극한 (범주론)

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1. 개요

극한(범주론)은 범주 C에서의 다이어그램을 통해 정의되는 개념으로, 극한과 쌍대극한이 있다. 모양 J인 다이어그램은 범주 C에서 J로 가는 함자이며, J가 작은 범주이거나 유한 집합 범주일 때 주로 사용된다. 극한은 함자 F: J → C의 뿔을 만족시키는 보편 성질을 가진 뿔이며, 쌍대극한은 함자 F: J → C의 쌍대뿔을 만족시키는 보편 성질을 가진 쌍대뿔이다. 극한은 끝 대상, 곱, 멱, 동등자, 핵, 당김, 역극한, 위상 극한 등 다양한 예시를 포함하며, 쌍대극한은 시작 대상, 쌍대곱, 쌍대멱, 쌍대동등자, 여핵, 밂, 귀납적 극한 등을 포함한다. 범주 C가 형태 J의 모든 극한을 가질 때 '형태 J의 극한을 가진다'고 하며, 완비 범주는 모든 작은 극한을 갖는 범주이다. 극한과 쌍대극한은 보편적 구성의 특수한 경우이며, 극한과 쌍대극한의 형성은 함자적이다. 극한은 Hom 함자를 통해 집합의 범주의 극한과 관련될 수 있으며, 함자와 극한의 관계는 함자 G: C → D가 다이어그램 F: J → C에 대해 GF의 극한과 F의 극한 사이의 관계를 설명한다. 함자 G는 F의 극한을 보존하거나 올릴 수 있으며, 극한의 생성과 반영은 함자의 성질을 나타낸다. 이러한 개념들은 위상수학, 군론, 대수기하학, 표현론 등 다양한 수학 분야에서 활용되며, 한국의 수학 교육 및 연구 환경에서도 중요한 역할을 한다.

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쌍대곱은 범주론에서 대상들의 모임에 대한 합의 개념으로, 대상들과 사상들로 구성되며 임의의 다른 대상으로 향하는 사상들을 유일하게 결정하는 보편적인 성질을 만족시키고, 집합의 범주에서는 분리합집합, 군의 범주에서는 자유곱, 아벨 군의 범주에서는 직합으로 나타나는 공리미트의 특수한 경우이다.
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극한 (범주론)
정의
대상	국소적으로 작은 범주
종류	극한 쌍대 극한 (또는 극한) 끝 대상 밑 대상 곱 쌍대곱 당김 밀어내기 동등자 쌍대 동등자
성질
존재 조건	모든 함자 F: J → C에 대해 극한이 존재할 필요는 없음.
완전성	모든 작은 극한을 갖는 범주 C는 완전하다고 불림.
극한의 계산	극한은 대개 반복된 극한으로 계산 가능.
보편 성질	극한은 보편 성질을 만족시킴.
표현 가능성	극한은 표현 가능 함자로 표현 가능.
관련 개념
쌍대성	극한의 쌍대 개념은 쌍대 극한 또는 극한이라고 함.
수학적 구조	극한은 수학적 구조를 정의하는 데 사용될 수 있음.
범주론	극한은 범주론의 중심적인 개념 중 하나임.

2. 정의

범주 $C$ 에서의 극한과 쌍대극한은 $C$ 에서의 다이어그램을 통해 정의된다. 형식적으로, 모양이 $J$ 인 다이어그램은 $C$ 에서 $J$ 로 가는 함자이다.

: $F:J\to C.$

범주 $J$ 는 지수 범주로 간주되며, 다이어그램 $F$ 는 $J$ 를 기반으로 한 $C$ 내의 대상과 사상들의 모음을 지수화하는 것으로 간주된다.

범주 $J$ 가 작은 범주 또는 심지어 유한 집합 범주일 때에 가장 관심이 많다. $J$ 가 그럴 때 다이어그램은 '작다' 또는 '유한'이라고 한다.

범주 ''C''에서의 극한과 여극한은 ''C''상의 도형에 관해 정의된다. 형식적으로, 형태가 ''J''인 ''C''에서의 도형은 ''J''에서 ''C''로의 함자

:''F'' : ''J'' → ''C''

를 말한다. 범주 ''J''는 지표 범주로 간주되며, 도형 ''F''는 ''C''의 대상과 사상을 ''J''의 형태로 배열한 것으로 간주한다. ''J''의 실제 대상이나 사상은 특별한 의미가 없으며, 그 연결 방식만이 의미를 지닌다.

범주 ''J''로 사용되는 것은, 많은 경우 작은 범주이며, 유한일 때도 있다. 도형이 '작다', '유한하다' 등은 범주 ''J''가 그렇다는 것을 의미한다.

2. 1. 극한

함자

F\colon J\to C

의 '''뿔'''(cone^영어)

(N,(\psi_X\colon N\to F(X))_{X\in J})

은 다음 데이터로 구성된다.

$C$ 의 대상 $N\in C$
모든 대상 $X\in J$ 에 대하여, $C$ 의 사상 $\psi_X\colon N\to F(X)$

이 데이터는 다음 가환 조건을 만족시켜야 한다.

모든 대상 $X,Y\in J$ 및 사상 $f\colon X\to Y$ 에 대하여, $\psi_Y=F(f)\circ\psi_X$

함자

F\colon J\to C

의 '''극한'''은 다음 보편 성질을 만족시키는 뿔

(L,(\phi_X)_{X\in J})

이다.

모든 $F$ 의 뿔 $(N,(\psi_X)_{X\in J})$ 에 대하여, 다음을 만족시키는 유일한 사상 $u\colon N\to L$ 이 존재한다.
* 모든 대상 $X\in J$ 에 대하여, $\psi_X=\phi_X\circ u$

이때 사상

u

는 '''매개 사상'''이라고도 불린다. 극한은 보편 성질에 의해 특징지어지기 때문에 '''보편 원뿔'''이라고도 불린다.

만약 극한이 존재한다면, 이는 동형 아래 유일하다. 이는 극한의 보편 성질에 의한다. 만약

J

가 작은 범주라면, 주어진 함자의 뿔과 뿔 사상(cone morphism^영어)은 범주를 이루며, 이 경우 극한은 뿔 범주의 끝 대상이다. 만약 정의에서 사상의 유일성 조건을 존재로 약화하면 '''약한 극한'''(weak limit^영어)의 개념을 얻는다.

극한과 쌍대극한은 다이어그램을 사용하지 않고 객체와 사상의 모음에 대해서도 정의될 수 있다. 하지만 이러한 변형은 새로운 정보를 추가하지 않는데, 객체와 사상의 임의의 모음은 유향 그래프

G

를 정의하고,

J

를

G

에 의해 생성된 자유 범주라고 하면, 그 이미지가

G

를 포함하는 보편 다이어그램

F:J\to C

가 존재하기 때문이다. 이 다이어그램의 극한은 객체와 사상의 원래 모음의 극한과 같다.

2. 2. 쌍대극한

함자

F\colon J\to C

의 '''쌍대뿔'''(cocone^영어)

(N,(\psi_X\colon F(X)\to N)_{X\in J})

은

C

의 대상

N\in C

과 모든 대상

X\in J

에 대한 사상

\psi_X\colon F(X)\to N

으로 구성되며, 모든

X,Y\in J

와 사상

f:X\to Y

에 대해

\psi_X=\psi_Y\circ F(f)

를 만족한다.

함자

F\colon J\to C

의 '''쌍대극한'''(colimit)은 보편 성질을 만족하는 쌍대뿔

(L,(\phi_X)_{X\in J})

이다. 즉, 임의의 쌍대뿔

(N,(\psi_X)_{X\in J})

에 대해, 모든 대상

X\in J

에 대하여

\psi_X=u\circ\phi_X

를 만족시키는 유일한 사상

u\colon L\to N

이 존재한다.

쌍대극한은 존재한다면 동형 아래 유일하다. 쌍대극한은 쌍대뿔과 쌍대뿔 사상(cocone morphism^영어)의 범주의 시작 대상이다. 만약 사상의 유일한 존재를 존재로 대체하면 '''약한 쌍대극한'''(weak colimit^영어)의 정의를 얻는다.

극한과 쌍대되는 개념으로 직접 극한(direct limit)이 있다.

3. 예시

범주론에서, 극한의 정의는 여러 실용적인 예시들을 포함한다.

'''끝 대상''': 공집합 범주에서의 극한은 끝 대상이다.
'''곱''': 이산 범주에서의 극한은 곱이다.
'''멱''': 대상이 하나인 상수 함자의 극한은 멱이다.
'''동등자''': 두 개의 대상과 두 개의 평행한 사상으로 이루어진 범주에서의 극한은 동등자이다.
'''핵''': 한 사상이 영사상인 동등자의 특수한 경우는 핵이다.
'''당김''': 공통 종점을 갖는 두 사상의 극한은 당김이다. 가환 사각형으로 시각화할 수 있다.

'''역극한''': 유향 집합을 정의역으로 하는 함자의 극한은 역극한이다.
'''위상 극한''': 함수의 극한은 필터의 극한의 특수한 경우이며, 이는 범주론적 극한과 관련이 있다.

시작 대상은 빈 범주에서의 쌍대극한이다. 쌍대곱은 이산 범주에서의 쌍대극한이다. 쌍대멱은 대상이 하나인 상수 함자의 쌍대극한이다. 쌍대동등자는 두 개의 대상과 두 개의 평행한 사상으로 이루어진 범주에서의 쌍대극한이다. 여핵은 한 사상이 영사상인 쌍대동등자의 특수한 경우이다. 밂은 공통 정의역을 갖는 두 사상의 쌍대극한이다. 귀납적 극한은 유향 집합을 공역으로 하는 함자의 쌍대극한이다.

$J$	$J$ 를 지표 범주로 하는 극한	$J^{\operatorname{op}}$ 를 지표 범주로 하는 쌍대극한
공(空)범주	끝 대상	시작 대상
이산 범주	곱	쌍대곱
상향 원순서 집합	사영 극한/역극한	귀납적 극한/직접적 극한
$\cdot\rightrightarrows\cdot$	동등자	쌍대동등자
$\cdot\rightarrow\cdot\leftarrow\cdot$	당김	밂

3. 1. 극한의 예시

범주론에서, 극한의 정의는 여러 실용적인 예시들을 포함한다.

'''끝 대상''': 공집합 범주에서의 극한은 끝 대상이다.
'''곱''': 이산 범주에서의 극한은 곱이다.
'''멱''': 대상이 하나인 상수 함자의 극한은 멱이다.
'''동등자''': 두 개의 대상과 두 개의 평행한 사상으로 이루어진 범주에서의 극한은 동등자이다.
'''핵''': 한 사상이 영사상인 동등자의 특수한 경우는 핵이다.
'''당김''': 공통 종점을 갖는 두 사상의 극한은 당김이다. 가환 사각형으로 시각화할 수 있다.

'''역극한''': 유향 집합을 정의역으로 하는 함자의 극한은 역극한이다.
'''위상 극한''': 함수의 극한은 필터의 극한의 특수한 경우이며, 이는 범주론적 극한과 관련이 있다.

$J$	$J$ 를 지표 범주로 하는 극한	$J^{\operatorname{op}}$ 를 지표 범주로 하는 쌍대극한
공(空)범주	끝 대상	시작 대상
이산 범주	곱	쌍대곱
상향 원순서 집합	사영 극한/역극한	귀납적 극한/직접적 극한
$\cdot\rightrightarrows\cdot$	동등자	쌍대동등자
$\cdot\rightarrow\cdot\leftarrow\cdot$	당김	밂

3. 2. 쌍대극한의 예시

시작 대상은 빈 범주에서의 쌍대극한이다. 쌍대곱은 이산 범주에서의 쌍대극한이다. 쌍대멱은 대상이 하나인 상수 함자의 쌍대극한이다. 쌍대동등자는 두 개의 대상과 두 개의 평행한 사상으로 이루어진 범주에서의 쌍대극한이다. 여핵은 한 사상이 영사상인 쌍대동등자의 특수한 경우이다. 밂은 공통 정의역을 갖는 두 사상의 쌍대극한이다. 귀납적 극한은 유향 집합을 공역으로 하는 함자의 쌍대극한이다.

4. 성질

4. 1. 극한의 존재성

주어진 다이어그램 ''F'' : ''J'' → ''C''는 ''C''에서 극한(또는 공극한)을 가질 수도 있고 그렇지 않을 수도 있다. 실제로, 보편적 추상뿔은 고사하고 ''F''에 대한 뿔조차 없을 수 있다.

범주 ''C''가 모든 형태 ''J''의 극한을 가질 때, '''형태 ''J''의 극한을 가진다'''고 한다. 구체적으로, 범주 ''C''는

모든 ''작은'' 이산 범주 ''J''에 대해 형태 ''J''의 극한을 가지면 '''곱을 가진다'''고 한다(큰 곱을 가질 필요는 없다).
형태 $\bullet\rightrightarrows\bullet$ 의 극한을 가지면 '''동등화자를 가진다'''고 한다(즉, 모든 평행 사상 쌍은 동등화자를 갖는다).
형태 $\bullet\rightarrow\bullet\leftarrow\bullet$ 의 극한을 가지면 '''당겨올림을 가진다'''고 한다(즉, 공통 종점을 가진 모든 사상 쌍은 당겨올림을 갖는다).

'''완비 범주'''는 모든 작은 극한(즉, 모든 작은 범주 ''J''에 대한 형태 ''J''의 모든 극한)을 갖는 범주이다.

쌍대 정의도 만들 수 있다. 범주 ''C''가 모든 형태 ''J''의 다이어그램이 ''C''에서 공극한을 가지면 '''형태 ''J''의 공극한을 가진다'''고 한다. '''공완비 범주'''는 모든 작은 공극한을 갖는 범주이다.

'''극한의 존재 정리'''는 범주 ''C''가 동등화자와 Ob(''J'') 및 Hom(''J'') 클래스에 의해 인덱싱된 모든 곱을 가지면 ''C''는 형태 ''J''의 모든 극한을 갖는다고 명시한다. 이 경우, 다이어그램 ''F'' : ''J'' → ''C''의 극한은 두 사상의 동등화자로 구성할 수 있다.

:

s,t : \prod_{i\in\operatorname{Ob}(J)}F(i) \rightrightarrows \prod_{f\in\operatorname{Hom}(J)} F(\operatorname{cod}(f))

(성분 형태로) 다음으로 주어집니다.

:

\begin{align}s &= \bigl( F(f)\circ\pi_{\operatorname{dom}(f)}\bigr)_{f\in\operatorname{Hom}(J)} \\t &= \bigl( \pi_{\operatorname{cod}(f)}\bigr)_{f\in\operatorname{Hom}(J)}.\end{align}

공동등화자와 공곱에 대한 쌍대 '''공극한 존재 정리'''가 있다. 이 두 정리 모두 형태 ''J''의 모든 (공)극한의 존재에 대한 충분하고 필요한 조건을 제공한다.

4. 2. 보편 성질

극한과 쌍대극한은 보편적 구성의 중요한 특수한 경우이다. 함자 범주 ''C''^''J''는 ''C''에서 모양이 ''J''인 모든 다이어그램의 범주로 생각할 수 있다. 대각 함자 Δ : ''C'' → ''C''^''J''는 ''C''의 각 대상 ''N''을 상수 함자 Δ(''N'') : ''J'' → ''C''로 매핑하는 함자이다. 즉, 모든 ''J''의 대상 ''X''에 대해 Δ(''N'')(''X'') = ''N''이고, 모든 ''J''의 사상 ''f''에 대해 Δ(''N'')(''f'') = id_''N''이다.

다이어그램 ''F'': ''J'' → ''C'' (''C''^''J''의 대상으로 생각한다)가 주어졌을 때, 자연 변환 ''ψ'' : Δ(''N'') → ''F'' (이는 범주 ''C''^''J''에서의 사상이다)는 ''N''에서 ''F''로 가는 원뿔과 동일하다. 모든 ''X''에 대해 Δ(''N'')(''X'') = ''N''이므로 ''ψ''의 성분은 사상 ''ψ''_''X'' : ''N'' → ''F''(''X'')이고, 이들은 모두 동일한 정의역 ''N''을 공유한다. 원뿔의 다이어그램이 가환한다는 요구 사항은 이 ''ψ''가 자연 변환이기 때문에 간단히 참이다. 쌍대적으로, 자연 변환 ''ψ'' : ''F'' → Δ(''N'')는 ''F''에서 ''N''으로 가는 쌍대원뿔과 동일하다.

따라서 극한과 쌍대극한의 정의는 다음과 같은 형태로 다시 나타낼 수 있다.

''F''의 극한은 Δ에서 ''F''로 가는 보편 사상이다.
''F''의 쌍대극한은 ''F''에서 Δ로 가는 보편 사상이다.

4. 3. 수반 함자(Adjunction)

모든 보편적 구성과 마찬가지로 극한과 쌍대극한의 형성은 함자적이다. 다시 말해, 모양 ''J''의 모든 다이어그램이 ''C''에서 극한을 가진다면(작은 ''J''에 대해) 각 다이어그램에 극한을 할당하고 각 자연 변환 η : ''F'' → ''G''에 해당하는 보편적 원뿔과 교환하는 고유한 사상 lim η : lim ''F'' → lim ''G''를 할당하는 '''극한 함자'''

:

\lim : \mathcal{C}^\mathcal{J} \to \mathcal{C}

가 존재한다. 이 함자는 대각 함자 Δ : ''C'' → ''C''^''J''의 오른쪽 수반 함자이다.

이 수반은 ''N''에서 lim ''F''로 가는 모든 사상의 집합과 ''N''에서 ''F''로 가는 모든 원뿔의 집합 사이의 전단사를 제공한다.

:

\operatorname{Hom}(N,\lim F) \cong \operatorname{Cone}(N,F)

이는 변수 ''N''과 ''F''에서 자연스럽다. 이 수반의 코단위는 lim ''F''에서 ''F''로 가는 보편적 원뿔이다. 만약 지수 범주 ''J''가 연결 범주(및 비어있지 않음)라면, 수반의 단위는 동형사상이 되어 lim은 Δ의 왼쪽 역이 된다. 이는 ''J''가 연결되지 않은 경우 실패한다. 예를 들어, ''J''가 이산 범주인 경우, 단위의 구성 요소는 대각 사상 δ : ''N'' → ''N''^''J''이다.

쌍대적으로, 모양 ''J''의 모든 다이어그램이 ''C''에서 쌍대극한을 가진다면(작은 ''J''에 대해) 각 다이어그램에 쌍대극한을 할당하는 '''쌍대극한 함자'''

:

\operatorname{colim} : \mathcal{C}^\mathcal{J} \to \mathcal{C}

가 존재한다. 이 함자는 대각 함자 Δ : ''C'' → ''C''^''J''의 왼쪽 수반 함자이며, 다음과 같은 자연 동형사상이 성립한다.

:

\operatorname{Hom}(\operatorname{colim}F,N) \cong \operatorname{Cocone}(F,N).

이 수반의 단위는 ''F''에서 colim ''F''로 가는 보편적 쌍대원뿔이다. 만약 ''J''가 연결되어 있다면 (및 비어있지 않음), 코단위는 동형사상이 되어 colim은 Δ의 왼쪽 역이 된다.

극한 함자와 쌍대극한 함자 모두 공변 함자이다.

4. 4. 함자의 표현으로서의 극한

범주 ''C''의 극한과 쌍대극한은 Hom 함자를 통해 집합의 범주 '''Set'''의 극한과 관련시킬 수 있다. 이는 공변 Hom 함자 Hom(''N'', –) : ''C'' → '''Set'''가 ''C''에서 모든 극한을 보존한다는 사실에서 부분적으로 비롯된다. 쌍대성에 의해 반변 Hom 함자는 쌍대극한을 극한으로 변환해야 한다.

도식 ''F'' : ''J'' → ''C''가 ''C''에서 lim ''F''로 표시되는 극한을 가지면, 다음과 같은 자연 동형 사상이 존재한다.

:

\operatorname{Hom}(N,\lim F)\cong \lim\operatorname{Hom}(N,F-)

이는 변수 ''N''에서 자연스럽다. 여기서 함자 Hom(''N'', ''F''–)는 Hom 함자 Hom(''N'', –)와 ''F''의 합성이다. 이 동형 사상은 극한뿔을 존중하는 유일한 동형 사상이다.

위의 관계를 사용하여 ''C''에서 ''F''의 극한을 정의할 수 있다. 첫 번째 단계는 함자 Hom(''N'', ''F''–)의 극한을 ''N''에서 ''F''로의 모든 뿔의 집합으로 식별할 수 있다는 것을 관찰하는 것이다.

:

\lim\operatorname{Hom}(N,F-) = \operatorname{Cone}(N,F).

극한뿔은 사상의 집합 π_''X'' : Cone(''N'', ''F'') → Hom(''N'', ''FX'')로 주어진다. 여기서 _''X''(''ψ'') = ''ψ''_''X''이다. 만약 ''C''의 대상 ''L''과 자연 동형 사상 ''Φ'' : Hom(''L'', –) → Cone(–, ''F'')가 주어진다면, 대상 ''L''은 ''Φ''_''L''(id_''L'')로 주어진 극한뿔을 가진 ''F''의 극한이 된다. 이것은 ''F''의 극한이 함자 Cone(–, ''F'') : ''C'' → '''Set'''의 표현이라고 말하는 것과 같다.

쌍대적으로 도식 ''F'' : ''J'' → ''C''가 ''C''에서 colim ''F''로 표시되는 쌍대극한을 가지면, 다음과 같은 고유한 자연 동형 사상이 존재한다.

:

\operatorname{Hom}(\operatorname{colim} F, N)\cong\lim\operatorname{Hom}(F-,N)

이는 변수 ''N''에서 자연스럽고 쌍대극한뿔을 존중한다. Hom(''F''–, ''N'')의 극한을 집합 Cocone(''F'', ''N'')과 동일시하면, 이 관계를 사용하여 도식 ''F''의 쌍대극한을 함자 Cocone(''F'', –)의 표현으로 정의할 수 있다.

4. 5. 극한과 쌍대극한의 교환

집합 범주에서 필터링된 쌍대극한은 유한 극한과 교환 가능하다.^[1] 유한 범주 ''I''와 작은 필터링된 범주 ''J''가 있다고 하자. 임의의 이중 함자

:

F : I\times J \to \mathbf{Set},

에 대해, 다음의 자연 동형이 존재한다.^[1]

:

\operatorname{colim}\limits_J \lim_I F(i, j) \rightarrow \lim_I\operatorname{colim}\limits_J F(i, j).

작은 쌍대극한은 작은 극한과 교환 가능하다.^[1]

5. 함자와 극한

만약 ''F'' : ''J'' → ''C''가 ''C''에서의 다이어그램이고 ''G'' : ''C'' → ''D''가 함자라면 (다이어그램은 단지 함자임을 상기하라) 합성을 통해 ''GF'' : ''J'' → ''D''라는 다이어그램을 얻을 수 있다. 자연스러운 질문은 다음과 같다.

“''GF''의 극한은 ''F''의 극한과 어떤 관계가 있는가?”

== 극한의 보존 ==

함자 ''G'' : ''C'' → ''D''는 Cone(''F'')에서 Cone(''GF'')로의 사상을 유도한다. 만약 ''Ψ''가 ''N''에서 ''F''로의 cone이면, ''GΨ''는 ''GN''에서 ''GF''로의 cone이다. 함자 ''G''는 (''L'', ''φ'')가 ''F''의 극한일 때, (''GL'', ''Gφ'')가 ''GF''의 극한이면 '''F''의 극한을 보존한다'''고 한다. (만약 ''F''의 극한이 존재하지 않는다면, ''G''는 공허하게 ''F''의 극한을 보존한다.)

함자 ''G''는 모든 도형 ''F'' : ''J'' → ''C''의 극한을 보존할 때 '''모든 모양 ''J''의 극한을 보존한다'''고 한다. 예를 들어, ''G''는 곱, 동등자, 당김 등을 보존한다고 말할 수 있다. '''연속 함자'''는 모든 ''작은'' 극한을 보존하는 함자이다.

쌍대극한에 대해서도 유사한 정의를 내릴 수 있다. 예를 들어, 함자 ''G''는 (''L'', ''φ'')가 ''F''의 쌍대극한일 때, ''G''(''L'', ''φ'')가 ''GF''의 쌍대극한이면 ''F''의 쌍대극한을 보존한다. '''쌍대연속 함자'''는 모든 ''작은'' 쌍대극한을 보존하는 함자이다.

만약 ''C''가 완비 범주이면, 극한에 대한 위의 존재 정리에 의해, 함자 ''G'' : ''C'' → ''D''는 (작은) 곱과 동등자를 보존하는 경우에만 연속이다. 쌍대적으로, ''G''는 (작은) 쌍대곱과 쌍대동등자를 보존하는 경우에만 쌍대연속이다.

수반 함자의 중요한 성질은 모든 오른쪽 수반 함자는 연속이고 모든 왼쪽 수반 함자는 쌍대연속이라는 것이다. 수반 함자는 풍부하게 존재하므로, 이는 연속 및 쌍대연속 함자의 수많은 예시를 제공한다.

주어진 도형 ''F'' : ''J'' → ''C'' 및 함자 ''G'' : ''C'' → ''D''에 대해, ''F''와 ''GF'' 모두 지정된 극한을 가지면, 다음과 같은 고유한 정규 사상이 존재한다.

:τ_''F'' : ''G'' lim ''F'' → lim ''GF''

이는 해당 극한 cone을 따른다. 함자 ''G''는 이 사상이 동형사상인 경우에만 ''F''의 극한을 보존한다. 만약 범주 ''C''와 ''D''가 모양 ''J''의 모든 극한을 가지면, lim은 함자이며, 사상 τ_''F''는 자연 변환의 성분을 형성한다.

:τ : ''G'' lim → lim ''G''^''J''.

함자 ''G''는 τ가 자연 동형사상인 경우에만 모양 ''J''의 모든 극한을 보존한다. 이러한 의미에서, 함자 ''G''는 (정규 자연 동형사상까지) "극한과 교환한다"고 말할 수 있다.

극한과 쌍대극한의 보존은 오직 ''공변'' 함자에만 적용되는 개념이다. 반변 함자의 경우, 이에 상응하는 개념은 쌍대극한을 극한으로, 또는 극한을 쌍대극한으로 변환하는 함자이다.

== 극한의 올림 ==

함자 ''G'' : ''C'' → ''D''는 도해 ''F'' : ''J'' → ''C''에 대해, (''L'', ''φ'')가 ''GF''의 극한이라면, ''F''의 극한 (''L''′, ''φ''′)가 존재하여 ''G''(''L''′, ''φ''′) = (''L'', ''φ'')를 만족할 경우, ''극한을 올린다''라고 한다. 함자 ''G''가 ''모양 ''J''의 극한을 올린다''는 것은 모양 ''J''의 모든 도해에 대해 극한을 올린다는 것을 의미한다. 따라서 곱, 등화자, 당김 등의 올림에 대해 이야기할 수 있다. 마지막으로, ''G''가 모든 극한을 올리면 ''극한을 올린다''라고 한다. 쌍대적인 여극한 올림에 대한 정의가 가능하다.

함자 ''G''는 도해 ''F''에 대해, (''L''′, ''φ''′)가 ''F''의 극한이고 ''G''(''L''′, ''φ''′) = (''L'', ''φ'')를 만족하는 유일한 역상 원뿔 (''L''′, ''φ''′)이 존재할 경우, ''극한을 유일하게 올린다''라고 한다. ''G''가 극한을 올리고 무기억적일 경우에만 ''G''가 극한을 유일하게 올린다는 것을 보일 수 있다.

극한 올림은 극한 보존과 관련이 있다. 만약 ''G''가 도해 ''F''에 대해 극한을 올리고 ''GF''가 극한을 가지면, ''F'' 또한 극한을 가지며 ''G''는 ''F''의 극한을 보존한다. 따라서 다음이 성립한다.

만약 ''G''가 모든 모양 ''J''의 극한을 올리고 ''D''가 모양 ''J''의 모든 극한을 가지면, ''C'' 또한 모양 ''J''의 모든 극한을 가지며 ''G''는 이러한 극한을 보존한다.
만약 ''G''가 모든 작은 극한을 올리고 ''D''가 완비 범주라면, ''C'' 또한 완비 범주이며, ''G''는 연속적이다.

공극한에 대한 쌍대 명제 또한 유효하다.

== 극한의 생성과 반영 ==

함자 ''G'' : ''C'' → ''D''와 다이어그램 ''F'' : ''J'' → ''C''가 주어졌을 때,

''GF''의 극한이 (''L'', ''φ'')일 때마다, ''G''(''L''′, ''φ''′) = (''L'', ''φ'')를 만족하는 유일한 콘(cone) (''L''′, ''φ''′)가 존재하고, 이 콘이 ''F''의 극한이면, ''G''는 ''F''에 대한 '''극한을 생성'''한다고 한다.
''G'' 아래에서 이미지(image)가 ''GF''의 극한인 ''F''로의 각 콘이 이미 ''F''의 극한일 경우, ''G''는 ''F''에 대한 '''극한을 반영'''한다고 한다.

쌍대적으로, 코극한의 생성과 반영도 정의할 수 있다.

다음 명제들은 동치이다.

함자 ''G''는 극한을 생성한다.
함자 ''G''는 극한을 유일하게 올리고 극한을 반사한다.

극한을 유일하게 올리지만 생성하거나 반사하지 않는 함자의 예가 있다.

5. 1. 극한의 보존(Preservation of limits)

함자 ''G'' : ''C'' → ''D''는 Cone(''F'')에서 Cone(''GF'')로의 사상을 유도한다. 만약 ''Ψ''가 ''N''에서 ''F''로의 cone이면, ''GΨ''는 ''GN''에서 ''GF''로의 cone이다. 함자 ''G''는 (''L'', ''φ'')가 ''F''의 극한일 때, (''GL'', ''Gφ'')가 ''GF''의 극한이면 '''F''의 극한을 보존한다'''고 한다. (만약 ''F''의 극한이 존재하지 않는다면, ''G''는 공허하게 ''F''의 극한을 보존한다.)

함자 ''G''는 모든 도형 ''F'' : ''J'' → ''C''의 극한을 보존할 때 '''모든 모양 ''J''의 극한을 보존한다'''고 한다. 예를 들어, ''G''는 곱, 동등자, 당김 등을 보존한다고 말할 수 있다. '''연속 함자'''는 모든 ''작은'' 극한을 보존하는 함자이다.

쌍대극한에 대해서도 유사한 정의를 내릴 수 있다. 예를 들어, 함자 ''G''는 (''L'', ''φ'')가 ''F''의 쌍대극한일 때, ''G''(''L'', ''φ'')가 ''GF''의 쌍대극한이면 ''F''의 쌍대극한을 보존한다. '''쌍대연속 함자'''는 모든 ''작은'' 쌍대극한을 보존하는 함자이다.

만약 ''C''가 완비 범주이면, 극한에 대한 위의 존재 정리에 의해, 함자 ''G'' : ''C'' → ''D''는 (작은) 곱과 동등자를 보존하는 경우에만 연속이다. 쌍대적으로, ''G''는 (작은) 쌍대곱과 쌍대동등자를 보존하는 경우에만 쌍대연속이다.

수반 함자의 중요한 성질은 모든 오른쪽 수반 함자는 연속이고 모든 왼쪽 수반 함자는 쌍대연속이라는 것이다. 수반 함자는 풍부하게 존재하므로, 이는 연속 및 쌍대연속 함자의 수많은 예시를 제공한다.

주어진 도형 ''F'' : ''J'' → ''C'' 및 함자 ''G'' : ''C'' → ''D''에 대해, ''F''와 ''GF'' 모두 지정된 극한을 가지면, 다음과 같은 고유한 정규 사상이 존재한다.

:τ_''F'' : ''G'' lim ''F'' → lim ''GF''

이는 해당 극한 cone을 따른다. 함자 ''G''는 이 사상이 동형사상인 경우에만 ''F''의 극한을 보존한다. 만약 범주 ''C''와 ''D''가 모양 ''J''의 모든 극한을 가지면, lim은 함자이며, 사상 τ_''F''는 자연 변환의 성분을 형성한다.

:τ : ''G'' lim → lim ''G''^''J''.

함자 ''G''는 τ가 자연 동형사상인 경우에만 모양 ''J''의 모든 극한을 보존한다. 이러한 의미에서, 함자 ''G''는 (정규 자연 동형사상까지) "극한과 교환한다"고 말할 수 있다.

극한과 쌍대극한의 보존은 오직 ''공변'' 함자에만 적용되는 개념이다. 반변 함자의 경우, 이에 상응하는 개념은 쌍대극한을 극한으로, 또는 극한을 쌍대극한으로 변환하는 함자이다.

5. 2. 극한의 올림(Lifting of limits)

함자 ''G'' : ''C'' → ''D''는 도해 ''F'' : ''J'' → ''C''에 대해, (''L'', ''φ'')가 ''GF''의 극한이라면, ''F''의 극한 (''L''′, ''φ''′)가 존재하여 ''G''(''L''′, ''φ''′) = (''L'', ''φ'')를 만족할 경우, ''극한을 올린다''라고 한다. 함자 ''G''가 ''모양 ''J''의 극한을 올린다''는 것은 모양 ''J''의 모든 도해에 대해 극한을 올린다는 것을 의미한다. 따라서 곱, 등화자, 당김 등의 올림에 대해 이야기할 수 있다. 마지막으로, ''G''가 모든 극한을 올리면 ''극한을 올린다''라고 한다. 쌍대적인 여극한 올림에 대한 정의가 가능하다.

함자 ''G''는 도해 ''F''에 대해, (''L''′, ''φ''′)가 ''F''의 극한이고 ''G''(''L''′, ''φ''′) = (''L'', ''φ'')를 만족하는 유일한 역상 원뿔 (''L''′, ''φ''′)이 존재할 경우, ''극한을 유일하게 올린다''라고 한다. ''G''가 극한을 올리고 무기억적일 경우에만 ''G''가 극한을 유일하게 올린다는 것을 보일 수 있다.

극한 올림은 극한 보존과 관련이 있다. 만약 ''G''가 도해 ''F''에 대해 극한을 올리고 ''GF''가 극한을 가지면, ''F'' 또한 극한을 가지며 ''G''는 ''F''의 극한을 보존한다. 따라서 다음이 성립한다.

만약 ''G''가 모든 모양 ''J''의 극한을 올리고 ''D''가 모양 ''J''의 모든 극한을 가지면, ''C'' 또한 모양 ''J''의 모든 극한을 가지며 ''G''는 이러한 극한을 보존한다.
만약 ''G''가 모든 작은 극한을 올리고 ''D''가 완비 범주라면, ''C'' 또한 완비 범주이며, ''G''는 연속적이다.

공극한에 대한 쌍대 명제 또한 유효하다.

5. 3. 극한의 생성(Creation of limits)과 반영(Reflection of limits)

함자 ''G'' : ''C'' → ''D''와 다이어그램 ''F'' : ''J'' → ''C''가 주어졌을 때,

''GF''의 극한이 (''L'', ''φ'')일 때마다, ''G''(''L''′, ''φ''′) = (''L'', ''φ'')를 만족하는 유일한 콘(cone) (''L''′, ''φ''′)가 존재하고, 이 콘이 ''F''의 극한이면, ''G''는 ''F''에 대한 '''극한을 생성'''한다고 한다.
''G'' 아래에서 이미지(image)가 ''GF''의 극한인 ''F''로의 각 콘이 이미 ''F''의 극한일 경우, ''G''는 ''F''에 대한 '''극한을 반영'''한다고 한다.

쌍대적으로, 코극한의 생성과 반영도 정의할 수 있다.

다음 명제들은 동치이다.

함자 ''G''는 극한을 생성한다.
함자 ''G''는 극한을 유일하게 올리고 극한을 반사한다.

극한을 유일하게 올리지만 생성하거나 반사하지 않는 함자의 예가 있다.

6. 한국 수학 교육 및 연구 환경과의 관련성

6. 1. 위상수학

위상 공간의 극한, 필터의 극한 등은 위상수학의 중요한 개념이며, 극한과 쌍대극한의 예시로 활용될 수 있다. 한국의 위상수학 교육 과정에서는 극한의 개념을 일반화하여 다양한 위상 공간에서의 수렴성을 다루는 데 활용된다.

망각 함자 '''Top''' → '''Set'''는 유일하게 극한과 쌍대극한을 올리지만, 어느 쪽도 생성하지 않는다.

6. 2. 군론

망각 함자(forgetful functor) ''U'' : '''Grp''' → '''Set'''는 모든 작은 극한과 필터 쌍대극한을 생성한다(그리고 보존한다). 하지만, ''U''는 쌍대곱을 보존하지 않는다. 이는 대수적 망각 함자에서 전형적으로 일어나는 상황이다. 자유 함자(free functor) ''F'' : '''Set''' → '''Grp''' (이는 집합 ''S''에 ''S'' 위의 자유군을 할당한다)는 망각 함자 ''U''의 왼쪽 수반이며, 따라서 연속이다. 이 사실은 두 자유군 ''G''와 ''H''의 자유곱이 ''G''와 ''H''의 생성 집합의 비교집합으로 생성되는 자유군임을 설명할 수 있다. 포함 함자 '''Ab''' → '''Grp'''는 극한을 생성하지만 쌍대곱은 보존하지 않는다(두 가환군의 쌍대곱은 직합이다).

6. 3. 대수기하학

스킴(scheme)의 섬유곱(fiber product)은 대수기하학의 중요한 개념이며, 극한의 예시로 활용될 수 있다. 한국의 대수기하학 연구에서는 극한의 개념을 이용하여 대수다양체의 기하학적 성질을 연구하는 데 활용된다. 모든 공변 표현 가능 함자는 극한을 보존한다. 망각 함자는 모든 작은 극한과 필터 쌍대극한을 생성한다. 자유 함자는 망각 함자의 왼쪽 수반이며, 따라서 연속이다. 포함 함자 '''Ab''' → '''Grp'''는 극한을 생성하지만 쌍대곱은 보존하지 않는다.

6. 4. 표현론

군이나 대수의 표현론에서 극한과 쌍대극한은 중요한 역할을 한다. 특히, 유한 차원 표현의 범주에서 극한과 쌍대극한은 표현의 분해, 텐서곱 등을 이해하는 데 필수적이다. 모든 공변 표현 가능 함자 ''C'' → '''Set'''는 극한을 보존한다. 망각 함자 ''U'' : '''Grp''' → '''Set'''는 모든 작은 극한과 필터 쌍대극한을 생성하고 보존한다. 자유 함자 ''F'' : '''Set''' → '''Grp'''는 망각 함자 ''U''의 왼쪽 수반이므로 연속이다. 포함 함자 '''Ab''' → '''Grp'''는 극한을 생성한다. 망각 함자 '''Top''' → '''Set'''는 유일하게 극한과 쌍대극한을 올린다. '''Met'''_''c''를 연속 함수를 사상으로 하는 거리 공간의 범주로 할 때, 망각 함자 '''Met'''_''c'' → '''Set'''는 유한 극한을 올린다.

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