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좌표계

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목차

1. 개요

좌표계는 공간 내 점의 위치를 나타내기 위해 사용되는 체계로, 기준점(원점)과 축의 설정 방식에 따라 다양하게 표현된다. 르네 데카르트가 좌표의 개념을 처음 생각해낸 것으로 알려져 있으며, 고트프리트 빌헬름 라이프니츠가 "co-ordinate"라는 용어를 처음 사용하고 현재의 직교좌표계 표기를 만들었다. 한국에서는 조선시대부터 지도 제작에 좌표 개념이 활용되었으며, 일제강점기에는 근대적인 측량 기술이 도입되었고, 광복 이후 독자적인 측지 기준계와 좌표계 구축을 위해 노력해왔다. 대표적인 좌표계로는 수직선, 데카르트 좌표계, 극좌표계 등이 있으며, 좌표 변환을 통해 서로 다른 좌표계 간의 좌표를 변환할 수 있다. 또한, 좌표선과 좌표면을 통해 기하학적 객체의 위치를 지정하는 데 사용되며, 색을 표현하는 데에도 활용된다.

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  • 좌표계 - 데카르트 좌표계
    데카르트 좌표계는 르네 데카르트가 고안한 좌표계로, 다양한 차원의 공간에서 점의 위치를 나타내며, 2차원에서는 x축과 y축, 3차원에서는 직교하는 세 평면으로 확장되고, 고차원에서는 실수 튜플을 사용한다.
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좌표계
개요
정의점의 위치를 나타내는 방법
분야기하학, 지리학, 천문학, 항해술, 지도 제작
관련 개념좌표 평면, 좌표 공간, 차원
종류데카르트 좌표계
극좌표계
원통 좌표계
구면 좌표계
좌표계의 기본 요소
차원좌표계가 표현하는 공간의 차원
기준점 (원점)좌표 값의 기준이 되는 점
축좌표 값을 측정하는 기준선
좌표기준점으로부터의 거리 또는 각도
좌표계의 종류
데카르트 좌표계축: 서로 직교하는 선형 축
좌표: 각 축으로부터의 거리
특징: 가장 기본적인 좌표계, 평면 또는 공간에서 점의 위치를 나타내는 데 사용
극좌표계축: 원점과 기준 방향
좌표: 원점으로부터의 거리 (r)와 기준 방향과의 각도 (θ)
특징: 평면에서 점의 위치를 나타내는 데 사용, 각도와 거리를 이용
원통 좌표계축: 데카르트 좌표계의 z축과 극좌표계의 r, θ
좌표: r, θ, z
특징: 3차원 공간에서 원통형 대칭을 가진 물체의 위치를 나타내는 데 유용
구면 좌표계축: 원점과 두 개의 각도
좌표: 원점으로부터의 거리 (ρ), 경도 (θ), 위도 (φ)
특징: 3차원 공간에서 구면 대칭을 가진 물체의 위치를 나타내는 데 유용
좌표계의 활용
지도 제작지구 표면의 위치를 평면에 나타내는 데 사용
항해술선박이나 항공기의 위치를 파악하고 경로를 설정하는 데 사용
천문학천체의 위치를 나타내고 운동을 추적하는 데 사용
컴퓨터 그래픽스객체의 위치를 정의하고 렌더링하는 데 사용
지리 정보 시스템 (GIS)지리 데이터를 분석하고 시각화하는 데 사용
기타 좌표계
지리 좌표계지구 표면의 위치를 위도와 경도로 나타내는 좌표계
투영 좌표계지구 표면의 위치를 평면에 투영하여 나타내는 좌표계
군사 좌표계군사 작전에서 위치를 정확하게 나타내는 데 사용되는 좌표계

2. 좌표계의 역사

좌표라는 개념을 처음 생각해낸 사람은 프랑스의 철학자이자 수학자인 르네 데카르트라고 알려져 있다. 하지만 그의 저서 『기하학』에서는 문제에 따라 기준이 되는 직선을 적절히 설정하고 있으며, 현재와 같은 고정된 좌표축을 설정하는 표현은 사용되지 않았다. 참고로, 그는 병으로 요양 중에 누워서 천장의 판자를 보다가 이것을 떠올렸다는 일화도 있지만, 그것이 사실인지는 확실하지 않다.

"좌표"의 어원인 "co-ordinate"라는 용어를 처음 사용한 사람은 독일의 철학자이자 수학자인 고트프리트 빌헬름 라이프니츠이며, 현재의 직교좌표계 표기 또한 라이프니츠의 것에서 유래한다.[17] 일본어로 "좌표"라는 단어를 처음 사용한 사람은 藤沢利喜太郎(Fujisawa Rikitaro)이지만, 당시 표기는 "坐標"였고, 후에 林鶴一(Hayashi Tsuruichi) 등에 의해 현재의 "座標"로 고쳐졌다.[17]

3. 대표적인 좌표계

좌표계는 기준점(원점)과 축을 정하는 방식에 따라 다양하게 나타낼 수 있다. 원점이나 좌표축을 정하면, 특정 좌표는 하나의 점을 가리킨다. 그러나 좌표계에 따라서는 하나의 점에 대해 여러 좌표가 존재할 수도 있다. 예를 들어 극좌표에서는 원점이 여러 좌표로 표현될 수 있다.[4]

대표적인 좌표계로는 수직선, 데카르트 좌표계, 복소평면, 극좌표, 원통 좌표계, 구면 좌표계, 지리 좌표계, 천구 좌표계, 관성 좌표계 등이 있다.

3차원 컴퓨터 그래픽스(3DCG)에서는 전체 공간을 나타내는 월드 좌표계(또는 글로벌 좌표계)와 각각의 물체에 설정되는 로컬 좌표계(또는 바디 좌표계)를 함께 사용하여 물체의 움직임을 표현한다. 예를 들어 사람이 달리는 장면에서 팔다리의 움직임은 몸의 무게중심을 원점으로 하는 로컬 좌표계로, 몸 전체의 이동은 월드 좌표계로 나타낼 수 있다.

3. 1. 1차원 좌표계

좌표계의 가장 간단한 예는 실수를 사용하여 직선 위의 점을 식별하는 수직선이다. 이 체계에서, 주어진 직선 위에 임의의 점 ''O''(원점)를 선택한다. 점 ''P''의 좌표는 ''O''에서 ''P''까지의 부호가 있는 거리로 정의되며, 부호가 있는 거리는 직선의 어느 쪽에 ''P''가 있는지에 따라 거리가 양수 또는 음수로 취해진다. 각 점에는 고유한 좌표가 주어지고 각 실수는 고유한 점의 좌표이다.[4]

수직선

3. 2. 2차원 좌표계

데카르트 좌표계는 2차원 좌표계의 대표적인 예시이다. 평면에서 서로 수직인 두 직선을 선택하고, 한 점의 좌표는 각 직선까지의 부호가 있는 거리로 나타낸다.[5]

좌표축의 방향과 순서에 따라 3차원 좌표계는 오른손계 또는 왼손계가 될 수 있다.

극좌표계는 평면에 대한 또 다른 일반적인 좌표계이다.[7] 한 점을 ''극점''으로 선택하고, 이 점에서 나오는 광선을 ''극축''으로 설정한다. 주어진 각도 θ에 대해 극축과의 각도가 θ(축에서 선까지 반시계 방향으로 측정)인 극점을 통과하는 유일한 직선이 존재한다. 이 직선 위에서 원점으로부터의 부호가 있는 거리가 r인 점이 좌표 (r, θ)에 해당하는 유일한 점이다. 그러나 하나의 점은 여러 좌표쌍으로 표현될 수 있다. 예를 들어, (r, θ), (r, θ+2π), (−r, θ+π)는 모두 같은 점을 나타낸다. 극점은 θ 값에 관계없이 (0, θ)로 표현된다.

좌표는 유일한 표현 방법을 가지지 않으며, 원점이나 좌표축의 선택에 따라 다양하게 표현될 수 있다. 원점이나 좌표축 등을 고정하면, 임의의 좌표는 단 하나의 점을 가리킨다. 하지만 좌표계에 따라서는 임의의 점에 단 하나의 좌표를 부여할 수 없는 경우도 있다. 예를 들어 극좌표계에서는 원점이 여러 개의 좌표로 표현될 수 있다.

2차원 좌표계의 종류는 다음과 같다.

3. 3. 3차원 좌표계

3차원에서는 서로 직교하는 세 개의 평면을 선택하고, 한 점의 세 좌표는 각 평면까지의 부호가 있는 거리이다.[6] 이것은 ''n''차원 유클리드 공간의 임의의 점에 대해 ''n''개의 좌표를 만들도록 일반화할 수 있다. 좌표축의 방향과 순서에 따라 3차원 좌표계는 오른손계 또는 왼손계가 될 수 있다.

극좌표계를 3차원으로 확장하는 두 가지 일반적인 방법이 있다. '''원통 좌표계'''에서는 좌표 (''r'', ''θ'', ''z'')를 사용하며, 데카르트 좌표계와 같은 의미의 ''z'' 좌표가 ''r''과 ''θ'' 극좌표에 추가된다.[8] 구면 좌표계는 원통 좌표계 (''r'', ''z'') 쌍을 극좌표 (''ρ'', ''φ'')로 변환하여 (''ρ'', ''θ'', ''φ'') 삼중항을 만드는 한 단계 더 나아간 방법이다.[9]

원통 좌표계


3DCG에서는 다루고 있는 공간 전체의 좌표계를 월드 좌표계(world coordinate system) 또는 글로벌 좌표계(global coordinate system)라고 부르며, 그 안에 있는 개별 물체(오브젝트) 각각에 로컬 좌표계(local coordinate system) 또는 바디 좌표계(body coordinate system)를 설정함으로써 전체 공간 안에서 각 오브젝트의 변화를 다루기 쉽게 하는 것이 일반적이다. 예를 들어 인간이 달리는 장면에서는 팔과 다리의 움직임은 신체의 무게중심을 원점으로 하는 로컬 좌표계 안에서의 좌표값 변화로, 신체의 이동은 월드 좌표계 안에서의 신체 무게중심 위치의 변화로 표현할 수 있다.

3. 4. 기타 좌표계

극좌표계는 평면에 대한 또 다른 일반적인 좌표계이다.[7] 한 점을 ''극점''으로 선택하고 이 점에서 나오는 광선을 ''극축''으로 취한다. 주어진 각도 θ에 대해 극축과의 각도가 θ(축에서 선까지 반시계 방향으로 측정)인 극점을 통과하는 단일 직선이 있다. 그러면 주어진 수 r에 대해 원점으로부터의 부호가 있는 거리가 r인 이 직선상에 고유한 점이 있다. 주어진 좌표쌍 (r, θ)에 대해 단일 점이 있지만, 모든 점은 많은 좌표쌍으로 표현된다. 예를 들어, (r, θ), (r, θ+2π) 및 (−r, θ+π)는 모두 동일한 점에 대한 극좌표이다. 극점은 θ의 값에 관계없이 (0, θ)로 표현된다.

극좌표계를 3차원으로 확장하는 두 가지 일반적인 방법이 있다. '''원통 좌표계'''에서는 좌표 (''r'', ''θ'', ''z'')를 사용하며, 데카르트 좌표계와 같은 의미의 ''z'' 좌표가 ''r''과 ''θ'' 극좌표에 추가된다.[8] 구면 좌표계는 원통 좌표계 (''r'', ''z'') 쌍을 극좌표 (''ρ'', ''φ'')로 변환하여 (''ρ'', ''θ'', ''φ'') 삼중항을 만드는 한 단계 더 나아간 방법이다.[9]

동차 좌표 (''x'', ''y'', ''z'')로 평면의 한 점을 나타낼 수 있다. 여기서 ''x''/''z'' 와 ''y''/''z'' 는 그 점의 데카르트 좌표이다.[10] 평면 상의 한 점을 지정하는 데는 두 개의 좌표만 필요하지만, 이 시스템은 사영 평면의 모든 점을 무한대를 사용하지 않고 나타낸다는 점에서 유용하다. 일반적으로 동차 좌표계는 좌표의 실제 값이 아니라 비율만이 중요한 좌표계이다.

다른 일반적인 좌표계는 다음과 같다.

  • 곡선좌표계는 일반적으로 좌표계의 일반화이며, 곡선의 교차점을 기반으로 한다.
  • * 직교좌표계: 좌표면이 직각으로 만납니다.
  • * 사교좌표계: 좌표면이 직교하지 않습니다.
  • 로그극좌표계는 원점으로부터의 거리의 로그와 원점을 지나는 기준선으로부터 측정된 각도를 사용하여 평면의 한 점을 나타낸다.
  • 플뤼커 좌표계는 6개의 숫자로 된 6차원 벡터를 동차좌표로 사용하여 3차원 유클리드 공간의 직선을 나타내는 방법이다.
  • 일반좌표는 역학의 라그랑주 처리에 사용된다.
  • 정준좌표는 역학의 해밀턴 처리에 사용된다.
  • 중심좌표계는 삼각도표에 사용되며, 더 일반적으로 삼각형 분석에 사용된다.
  • 삼선좌표는 삼각형의 맥락에서 사용된다.


곡률과 호의 길이와 같은 불변량을 사용하는 내재 방정식으로 좌표 없이 곡선을 설명할 수 있다. 여기에는 다음이 포함된다.

  • 휘웰 방정식은 호의 길이와 접선각의 관계를 나타낸다.
  • 세자로 방정식은 호의 길이와 곡률의 관계를 나타낸다.

4. 좌표 변환

서로 다른 좌표계 간에는 좌표를 변환하기 위한 함수를 정의할 수 있다. 이를 좌표 변환이라고 한다. 반대로 좌표 변환을 제시함으로써 서로 다른 좌표계를 정의할 수도 있다. 좌표 변환에는 병진 변환(평행 이동), 회전 등이 있다.

기하 도형을 설명하는 데에는 종종 여러 가지 다른 좌표계가 있을 수 있다. 서로 다른 좌표계 간의 관계는 좌표 변환으로 설명되며, 이는 다른 좌표계의 좌표를 기준으로 한 좌표계의 좌표에 대한 공식을 제공한다. 예를 들어, 평면에서 데카르트 좌표 (''x'', ''y'')와 극좌표 (''r'', ''θ'')가 같은 원점을 가지고 극축이 양의 ''x'' 축이라면, 극좌표에서 데카르트 좌표로의 좌표 변환은 ''x'' = ''r'' cos''θ'' 및 ''y'' = ''r'' sin''θ''로 주어진다.

공간 자체에 대한 전단사 함수마다 두 가지 좌표 변환을 연결할 수 있다.


  • 각 점의 상의 새로운 좌표가 원래 점의 이전 좌표와 동일하도록 (매핑 공식은 좌표 변환 공식의 역이다)
  • 각 점의 상의 이전 좌표가 원래 점의 새로운 좌표와 동일하도록 (매핑 공식은 좌표 변환 공식과 동일하다)


예를 들어, 1차원에서 매핑이 오른쪽으로 3만큼 이동하는 경우, 첫 번째는 원점을 0에서 3으로 이동시켜 각 점의 좌표가 3만큼 줄어들게 하고, 두 번째는 원점을 0에서 -3으로 이동시켜 각 점의 좌표가 3만큼 증가하게 한다.

5. 좌표선/좌표면

주어진 좌표계에서 한 점의 좌표 중 하나가 변하고 다른 좌표들은 일정하게 유지될 때, 그 결과로 생기는 곡선을 '''좌표곡선'''이라고 한다. 좌표곡선이 직선일 경우 '''좌표선'''이라고 한다. 어떤 좌표곡선이 직선이 아닌 좌표계를 ''곡선좌표계''라고 한다.[1] ''직교좌표계''는 곡선좌표계의 특수한 경우이지만 매우 일반적이다.

다른 모든 상수 좌표가 0인 좌표선을 '''좌표축'''이라고 하며, 좌표를 할당하는 데 사용되는 방향선이다. 직교좌표계에서는 모든 좌표곡선이 직선이며, 따라서 좌표의 수만큼 좌표축이 있고, 좌표축은 서로 직교한다.

극좌표계는 좌표곡선이 직선 또는 원인 곡선좌표계이다. 그러나 좌표곡선 중 하나는 단일 점인 원점으로 축소되며, 이는 종종 반지름이 0인 원으로 간주된다. 마찬가지로, 구면좌표계와 원통좌표계는 직선, 원 또는 반지름이 0인 원인 좌표곡선을 갖는다.

많은 곡선이 좌표곡선으로 나타날 수 있다. 예를 들어, 포물선좌표의 좌표곡선은 포물선이다.

3차원 포물선 좌표계의 좌표면


3차원 공간에서 하나의 좌표를 일정하게 유지하고 다른 두 좌표를 변화시키면, 결과적으로 생기는 면을 '''좌표면'''이라고 한다. 예를 들어, 구면좌표계에서 ρ를 일정하게 유지하여 얻은 좌표면은 원점을 중심으로 하는 구면이다. 3차원 공간에서 두 좌표면의 교선은 좌표곡선이다. 데카르트 좌표계에서는 '''좌표평면'''이라고 말할 수 있다. 마찬가지로, '''좌표 초곡면'''은 ''n''차원 좌표계의 단일 좌표를 고정하여 얻는 (''n'' − 1)차원 공간이다.[14]

6. 기하학적 객체의 좌표

좌표계는 점의 위치를 지정하는 데 자주 사용되지만 선, 평면, 원, 구와 같은 더 복잡한 도형의 위치를 지정하는 데에도 사용될 수 있다. 예를 들어, 플뤼커 좌표는 공간에서 선의 위치를 결정하는 데 사용된다.[11] 필요에 따라 설명되는 도형의 종류를 사용하여 좌표계의 종류를 구분하는데, 예를 들어, ''직선 좌표''라는 용어는 직선의 위치를 지정하는 모든 좌표계에 사용된다.

두 개의 서로 다른 기하학적 도형 집합에 대한 좌표계가 분석 측면에서 동등한 경우가 발생할 수 있다. 이것의 예로는 사영 평면에서 점과 직선에 대한 동차 좌표계가 있다. 이러한 경우 두 시스템은 ''쌍대적''이라고 한다. 쌍대적 시스템은 한 시스템의 결과를 다른 시스템으로 이전할 수 있다는 특성을 가지는데, 이는 이러한 결과가 동일한 분석 결과에 대한 서로 다른 해석일 뿐이기 때문이다. 이것을 ''쌍대성의 원리''라고 한다.[12]

7. 색의 좌표에 의한 지정

색은 여러 개(보통 3개 또는 4개)의 숫자 요소의 조합으로 지정할 수 있다. 예를 들어 만셀 표색계에서는 색상, 명도, 채도로 지정한다. RGB에서는 빨강 성분(R), 녹색 성분(G), 파랑 성분(B)으로 지정한다. 자세한 내용은 색 공간을 참조하면 된다.

참조

[1] 문서 Woods p. 1
[2] MathWorld Coordinate System
[3] MathWorld Coordinates
[4] 서적 College Algebra Brooks Cole
[5] 서적 Calculus: Multivariable https://books.google[...] John Wiley & Sons
[6] 서적 Field Theory Handbook, Including Coordinate Systems, Differential Equations, and Their Solutions Springer-Verlag
[7] 서적 Calculus: Graphical, Numerical, Algebraic https://archive.org/[...] Addison-Wesley Publishing Co. 1994-06-00
[8] 서적 The Mathematics of Physics and Chemistry https://archive.org/[...] D. van Nostrand
[9] 서적 Methods of Theoretical Physics, Part I McGraw-Hill
[10] 서적 An Introduction to Algebraical Geometry Clarendon
[11] 서적 Methods of Algebraic Geometry, Volume I (Book II) Cambridge University Press
[12] 문서 Woods p. 2
[13] 서적 Mathematical Methods for Engineers and Scientists Springer
[14] 서적 A Computational Differential Geometry Approach to Grid Generation Springer
[15] 서적 Topology Prentice Hall
[16] 서적 Analytical Mechanics of Space Systems American Institute of Aeronautics and Astronautics
[17] 서적 数学用語と記号ものがたり 裳華房
[18] 웹사이트 日本の測地座標系- 国土地理院 http://vldb.gsi.go.j[...] 2009-12-28
[19] 문서 Woods p. 1
[20] 매스월드 Coordinate System


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