BF 모형

"오늘의AI위키"는 AI 기술로 일관성 있고 체계적인 최신 지식을 제공하는 혁신 플랫폼입니다.
"오늘의AI위키"의 AI를 통해 더욱 풍부하고 폭넓은 지식 경험을 누리세요.

1. 개요
2. 정의
3. 성질
참조

1. 개요

BF 모형은 리 군과 리 대수 위에 정의된 양자장론으로, 주접속 A와 (d-2)차 미분 형식 B 두 장으로 구성된다. 이 모형은 게이지 대칭을 가지며, 작용은 B와 A의 곡률 F의 곱의 적분으로 표현된다. 3차원 또는 4차원에서는 우주 상수 항을 추가할 수 있다. BF 모형은 양자화 과정을 거치며, 양-밀스 이론의 결합 상수가 0으로 가는 극한으로 해석될 수 있다. 또한, 초대칭을 추가하여 초대칭 BF 모형을 정의할 수 있으며, 이는 위튼형 위상 양자장론에 해당한다.

더 읽어볼만한 페이지

양자장론 - 페르미-디랙 통계
페르미-디랙 통계는 파울리 배타 원리를 따르는 페르미 입자의 통계적 분포를 설명하는 양자 통계로, 금속 내 전자 현상 등을 이해하는 데 기여하며 페르미 입자가 특정 에너지 준위를 점유할 확률을 나타낸다.
양자장론 - 양자 색역학
양자 색역학은 색 전하를 국소 대칭으로 정의한 SU(3) 게이지 군의 비아벨 게이지 이론으로, 쿼크와 글루온을 기본 입자로 하여 쿼크 사이의 강한 상호작용을 매개하며, 점근적 자유성과 색 가둠의 특징을 가지는 이론이다.

BF 모형
개요
유형	위상 양자장론
관련 개념	게이지 이론 코호몰로지 끈 이론 위상 부호수
상세 정보
설명	디이크라프-위튼 모델 (로베르트 디이크라프, 에드워드 위튼) 슈바르츠 유형 위상 양자장론
관련 연구	보손/페르미온 위상 양자 물질의 꼬임 통계 및 연결 고리 불변량 (2+1 및 3+1차원)
참고 문헌

2. 정의

BF 모형은 $d$ 차원 매끄러운 다양체 $M$ 위에 정의된 양자장론의 한 종류이다. 이 모형은 리 군 $G$ 를 올(fiber)로 하는 주다발 $P$ 와 $G$ 의 리 대수 $\mathfrak g$ 위의 비퇴화 쌍선형 형식 $K$ (주로 킬링 형식의 스칼라배)를 기반으로 한다.

BF 모형은 다음과 같은 두 가지 주요 장(field)으로 구성된다.

$A$ : $P$ 의 주접속으로, 물리적으로 게이지 보손에 해당한다.
$B$ : $M$ 위에 정의된, 리 대수 $\mathfrak g$ 에 값을 갖는 $(d-2)$ 차 미분 형식이다.

이 두 장은 모두 게이지 대칭을 가지며,^[3] 특히

B

는 미분 형식 전기역학의 퍼텐셜과 유사한 게이지 대칭성을 보인다. 모형의 기본적인 작용은

B

와

A

의 곡률

F

의 쐐기곱을 적분하여 얻는다. 특정 차원(

d=3,4

)에서는 우주 상수 항을 추가할 수도 있다.^[5]

2. 1. 기본 요소

M

이

d

차원의 매끄러운 다양체이고, 그 위에 리 군

G

를 올(fiber)로 가지는 주다발

P\twoheadrightarrow M

이 주어졌다고 하자. 또한,

G

의 리 대수

\mathfrak g

위에는 비퇴화 쌍선형 형식

K\colon\mathfrak g\times\mathfrak g\to\mathbb R

이 존재한다고 가정한다. 이 형식은 보통 킬링 형식에 상수를 곱한 형태로 사용된다.

'''BF 모형'''은 이러한 수학적 구조 위에서 정의되는 양자장론으로, 다음과 같은 두 가지 종류의 장(field)으로 구성된다.

$A$ : $P$ 의 주접속이다. 이는 물리적으로 게이지 보손에 해당한다.
$B$ : $M$ 위에 정의된, $\mathfrak g$ 값을 갖는 $(d-2)$ 차 미분 형식이다. 즉, $B\in\Omega^{d-2}(M;\mathfrak g)$ 이다.

이 두 장은 모두 다음과 같은 게이지 대칭을 가진다.^[3]

:

A\mapsto A+\mathrm d\alpha + [A,\alpha]

:

B\mapsto B+[B,\alpha] + \mathrm d\Lambda+[A,\Lambda]

여기서

\alpha

는

\mathfrak g

값을 갖는 1차 미분 형식(

\alpha\in\Omega^1(M;\mathfrak g)

)이고,

\Lambda

는

\mathfrak g

값을 갖는

(d-3)

차 미분 형식(

\Lambda\in\Omega^{d-3}(M;\mathfrak g)

)이다.

B

의 게이지 변환은 미분 형식 전기역학에서 나타나는 퍼텐셜의 게이지 변환과 유사한 형태를 가진다.

BF 모형의 작용은 다음과 같다.

:

S=\int_MK(B\wedge F)

여기서

F=d_AA

는

A

의 곡률(장세기)이다.

만약

d=3,4

일 경우, 특별히 다음과 같은 “우주 상수”

\lambda

항을 추가할 수 있다.^[5]

:

S=\int_MK(B\wedge F + \lambda B\wedge B)\qquad(d=4)

:

S=\int_MK(B\wedge F + \lambda B\wedge B\wedge B)\qquad(d=3)

2. 2. 게이지 대칭

BF 모형의 두 장

A

와

B

는 모두 게이지 대칭을 가진다.^[3]

주접속 $A$ 의 게이지 변환은 다음과 같다.

:

A\mapsto A+\mathrm d\alpha + [A,\alpha]

여기서

\alpha\in\Omega^1(M;\mathfrak g)

는 리 대수

\mathfrak g

에 값을 갖는 1차 미분 형식이다.

$(d-2)$ 차 미분 형식 $B$ 의 게이지 변환은 다음과 같다.

:

B\mapsto B+[B,\alpha] + \mathrm d\Lambda+[A,\Lambda]

여기서

\alpha

는 위와 같고,

\Lambda\in\Omega^{d-3}(M;\mathfrak g)

는 리 대수

\mathfrak g

에 값을 갖는

(d-3)

차 미분 형식이다. 이 변환에서 볼 수 있듯이,

B

는 미분 형식 전기역학에서 나타나는 퍼텐셜과 유사한 형태의 게이지 대칭성을 보인다.

2. 3. 작용

BF 모형의 작용

S

는 다음과 같이 주어진다.

:

S=\int_MK(B\wedge F)

여기서

F=d_AA

는 주접속

A

의 곡률(장세기)이고,

K

는 리 대수

\mathfrak g

위의 비퇴화 쌍선형 형식이다. 즉, 작용은

B

필드와

A

필드의 곡률

F

의 쐐기곱을 적분한 값이다.

시공간의 차원

d

가 3 또는 4인 특별한 경우에는 다음과 같이 우주 상수

\lambda

항을 추가할 수 있다.^[5]

4차원 ( $d=4$ ) 작용:

::

S=\int_MK(B\wedge F + \lambda B\wedge B)

3차원 ( $d=3$ ) 작용:

::

S=\int_MK(B\wedge F + \lambda B\wedge B\wedge B)

3. 성질

BF 모형은 위상 양자장론의 한 종류로, 시공간의 계량과 무관한 물리적 성질을 연구하는 데 사용된다. 이 모형의 기본적인 성질은 장방정식을 통해 이해할 수 있으며, 고전적인 해는 평탄 주접속과 관련된 조건을 만족시킨다. BF 모형은 양자화될 수 있으며, 그 과정에서 이론의 힐베르트 공간 구조가 밝혀진다. 또한, 특정 조건 하에서는 잘 알려진 양-밀스 이론과 밀접한 관계를 맺으며, 초대칭을 도입하여 이론을 확장하는 것도 가능하다.

3. 1. 장방정식

우주 상수 항이 없을 때, BF 작용의 오일러-라그랑주 방정식은 다음과 같다.

$F=0$
$d_AB=0$

이 방정식에 따르면, 고전적으로

A

는 평탄 주접속이고,

B

는 닫힌 미분 형식이다.

우주 상수 항을 추가하면, 4차원(

d=4

)에서의 오일러-라그랑주 방정식은 다음과 같이 변한다.

:

F+2\lambda B = 0

:

d_AB = 0

3. 2. 양자화

편의상 시공간을 다음과 같이 분해하여 생각한다.

:

M=\mathbb R\times\Sigma

여기서

\Sigma

는

d-1

차원의 공간이다. 이 경우, 시공간

M

은 공간

\Sigma

와 호모토피 동치 관계에 있다. 따라서 실제로는

\Sigma

위에

G

-주다발

P\twoheadrightarrow\Sigma

이 주어졌다고 가정할 수 있다.

이 설정을 바탕으로 BF 모형의 양자화를 고려한다. 이때 위상 공간

\mathcal M_\Sigma

는 다음과 같다.

:

\mathcal M_\Sigma = \mathrm T^*\mathcal A^{\text{flat}}_\Sigma

여기서

\mathcal A^{\text{flat}}_\Sigma

는 주다발

P\twoheadrightarrow\Sigma

의 평탄 주접속들의 공간이다.

BF 모형에서 주접속

A_\mu^a

에 대응하는 일반화 운동량은

B

장

B^a_{\mu_1\dotsb\mu_{d-2}}

이다. 둘 사이의 정준 교환 관계는 다음과 같다.

:

\{B^a_{\mu_1\dotso\mu_{d-2}}(x),A_{b\mu_{d-1}}(y)\} = \delta^a_b \operatorname{vol}^\Sigma_{\mu_1\dotso\mu_{d-1}} \delta(x,y)

여기서

\operatorname{vol}^\Sigma_{\mu_1\dotso\mu_{d-1}}

는

\Sigma

의 부피 형식이다.

따라서 이 모형의 힐베르트 공간은 평탄 주접속 공간 위의 제곱 적분 가능한 함수 공간이다.

:

\mathcal H=\operatorname L^2(\mathcal A^{\text{flat}}_\Sigma)

천-사이먼스 이론과 비교하면 중요한 차이가 있다. 3차원 천-사이먼스 이론에서는 공간

\Sigma

가 리만 곡면 구조를 가지므로, 평탄 주접속 공간

\mathcal A^{\text{flat}}_\Sigma

는 켈러 다양체 구조를 가진다. 천-사이먼스 이론에서

\mathcal A^{\text{flat}}_\Sigma

는 그 자체가 위상 공간이며, 접속

A

는 스스로의 일반화 운동량이 된다. 그러나 BF 이론에서

\mathcal A^{\text{flat}}_\Sigma

는 위상 공간이 아니라 배위 공간(configuration space)이다.

3. 3. 양-밀스 이론과의 관계

BF 모형은 특정 조건 하에서 양-밀스 이론과 동일하게 간주될 수 있다.^[6] 양-밀스 이론의 작용은 다음과 같이 주어진다.

:

S_\text{YM}=\int_M\frac1{g^2}K(F\wedge*F)

여기서

M

은 다양체,

F

는 게이지 장의 곡률 형식,

g^2

는 결합 상수,

*

는 호지 쌍대 연산자,

K

는 리 대수 위의 불변 다항식(예: 킬링 형식)을 나타낸다.

이 이론에 보조장

B

(리 대수 값을 가지는 2-형식)를 도입하면, 양-밀스 이론의 작용을 다음과 같이 동등하게 표현할 수 있다.

:

S_\text{YM}'=\int_M(K(B\wedge F)+\frac12g^2K(B\wedge*B))

이 식에서 운동 방정식

\delta S_\text{YM}'/\delta B = 0

을 풀면

F = -g^2 *B

(또는

B = -g^{-2} *F

)를 얻고, 이를 다시 작용에 대입하면 원래의 양-밀스 작용

S_\text{YM}

을 복원할 수 있다.

이제, 결합 상수

g^2

가 0으로 가는 극한(

g^2\to0

)을 생각해보자.

:

\lim_{g^2\to0}S_\text{YM}'=\int_MK(B\wedge F)=S_{BF}

이 극한에서 양-밀스 작용은 BF 모형의 작용

S_{BF}

와 같아진다. 따라서 BF 모형은 결합 상수가 0인 양-밀스 이론으로 볼 수 있다.

기하학적 의미를 파악하기 위해 호지 쌍대

*

대신 부피 형식

\omega

와 내적

\langle \cdot, \cdot \rangle

을 사용하여 작용을 다시 표현할 수 있다. 내적은

\langle X,Y\rangle\omega=K(X\wedge*Y)

관계를 만족한다. 이를 이용하면 수정된 양-밀스 작용은 다음과 같다.

:

S_\text{YM}'=\int_M(K(B\wedge F)+\frac12g^2\omega\langle B,B\rangle)

이 식의 두 번째 항은

\omega'=g^2\omega

라는 새로운 부피 형식에 의존한다. 이

\omega'

를 이용해 다양체

M

의 "부피"를

\operatorname{vol}(M)=\int_M\omega'=\int_Mg^2\omega

로 정의할 수 있다. 결론적으로, BF 모형은

g^2 \to 0

극한에 해당하므로,

\omega'

로 측정한 부피가 0으로 가는 극한으로 해석될 수 있으며, 이는 부피가 0인 다양체 위의 양-밀스 이론으로 생각할 수 있음을 의미한다.

3. 4. 초대칭 BF 모형

BF 모형에 초대칭을 추가하여 '''초대칭 BF 모형'''(supersymmetric BF model^영어)을 정의할 수 있다. 이는 더 이상 시바르츠형 위상 양자장론이 아니며, 대신 위튼형 위상 양자장론이다. 이 경우, 장들은 다음과 같다. 모든 장은

G

의 딸림표현을 따른다.

게이지 초장 $(A,\psi)$ : 여기서 $A$ 는 U(1) 게이지 보손이며, $\psi$ 는 벡터 페르미온이다. 이 경우 $QA=\psi$ 이다.
라그랑주 승수 초장 $(\chi,B)$ : 여기서 $B$ 는 $(d-2)$ 차 미분 형식인 보손이며, $\chi$ 역시 $(d-2)$ 차 미분 형식인 페르미온이다. 이 경우 $Q\chi=B$ 이다.
유령 초장 $(\bar\phi,\eta)$ : $Q\bar\phi=\eta$ 이며 $Q\eta=[\bar\phi,\phi]$ 이다.

이에 따라, 작용은 다음과 같다.^[7]

:

S=Q\int(\chi F+\bar\phi d*\psi)=\int \left(BF+(-1)^d\chi d\psi+\eta d*\psi+\bar\phi[\psi,*\psi]-\bar\phi d*d\phi\right)

초대칭이 없는 경우와 마찬가지로, 이 경우 이론은

M

위의

G

-평탄 주접속들의 모듈라이 공간의 특성을 계산한다.

만약 시공간이 3차원일 경우 (

d=3

), 이 이론은 추가로

\mathcal N_T=2

위상 초대칭을 갖는다.^[7]^[8] 즉, 두 개의 스칼라 초전하(BRST 연산자)를 가지며, 이 둘을 섞는 SU(2) R대칭이 존재하며, 이 아래

(\chi,\psi)

는 SU(2)의 2차원 기본 표현을 따른다. 이 이론은 3차원

\mathcal N=4

게이지 이론의 A-뒤틂과 같으며, 이는 도널드슨 이론을 3차원으로 축소화한 것과 같다.^[7]

참조

_[1] 논문 Topological Gauge Theories and Group Cohomology http://projecteuclid[...] 1990
_[2] 논문 Braiding Statistics and Link Invariants of Bosonic/Fermionic Topological Quantum Matter in 2+1 and 3+1 dimensions 2017-09
_[3] 서적 Concise encyclopedia of supersymmetry and noncommutative structures in mathematics and physics https://archive.org/[...] Springer-Verlag 2004
_[4] 저널 Schwarz type topological quantum field theories https://archive.org/[...] 2005
_[5] 저널 4-dimensional ''BF'' theory with cosmological term as a topological quantum field theory https://archive.org/[...] 1996
_[6] 저널 Lectures on 2d gauge theories: topological aspects and path integral techniques 1993
_[7] 저널 Aspects of ''N_T'' ≥ 2 topological gauge theories and D-branes
_[8] 저널 Topological field theory 1991-12

본 사이트는 AI가 위키백과와 뉴스 기사,정부 간행물,학술 논문등을 바탕으로 정보를 가공하여 제공하는 백과사전형 서비스입니다.
모든 문서는 AI에 의해 자동 생성되며, CC BY-SA 4.0 라이선스에 따라 이용할 수 있습니다.
하지만, 위키백과나 뉴스 기사 자체에 오류, 부정확한 정보, 또는 가짜 뉴스가 포함될 수 있으며, AI는 이러한 내용을 완벽하게 걸러내지 못할 수 있습니다.
따라서 제공되는 정보에 일부 오류나 편향이 있을 수 있으므로, 중요한 정보는 반드시 다른 출처를 통해 교차 검증하시기 바랍니다.

문의하기 : help@durumis.com