중심화 부분 모노이드

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1. 개요
2. 정의
3. 성질
4. 예
참조

1. 개요

중심화 부분 모노이드는 모노이드의 부분 집합에 대해 정의되는 부분 집합으로, 주어진 부분 집합의 모든 원소와 가환하는 모노이드의 원소들의 집합이다. 군, 환, 가군 등 다양한 대수적 구조에서 중심화 부분 모노이드와 유사한 개념이 정의되며, 이중 중심화 부분 모노이드는 중심화 부분 모노이드의 중심화 부분 모노이드로 정의된다. 이러한 개념은 폰 노이만 대수와 같은 구조에서 중요한 성질을 가지며, 가환 모노이드의 경우 중심화 부분 모노이드는 전체 모노이드가 된다.

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중심화 부분 모노이드
정의
설명	수학, 특히 환론에서 부분집합 S의 중심화 부분 모노이드는 S의 모든 원소와 가환하는 환 A의 원소의 집합이다.
표기법
표기	A_S, Cent_A(S), comm_A(S)
관련 개념
관련 개념	중심화 부분군, 중심화 부분환

2. 정의

모노이드 $M$ 의 부분 집합 $S\subseteq M$ 의 '''중심화 부분 모노이드'''는 다음과 같은 $M$ 의 부분 집합이다.^[2]^[3]

: $\operatorname C_M(S)=\{x\in M\colon\forall s\in S\colon sx=xs\}$

이는 $M$ 의 부분 모노이드를 이룬다.

$S$ 의 '''이중 중심화 부분 모노이드''' (double centralizer, bicentralizer, bicommutant^영어) $\operatorname C_M(\operatorname C_M(S))\subseteq M$ 은 그 중심화 부분 모노이드의 중심화 부분 모노이드이다.^[3]

2. 1. 모노이드

모노이드

M

의 부분 집합

S\subseteq M

의 중심화 부분 모노이드는 다음과 같은

M

의 부분 집합이다.^[2]^[3]

:

\operatorname C_M(S)=\{x\in M\colon\forall s\in S\colon sx=xs\}

이는

M

의 부분 모노이드를 이룬다.

S

의 이중 중심화 부분 모노이드

\operatorname C_M(\operatorname C_M(S))\subseteq M

은 그 중심화 부분 모노이드의 중심화 부분 모노이드이다.^[3]

일반적 모노이드

M

의 부분 집합에 대하여, 다음이 성립한다.

:

\operatorname C_M(\operatorname C_M(\varnothing))=\operatorname Z(M)

:

\operatorname C_M(M))=M

:

\forall S\subseteq M\colon S\subseteq\operatorname C_M(\operatorname C_M(S))=\operatorname C_M(\operatorname C_M(\operatorname C_M(\operatorname C_M(S))))

:

\forall\mathcal S\subseteq\operatorname{Pow}(M)\colon\operatorname C_M\left(\operatorname C_M\left(\bigcup\mathcal S\right)\right)=\bigcup_{S\in\mathcal S}\operatorname C_M(\operatorname C_M(S))

:

\forall S,T\subseteq M\colon S\subseteq T\implies\operatorname C_M(\operatorname C_M(S))\subseteq\operatorname C_M(\operatorname C_M(T))

이에 따라, 이중 중심화 부분 모노이드를 취하는 연산은 순서 보존 함수

:

\operatorname C_M(\operatorname C_M(-))\colon \operatorname{Pow}(M)\to\operatorname{Pow}(M)

를 이룬다.

특히, 집합

M\setminus\operatorname Z(M)

위에 폐포

:

\operatorname{cl}(S)=\operatorname C_M(S)\setminus\operatorname Z(M)\qquad(S\subseteq M\setminus\operatorname Z(M))

를 정의하면, 이는

M\setminus\operatorname Z(M)

위의 알렉산드로프 위상을 정의한다.

2. 2. 군

군의 부분 집합의 중심화 부분군은 그 부분 집합의 모든 원소와 가환하는 원소들의 집합이며, 항상 부분군을 이룬다.^[2]^[3]

군

G

의 부분 집합

S

의 중심화 부분군은 항상

S

의 정규화 부분군의 정규 부분군이다.

:

\operatorname Z(G)\trianglelefteq\operatorname C_G(S)\trianglelefteq\operatorname N_G(S)

여기서

\operatorname Z(-)

는 군의 중심이며,

\operatorname N_G(-)

는 정규화 부분군이다.

군

G

의 부분군

H\le G

의 정규화 부분군과 중심화 부분군의 몫군은

H

의 자기 동형군의 부분군과 동형이다 ('''N/C 정리''', N/C theorem^영어).

:

\operatorname N_G(H)/\operatorname C_G(H)\lesssim\operatorname{Aut}(H)

여기서

\operatorname{Aut}(-)

는 자기 동형군이다.

한원소 집합의 경우 중심화 부분군은 정규화 부분군과 같다.

:

\operatorname C_G(\{g\})=\operatorname N_G(\{g\})\qquad\forall g\in G

군

G

의 부분군

H\le G

에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.

$H=\operatorname C_G(\operatorname C_G(H))$ . 즉, $H$ 는 이중 중심화 부분군 연산의 고정점이다.
$H=\operatorname C_G(S)$ 가 되는 부분 집합 $S\subseteq G$ 가 존재한다. 즉, $H$ 는 중심화 부분군 연산의 상에 속한다.

임의의 두 군

H

,

K

및 군 준동형

:

\phi\colon K\to\operatorname{Aut}(H)

에 대하여, 반직접곱

H\rtimes_\phi K

및 포함 사상

H,K\subseteq H\rtimes_\phi K

을 정의할 수 있다. 이 경우, 다음이 성립한다.

:

\operatorname C_{H\rtimes_\phi K}(K)\cap H=\operatorname N_{H\rtimes_\phi K}(K)\cap H

:

\operatorname C_{H\rtimes_\phi K}(H)\cap K=\ker\phi

2. 3. 환

환

R

의 부분 집합

S\subseteq R

의 중심화 부분환은

S

의 모든 원소와 곱셈에 대해 가환하는

R

의 원소들의 부분환이다.^[2]^[3] 즉, 중심화 부분환은 다음과 같이 정의된다.

:

\operatorname C_M(S)=\{x\in M\colon\forall s\in S\colon sx=xs\}

이는

R

의 부분환을 이룬다. 임의의 나눗셈환

K

의 임의의 부분 집합

S\subseteq K

에 대하여, 중심화 부분환

\operatorname C_K(S)

역시 나눗셈환이다.^[3]

3. 성질

일반적 모노이드 $M$ 의 부분 집합에 대하여, 다음이 성립한다.

: $\operatorname C_M(\varnothing)=\operatorname C_M(\operatorname Z(M))=M$

: $\operatorname C_M(M)=\operatorname Z(M)$

: $\forall S\subseteq M\colon \operatorname C_M(S)=\operatorname C_M(\operatorname C_M(\operatorname C_M(S)))$ ^[3]

: $\forall S\subseteq M\colon\operatorname Z(M)\subseteq\operatorname C_M(S)$

: $\forall S\subseteq M\colon\operatorname C_M(S)=\bigcap_{s\in S}\operatorname C_M(\{s\})$

: $\forall \mathcal S\subseteq\operatorname{Pow}(M)\colon\operatorname C_M\left(\bigcup\mathcal S\right)=\bigcap_{S\in\mathcal S}\operatorname C_M(S)$ ^[3]

: $\forall S,T\subseteq M\colon S\subseteq T\implies\operatorname C_M(S)\supseteq\operatorname C_M(T)$

여기서 $\operatorname Z(-)$ 는 모노이드의 중심이다.

이에 따라, 중심화 부분 모노이드를 취하는 연산은 순서 보존 함수

: $\operatorname C_M(-)\colon \operatorname{Pow}(M)\to\operatorname{Pow}(M)^{\operatorname{op}}$

를 이룬다. (여기서 $\operatorname{Pow}(M)$ 은 멱집합에 부분 집합 관계를 부여하여 얻은 부분 순서 집합이며, $(-)^{\operatorname{op}}$ 은 그 반대 부분 순서를 부여한 부분 순서 집합이다.)

$S' = S''' = S'''''$ 。 즉, 가환자환은 자기 자신의 이중 가환자환과 같다.
$S'' = S'''' = S''''''$ 。 즉, 이중 가환자환은 자기 자신의 이중 가환자환과 같다.

3. 1. 모노이드

일반적 모노이드

M

의 부분 집합에 대하여, 다음이 성립한다.

:

\operatorname C_M(\varnothing)=\operatorname C_M(\operatorname Z(M))=M

:

\operatorname C_M(M)=\operatorname Z(M)

:

\forall S\subseteq M\colon \operatorname C_M(S)=\operatorname C_M(\operatorname C_M(\operatorname C_M(S)))

^[3]

:

\forall S\subseteq M\colon\operatorname Z(M)\subseteq\operatorname C_M(S)

:

\forall S\subseteq M\colon\operatorname C_M(S)=\bigcap_{s\in S}\operatorname C_M(\{s\})

:

\forall \mathcal S\subseteq\operatorname{Pow}(M)\colon\operatorname C_M\left(\bigcup\mathcal S\right)=\bigcap_{S\in\mathcal S}\operatorname C_M(S)

^[3]

:

\forall S,T\subseteq M\colon S\subseteq T\implies\operatorname C_M(S)\supseteq\operatorname C_M(T)

여기서

\operatorname Z(-)

는 모노이드의 중심이다.

이에 따라, 중심화 부분 모노이드를 취하는 연산은 순서 보존 함수

:

\operatorname C_M(-)\colon \operatorname{Pow}(M)\to\operatorname{Pow}(M)^{\operatorname{op}}

를 이룬다. (여기서

\operatorname{Pow}(M)

은 멱집합에 부분 집합 관계를 부여하여 얻은 부분 순서 집합이며,

(-)^{\operatorname{op}}

은 그 반대 부분 순서를 부여한 부분 순서 집합이다.)

$S' = S''' = S'''''$ 。 즉, 가환자환은 자기 자신의 이중 가환자환과 같다.
$S'' = S'''' = S''''''$ 。 즉, 이중 가환자환은 자기 자신의 이중 가환자환과 같다.

3. 1. 1. 이중 중심화 부분 모노이드

일반적 모노이드

M

의 부분 집합에 대하여, 다음이 성립한다.

:

\operatorname C_M(\operatorname C_M(\varnothing))=\operatorname Z(M)

:

\operatorname C_M(M))=M

:

\forall S\subseteq M\colon S\subseteq\operatorname C_M(\operatorname C_M(S))=\operatorname C_M(\operatorname C_M(\operatorname C_M(\operatorname C_M(S))))

:

\forall\mathcal S\subseteq\operatorname{Pow}(M)\colon\operatorname C_M\left(\operatorname C_M\left(\bigcup\mathcal S\right)\right)=\bigcup_{S\in\mathcal S}\operatorname C_M(\operatorname C_M(S))

:

\forall S,T\subseteq M\colon S\subseteq T\implies\operatorname C_M(\operatorname C_M(S))\subseteq\operatorname C_M(\operatorname C_M(T))

이에 따라, 이중 중심화 부분 모노이드를 취하는 연산은 순서 보존 함수

:

\operatorname C_M(\operatorname C_M(-))\colon \operatorname{Pow}(M)\to\operatorname{Pow}(M)

를 이룬다.

특히, 집합

M\setminus\operatorname Z(M)

위에 폐포

:

\operatorname{cl}(S)=\operatorname C_M(S)\setminus\operatorname Z(M)\qquad(S\subseteq M\setminus\operatorname Z(M))

를 정의하면, 이는

M\setminus\operatorname Z(M)

위의 알렉산드로프 위상을 정의한다.

$S' = S''' = S'''''$ 。 즉, 가환자환은 자기 자신의 이중 가환자환과 같다.
$S'' = S'''' = S''''''$ 。 즉, 이중 가환자환은 자기 자신의 이중 가환자환과 같다.

3. 2. 군

군의 부분 집합의 가환식은 항상 부분군을 이루며, '''중심화 부분군'''이라고 한다.

군

G

의 부분 집합

S

의 중심화 부분군은 항상

S

의 정규화 부분군의 정규 부분군이다.

:

\operatorname Z(G)\trianglelefteq\operatorname C_G(S)\trianglelefteq\operatorname N_G(S)

여기서

\operatorname Z(-)

는 군의 중심이며,

\operatorname N_G(-)

는 정규화 부분군이다.^[3]

군

G

의 부분군

H\le G

의 정규화 부분군과 중심화 부분군의 몫군은

H

의 자기 동형군의 부분군과 동형이다 ('''N/C 정리''', N/C theorem^영어).

:

\operatorname N_G(H)/\operatorname C_G(H)\lesssim\operatorname{Aut}(H)

여기서

\operatorname{Aut}(-)

는 자기 동형군이다.

한원소 집합의 경우 중심화 부분군은 정규화 부분군과 같다.

:

\operatorname C_G(\{g\})=\operatorname N_G(\{g\})\qquad\forall g\in G

군

G

의 부분군

H\le G

에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.

$H=\operatorname C_G(\operatorname C_G(H))$ . 즉, $H$ 는 이중 중심화 부분군 연산의 고정점이다.
$H=\operatorname C_G(S)$ 가 되는 부분 집합 $S\subseteq G$ 가 존재한다. 즉, $H$ 는 중심화 부분군 연산의 상에 속한다.

임의의 두 군

H

,

K

및 군 준동형

:

\phi\colon K\to\operatorname{Aut}(H)

에 대하여, 반직접곱

H\rtimes_\phi K

및 포함 사상

H,K\subseteq H\rtimes_\phi K

을 정의할 수 있다. 이 경우, 다음이 성립한다.

:

\operatorname C_{H\rtimes_\phi K}(K)\cap H=\operatorname N_{H\rtimes_\phi K}(K)\cap H

:

\operatorname C_{H\rtimes_\phi K}(H)\cap K=\ker\phi

3. 3. 환

일반적 모노이드의 부분 집합에 대하여 중심화 연산과 관련된 여러 성질들이 성립한다. 특히, 환

R

의 부분 집합

S\subseteq R

에 대한 중심화 부분환

\operatorname C_K(S)

은 (1을 포함하는) 부분환을 이룬다.^[3] 나눗셈환

K

의 부분 집합

S\subseteq K

의 중심화 부분환

\operatorname C_K(S)

는 나눗셈환이다.^[3] 이는

\operatorname C_K(S)

가 부분환이므로, 가역원에 대하여 닫혀 있음을 보이면 증명된다.

3. 4. 가군

균형 잡힌 쌍가군

_RM_S

에 대해,

\operatorname C_{\operatorname{End}(M_{\mathbb Z})}(\phi_M(R))=\operatorname{End}(M_R)

이다. 여기서 우변은

R

-오른쪽 가군의 자기 사상환이다.

M

이 균형 잡힌 가군일 조건은

\operatorname C_{\operatorname{End}(M_{\mathbb Z})}(\operatorname C_{\operatorname{End}(M_{\mathbb Z})}(\phi_M(R)))=\phi_M(R)

이다.

3. 5. 폰 노이만 대수

복소수 힐베르트 공간

V

위의 유계 작용소 폰 노이만 대수

\operatorname B(V,V)

의 부분 대합 대수

S\subseteq\operatorname B(V,V)

를 생각하자. (즉,

S

는 복소수 결합 대수를 이루며, 에르미트 수반에 대하여 닫혀 있다고 하자.) 이 경우, '''폰 노이만 이중 중심화 정리'''(von Neumann bicommutant theorem^영어)에 따르면 다음 집합들이 서로 일치한다.

$S$ 의 이중 중심화 부분환 $\operatorname C_{\operatorname B(V,V)}(\operatorname C_{\operatorname B(V,V)}(S))$
$S$ 의 약한 작용소 위상에서의 폐포
$S$ 의 강한 작용소 위상에서의 폐포
$S$ 로부터 생성되는 폰 노이만 대수

(다만,

S

의 노름 거리 위상에서의 폐포는 항상 C* 대수를 이루지만 폰 노이만 대수가 되지 못할 수 있다.)

4. 예

가환 모노이드일 경우, 임의의 부분 집합 $S\subseteq M$ 에 대하여 $S'=M$ 이다. 즉, 아벨 군의 부분 집합의 중심화 부분군은 그 전체이며, 마찬가지로 가환환의 부분 집합의 중심화 부분환은 그 전체이다.

$\Sigma$ 로 생성되는 자유 모노이드 $M=\Sigma^*$ 가 있을때, 임의의 부분 집합의 중심화 부분 모노이드는 다음과 같다.

: $\operatorname C_{\Sigma^*}(S)=\{s\in\Sigma^*\colon\{s\}^*\supseteq S\}^*$

사원수 대수 $\mathbb H$ 에서, $\mathrm i$ 의 중심화 부분환은 $\mathbb R+\mathbb Ri$ 이다. 보다 일반적으로, 임의의 $x\in\mathbb H$ 에 대하여, $\operatorname{Im}x=(x-\bar x)/2$ 를 생각하면, $\operatorname C_{\mathbb H}(\{x\})=\mathbb R+\mathbb R\operatorname{Im}x$ 이다. 만약 $\operatorname{Im}x\ne0$ 이라면 $\operatorname C_{\mathbb H}(\{x\})$ 는 (환으로서) 복소수체와 동형이다.

참조

_[1] 서적 Quantum Interacting Particle Systems: Lecture Notes of the Volterra-CIRM International School, Trento, Italy, 23-29 September 2000 https://books.google[...] World Scientific
_[2] 서적 Basic algebra I W. H. Freeman and Company 1985
_[3] 서적 Algèbre. Chapitres 1 à 3 Masson 1970

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