국소환

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1. 개요
2. 정의
3. 성질
4. 분류
5. 예
6. 응용
7. 역사
참조

1. 개요

국소환은 환의 한 종류로, 극대 왼쪽 아이디얼 또는 극대 오른쪽 아이디얼이 유일하게 존재하는 환을 말한다. 국소환은 가환환, 나눗셈환, 이산 값매김 환 등 다양한 종류가 있으며, 대수기하학, 값매김 이론 등 다양한 분야에서 활용된다. 국소환의 개념은 1938년 볼프강 크룰에 의해 도입되었고, 오스카 자리스키에 의해 "국소환"이라는 명칭이 붙여졌다.

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국소환
개요
종류	환
정의	극대 아이디얼을 유일하게 갖는 환
관련 개념	국소 대수 완비 국소환 정칙 국소환
성질
가환환	가환 국소환은 유일한 극대 아이디얼을 갖는 가환환이다.
멱등원	국소환은 0과 1 이외의 멱등원을 갖지 않는다.
준정칙원	국소환의 모든 준정칙원은 가역원이다.
예시
유리수 p-진환	유리수의 p진환은 국소환이다.
형식적 멱급수환	체에 대한 형식적 멱급수환은 국소환이다.
참고 문헌
참고 문헌	Local Ring - Wolfram MathWorld local ring in nLab

2. 정의

환 $R$ 에 대하여 다음 성질들은 서로 동치이며, 이를 만족시키는 환을 '''국소환'''이라 한다.^[3]^[4]^[6]

극대 왼쪽 아이디얼이 유일하게 존재한다.
극대 오른쪽 아이디얼이 유일하게 존재한다.
자명환이 아니며, 임의의 $r,s\in R$ 에 대하여, $r$ 와 $s$ 둘 다 가역원이 아니라면 $r+s$ 또한 가역원이 아니다.
자명환이 아니며, 임의의 원소 $r\in R$ 에 대해 $r$ 가 가역원이거나, 아니면 $1-r$ 가 가역원이다. (즉, $R\setminus R^\times$ 는 양쪽 아이디얼을 이룬다.)
유한 개의 원소의 합이 가역원이면 그 합의 항들 중에 가역원이 있다. (이 경우 0개의 원소들의 합은 0이며, 따라서 0은 가역원이 아니며, 특히 1≠0이다.)
$R/J$ 는 나눗셈환이다. 단, $J$ 는 $R$ 의 제이컵슨 근기이다.

위의 성질들이 성립하면 유일한 극대 왼쪽 아이디얼과 극대 오른쪽 아이디얼 및 제이컵슨 근기가 전부 일치한다.

가환환에서는 좌우의 구분이 없으므로, 가환환이 국소환일 필요충분조건은 극대 아이디얼이 유일하게 존재하는 것이다.

일부 저자들은 국소환을 정의할 때 (왼쪽과 오른쪽 모두) 뇌터 환이어야 한다는 조건을 추가하고, 이 조건을 만족하지 않는 경우에 대해서는 "유사 국소환"이라 부르기도 한다.

2. 1. 정의에 사용되는 개념

환

R

이 국소환이 되기 위해서는 여러 동치 조건들이 존재한다. 이 조건들은 극대 왼쪽 아이디얼, 극대 오른쪽 아이디얼, 자명환, 가역원, 양쪽 아이디얼, 제이컵슨 근기 등의 개념을 사용하여 정의된다.

극대 왼쪽 아이디얼이 유일하게 존재한다.
극대 오른쪽 아이디얼이 유일하게 존재한다.
자명환이 아니며, 임의의 $r,s\in R$ 에 대하여, $r$ 와 $s$ 둘 다 가역원이 아니라면 $r+s$ 또한 가역원이 아니다.
자명환이 아니며, 임의의 원소 $r\in R$ 에 대해 $r$ 가 가역원이거나, 아니면 $1-r$ 가 가역원이다.
유한 개의 원소의 합이 가역원이면 그 합의 항들 중에 가역원이 있다.

위의 조건들이 성립하면 유일한 극대 왼쪽 아이디얼과 극대 오른쪽 아이디얼 및 제이컵슨 근기가 전부 일치한다.

가환환에서는 좌우 구분이 없으므로, 극대 아이디얼이 유일하게 존재하면 국소환이다.

일부 저자들은 국소환 정의에 뇌터 환 조건을 추가하며, 이 경우 만족하지 않으면 유사 국소환이라 부른다.

2. 2. 국소환의 동치 조건

환

R

에 대하여 다음 성질들은 서로 동치이며, 이를 만족시키는 환을 '''국소환'''이라 한다.^[3]^[4]^[6]

극대 왼쪽 아이디얼이 유일하게 존재한다.
극대 오른쪽 아이디얼이 유일하게 존재한다.
자명환이 아니며, 임의의 $r,s\in R$ 에 대하여, $r$ 와 $s$ 둘 다 가역원이 아니라면 $r+s$ 또한 가역원이 아니다.
자명환이 아니며, 임의의 원소 $r\in R$ 에 대해 $r$ 가 가역원이거나, 아니면 $1-r$ 가 가역원이다. (즉, $R\setminus R^\times$ 는 양쪽 아이디얼을 이룬다.)
유한 개의 원소의 합이 가역원이면 그 합의 항들 중에 가역원이 있다. (이 경우 0개의 원소들의 합은 0이며, 따라서 0은 가역원이 아니며, 특히 1≠0이다.)
$R/J$ 는 나눗셈환이다. 단, $J$ 는 $R$ 의 제이컵슨 근기이다.

위의 성질들이 성립하면 유일한 극대 왼쪽 아이디얼과 극대 오른쪽 아이디얼 및 제이컵슨 근기가 전부 일치한다. 국소환의 제이콥슨 근기(유일한 극대 왼쪽 아이디얼이자 유일한 극대 오른쪽 아이디얼과 같다)는 정확히 환의 비가역 원소로 구성되며, 또한 ''R''의 유일한 극대 양쪽 아이디얼이다. 그러나 비가환적인 경우에는 유일한 극대 양쪽 아이디얼을 갖는 것이 국소적이라는 것과 동치가 아니다.^[6]

가환환에서는 좌우의 구분이 없으므로, 가환환이 국소환일 필요충분조건은 극대 아이디얼이 유일하게 존재하는 것이다.

일부 저자들은 국소환을 정의할 때 (왼쪽과 오른쪽 모두) 뇌터 환이어야 한다는 조건을 추가하고, 이 조건을 만족하지 않는 경우에 대해서는 "유사 국소환"이라 부르기도 한다.

2. 3. 국소환 준동형

두 국소환

(R,\mathfrak m)

,

(R',\mathfrak m')

사이의 국소환 준동형(local homomorphism^영어)

f\colon(R,\mathfrak m)\to(R',\mathfrak m')

은 다음 조건을 만족하는 함수이다.

$f\colon R\to R'$ 은 환 준동형이다.
$f(\mathfrak m)\subset\mathfrak m'$ 이다.

국소환들과 국소환 준동형들은 범주를 이룬다.

3. 성질

(비가환일 수 있는) 국소환 $(R,\mathfrak m)$ 에 대하여, 몫환 $R/\mathfrak m$ 은 항상 나눗셈환이다.^[5] 만약 $R$ 가 추가로 가환환이라면, 몫환 $R/\mathfrak m$ 은 체가 된다.^[5]

(''R'', ''m'')을 국소환이라고 하면, 몫환 ''R''/''m''은 체이다. 만약 $J \ne R$ 이 ''R''의 양쪽 아이디얼이면, 몫환 ''R''/''J''는 다시 국소환이며, 극대 아이디얼은 ''m''/''J''이다.^[6] 국소환의 몫환은 국소환이다.

가환 국소환 $(R, \mathfrak{m})$의 $\mathfrak{m}$-진 위상에 대한 완비화는 국소환이다.^[5] 위상환으로 보았을 때, $(R, \mathfrak{m})$이 완비인지 여부를 묻는 경우가 있다.^[5] 일반적으로 옳지 않지만, 그 완비화는 역시 국소환이 된다.^[5]

만약 $(R, \mathfrak{m})$이 가환 네터 국소환이라면, 크룰 교차 정리에 의해 다음이 성립한다.^[5]

: $\bigcap_{i=1}^\infty \mathfrak{m}^i = \{0\}$

따라서, $R$은 $\mathfrak{m}$-진 위상에 관해 하우스도르프 공간이 된다.^[5]

임의의 (비가환일 수 있는) 국소환 $R$ 위의 사영 가군은 항상 자유 가군이다.^[6] 이는 어빙 커플랜스키가 증명하였다. 가군이 유한 생성된 경우는 나카야마 보조정리의 간단한 따름정리이다. 어빙 카플란스키(Irving Kaplansky)의 심도 정리(deep theorem)에 따르면, 국소환 위의 사영 가군은 자유 가군이다.

가환 국소환 $(R,\mathfrak m,K)$ 의 표수는 0이거나 (1이 아닌) 소수의 거듭제곱이다. 여기서 $R$ 와 잉여류체 $K$ 의 표수는 다음 4가지 가운데 하나이다. ( $p$ 는 임의의 소수)

국소환 $R$ 의 표수	잉여류체 $K$ 의 표수	$R$ 에 포함된 체
0	0	$\mathbb Q$
p	p	$\mathbb F_p$
0	p	(없음)
p^k (k ≥ 2)	p	(없음)

$\operatorname{char}R=\operatorname{char}K$ 인 경우를 '''동표수 국소환'''(同標數-, equicharacteristic local ring^영어)이라고 하며, 아니면 $(\operatorname{char}R,\operatorname{char}K)$ 형의 '''혼합 표수 국소환'''(mixed characteristic local ring^영어)이라고 한다. $R$ 가 동표수 국소환인 것은 $R$ 가 어떤 체를 부분환으로 포함하는 것과 동치이다.

3. 1. 몫환

(비가환일 수 있는) 국소환

(R, \mathfrak m)

에 대하여, 몫환

R/\mathfrak m

은 항상 나눗셈환이다.^[5] 만약

R

가 추가로 가환환이라면, 몫환

R/\mathfrak m

은 체가 된다.^[5]

(''R'', ''m'')을 국소환이라고 하면, 몫환 ''R''/''m''은 체이다. 만약

J \ne R

이 ''R''의 양쪽 아이디얼이면, 몫환 ''R''/''J''는 다시 국소환이며, 극대 아이디얼은 ''m''/''J''이다.^[6] 국소환의 몫환은 국소환이다.

3. 2. 완비화

가환 국소환 $(R, \mathfrak{m})$의 $\mathfrak{m}$-진 위상에 대한 완비화는 국소환이다.^[5] 위상환으로 보았을 때, $(R, \mathfrak{m})$이 완비인지 여부를 묻는 경우가 있다.^[5] 일반적으로 옳지 않지만, 그 완비화는 역시 국소환이 된다.^[5]

만약 $(R, \mathfrak{m})$이 가환 네터 국소환이라면, 크룰 교차 정리에 의해 다음이 성립한다.^[5]

:

\bigcap_{i=1}^\infty \mathfrak{m}^i = \{0\}

따라서, $R$은 $\mathfrak{m}$-진 위상에 관해 하우스도르프 공간이 된다.^[5]

3. 3. 가군

임의의 (비가환일 수 있는) 국소환

R

위의 사영 가군은 항상 자유 가군이다.^[6] 이는 어빙 커플랜스키가 증명하였다. 가군이 유한 생성된 경우는 나카야마 보조정리의 간단한 따름정리이다. 어빙 카플란스키(Irving Kaplansky)의 심도 정리(deep theorem)에 따르면, 국소환 위의 사영 가군은 자유 가군이다.

3. 4. 표수

가환 국소환

(R,\mathfrak m,K)

의 표수는 0이거나 (1이 아닌) 소수의 거듭제곱이다. 여기서

R

와 잉여류체

K

의 표수는 다음 4가지 가운데 하나이다. (

p

는 임의의 소수)

국소환 $R$ 의 표수	잉여류체 $K$ 의 표수	$R$ 에 포함된 체
0	0	$\mathbb Q$
p	p	$\mathbb F_p$
0	p	(없음)
p^k (k ≥ 2)	p	(없음)

$\operatorname{char}R=\operatorname{char}K$ 인 경우를 '''동표수 국소환'''(同標數-, equicharacteristic local ring^영어)이라고 하며, 아니면 $(\operatorname{char}R,\operatorname{char}K)$ 형의 '''혼합 표수 국소환'''(mixed characteristic local ring^영어)이라고 한다. $R$ 가 동표수 국소환인 것은 $R$ 가 어떤 체를 부분환으로 포함하는 것과 동치이다.

4. 분류

모든 가환 국소환은 완비화를 통해 완비 국소환으로 만들 수 있으며, 뇌터 조건 아래에서는 코언 구조 정리(Cohen structure theorem^영어)를 통해 분류할 수 있다.

가환 완비 국소환 $(\hat R,\hat{\mathfrak m},K)$ 의 계수환은 특정 성질을 만족시키는 부분환 $C\subseteq\hat R$ 이다. 계수환은 유일하지 않을 수 있다.

뇌터 가환 완비 국소환 $(\hat R,\hat{\mathfrak m},K)$ 에 대해, 코언 구조 정리에 따르면 다음이 성립한다.

$\hat R$ 는 적어도 하나의 계수환 $C$ 를 갖는다. 만약 $\hat R$ 가 동표수 국소환이라면, $C\cong K$ 이다.
$\hat{\mathfrak m}=(r_1,r_2,\dots,r_n)$ 이 $n$ 개의 원소로 생성되는 유한 생성 아이디얼이라면, $\hat R\cong Cx_1,\dots,x_n/\mathfrak a$ 가 되는 $Cx_1,\dots,x_n$ -아이디얼 $\mathfrak a\subseteq Cx_1,\dots,x_n$ 이 존재한다. 특히, $\hat R$ 가 뇌터 환이라면 위 조건이 성립한다.
$\hat R$ 가 추가로 동표수 정칙 국소환이라면, $\hat R\cong Cx_1,\dots,x_n$ 이다. 여기서 $Cx_1,\dots,x_n$ 은 $C$ 계수의 $n$ 개 변수에 대한 형식적 멱급수환이다.

5. 예

가환환 $R$ 의 임의의 소 아이디얼 $\mathfrak p\in\operatorname{Spec}R$ 에서의 국소화 $R_{\mathfrak p}$ 는 국소환이다.

모든 나눗셈환은 국소환이다. (이 경우 영 아이디얼은 유일한 진 왼쪽 아이디얼이자 진 오른쪽 아이디얼이다.)

5. 1. 가환 국소환

가환환

R

의 임의의 소 아이디얼

\mathfrak p\in\operatorname{Spec}R

에서의 국소화

R_{\mathfrak p}

는 국소환이다. 모든 체와 나눗셈환은 국소환이다. (영 아이디얼은 유일한 진 아이디얼)

환 $\mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z}$ 는 국소환이다. ( $p$ 는 소수, $n ≥ 1$ )
이산 값매김 환은 체가 아닌 국소 주 아이디얼 정역이다.
형식적 멱급수환은 국소환이다.
이중수의 대수는 국소환이다.
분수의 분모가 홀수인 유리수 환은 국소환이다.

5. 2. 비가환 국소환

(비가환환일 수 있는) 환

R

위의 왼쪽 가군

_RM

의 자기 사상환

\operatorname{End}(_RM)

이 국소환이라면,

M

은 분해 불가능 가군이다. 반대로, 만약

_RM

이 유한한 길이를 가지며 분해 불가능 가군이라면, 자기 사상환

\operatorname{End}(_RM)

은 국소환이다.

양의 표수

p>0

의 체

K

및 ''p''-군

G

가 주어졌을 때, 군환

k[G]

는 국소환이다.

5. 3. 반례

체

K

위의 2×2 행렬환

\operatorname{Mat}(2;K)

은 유일한 (극대) 양쪽 아이디얼

\{0\}

을 가지지만, 극대 왼쪽 아이디얼 또는 극대 오른쪽 아이디얼은 유일하지 않으므로 국소환이 아니다. 체

K

위의 다항식환

K[x]

는

x

와

1 - x

는 가역원이 아니지만, 이들의 합은 가역원이므로 국소환이 아니다. 정수환

\mathbb{Z}

는 모든 소수

p

에 대해 극대 아이디얼

(p)

를 가지므로 국소환이 아니다.

\mathbb{Z}

/(''pq'')

\mathbb{Z}

(''p'', ''q''는 서로 다른 소수)는 (''p'')와 (''q'') 모두 극대 아이디얼이므로 국소환이 아니다.

5. 4. 싹 (Germ)

실수선의 0 주변의 열린 구간에서 정의된 실수 값을 갖는 연속 함수의 싹은 국소환을 이룬다. 이 싹들은 더하고 곱할 수 있으며 가환환을 형성한다. germ ''f''는 일 때 그리고 그 때만 가역적이다. 비가역적 germ들의 합이 다시 비가역적임이 분명하며, 우리는 가환 국소환을 갖는다. 이 환의 극대 아이디얼은 정확히 인 germ ''f''로 구성된다.

위상 공간에서의 연속 실수 값 함수들의 germ 환, 미분 다양체에서의 미분 가능 함수들의 germ 환, 대수적 다양체에 대한 유리 함수들의 germ 환에 적용되어 모두 국소환을 이룬다.

6. 응용

대수기하학에서 가환 국소환은 가환환을 소 아이디얼에서 국소화하여 얻어진다. 아핀 스킴으로 여기면, 자리스키 위상에서 극대 아이디얼들은 닫힌 점들에 대응하므로, 국소환은 정확히 하나의 닫힌 점을 포함한다. 이는 이 점의 근방 위의 함수환으로 여길 수 있다. 일반적 스킴을 임의의 점에서 국소화하면, 그 점 근방만의 정보를 담고 있는 국소환을 얻는다. 즉, 국소환은 자리스키 위상에서의 스킴의 줄기에 해당하며, 니스네비치 위상에서의 줄기는 헨젤 국소환이며, 에탈 위상에서의 줄기는 순 헨젤 국소환이다.

국소환은 값매김 (대수) 이론에서 중요한 역할을 한다. 체 ''K''의 값매김 환은 ''K''의 모든 0이 아닌 원소 ''x''에 대해, ''x''와 ''x''⁻¹ 중 적어도 하나가 ''R''에 속하는 부분환 ''R''이며, 이러한 부분환은 모두 국소환이 된다. 예를 들어, 분수의 홀수 분모를 가진 유리수 환은 $\mathbb{Q}$ 에서 값매김 환이다.

함수체일 수도 있고 아닐 수도 있는 체 ''K''가 주어지면, 그 안에서 국소환을 찾을 수 있다. 만약 ''K''가 실제로 대수적 다양체 ''V''의 함수체라면, ''V''의 각 점 ''P''에 대해 "''P''에서 정의된" 함수의 값매김 환 ''R''을 정의하려고 할 수 있다. ''V''의 차원이 2 이상인 경우, ''F''와 ''G''가 ''F''(''P'') = ''G''(''P'') = 0인 ''V''상의 유리 함수라면, 함수 ''F''/''G''는 ''P''에서 부정형이 된다. 예를 들어 ''Y''/''X''에서 직선 ''Y'' = ''tX''를 따라 접근하면, ''P''에서의 ''값''은 단순한 정의가 없는 개념임을 알 수 있으며, 이것은 값매김을 사용하여 대체된다.

7. 역사

국소환의 개념은 볼프강 크룰이 1938년에 "슈텔렌링(슈텔렌링/Stellenring^de)"(위치환)이라는 명칭으로 도입하였다.^[7] "국소환"이라는 명칭은 오스카 자리스키가 도입하였다.^[8]

어빈 솔 코언은 코언 구조 정리를 도입하였다.^[9]

역사적으로, 1960년대 이전까지는 "국소환"이라는 개념에는 왼쪽 뇌터 환이자 오른쪽 뇌터 환이어야 한다는 조건이 추가되었으며, 뇌터 조건을 만족시키지 않는 경우 "준국소환"(quasilocal ring^영어)이라는 이름으로 불렸다.

참조

_[1] 논문 Dimensionstheorie in Stellenringen
_[2] 논문 Foundations of a General Theory of Birational Correspondences http://www.ams.org/t[...] American Mathematical Society 1943-05
_[3] 서적 Lam (2001), p. 295, Thm. 19.1.
_[4] 웹사이트 Local Ring https://mathworld.wo[...] 2024-08-26
_[5] 웹사이트 Tag 07BI http://stacks.math.c[...]
_[6] 문서 The 2 by 2 matrices over a field, for example, has unique maximal ideal {0}, but it has multiple maximal right and left ideals.
_[7] 저널
_[8] 저널
_[9] 저널 On the structure and ideal theory of complete local rings http://www.jstor.org[...]

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