단면

3. 수학적 예시

다면체의 단면은 다각형이다.

원뿔 곡선 (원, 타원, 포물선, 쌍곡선)은 원뿔의 평면 절단면이다.^[5]

타원체의 중심을 통과하는 모든 단면은 타원 영역을 형성하는 반면, 해당 평면 절단면은 그 표면의 타원이다. 절단면이 대칭 축에 수직일 때 각각 원반과 원으로 축소된다. 더 일반적으로 이차 곡면의 평면 절단면은 원뿔 곡선이다.^[5]

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두 밑면 사이에 연장된 고체 직원기둥의 단면은 단면이 원기둥의 밑면에 평행하면 원반이고, 밑면에 평행하거나 수직하지 않으면 타원 영역이다. 절단면이 밑면에 수직이면, 원통에 단순히 접선인 경우를 제외하고는 직사각형으로 구성되며, 이 경우에는 단일 선분이다.^[6]

원통이라는 용어는 고체 원통의 측면 (원통 (기하학) 참조)을 의미할 수도 있다. 이 의미로 원통을 사용하는 경우, 유한 길이의 직원기둥의 평면 절단면은 절단면이 원통의 대칭 축에 수직인 경우 원이고, 그 축에 평행하거나 수직하지 않으면 타원이다. 절단면이 축에 평행하면 평면 절단면은 절단면이 원통에 접하는 경우를 제외하고는 한 쌍의 평행 선분으로 구성되며, 이 경우 평면 절단면은 단일 선분이다.

4. 여러 분야에서의 활용

두 개의 임의 변수의 확률 밀도 함수의 단면은 절단면이 변수 중 하나의 고정된 값에 있을 때 다른 변수의 조건부 밀도 함수가 된다(절단면을 정의하는 고정된 값을 조건으로). 반대로 밀도의 고정된 값에 대해 단면을 취하면 등밀도 등고선이 된다. 정규 분포의 경우 이러한 등고선은 타원이다.

경제학에서 생산 함수는 일반적으로 노동과 물적 자본인 다양한 투입량에 의해 생산될 수 있는 산출량을 지정한다. 기업 또는 사회의 생산 함수는 3차원 공간에 플롯될 수 있다. 평행한 단면을 취하면 결과는 평면 단면의 높이로 주어진 산출량 수준을 초래하는 다양한 노동 및 자본 사용 조합을 보여주는 등량곡선이 된다. 또는 생산 함수의 단면을 고정된 수준에서, 즉 평면에 평행하게 취하면, 다른 투입량의 고정된 값과 결합된 하나의 투입량의 다양한 사용 값 각각에서 얼마나 많은 산출량을 생산할 수 있는지 보여주는 2차원 그래프가 된다.

또한 경제학에서 기수적 또는 서수적 효용 함수는 두 상품의 양을 소비함으로써 얻는 소비자의 만족도를 제공한다. 주어진 높이(효용 수준)에서 효용 함수의 단면을 취하면 2차원 결과는 두 상품의 소비량의 다양한 대체 조합을 보여주는 무차별 곡선이 되며, 이 모두는 지정된 수준의 효용을 제공한다.

지질학에서, 행성의 내부 구조는 지구 단면도와 같이 행성 중심을 통과하는 행성의 단면도를 사용하여 설명된다.

해부학에서 단면은 장기의 내부 구조를 설명하는 데 자주 사용된다.

나무 줄기의 단면은 나무의 나이와 환경의 시간적 특성을 파악하는 데 사용될 수 있는 나이테를 보여준다.

4. 1. 과학

4. 2. 공학

• 단면 일차 모멘트, 도심
• 단면 이차 모멘트, 단면 회전 반경, 단면 이차 중심, 단면 계수
• 단면 이차 극 모멘트, 극 단면 계수

4. 3. 경제학

4. 4. 기타

5. 면적 및 부피

카발리에리의 원리에 따르면, 면적이 같은 상응하는 단면을 가진 입체는 부피가 같다.

특정 각도에서 관찰했을 때 물체의 단면적($A\text{'}$)은 해당 각도에서 물체의 정사영의 총 면적이다. 예를 들어, 높이 ''h''와 반지름 ''r''인 원통은 중심축을 따라 보면 $A\text{'}\; =\; \backslash pi\; r^2$이고, 직교 방향에서 보면 $A\text{'}\; =\; 2\; rh$이다. 반지름 ''r''인 구는 어떤 각도에서 보아도 $A\text{'}\; =\; \backslash pi\; r^2$이다. 더 일반적으로, $A\text{'}$는 다음 면적분을 평가하여 계산할 수 있다.

:$A\text{'}\; =\; \backslash iint\; \backslash limits\_\backslash mathrm\{top\}\; d\backslash mathbf\{A\}\; \backslash cdot\; \backslash mathbf\{\backslash hat\{r\}\},$

여기서 $\backslash mathbf\{\backslash hat\{r\}\}$는 시청자를 향하는 시선 방향을 따라 가리키는 단위 벡터이고, $d\backslash mathbf\{A\}$는 바깥쪽을 가리키는 법선을 가진 면적 요소이며, 적분은 시청자의 관점에서 "보이는" 표면의 가장 윗부분인 표면의 맨 위에 대해서만 수행된다. 볼록 집합의 경우, 시청자의 관점에서 물체를 통과하는 각 광선은 단 두 개의 표면을 교차한다. 이러한 물체의 경우, 피적분 함수의 절댓값을 취하고 (그래서 물체의 "상단"과 "하단"이 발산 정리가 상수 벡터장 $\backslash mathbf\{\backslash hat\{r\}\}$에 적용된 것처럼 서로 빼지 않도록) 2로 나누어 전체 표면($A$)에 대해 적분을 수행할 수 있다.

:$A\text{'}\; =\; \backslash frac\{1\}\{2\}\; \backslash iint\; \backslash limits\_A\; |\; d\backslash mathbf\{A\}\; \backslash cdot\; \backslash mathbf\{\backslash hat\{r\}\}|$

참조

_[1] 서적
_[2] 문서
_[3] 서적
_[4] 서적
_[5] 서적
_[6] 문서
_[7] 서적
_[8] 웹사이트 河川用語解説集 https://www.kkr.mlit[...] 円山川流域委員会庶務
_[9] 웹사이트 "「河川について」" https://www.bridge-e[...]