벡터 함수

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1. 개요
2. 벡터 함수의 정의와 표현
3. 벡터 함수의 미분
4. 벡터 함수의 곱의 미분
5. 야코비 행렬
6. 무한 차원 벡터 함수
7. 벡터장
참조

1. 개요

벡터 함수는 실수 변수를 입력으로 받아 벡터를 출력하는 함수로, 공간 상의 곡선이나 곡면을 매개변수 방정식으로 표현하는 데 사용된다. 1변수 벡터 함수는 실수 변수를 입력으로 받아 벡터를 출력하며, 다변수 벡터 함수는 여러 개의 변수를 입력으로 받아 벡터를 출력한다. 선형 벡터 함수는 행렬로 표현될 수 있으며, 다중 회귀 분석 등에서 활용된다. 벡터 함수의 미분은 각 성분을 따로 미분하여 구하며, 물리적으로 위치, 속도, 가속도를 나타내는 데 사용된다. 또한, 벡터 함수의 곱의 미분, 야코비 행렬, 무한 차원 벡터 함수, 벡터장 등과 관련된 개념들을 포함한다.

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벡터 함수
개요
정의	벡터 공간의 원소를 값으로 가지는 함수
변수	실수 또는 복소수
예시	공간 곡선, 벡터장
구성 요소 함수
정의	벡터 함수를 각 성분별로 나타내는 함수
표기	f₁(t), f₂(t), ..., fₙ(t) (t는 매개변수)
벡터 함수의 표현	f(t) = (f₁(t), f₂(t), ..., fₙ(t))
미분
정의	각 성분 함수의 미분으로 정의
표기	f'(t) = (f'₁(t), f'₂(t), ..., f'ₙ(t))
적분
정의	각 성분 함수의 적분으로 정의
표기	∫f(t) dt = (∫f₁(t) dt, ∫f₂(t) dt, ..., ∫fₙ(t) dt)

2. 벡터 함수의 정의와 표현

벡터 함수는 실수 또는 다변수 벡터를 입력받아 벡터를 출력하는 함수이다. 벡터 함수는 각 성분을 통해 표현될 수 있으며, 이는 각 성분 함수가 실수 함수인 벡터로 나타낼 수 있음을 의미한다.

벡터 함수는 입력 변수의 개수에 따라 1변수 벡터 함수와 다변수 벡터 함수로 나눌 수 있다. 1변수 벡터 함수는 하나의 실수 매개변수(주로 시간)에 따라 유클리드 벡터를 출력하며, 다변수 벡터 함수는 여러 개의 변수를 입력받아 벡터를 출력한다.

2. 1. 1변수 벡터 함수

1변수 벡터 함수는 하나의 실수 매개변수(흔히 시간을 나타냄)에 의존하여 유클리드 벡터를 생성한다. 데카르트 표준 단위 벡터, , 로 표현하면, 이러한 벡터 함수는 다음과 같은 식으로 주어진다.

\mathbf{r}(t) = f(t)\mathbf{i} + g(t)\mathbf{j} + h(t)\mathbf{k}

여기서 , , 는 매개변수 의 '''좌표 함수'''이며, 이 벡터 함수의 정의역은 함수 , , 의 정의역의 교집합이다. 이는 다른 표기법으로도 나타낼 수 있다.

\mathbf{r}(t) = \langle f(t), g(t), h(t)\rangle

벡터 는 원점에 꼬리를 두고, 함수에 의해 평가된 좌표에 머리를 둔다.

오른쪽 그래프에 표시된 벡터는 근처에서(와 사이, 즉 3회전 약간 넘게) 함수

\langle 2\cos t,\, 4\sin t,\, t\rangle

의 평가이다. 나선은 가 0에서 까지 증가함에 따라 벡터 끝이 그리는 경로이다.

2차원 벡터 함수는 다음과 같이 나타낼 수 있다.

\mathbf{r}(t) = f(t)\mathbf{i} + g(t)\mathbf{j}

또는

\mathbf{r}(t) = \langle f(t), g(t)\rangle

주어진 실수에 대해, 그 정수 부분 및 Fractional part|소수 부분^영어의 묶음을 대응시키는 함수는 2차원 벡터값 함수이다.
평면 또는 3차원 공간 내의 곡선의 parametric curve|매개변수 곡선|label=매개변수 표시^영어는 벡터값 함수의 중요한 예이다.

2. 2. 다변수 벡터 함수

다변수 벡터 함수는 여러 개의 변수를 입력으로 받아 벡터를 출력한다. 예를 들어, 다음과 같은 함수를 생각해 볼 수 있다.

(x, y, z) = (f(s,t), g(s,t), h(s,t)) \equiv \mathbf{F}(s,t).

여기서

\mathbf{F}

는 벡터 값 함수이다. 이러한 함수는 곡면을 매개변수 방정식으로 표현하는 데 사용될 수 있다.

n

차원 공간에 매립된 곡면의 경우, 다음과 같이 표현할 수 있다.

(x_1, x_2, \dots, x_n) = (f_1(s,t), f_2(s,t), \dots, f_n(s,t)) \equiv \mathbf{F}(s,t).

주어진 실수에 대해, 그 정수 부분 및 Fractional part|소수 부분^영어을 묶어 대응시키는 함수는 2차원 벡터값 함수이다.

2. 3. 선형 벡터 함수

함수가 선형인 경우 행렬로 표현될 수 있다.

:

\mathbf{y} = A\mathbf{x},

여기서

\mathbf{y}

는 출력 벡터이고,

\mathbf{x}

는 입력 벡터이며,

A

는 매개변수의 행렬이다.

이와 밀접하게 관련된 것은 아핀 경우(이동까지 선형)이며, 이때 함수의 형태는 다음과 같다.

:

\mathbf{y} = A\mathbf{x} + \mathbf{b},

여기서 추가적으로

\mathbf{b}

는 매개변수 벡터이다.

선형의 경우는 예를 들어 다중 회귀에서 자주 발생한다. 예를 들어 종속 변수의 예측 값의 벡터

\hat{\mathbf{y}}

는 모델 매개변수의 추정 값의 벡터

\hat{\boldsymbol\beta}

(

k < n

)로 선형적으로 표현된다.

:

\hat{\mathbf{y}} = X\hat{\boldsymbol\beta},

여기서

X

(이전 일반 형식에서

A

의 역할을 함)는 고정된(경험적 기반) 숫자의 행렬이다.

3. 벡터 함수의 미분

벡터 함수의 미분은 각 성분 함수의 미분을 통해 정의된다.

실변수 벡터값 함수 $\boldsymbol{f} \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}^{n}$ 의 미분은 실함수의 경우와 완전히 같은 형태로, 전진 차분 상의 극한으로 정의할 수 있다.

: $\boldsymbol{f}'(t):=\lim_{h\to 0}\frac{\boldsymbol{f}(t+h) - \boldsymbol{f}(t)}{h}$

벡터의 연산이 성분별로 정의되어 있기 때문에, 위의 극한이 존재하면, 그것은 성분 함수의 미분으로 이루어진 벡터값 함수와 일치한다.

: $\boldsymbol{f}'(t) = \left( f_{1}'(x), f_{2}'(x), \dotsc , f_{n}'(x) \right)$

실함수의 미분에 관한 중요한 성질은 대부분 벡터값 함수에 대해서도 성립한다. 특히 미분의 선형성과 곱의 법칙이 성립한다.

3. 1. 1변수 벡터 함수의 도함수

다음 극한이 존재할 때, 벡터함수 를 점 t에서 미분가능하다고 한다.

:

v'\left( t \right)=\underset{\Delta t\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{v\left( t+\Delta t \right)-v\left( t \right)}{\Delta t}

이 벡터함수 를 의 도함수라고 한다.

데카르트 좌표계를 사용하여 각 성분을 살펴보면 다음과 같다.

:

v'\left( t \right)=\left[ v_{1}'\left( t \right),v_{2}'\left( t \right),v_{3}'\left( t \right) \right]

따라서 도함수 는 각 성분을 따로따로 미분함으로써 구해진다.

스칼라 함수와 같이, 많은 벡터 값 함수는 데카르트 좌표계에서 성분을 미분하여 미분할 수 있다. 따라서,

:

\mathbf{r}(t) = f(t) \mathbf{i} + g(t) \mathbf{j} + h(t) \mathbf{k}

가 벡터 값 함수라면,

:

\frac{d\mathbf{r}}{dt} = f'(t) \mathbf{i} + g'(t) \mathbf{j} + h'(t) \mathbf{k}.

벡터 미분은 다음과 같은 물리적 해석을 허용한다. 만약 가 입자의 위치 (벡터)를 나타낸다면, 그 미분은 입자의 속도이다.

:

\mathbf{v}(t) = \frac{d\mathbf{r}}{dt}.

마찬가지로, 속도의 미분은 가속도이다.

:

\frac{d \mathbf v}{dt} = \mathbf{a}(t).

만약 가 시간 와 같은 단일 스칼라 변수의 벡터 함수로 간주된다면, 위의 방정식은 '''a'''의 에 대한 첫 번째 일반 시간 도함수로 축소된다.^[1]

:

\frac{d\mathbf{a}}{dt} = \sum_{i=1}^{n}\frac{da_i}{dt} \mathbf{e}_i.

실변수 벡터값 함수

\boldsymbol{f} \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}^{n}

에 대해, 그 미분은 실함수의 경우와 완전히 같은 형태로, 전진 차분 상의 극한

:

\boldsymbol{f}'(t):=\lim_{h\to 0}\frac{\boldsymbol{f}(t+h) - \boldsymbol{f}(t)}{h}

로 정의할 수 있다. 벡터의 연산이 성분별로 정의되어 있기 때문에, 위의 극한이 존재하면, 그것은 성분 함수의 미분으로 이루어진 벡터값 함수와 일치한다:

\boldsymbol{f}'(t) = \left( f_{1}'(x), f_{2}'(x), \dotsc , f_{n}'(x) \right)

실함수의 미분에 관한 중요한 성질은 대부분 벡터값 함수에 대해서도 성립한다. 특히 미분의 선형성과 곱의 법칙이 성립한다.

3. 2. 벡터 함수의 편도함수

2변수 또는 3변수를 갖는 벡터 함수의 편도함수를 살펴보자. 벡터 함수

:v^영어=v₁^영어, v₂^영어, v₃^영어=v₁^영어i^영어+v₂^영어j^영어+v₃^영어k^영어

의 각 성분 함수가 n개의 변수 t₀^영어, ⋯, tₙ^영어에 대한 미분가능한 함수라고 가정하자. 이때, 변수 tₘ^영어에 관한 v^영어의 편도함수(partial derivative) ∂v/∂tₘ^영어는 다음과 같은 벡터 함수로 정의된다.

:∂v/∂tₘ^영어 = ∂v₁/∂tₘ^영어i^영어 + ∂v₂/∂tₘ^영어j^영어 + ∂v₃/∂tₘ^영어k^영어

벡터 함수 '''a'''^영어의 스칼라 변수 q^영어에 대한 편미분은 다음과 같이 정의된다.^[1]

:∂'''a'''/∂q^영어 = Σᵢ=₁ⁿ^영어 ∂aᵢ/∂q^영어 '''e'''ᵢ^영어

여기서 ''a''ᵢ^영어는 '''e'''ᵢ^영어 방향의 '''a'''^영어의 ''스칼라 성분''이다. 또한 '''a'''^영어와 '''e'''ᵢ^영어의 방향 코사인 또는 내적이라고도 한다. 벡터 '''e'''₁^영어, '''e'''₂^영어, '''e'''₃^영어는 미분이 수행되는 좌표계에서 고정된 정규 직교 기저를 형성한다.

실변수 벡터값 함수 '''f''' : ℝ → ℝⁿ^영어에 대해, 그 미분은 실함수의 경우와 완전히 같은 형태로, 전진 차분 상의 극한

:'''f'''′(t):= lim

로 정의할 수 있다. 벡터의 연산이 성분별로 정의되어 있기 때문에, 위의 극한이 존재하면, 그것은 성분 함수의 미분으로 이루어진 벡터값 함수와 일치한다: '''f'''′(t) = (f₁′(x), f₂′(x), …, fₙ′(x))^영어

실함수의 미분에 관한 중요한 성질은 대부분 벡터값 함수에 대해서도 성립한다. 특히 미분의 선형성과 곱의 법칙이 성립한다.

벡터 변수의 벡터값 함수 '''f''' : ℝⁿ → ℝᵐ^영어의 경우에는, 이것을 m^영어 개의 n^영어-변수 함수 yᵢ^영어 (1=i = 1, …, m^영어)의 조로 보면, mn^영어개의 편미분이 생각된다. 이들 편도함수를 제 i^영어 행이 스칼라값 함수 yᵢ^영어의 기울기가 되도록 하여 얻어지는 m^영어행 n^영어열의 배열은 '''f'''^영어의 야코비 행렬이라고 불린다.

:

\begin{pmatrix}\dfrac{\partial y_1}{\partial x_1} & \cdots & \dfrac{\partial y_1}{\partial x_n} \\\vdots & \ddots & \vdots \\\dfrac{\partial y_m}{\partial x_1} & \cdots & \dfrac{\partial y_m}{\partial x_n}\end{pmatrix}

3. 3. 전미분

벡터 '''a'''가 스칼라 변수 (''r'' = 1, ..., ''n'')}}의 함수이고, 각 이 시간 의 함수일 경우, '''a'''의 에 대한 일반적인 도함수는 전미분으로 알려진 형태로 표현될 수 있으며,^[1] 다음과 같다.

:

\frac{d\mathbf a}{dt} = \sum_{r=1}^{n} \frac{\partial \mathbf a}{\partial q_r} \frac{dq_r}{dt} + \frac{\partial \mathbf a}{\partial t}.

일부 저자는 전미분 연산자를 나타내기 위해 대문자 를 와 같이 사용하는 것을 선호한다. 전미분은 변수 의 시간 변화로 인한 '''a'''의 변화를 고려한다는 점에서 부분 시간 도함수와 다르다.

3. 4. 비고정 기저를 갖는 벡터 함수의 도함수

벡터 함수의 도함수는 스칼라 함수와 달리 기준 틀의 선택에 영향을 받는다. 고정된 데카르트 좌표계가 아닌 경우, 기준 틀에 따라 도함수가 달라지며, 서로 다른 기준 틀에서의 도함수는 운동학적 관계를 갖는다.^[1]

기저 벡터 '''e'''₁, '''e'''₂, '''e'''₃가 기준 좌표계 E에서는 고정되어 있지만, 기준 좌표계 N에서는 고정되지 않은 경우, 기준 좌표계 N에서 벡터의 일반 시간 미분 공식은 다음과 같다.

:

\frac{dt} = \sum_{i=1}^{3} \frac{da_i}{dt} \mathbf{e}_i + \sum_{i=1}^{3} a_i \frac{{}^\mathrm{N}d\mathbf{e}_i}{dt}

여기서 미분 연산자 왼쪽에 있는 위첨자 N은 미분이 취해지는 기준 좌표계를 나타낸다. 우변의 첫 번째 항은 '''e'''₁, '''e'''₂, '''e'''₃가 상수인 기준 좌표계 E에서의 '''a'''의 미분과 같다. 우변의 두 번째 항은 두 기준 좌표계의 상대적인 각속도를 벡터 '''a''' 자체와 외적한 것과 같다.^[1] 따라서 두 기준 좌표계에서 벡터 함수의 미분을 연결하는 공식은 다음과 같다.^[1]

:

\frac{{}^\mathrm Nd\mathbf a}{dt} =  \frac{{}^\mathrm Ed\mathbf a}{dt} + {}^\mathrm N \mathbf \omega^\mathrm E \times \mathbf a

여기서 NωE/^N'''''ω'''''^E^영어는 기준 좌표계 N에 대한 기준 좌표계 E의 각속도이다.

일례로, 관성 기준틀에서 로켓과 같은 우주 비행체의 속도를 지면에 대한 로켓의 속도 측정을 사용하여 구할 수 있다. 위치 rR/'''r'''^R^영어에 있는 로켓 R의 관성 기준틀 N에서의 속도 NvR/^N'''v'''^R^영어는 다음 공식을 사용하여 구할 수 있다.

:

\frac{{}^\mathrm Nd}{dt}(\mathbf r^\mathrm R) = \frac{{}^\mathrm Ed}{dt}(\mathbf r^\mathrm R) + {}^\mathrm N \mathbf \omega^\mathrm E \times \mathbf r^\mathrm R.

여기서 NωE/^N'''''ω'''''^E^영어는 관성틀 N에 대한 지구의 각속도이다. 속도는 위치의 미분이므로 NvR/^N'''v'''^R^영어 및 EvR/^E'''v'''^R^영어은 각각 기준 좌표계 N과 E에서 rR/'''r'''^R^영어의 미분이다. 따라서,

:

{}^\mathrm N \mathbf v^\mathrm R =  {}^\mathrm E \mathbf v^\mathrm R + {}^\mathrm N \mathbf \omega^\mathrm E \times \mathbf r^\mathrm R

여기서 EvR/^E'''v'''^R^영어는 지구에 고정된 기준 좌표계 E에서 측정된 로켓의 속도 벡터이다.

4. 벡터 함수의 곱의 미분

벡터 함수의 곱의 미분은 스칼라 함수의 곱의 미분과 유사하게 작동한다. 특히, 벡터의 스칼라 곱의 경우, 가 의 스칼라 변수 함수라면,^[1]

: $\frac{\partial}{\partial q}(p\mathbf a) = \frac{\partial p}{\partial q}\mathbf a + p\frac{\partial \mathbf a}{\partial q}.$

점 곱의 경우, 와 두 벡터가 모두 의 함수라면,^[1]

: $\frac{\partial}{\partial q}(\mathbf a \cdot \mathbf b) = \frac{\partial \mathbf a }{\partial q} \cdot \mathbf b + \mathbf a \cdot \frac{\partial \mathbf b}{\partial q}.$

마찬가지로, 두 벡터 함수의 외적의 미분은 다음과 같다.^[1]

: $\frac{\partial}{\partial q}(\mathbf a \times \mathbf b) = \frac{\partial \mathbf a }{\partial q} \times \mathbf b + \mathbf a \times \frac{\partial \mathbf b}{\partial q}.$

5. 야코비 행렬

실수 $t \in \R^m$ 의 함수인 $\mathbf{f}$ 의 성분들의 편도함수는 $n \times m$ 행렬을 형성하며, 이를 $\mathbf{f}$ 의 야코비 행렬이라고 부른다.^[1]

벡터 변수의 벡터값 함수 $\boldsymbol{f} \colon \mathbb{R}^{n} \to \mathbb{R}^{m}$ 의 경우, $\boldsymbol{f}$ 를 $m$ 개의 $n$ -변수 함수 $y_i$ ( $1=i=1, …, m$ )의 조로 보면, $mn$ 개의 편미분이 생각된다.^[1] 이들 편도함수를 모아 제 $i$ 행이 스칼라값 함수 $y_i$ 의 기울기가 되도록 배열하면 다음과 같은 $m$ 행 $n$ 열의 행렬을 얻을 수 있다.

$\begin{pmatrix}\dfrac{\partial y_1}{\partial x_1} & \cdots & \dfrac{\partial y_1}{\partial x_n} \\\vdots & \ddots & \vdots \\\dfrac{\partial y_m}{\partial x_1} & \cdots & \dfrac{\partial y_m}{\partial x_n}\end{pmatrix}$

이 행렬은 $\boldsymbol{f}$ 의 야코비 행렬이라고 불린다.^[1]

6. 무한 차원 벡터 함수

함수 '''f'''의 값이 무한 차원 벡터 공간 ''X'' (예: 힐베르트 공간)에 속하는 경우, '''f'''를 ''무한 차원 벡터 함수''라고 부를 수 있다.

7. 벡터장

벡터장은 공간의 각 점에 벡터를 대응시키는 함수이다. 벡터장은 유체의 흐름, 전자기장 등 다양한 물리 현상을 모델링하는 데 사용된다.

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