실직선

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1. 개요

실직선은 실수 전체의 집합으로, 표준적인 크기 관계에 의해 선형 연속체를 이룬다. 이는 전순서 집합이며, 조밀하고 상한 성질을 가진다. 실직선은 가산 조밀 부분 집합을 가지며, 최대·최소 원소가 없는 선형 연속체는 실직선과 순서 동형이라는 정리가 존재한다. 또한 가산 사슬 조건을 만족하며, 수슬린의 문제와 관련이 있다. 실직선은 차의 절댓값을 거리로 하는 거리 공간이며, 완비 거리 공간, 호상 연결 공간이며, 하우스도르프 차원은 1이다. 실수선은 1차원 위상 다양체이며, 국소 콤팩트, 파라콤팩트, 제2 가산 공간이고, 정규 공간이다. 실수선은 실수 위의 1차원 벡터 공간이며, 표준 내적과 노름을 가진다. 실수선에는 르베그 측도를 정의할 수 있으며, 이는 국소 콤팩트 군 위의 하르 측도의 예시이다.

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실직선

2. 선형 연속체

실수선은 표준적인 크기 관계(<)에 의한 순서에 관해 선형 연속체이다. 구체적으로 말하면, 실수선은 크기 관계(<)에 관해 전순서 집합이며, 이 순서는 조밀하고, 상한 성질을 가진다.

2. 1. 순서 집합으로서의 성질

실수선은 표준적인 크기 관계 <에 의한 순서에 관해 선형 연속체이다. 구체적으로 말하면, 실수선은 크기 관계 <에 관해 전순서 집합이며, 또한 이 순서는 조밀하고, 상한 성질을 가진다.

위의 성질에 더하여, 실수선은 최대 원소도 최소 원소도 갖지 않는다. 또한, 부분 집합으로서 가산이고 조밀한 것(요컨대 유리수 전체)을 포함한다. 가산 조밀 부분 집합을 가지고, 최대 원소도 최소 원소도 갖지 않는 임의의 선형 연속체는 실수선에 순서 동형이라는 정리가 있다.

실수선은 가산 사슬 조건(ccc)을 만족한다.

: "'''R'''에 있어서 서로 교차하지 않는 비어 있지 않은 열린 구간으로 이루어진 임의의 족은 가산이다"

순서 집합론에서 잘 알려진 수슬린의 문제는 "최대 원소도 최소 원소도 갖지 않고 가산 사슬 조건을 만족하는 선형 연속체는 '''R'''에 순서 동형이어야 하는가"라는 것을 묻는 것이다. 그리고 이 문제의 주장은, 집합론에서 표준적인 공리계로 사용되는 ZFC로부터 독립적이라는 것이 알려져 있다.

2. 2. 상한 성질

실수선은 표준적인 크기 관계에 의한 순서에 관해 선형 연속체이다. 구체적으로 말하면, 실수선은 크기 관계에 관해 전순서 집합이며, 또한 이 순서는 조밀하고, 상한 성질을 가진다.

위의 성질에 더하여, 실수선은 최대 원소도 최소 원소도 갖지 않는다. 또한, 부분 집합으로서 가산이고 조밀한 것(요컨대 유리수 전체)을 포함한다. 가산 조밀 부분 집합을 가지고, 최대 원소도 최소 원소도 갖지 않는 임의의 선형 연속체는 실수선에 순서 동형이라는 정리가 있다.

2. 3. 가산 사슬 조건

실수선은 가산 사슬 조건(ccc)을 만족시킨다. 이는 다음과 같이 표현된다.

:"에 있어서 서로 교차하지 않는 비어 있지 않은 열린 구간으로 이루어진 임의의 족은 가산이다"

순서 집합론에서 유명한 수슬린의 문제는 "최대 원소도 최소 원소도 갖지 않고 가산 사슬 조건을 만족하는 선형 연속체는 에 순서 동형이어야 하는가"라는 질문을 던진다. 이 명제는 집합론의 표준 공리계인 체르멜로-프렝켈 집합론(ZFC)으로부터 독립적이라는 것이 알려져 있다.

3. 거리 구조

실수선은 차의 절댓값 d(x, y) = |x − y|^영어를 거리로 하는 거리 공간이 된다. p ∈ '''R'''^영어 및 ε > 0^영어에 대하여, '''R'''^영어에서의 p^영어를 중심으로 하는 ε^영어-구체는 단순히 열린구간 (p − ε, p + ε)^영어를 의미한다.

실수선은 거리 공간으로서 다음과 같은 중요한 성질을 갖는다.

완비 거리 공간: 임의의 실 코시 수열이 수렴한다.
호상 연결이며, 가장 단순한 측지 거리 공간의 예시 중 하나이다.
하우스도르프 차원은 1이다.
등거리 변환군(유클리드 운동군 E(1)^영어)은 t^영어를 적당한 실수로 하여 x ↦ t ± x^영어 형태의 모든 함수로 구성된다. 이 운동군은 가법군으로서의 '''R'''^영어과 위수 2의 순환군과의 반직접곱에 동형이며, 일반화 이면체군의 예시가 된다.

3. 1. 거리 함수

실수선은 차의 절댓값

:d(x, y) = |x − y|^영어

를 거리로 하는 거리 공간이 된다. p ∈ '''R'''^영어 및 ε > 0^영어에 대하여, '''R'''^영어에서의 p^영어를 중심으로 하는 ε^영어-구체는 단순히 열린구간 (p − ε, p + ε)^영어를 의미한다.

3. 2. 완비 거리 공간

실수선은 (임의의 실 코시 수열이 수렴한다는 의미에서) 완비 거리 공간이다.
실수선은 호상 연결이며, 또한 가장 단순한 측지 거리 공간의 예시 중 하나이다.
실수선의 하우스도르프 차원은 1과 같다.
실수선 상의 등거리 변환군(유클리드 운동군 E(1)|E(1)^영어이라고도 불린다)은 t|t^영어를 적당한 실수로 하여 x ↦ t ± x|x ↦ t ± x^영어 형태의 모든 함수로 구성된다. 이 운동군은 가법군으로서의 '''R'''|'''R'''^영어과 위수 2의 순환군과의 반직접곱에 동형이며, 일반화 이면체군의 예시가 된다.

3. 3. 호상 연결 및 측지 거리 공간

실수선은 호상 연결이며, 가장 단순한 측지 거리 공간의 예시 중 하나이다.

3. 4. 하우스도르프 차원

실수선의 하우스도르프 차원은 1이다.

3. 5. 등거리 변환군

실수선 상의 등거리 변환군(유클리드 운동군이라고도 불린다)은 를 적당한 실수로 하여 형태의 모든 함수로 구성된다. 이 운동군은 가법군으로서의 과 위수 2의 순환군과의 반직접곱에 동형이며, 일반화 이면체군의 예시가 된다.

4. 위상적 성질

실수선은 국소 콤팩트하고 파라콤팩트하며, 제2 가산이고 정규 공간이다. 또한 호상 연결이므로 연결이지만, 임의의 한 점을 제거하면 불연결이 된다. 실수선은 가역 공간이며, 그 호모토피 군 및 축소 호몰로지 군은 모두 0이다.

문맥에 따라서는 실수 전체의 집합 위에 표준과 다른 위상(예: 하한 극한 위상 또는 자리스키 위상)을 넣는 것이 유효할 때도 있다. '''R'''에 대한 자리스키 위상은 유한 보위상과 같아진다.

4. 1. 순서 위상 및 거리 위상

실수선에는 표준적으로 두 가지 동일한 방법으로 위상을 정의할 수 있다. 하나는 실수선이 전순서 집합이라는 점을 이용하여 순서 위상을 부여하는 방법이다. 다른 하나는 앞서 언급한 거리로부터 유도되는 거리 위상을 사용하는 방법이다. '''R'''|실수^영어 상의 이 두 위상은 완전히 같은 위상을 정의한다. 위상 공간으로서, 실수선은 열린 구간 (0, 1)에 동상이다.

4. 2. 위상 다양체

실수선은 1차원 위상 다양체이다. 동상인 차이를 제외하면, 경계가 없는 1차원 다양체는 실수선 '''R'''¹과 원주 ''S''¹ 두 종류뿐이다. 실수선에는 표준적인 미분 구조도 들어가므로, 미분 가능 다양체로 만들 수 있다(위상 공간으로서의 구조 위에 얹히는 미분 구조는 미분 동상의 차이를 제외하면 하나밖에 없다).

4. 3. 국소 콤팩트성 및 파라콤팩트성

실수선은 국소 콤팩트하고 파라콤팩트하며, 제2 가산이고 정규 공간이다. 또한 호상 연결이므로 연결이지만, 임의의 한 점을 제거하면 불연결이 된다.

국소 콤팩트 공간으로서의 실수선은 몇 가지 방법으로 콤팩트화할 수 있다. '''R'''^영어의 일점 콤팩트화는 원주(실 사영 직선)이며, 추가되는 점은 부호가 없는 무한대로 생각할 수 있다. 다른 방법으로, 실수선에 두 개의 단점을 추가하여 얻어지는 단 콤팩트화는 확대 실수 직선이라고 불린다. 이 외에도, 실수선에 무한개의 점을 추가하는 스톤-체흐 콤팩트화 등이 있다.

4. 4. 연결성 및 가역성

실수선은 호상 연결이며 연결이지만, 임의의 한 점을 제거하면 불연결이 된다. 또한 실수선은 가역 공간이며, 그 호모토피 군 및 축소 호몰로지 군은 모두 0이다.

4. 5. 콤팩트화

국소 콤팩트 공간으로서의 실수선은 몇 가지 방법으로 콤팩트화할 수 있다. '''R'''^영어의 일점 콤팩트화는 원주(실사영직선)이며, 덧붙여진 점은 부호가 없는 무한대로 생각할 수 있다. 다른 방법으로, 실수선에 두 개의 단점을 추가하여 얻어지는 단 콤팩트화는 확대 실수 직선라고 불린다. 이 외에도, 실수선에 무한개의 점을 추가하는 스톤-체흐 콤팩트화 등이 있다.

4. 6. 다른 위상

문맥에 따라서는 실수 전체의 집합 위에 표준과 다른 위상(예: 하한 극한 위상 또는 자리스키 위상)을 넣는 것이 유효할 때도 있다. '''R'''에 대한 자리스키 위상은 유한 보위상과 같아진다.

5. 선형 구조

실수 직선은 실수 전체로 이루어진 체 '''R''' 위의 1차원 벡터 공간이다. 이 벡터 공간은 표준 내적을 가지며, 유클리드 공간의 구조를 나타낸다. 여기서 말하는 내적은 단순히 실수의 통상적인 곱셈을 의미한다.

5. 1. 표준 내적 및 유클리드 공간

실수 직선은 실수 전체로 이루어진 체 '''R''' (즉, 자기 자신) 위의 1차원 벡터 공간이다. 이 벡터 공간은 표준 내적을 가지며, 유클리드 공간의 구조를 나타낸다 (여기서 말하는 내적은 단순히 실수의 통상적인 곱셈을 의미한다). '''R''' 위의 표준 노름은 절댓값과 같다.

5. 2. 표준 노름 및 절댓값

실수 직선은 실수 전체로 이루어진 체 '''R''' (즉, 자기 자신) 위의 1차원 벡터 공간이다. 이 벡터 공간은 표준 내적을 가지며, 유클리드 공간의 구조를 나타낸다 (여기서 말하는 내적은 단순히 실수의 통상적인 곱셈을 의미한다). '''R''' 위의 표준 노름은 절댓값과 같다.

6. 측도 공간으로서의 성질

실수 직선에는 르베그 측도라는 표준적인 측도를 넣을 수 있다. 르베그 측도는 실수 집합 상의 보렐 측도(구간의 측도는 구간의 길이로 정의)를 완비화하여 정의할 수 있다.

실수 직선 상의 르베그 측도는 국소 콤팩트 군 상의 하르 측도의 가장 간단한 예 중 하나이다.

6. 1. 르베그 측도

르베그 측도는 실수선에 표준적인 측도를 부여하는 방법이다. 르베그 측도는 구간(interval)의 측도를 구간의 길이로 정의하는 보렐 측도를 완비화하여 정의할 수 있다.

실수 직선 상의 르베그 측도는 국소 콤팩트 군 상의 하르 측도의 가장 간단한 예시 중 하나이다.

6. 2. 하르 측도

실수 직선 위의 르베그 측도는 국소 콤팩트 군 위의 하르 측도의 가장 간단한 예 가운데 하나이다.

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