곱 규칙

"오늘의AI위키"는 AI 기술로 일관성 있고 체계적인 최신 지식을 제공하는 혁신 플랫폼입니다.
"오늘의AI위키"의 AI를 통해 더욱 풍부하고 폭넓은 지식 경험을 누리세요.

1. 개요

곱 규칙은 미분 가능한 두 함수의 곱의 도함수를 구하는 데 사용되는 미분법의 기본 규칙이다. 두 함수 f(x)와 g(x)의 곱 h(x) = f(x)g(x)가 주어질 때, 곱 규칙은 h'(x) = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)로 정의된다. 이 규칙은 라이프니츠에 의해 발견되었으며, 곱의 미분법, 라이프니츠 표기법, 무한소 표기법 등 다양한 형태로 표현될 수 있다. 곱 규칙은 여러 함수의 곱, 고차 도함수, 편도함수, 바나흐 공간과 같은 다양한 수학적 상황으로 일반화될 수 있으며, 스칼라 곱, 내적, 외적과 같은 벡터 함수의 곱셈 연산에도 적용된다. 곱 규칙은 수학적 귀납법을 통한 거듭제곱 함수의 미분 공식 유도, 미분다양체의 접공간 정의, 추상대수학에서의 미분 연산자 정의 등 다양한 분야에서 응용된다.

더 읽어볼만한 페이지

미분학 - 기울기 (벡터)
기울기(벡터)는 스칼라장의 특정 지점에서 값이 가장 빠르게 증가하는 방향과 변화율을 나타내는 벡터로, 함수의 등위면에 수직이며 크기는 해당 방향의 변화율을 나타내고, 스칼라 함수의 각 성분에 대한 편미분으로 구성되며 나블라 연산자로 표현된다.
미분학 - 음함수와 양함수
음함수와 양함수는 함수의 표현 방식에 따른 분류로, 독립변수와 종속변수의 관계가 명시적으로 나타나는 경우를 양함수, 관계식이 한 식 안에 포함된 경우를 음함수라 하며, 음함수는 양함수로 표현하기 어렵거나 불가능한 경우가 있고, 음함수 미분법, 음함수 정리 등을 통해 여러 분야에서 활용된다.

곱 규칙
정의
이름	곱 규칙
분야	미분학
설명	두 함수의 곱의 도함수를 구하는 공식
공식
표기법	(f⋅g)′=f′⋅g+f⋅g′ 또는 d(u⋅v)=u⋅dv+v⋅du
설명	f와 g가 미분 가능한 함수일 때, 그 곱 (f⋅g)의 도함수는 f의 도함수와 g의 곱, 그리고 f와 g의 도함수의 곱의 합과 같다.
예시
함수	h(x) = x² sin(x)
적용	h'(x) = (x²)′ sin(x) + x² (sin(x))′ = 2x sin(x) + x² cos(x)
일반화
함수 개수	n개의 미분 가능한 함수 f1, f2, ..., fn
공식	(f1⋅f2⋅...⋅fn)′ = f1′⋅f2⋅...⋅fn + f1⋅f2′⋅...⋅fn + ... + f1⋅f2⋅...⋅fn′
관련 항목
관련 개념	미분 도함수 몫의 미분법 연쇄 법칙

2. 정의

두 함수 f와 g가 미분 가능할 때, 그 곱 f⋅g 역시 미분 가능하며, 그 도함수는 다음과 같이 주어진다.^[4]

:(f⋅g)' = f'⋅g + f⋅g'

이를 라이프니츠 표기법으로 나타내면 다음과 같다.

: $\frac{d}{dx}(fg) = g\frac{df}{dx}+f\frac{dg}{dx}$

선형 근사를 사용하면 다음과 같이 표현할 수 있다.

: $d(fg)|_{x=x_0}=(gdf+fdg)|_{x=x_0}$

2. 1. 실변수 실숫값 함수의 경우

만약 두 함수 f, g^영어: I → ℝ 가 ''x''₀ ∈ I ⊆ ℝ 에서 미분 가능하다면, ''f''⋅''g'' 역시 ''x''₀에서 미분 가능하며, 그 미분은 다음과 같다.

:(''f''⋅''g'')'(''x''₀) = ''f''′(''x''₀)''g''(''x''₀) + ''f''(''x''₀)''g''′(''x''₀)

이를 라이프니츠 표기법을 사용하여 쓰면 다음과 같다.

:(''d''/''dx'')(''f''⋅''g'')(''x''₀) = ''g''(''d''/''dx'')''f''(''x''₀) + ''f''(''d''/''dx'')''g''(''x''₀)

선형 근사를 사용하여 쓰면 다음과 같다.

:d(''fg'')|_{''x''=''x''₀} = (''gdf'' + ''fdg'')|_{''x''=''x''₀}

만약 함수 f₁,…,fₖ^영어: I → ℝ 가 ''x''₀ ∈ I ⊆ ℝ 에서 미분 가능하다면, ''f''₁''f''₂⋯''f''_k의 ''x''₀에서의 미분은 다음과 같다.

:(''f''₁''f''₂⋯''f''_k)'(''x''₀) = ''f''₁′(''x''₀)''f''₂(''x''₀)⋯''f''_k(''x''₀) + ''f''₁(''x''₀)''f''₂′(''x''₀)⋯''f''_k(''x''₀) + ⋯ + ''f''₁(''x''₀)''f''₂(''x''₀)⋯''f''_k′(''x''₀)

보다 일반적으로, 만약 f, g^영어가 ''n''계 도함수를 갖는다면, ''fg'' 역시 ''n''계 도함수를 가지며, 이는 다음과 같다. (여기에 나오는 계수는 이항 계수이다.)

:(fg)^(''n'')(''x'') = ∑_k=0ⁿ f^{(''n''-''k'')}(''x'')g^(''k'')(''x'')

만약 f₁, f₂, …, fₖ^영어가 ''n''계 도함수를 갖는다면, ''f''₁''f''₂⋯''f''_k의 ''n''계 도함수는 다음과 같다. (여기에 나오는 계수는 다항 계수이다.)

:(''f''₁''f''₂⋯''f''_k)^(''n'')(''x'') = ∑_{''n''₁, ''n''₂, …, ''n''_k ≥ 0}^{''n''₁ + ''n''₂ + ⋯ + ''n''_k = ''n''} (''n''! / (''n''₁!''n''₂!⋯''n''_k!))''f''₁^(''n''₁)(''x'')''f''₂^(''n''₂)(''x'')⋯''f''_k^(''n''_k)(''x'')

이 공식은 다음과 같다.

:(''f''⋅''g'')' = ''f''′⋅''g'' + ''f''⋅''g''',

또는 라이프니츠 표기법으로는

:(''d''/''dx'')(''u''⋅''v'') = ''u''⋅(''dv''/''dx'') + ''v''⋅(''du''/''dx'')

라고 쓸 수 있다.

또는 무한소(또는 미분 형식) 표기법을 사용하여

:d(''uv'') = ''u'' d''v'' + ''v'' d''u''

라고 써도 된다.

세 개의 함수의 곱의 도함수는 다음과 같다.

:(''d''/''dx'')(''u''⋅''v''⋅''w'') = (''du''/''dx'')⋅''v''⋅''w'' + ''u''⋅(''dv''/''dx'')⋅''w'' + ''u''⋅''v''⋅(''dw''/''dx'')

2. 2. 다변수 벡터값 함수의 경우

두 함수

f,g\colon U\to\mathbb R

가

\mathbf x_0\in U\subseteq\mathbb R^n

에서 변수

x_i

에 대한 편미분이 존재한다고 하자. 그렇다면

fg

역시 그러하며, 그

x_i

에 대한 편미분은 다음과 같다.

:

\frac{\partial}{\partial x_i}(fg)(\mathbf x_0)=g(\mathbf x_0)\frac{\partial f}{\partial x_i}(\mathbf x_0)+f(\mathbf x_0)\frac{\partial g}{\partial x_i}(\mathbf x_0)

3. 증명

곱의 미분법은 여러 가지 방법으로 증명할 수 있다.

도함수의 정의를 직접 사용하여 증명할 수 있는데, 이 방법은 극한의 성질과 연속 함수의 성질을 이용한다. 선형 근사를 이용한 증명은 미분 가능한 함수가 국소적으로 선형 함수에 가깝다는 사실을 이용하며, 로그 미분법을 이용한 증명은 로그 함수의 미분법과 연쇄 법칙을 이용한다.

비표준 해석학을 이용한 증명은 무한소 개념을 사용하여 미분을 정의하는 방식이다. 고트프리트 빌헬름 라이프니츠가 이 방법으로 곱의 법칙을 처음 증명했다고 알려져 있다.^[2] 그러나 J. M. Child는 이 규칙이 아이작 배로의 공이라고 주장한다.^[3]^[4]

이 외에도 연쇄 법칙과 4분의 1 제곱 함수를 사용하는 방법, 로베어의 무한소 접근법을 사용하는 방법 등 다양한 증명 방법이 있다.

3. 1. 도함수의 정의를 이용한 증명

함수 f를

f(x) = g(x)h(x)

로 정의한다. 이때

f'(x)

를 도함수의 정의에 따라 구하면 다음과 같다.

:

f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x}

:

= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{g(x + \Delta x)h(x + \Delta x) - g(x)h(x)}{\Delta x}

:

= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{g(x)h(x + \Delta x) - g(x)h(x) + g(x + \Delta x)h(x + \Delta x) - g(x)h(x + \Delta x)}{\Delta x}

:

= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{g(x)(h(x + \Delta x) - h(x)) + h(x + \Delta x)(g(x + \Delta x) - g(x))}{\Delta x}

:

= \lim_{\Delta x \to 0} \left(g(x)\frac{h(x + \Delta x) - h(x)}{\Delta x} + h(x + \Delta x) \frac{g(x + \Delta x) - g(x)}{\Delta x}\right)

여기에서

h(x)

는

x

에 대해 연속이므로, 다음이 성립한다.

:

\lim_{\Delta x \to 0} h(x + \Delta x) = h(x)

따라서 다음의 결과가 나온다.

:

f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \left[g(x)\left(\frac{h(x + \Delta x) - h(x)}{\Delta x}\right) + h(x + \Delta x)\left(\frac{g(x + \Delta x) - g(x)}{\Delta x}\right)\right]

:

= \left[\lim_{\Delta x \to 0} g(x)\right]\left[\lim_{\Delta x \to 0} \frac{h(x + \Delta x) - h(x)}{\Delta x}\right] + \left[\lim_{\Delta x \to 0} h(x + \Delta x)\right]\left[\lim_{\Delta x \to 0}\frac{g(x + \Delta x) - g(x)}{\Delta x}\right]

:

= g(x)h'(x) + h(x)g'(x)

3. 2. 선형 근사를 이용한 증명

선형 근사를 사용하면 곱의 법칙을 증명할 수 있다.

f, g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}

가

x

에서 미분 가능하다면, 다음과 같은 선형 근사를 쓸 수 있다.

f(x+h) = f(x) + f'(x)h + \varepsilon_1(h)

g(x+h) = g(x) + g'(x)h + \varepsilon_2(h)

여기서 오차항은 ''h''에 비해 작다. 즉,

\lim_{h \to 0} \frac{\varepsilon_1(h)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{\varepsilon_2(h)}{h} = 0

이며, o-표기법으로

\varepsilon_1, \varepsilon_2 \sim o(h)

로 나타낼 수 있다. 그러면 다음과 같이 전개할 수 있다.

\begin{align}f(x+h)g(x+h) - f(x)g(x) &=  (f(x) + f'(x)h +\varepsilon_1(h))(g(x) + g'(x)h + \varepsilon_2(h)) - f(x)g(x) \\[.5em]&= f(x)g(x) + f'(x)g(x)h + f(x)g'(x)h -f(x)g(x) + \text{오차항} \\[.5em]&= f'(x)g(x)h + f(x)g'(x)h + o(h) .\end{align}

"오차항"은

f(x)\varepsilon_2(h), f'(x)g'(x)h^2

및

hf'(x)\varepsilon_1(h)

와 같은 항목으로 구성되며, 이들의 크기는

o(h)

임을 쉽게 알 수 있다.

h

로 나누고

h\to 0

의 극한을 취하면 곱의 법칙이 증명된다.

3. 3. 로그 미분법을 이용한 증명

h(x) = f(x) g(x)

라고 하자. 각 함수의 절댓값을 취하고 방정식의 양변에 자연 로그를 적용하면 다음과 같다.

\ln|h(x)| = \ln|f(x) g(x)|

절댓값과 로그의 성질을 적용하면 다음과 같다.

\ln|h(x)| = \ln|f(x)| + \ln|g(x)|

양변에 로그 미분법을 적용한 후

h'(x)

에 대해 풀면 다음과 같다.

\frac{h'(x)}{h(x)} = \frac{f'(x)}{f(x)} + \frac{g'(x)}{g(x)}

h'(x)

에 대해 풀고

h(x)

에

f(x) g(x)

를 대입하면 다음과 같다.

\begin{align}h'(x) &= h(x)\left(\frac{f'(x)}{f(x)} + \frac{g'(x)}{g(x)}\right) \\&= f(x) g(x)\left(\frac{f'(x)}{f(x)} + \frac{g'(x)}{g(x)}\right) \\&= f'(x) g(x) + f(x) g'(x).\end{align}

함수가 음수 값을 가질 수 있는 경우, 로그 미분법을 위해서는 함수의 절댓값을 취하는 것이 필요하다. 로그는 양의 인수에 대해서만 실수값 함수이기 때문이다. 이는

\tfrac{d}{dx}(\ln |u|) = \tfrac{u'}{u}

이기 때문에 작동하며, 로그 미분법에서 함수의 절댓값을 취하는 것을 정당화한다.^[9]

3. 4. 비표준 해석학을 이용한 증명

고트프리트 빌헬름 라이프니츠는 "무한소" (현대 미분의 전신)를 사용하여 곱 규칙을 증명했다.^[2] (그러나 라이프니츠의 논문을 번역한 J. M. Child^[3]는 이 규칙이 아이작 배로의 공이라고 주장한다.)

''u''와 ''v''를 ''x''에서의 연속 함수로 두고, ''dx'', ''du'', ''dv''를 비표준 해석학, 특히 초실수의 틀 내에서 무한소라고 하자. 유한한 초실수에 무한히 가까운 실수를 연결하는 표준 부분 함수 st를 사용하면 다음과 같다.

\begin{align}\frac{d(uv)}{dx} &= \operatorname{st}\left(\frac{(u + du)(v + dv) - uv}{dx}\right) \\&= \operatorname{st}\left(\frac{uv + u \cdot dv + v \cdot du + du \cdot dv -uv}{dx}\right) \\&= \operatorname{st}\left(\frac{u \cdot dv + v \cdot du + du \cdot dv}{dx}\right) \\&= \operatorname{st}\left(u \frac{dv}{dx} + (v + dv) \frac{du}{dx}\right) \\&= u \frac{dv}{dx} + v \frac{du}{dx}.\end{align}

이것은 기본적으로 라이프니츠의 증명으로, (위에 있는 표준 부분 대신) 초월적 균질성의 법칙을 활용했다.

로베어의 무한소 접근법의 맥락에서,

dx

를 멱영 무한소라고 하자. 그러면

du = u'\ dx

및

dv = v'\ dx

이므로,

\begin{align}d(uv) & = (u + du)(v + dv)  -uv \\& = uv + u \cdot dv + v \cdot du + du \cdot dv - uv \\& = u \cdot dv + v \cdot du + du \cdot dv \\& = u \cdot dv + v \cdot du\end{align}

이다. 왜냐하면

du \, dv = u' v' (dx)^2 = 0

이기 때문이다. 그런 다음

dx

로 나누면

\frac{d(uv)}{dx} = u \frac{dv}{dx} + v \frac{du}{dx}

또는

(uv)' = u \cdot v' + v \cdot u'

을 얻는다.

''u''와 ''v''는 ''x''의 연속 함수이고, ''dx'', ''du'', ''dv''는 초준해석의 틀 내에서 무한소, 특히 초실수라고 할때, 표준 부분 함수 st는 유한 초실수에 무한히 가까운 실수를 할당한다.

:

\begin{align} \frac{d(uv)}{dx}& =\operatorname{st}\left(\frac{(u + du)(v + dv) - uv}{dx}\right)\\& =\operatorname{st}\left(\frac{uv + u \cdot dv + v \cdot du + dv \cdot du -uv}{dx}\right)\\& =\operatorname{st}\left(\frac{u \cdot dv + (v + dv) \cdot du}{dx}\right)\\& ={u}\frac{dv}{dx} + {v}\frac{du}{dx}\end{align}

로 계산할 수 있다. 이때 표준 부분을 취하는 대신 초월적 균질성의 법칙을 적용하며, 이것은 본질적으로 라이프니츠의 증명과 같다.

4. 발견

고트프리트 빌헬름 라이프니츠가 곱의 미분법을 처음 발견한 것으로 알려져 있다.^[2] 라이프니츠는 "무한소" 개념을 사용하여 곱의 미분법을 증명했다. 라이프니츠의 논증은 다음과 같다. ''u''와 ''v''를 함수라고 할 때, ''d(uv)''는 연속하는 두 개의 ''uv'' 사이의 차이와 같다. 이를 ''uv''와 ''(u+du) × (v+dv)''로 나타내면 다음과 같다.

$\begin{align}d(u\cdot v) & {} = (u + du)\cdot (v + dv) - u\cdot v \\& {} = u\cdot dv + v\cdot du + du\cdot dv.\end{align}$

''du''·''dv'' 항은 ''du'' 및 ''dv''에 비해 "무시할 수 있는" 것이므로, 라이프니츠는 다음과 같이 결론 내렸다.

$d(u\cdot v) = v\cdot du + u\cdot dv$

이것이 곱 규칙의 미분 형태이다. ''dx''로 나누면 다음을 얻는다.

$\frac{d}{dx} (u\cdot v) = v \cdot \frac{du}{dx} + u \cdot \frac{dv}{dx}$

이는 라그랑주의 표기법으로 다음과 같이 쓸 수 있다.

$(u\cdot v)' = v\cdot u' + u\cdot v'.$

하지만, 라이프니츠의 논문을 번역한 J. M. Child는 이 규칙이 아이작 배로의 공이라고 주장한다.^[3]

5. 예시

$f(x) = x^2 \sin(x)$ 를 미분하면 곱 규칙에 의해 도함수 $f'(x) = 2x \cdot \sin(x) + x^2 \cdot \cos(x)$ 를 얻는다. ( $x^2$ 의 도함수는 $2x$ 이고, 사인 함수의 도함수는 코사인 함수이다.)

곱 규칙의 특수한 경우로 상수 곱 규칙이 있다. 상수 곱 규칙은 $c$ 가 상수이고, $f(x)$ 가 미분 가능한 함수일 때, $c \cdot f(x)$ 도 미분 가능하며, 그 도함수는 $(cf)'(x) = c \cdot f'(x)$ 라는 것이다. 이는 모든 상수의 도함수가 0이므로 곱 규칙으로부터 유도된다. 상수 곱 규칙은 도함수의 합 규칙과 결합하여 미분이 선형 변환임을 보여준다.

부분 적분 공식은 곱 규칙에서 유도되며, (약한 버전의) 몫의 규칙도 마찬가지이다. (여기서 "약한 버전"이란 몫이 미분 가능하다는 것을 증명하는 것이 아니라, 만약 미분 가능하다면 그 도함수가 무엇인지 알려주는 것을 의미한다.)

6. 일반화

곱 규칙은 둘 이상의 인수 곱으로 일반화할 수 있다. 예를 들어, 세 함수 곱의 경우 다음과 같다.

: $\frac{d(uvw)}{dx} = \frac{du}{dx}vw + u\frac{dv}{dx}w + uv\frac{dw}{dx}$

일반적으로, k개 함수 $f_1, \dots, f_k$ 곱의 도함수는 다음과 같다.

: $\frac{d}{dx} \left [ \prod_{i=1}^k f_i(x) \right ]= \sum_{i=1}^k \left(\left(\frac{d}{dx} f_i(x) \right) \prod_{j=1,j\ne i}^k f_j(x) \right)= \left( \prod_{i=1}^k f_i(x) \right) \left( \sum_{i=1}^k \frac{f'_i(x)}{f_i(x)} \right)$

로그 미분은 위 식을 더 간단하게 표현하고, 재귀를 사용하지 않는 직접적인 증명을 제공한다. 함수 $f$ 의 ''로그 미분''은 $f$ 의 로그의 미분이다. 곱의 로그는 각 인수의 로그의 합과 같으므로, 미분에 대한 합 규칙을 이용하여 위 결과를 유도할 수 있다.

6. 1. 여러 함수의 곱

함수

f_1, \dotsc, f_k \colon I \to \mathbb{R}

가

x_0 \in I \subseteq \mathbb{R}

에서 미분 가능하다면,

f_1 f_2 \cdots f_k

의

x_0

에서의 미분은 다음과 같다.

:

(f_1 f_2 \cdots f_k)'(x_0) = f_1'(x_0)f_2(x_0) \cdots f_k(x_0) + f_1(x_0)f_2'(x_0) \cdots f_k(x_0) + \cdots f_1(x_0)f_2(x_0) \cdots f_k'(x_0)

세 함수

u

,

v

,

w

의 곱의 경우, 도함수는 다음과 같다.^[1]

:

\frac{d(uvw)}{dx} = \frac{du}{dx}vw + u\frac{dv}{dx}w + uv\frac{dw}{dx}

일반적으로,

k

개 함수

f_1, \dots, f_k

의 곱의 도함수는 다음과 같다.^[1]

:

\frac{d}{dx} \left [ \prod_{i=1}^k f_i(x) \right ] = \sum_{i=1}^k \left(\left(\frac{d}{dx} f_i(x) \right) \prod_{j=1,j\ne i}^k f_j(x) \right) = \left(  \prod_{i=1}^k f_i(x) \right) \left( \sum_{i=1}^k \frac{f'_i(x)}{f_i(x)} \right)

6. 2. 고차 도함수

두 함수

u

,

v

의 곱의

n

차 도함수는 다음과 같이 주어진다. (일반 라이프니츠 규칙)

:

(uv)^{(n)}(x) = \sum_{k=0}^n {n \choose k} \cdot u^{(n-k)}(x)\cdot  v^{(k)}(x)

이는 이항 정리와 매우 유사한 형태를 띤다.

보다 일반적으로,

f_1, f_2, \dotsc, f_k

가

n

계 도함수를 갖는다면,

f_1 f_2 \cdots f_k

의

n

계 도함수는 다음과 같다. (여기에 나오는 계수는 다항 계수이다.)

:

(f_1f_2\cdots f_k)^{(n)}(x)=\sum_{n_1,n_2,\dotsc,n_k\ge0}^{n_1+n_2+\cdots+n_k=n}\frac{n!}{n_1!n_2!\cdots n_k!}f_1^{(n_1)}(x)f_2^{(n_2)}(x)\cdots f_k^{(n_k)}(x)

6. 3. 고차 편도함수

편미분의 경우, 다음이 성립한다.^[5]

:

{\partial^n \over \partial x_1\,\cdots\,\partial x_n} (uv)= \sum_S {\partial^

u \over \prod_{i\in S} \partial x_i} \cdot {\partial^{n-|S|} v \over \prod_{i\not\in S} \partial x_i}

여기서, 지표 는 의 모든 부분집합을 순회하며, 는 의 크기이다. 예를 들어, 일 때,

:

\begin{align} & {\partial^3 \over \partial x_1\,\partial x_2\,\partial x_3} (uv)  \\[1ex]= {} & u \cdot{\partial^3 v \over \partial x_1\,\partial x_2\,\partial x_3} + {\partial u \over \partial x_1}\cdot{\partial^2 v \over \partial x_2\,\partial x_3} +  {\partial u \over \partial x_2}\cdot{\partial^2 v \over \partial x_1\,\partial x_3} + {\partial u \over \partial x_3}\cdot{\partial^2 v \over \partial x_1\,\partial x_2} \\[1ex]&  + {\partial^2 u \over \partial x_1\,\partial x_2}\cdot{\partial v \over \partial x_3}+ {\partial^2 u \over \partial x_1\,\partial x_3}\cdot{\partial v \over \partial x_2}+ {\partial^2 u \over \partial x_2\,\partial x_3}\cdot{\partial v \over \partial x_1}+ {\partial^3 u \over \partial x_1\,\partial x_2\,\partial x_3}\cdot v. \\[-3ex]&\end{align}

, , , 템플릿을 제거하고, 변수 표기를 수정하였다.

6. 4. 바나흐 공간

바나흐 공간(유클리드 공간을 포함) ''X'', ''Y'', ''Z''와 연속 쌍선형 연산자 ''B'' : ''X'' × ''Y'' → ''Z''에 대해, ''B''는 미분 가능하며, ''X'' × ''Y'' 내의 점 (''x'',''y'')에서의 도함수는 선형 사상 ''D''_{(''x'',''y'')}''B'' : ''X'' × ''Y'' → ''Z''이며, 다음 식으로 주어진다.

:(D_(x,y)B)(u,v) = B(u,y) + B(x,v) ∀(u,v)∈X × Y.^[6]

이 결과는 더 일반적인 위상 벡터 공간으로 확장될 수 있다.^[6]

7. 벡터 미적분학

곱의 미분법은 벡터 함수의 스칼라 곱, 내적, 외적 등으로 확장될 수 있다.^[7] 이러한 규칙은 모든 연속 쌍선형 곱셈 연산에 적용된다.

스칼라 곱: (f⋅'''g''')' = f'⋅'''g''' + f⋅'''g'''′
내적: ('''f'''⋅'''g''')' = '''f'''′⋅'''g''' + '''f'''⋅'''g'''′
외적: ('''f'''×'''g''')' = '''f'''′×'''g''' + '''f'''×'''g'''′ (외적은 교환 법칙이 성립하지 않으므로 주의해야 한다.)

또한, ''f''와 ''g''가 스칼라장이면 경사도에 대한 곱 규칙이 성립한다.

: ∇(f⋅g) = ∇f⋅g + f⋅∇g

7. 1. 스칼라 곱

스칼라 곱에 대한 곱의 법칙은 다음과 같다.^[7]

:(f⋅'''g''')' = f'⋅'''g''' + f⋅'''g'''′

7. 2. 내적

스칼라 곱의 미분은 다음과 같이 표현된다.^[7]

: (f⋅'''g''')' = f'⋅'''g''' + f⋅'''g'''′

내적의 경우, 두 벡터 함수 '''f'''와 '''g'''의 내적의 미분은 다음과 같다.^[7]

: ('''f'''⋅'''g''')' = '''f'''′⋅'''g''' + '''f'''⋅'''g'''′

외적의 경우에는 다음과 같이 표현된다.

: ('''f'''×'''g''')' = '''f'''′×'''g''' + '''f'''×'''g'''′

7. 3. 외적

Vector functions^영어의 외적에 대한 곱 규칙은 다음과 같다.^[7]

: ('''f''' × '''g''')' = '''f'''′ × '''g''' + '''f''' × '''g'''′

외적은 교환 법칙이 성립하지 않으므로

: (f × g)' = f′ × g + g′ × f

라고 쓰는 것은 오류이다. 그러나 외적은 반교환적이므로,

: (f × g)' = f′ × g - g′ × f

라고 쓸 수 있다.

8. 응용

곱의 미분법은 미분적분학의 다양한 분야에서 활용된다.

거듭제곱 함수의 미분 공식을 유도하는 데 사용될 수 있다.

:

{d \over dx} x^n = nx^{n-1}

:이 공식은 n이 양의 정수일 때 수학적 귀납법을 사용하여 증명할 수 있다. n이 0이면 xⁿ은 상수이고 nx^n-1 = 0이므로 공식이 성립한다. 어떤 지수 n에 대해 공식이 성립한다고 가정하면, n+1에 대해서도 다음이 성립한다.

:

\begin{align}{d \over dx}x^{n+1} &{}= {d \over dx}(x^n\cdot x)= x{d \over dx} x^n + x^n{d \over dx}x\\&{}= x(nx^{n-1}) + x^n\cdot 1= (n + 1)x^n\end{align}

:따라서 모든 자연수 n에 대해 공식이 성립한다.

미분 다양체의 접공간을 정의하는 데 사용될 수 있다. 이 정의는 도형 주변의 전체 공간을 사용할 수 없거나 사용하고 싶지 않은 경우에 이용할 수 있다. 도형 위의 실수값 함수가 오로지 한 점 p에서만 미분 계수와 곱 규칙이 정의된다는 사실을 이용한다. 이러한 미분 계수 전체로 이루어진 집합이 접공간으로 보기에 적합한 벡터 공간을 이룬다.

9. 추상대수학

추상대수학에서 곱 규칙은 미분의 정의적 성질이다.^[1] 이 용어에서 곱 규칙은 미분 연산자가 함수에 대한 미분이라고 말한다.^[1] 추상대수학에서는 곱 규칙이 공리로서 먼저 존재하며, 거기에서 도함수 연산자(미분 연산자)가 "정의"된다.^[3]

10. 미분기하학

미분기하학에서, 점 ''p''에서 다양체 ''M''에 대한 접선 벡터는 ''p''에서 방향 미분과 같이 동작하는 실값 함수에 대한 연산자로 추상적으로 정의될 수 있다. 즉, 미분인 선형 범함수 ''v''는 다음 식을 만족한다.

: $v(fg) = v(f)\,g(p) + f(p) \, v(g).$

벡터 미적분학의 공식을 일반화하고 이중화하여 ''n'' 차원 다양체 ''M''에 적용하면, 미분 형식을 차수 ''k'' 및 ''l''로 취할 수 있으며, $\alpha\in \Omega^k(M), \beta\in \Omega^\ell(M)$ 로 표시하고, 쐐기 또는 외대수 연산 $\alpha\wedge\beta\in \Omega^{k+\ell}(M)$ 과 외미분 $d:\Omega^m(M)\to\Omega^{m+1}(M)$ 을 취할 수 있다. 그러면 등급 라이프니츠 규칙은 다음과 같다.

: $d(\alpha\wedge\beta)= d\alpha \wedge \beta + (-1)^{k} \alpha\wedge d\beta.$

참조

_[1] 웹사이트 Leibniz rule – Encyclopedia of Mathematics https://encyclopedia[...]
_[2] 논문 Humanizing Calculus http://www.nctm.org/[...] 2007-08
_[3] 서적 The Early Mathematical Manuscripts of Leibniz http://dynref.engr.i[...] Dover
_[4] 서적 The Early Mathematical Manuscripts of Leibniz http://dynref.engr.i[...] Dover
_[5] 논문 Combinatorics of Partial Derivatives https://www.emis.de/[...] 2006-01
_[6] 서적 The Convenient Setting of Global Analysis https://www.mat.univ[...] American Mathematical Society 1997
_[7] 서적 Calculus Cengage
_[8] 문서 Child 1920.
_[9] PlanetMath logarithmic proof Of product rule

본 사이트는 AI가 위키백과와 뉴스 기사,정부 간행물,학술 논문등을 바탕으로 정보를 가공하여 제공하는 백과사전형 서비스입니다.
모든 문서는 AI에 의해 자동 생성되며, CC BY-SA 4.0 라이선스에 따라 이용할 수 있습니다.
하지만, 위키백과나 뉴스 기사 자체에 오류, 부정확한 정보, 또는 가짜 뉴스가 포함될 수 있으며, AI는 이러한 내용을 완벽하게 걸러내지 못할 수 있습니다.
따라서 제공되는 정보에 일부 오류나 편향이 있을 수 있으므로, 중요한 정보는 반드시 다른 출처를 통해 교차 검증하시기 바랍니다.

문의하기 : help@durumis.com