{\; m\}^3/\backslash text\{kg\}$ (고체에서 액체로의 비체적 변화)

위 식을 통해 계산하면,

:$\backslash frac\{\backslash Delta\; P\}\{\backslash Delta\; T\}\; =\; -13.5\; \backslash text\{\; MPa\}/\backslash text\{K\}.$

-7 °C의 얼음을 녹이기 위해서는 소형 차(질량 = 1000kg) 한 대를 골무(면적 = 1cm²) 위에 올려놓는 것과 같은 압력이 필요하다.

5.1. 화학 및 화학 공학

물질의 상전이가 기상과 응축상(액체 또는 고체) 사이에 있고 그 물질의 임계온도보다 훨씬 낮은 온도에서 일어날 때, 기상의 비체적 $v\_\{\backslash mathrm\{g\}\}$가 응축 단계의 비체적 $v\_\{\backslash mathrm\{c\}\}$를 크게 초과한다. 따라서 다음과 같이 근사할 수 있다.

:$\backslash Delta\; v\; =v\_\{\backslash mathrm\{g\}\}\backslash left(1-\backslash tfrac\{v\_\{\backslash mathrm\{c\}\}\}\{v\_\{\backslash mathrm\{g\}\}\}\backslash right)\backslash approx\; v\_\{\backslash mathrm\{g\}\}$

낮은 온도에서는 압력도 낮으므로, 기체는 이상 기체 법칙에 따라 근사할 수 있다. 따라서 다음 식이 성립한다.

:$v\_\{\backslash mathrm\{g\}\}\; =\; \backslash frac\{RT\}\; P$

여기서 $P$는 압력, $R$는 기체 상수, $T$는 온도이다. 이를 클라페롱 방정식에 대입하면 다음과 같다.

:$\backslash frac\{\backslash mathrm\{d\}\; P\}\{\backslash mathrm\{d\}\; T\}\; =\; \backslash frac\{L\}\{T\backslash ,\backslash Delta\; v\}$

이로부터 클라우지우스-클라페롱 방정식을 얻을 수 있다.

:$\backslash frac\{\backslash mathrm\{d\}\; P\}\{\backslash mathrm\{d\}\; T\}\; =\; \backslash frac\; \{P\; L\}\{T^2\; R\}$

낮은 온도 및 압력 조건에서, $L$은 물질의 비잠열이다. 몰 값 대신 비(specific) 값을 사용할 수도 있다.

$(P\_1,T\_1)$과 $(P\_2,T\_2)$를 공존 곡선 상의 임의의 두 점이라고 하면, 일반적으로 $L$은 온도의 함수로서 두 지점 사이에서 변한다. 하지만 $L$을 상수로 근사하면 다음과 같은 식을 얻을 수 있다.

:$\backslash frac\; \{\backslash mathrm\{d\}\; P\}\{P\}\; \backslash cong\; \backslash frac\; \{L\}\{R\}\; \backslash frac\; \{\backslash mathrm\{d\}T\}\{T^2\},$

:$\backslash int\_\{P\_1\}^\{P\_2\}\backslash frac\{\backslash mathrm\{d\}P\}\{P\}\; \backslash cong\; \backslash frac\; L\; R\; \backslash int\_\{T\_1\}^\{T\_2\}\; \backslash frac\; \{\backslash mathrm\{d\}\; T\}\{T^2\}$

:$\backslash ln\; P\backslash Big|\_\{P=P\_1\}^\{P\_2\}\; \backslash cong\; -\backslash frac\{L\}\{R\}\; \backslash cdot\; \backslash left.\backslash frac\{1\}\{T\}\; \backslash right|\_\{T=T\_1\}^\{T\_2\}$

또는 다음과 같이 쓸 수 있다.

:$\backslash ln\; \backslash frac\; \{P\_2\}\{P\_1\}\; \backslash cong\; -\backslash frac\; \{L\}\{R\}\; \backslash left\; (\; \backslash frac\; \{1\}\{T\_2\}\; -\; \backslash frac\; \{1\}\{T\_1\}\; \backslash right\; )$

이 마지막 방정식은 특정 부피 데이터를 요구하지 않고 평형 또는 포화 증기압 및 온도를 상 변화의 잠열과 관련시키기 때문에 유용하다.

위에서 설명한 근사치를 사용하여 기체와 응축상 사이의 전환에 대한 식은 다음과 같이 다시 쓸 수 있다.

:$\backslash ln\; P\; =\; -\backslash frac\{L\}\{R\}\; \backslash left(\backslash frac\{1\}\{T\}\backslash right)+c$

여기서 $P$는 압력 (bar), $R$는 특정 기체 상수, $T$는 절대 온도, $c$는 상수이다.

액체-기체 전이의 경우 $L$은 기화의 비잠열 (또는 비엔탈피)이고, 고체-기체 전이의 경우 $L$은 승화의 비잠열이다. 잠열이 알려진 경우, 공존 곡선의 한 점에 대한 정보가 주어지면 나머지 곡선을 결정할 수 있다. $\backslash ln\; P$와 $1/T$가 선형 관계이므로, 선형 회귀를 통해 잠열을 추정할 수도 있다.

5.2. 기상학 및 기후학

대기의 수증기는 많은 중요한 기상 현상(특히 강수)을 유발하여 역학에 대한 관심을 불러일으키고 있다. 일반적인 대기 조건(표준 온도 및 압력에 가까운)에서 수증기에 대한 클라우지우스-클라페롱 방정식은 다음과 같다.

:$\backslash frac\{\backslash mathrm\{d\}e\_s\}\{\backslash mathrm\{d\}T\}\; =\; \backslash frac\{L\_v(T)\; e\_s\}\{R\_v\; T^2\}$

이때의 기호는 다음과 같다.

* $e\_s$ : 포화 증기압
* $T$ : 온도
* $L\_v$ : 물의 증발 비열
* $R\_v$ : 수증기의 기체상수

잠열의 온도의존성 $L\_v(T)$ (그리고 포화 증기압의 $e\_s$)는 이슬점으로 인해 무시할 수 없는 값이다. 다행히도, 아우구스트-로슈-마그누스 공식은 매우 좋은 근사값을 제공한다.

:$e\_s(T)=\; 6.1094\; \backslash exp\; \backslash left(\; \backslash frac\{17.625T\}\{T+243.04\}\; \backslash right)$

위 식에서, $e\_s$는 hPa이고 $T$는 섭씨로 표시되지만 이 페이지의 다른 곳에서는 $T$ 절대 온도(예: 켈빈 단위)이다. (이 속성을 때로는 마그누스 또는 마그누스-테텐스 근사라고도 한다) 그러나 물의 포화 증기압에 대한 다양한 근사 공식의 정확성에 대한 이 논의도 참조하는 것이 좋다.

일반적인 대기 조건에서 지수의 분모는 $T$(단위는 섭씨)에 약하게 의존한다. 따라서 아우구스트-로슈-마그누스 방정식은 포화 수증기압이 전형적인 대기 조건에서 온도에 따라 거의 기하급수적으로 변하므로 대기의 수분 보유 능력은 매 1°C 온도가 상승할 때마다 약 7%씩 증가한다는 것을 의미한다.

5.3. 특정 조건에서의 상전이 예측

어떤 온도에서 얼음을 녹이는 데 얼마나 많은 압력이 필요한지에 대한 질문을 보자. 물은 0 °C^영어에서 녹을 때 부피 변화가 음수라는 독특한 특성을 지닌다. 보통 액체화될 때에는 부피가 증가하지만, 물은 반대로 부피가 감소한다.

:$\backslash Delta\; P\; =\; \backslash frac\{L\}\{T\backslash ,\backslash Delta\; v\}\; \backslash ,\; \backslash Delta\; T$

이때의 값은 이러하다.

* $L\; =\; 3.34\; \backslash times\; 10^5\; \backslash text\{\; J\}/\backslash text\{kg\}$ (물에 대한 융해열)
* $T\; =\; 273$K (절대 온도)
* $\backslash Delta\; v\; =\; -9.05\backslash times10^\{-5\}\; \backslash text\{\; m\}^3/\backslash text\{kg\}$ (고체에서 액체로의 비체적 변화)

이를 통해 얻을 수 있는 값은 다음과 같다.

:$\backslash frac\{\backslash Delta\; P\}\{\backslash Delta\; T\}\; =\; -13.5\; \backslash text\{\; MPa\}/\backslash text\{K\}.$

이것이 얼마나 많은 압력인지에 대한 대략적인 예시를 보자. -7 °C^영어(많은 아이스 스케이트장이 설정되는 온도)의 얼음을 녹이기 위해서는 소형 차(질량 = 1000kg) 한 대를 골무(면적 = 1cm²) 위에 올려놓는 것과 같은 압력이 필요하다.

6. 2차 도함수

클라우지우스-클라페롱 방정식은 공존 곡선의 기울기를 제공하지만 곡률 또는 2차 도함수에 대한 정보는 제공하지 않는다. 1단계와 2단계의 공존 곡선의 2차 도함수는 다음과 같다.

:$\backslash begin\{align\}$
\frac{\mathrm{d}^2 P}{\mathrm{d} T^2}= \frac{1}{v_2 - v_1}\left[\frac{c_{p2} - c_{p1}}{T} - 2(v_2\alpha_2 - v_1\alpha_1) \frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}T}\right]+ {} \\
\frac{1}{v_2 - v_1}\left[(v_2\kappa_{T2} - v_1\kappa_{T1})\left(\frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}T}\right)^2\right],
\end{align}


여기서 첨자 1과 2는 서로 다른 단계를 나타내며, $c\_p$는 일정한 압력에서의 비열용량, $\backslash alpha\; =\; (1/v)(\backslash mathrm\{d\}v/\backslash mathrm\{d\}T)\_P$는 열팽창 계수이고, $\backslash kappa\_T\; =\; -(1/v)(\backslash mathrm\{d\}v/\backslash mathrm\{d\}P)\_T$는 등온 압축률이다.