회절

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1. 개요
2. 역사
3. 원리
- 3.1. 프레넬 회절과 프라운호퍼 회절
4. 종류
5. 응용
6. 회절 이론
참조

1. 개요

회절은 파동이 장애물을 만나 굴절되는 현상으로, 레오나르도 다 빈치가 그림자 확산에서 관찰했을 가능성이 있다. 프란체스코 마리아 그리말디가 처음으로 관찰하고 '회절'이라는 용어를 사용했으며, 토마스 영은 이중 슬릿 실험을 통해 빛의 파동성을 증명했다. 회절은 파동의 전파 방식에 따라 발생하며, 휘헌스-프레넬 원리와 파동의 중첩 원리로 설명된다. 회절 무늬는 일련의 최대값과 최소값을 가지며, 슬릿, 격자, 원형 구멍 등 다양한 구조에서 나타난다. 일상생활에서 CD, DVD, 카메라, 라디오 등 다양한 분야에 응용되며, X선, 중성자, 전자 회절과 같은 결정 구조 분석에도 활용된다.

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회절
개요
정의	파동이 장애물을 만나거나 좁은 틈을 통과할 때 파동이 퍼지는 현상
관련 현상	간섭, 회절 격자
응용 분야	분광학, X선 결정학
역사
발견	프란체스코 마리아 그리말디 (17세기)
초기 이론	크리스티안 하위헌스
파동 이론 확립	오귀스탱 장 프레넬
설명
원리	하위헌스 원리에 기반
파동 종류	광파, 음파, 물결파 등 모든 파동에서 발생
회절 정도	파장의 길이와 장애물의 크기에 따라 결정
수학적 표현
회절 각도	회절 격자의 경우 d sin θ = mλ (d = 격자 간격, θ = 회절 각도, m = 정수, λ = 파장)
단일 슬릿 회절	sin θ = mλ/a (a = 슬릿 폭)
주요 유형
프라운호퍼 회절	광원과 관측점이 회절체에서 멀리 떨어진 경우
프레넬 회절	광원이나 관측점이 회절체에 가까운 경우
브래그 회절	결정 구조에서 X선 회절에 적용
입자 회절	양자역학에서 입자의 파동성을 나타냄 (예: 전자 회절)
응용
분광학	분광기에서 빛을 파장별로 분리
X선 결정학	결정 구조 분석
현미경	광학 현미경의 해상도 제한 요소
홀로그래피	회절을 이용한 3차원 영상 생성
라디오 전파	전파가 장애물을 돌아 전파되는 현상
양자 간섭	양자역학적 간섭 현상에서 중요한 역할
광통신	광섬유에서 빛의 전파에 영향
음향	음파의 회절 현상 이용 (예: 스피커 설계)
추가 정보
참고 문헌	https://web.archive.org/web/20161201153749/https://books.google.com/books?id=FzYVAAAAQAAJ&pg=PA2 https://web.archive.org/web/20161201075614/https://books.google.com/books?id=KZ4C-1CRtYQC&ots=c_YpkkbTpT&dq=Florian%20Cajori%20history%20of%20physics&pg=PA88 https://books.google.com/books?id=RRfrBwAAQBAJ https://doi.org/10.1016/B0-12-227410-5/00300-8 https://doi.org/10.1038/nnano.2012.34

2. 역사

다 빈치는 그림자의 확산에서 회절을 관찰했을 가능성이 있다.^[7] 빛의 회절 효과는 프란체스코 마리아 그리말디가 처음으로 주의 깊게 관찰하고 특징을 밝혔으며, 빛이 여러 방향으로 흩어지는 것을 가리켜 'diffringere'(조각내다)라는 라틴어에서 유래한 ''회절(diffraction)''이라는 용어를 만들었다. 그리말디의 관찰 결과는 사후인 1665년에 출판되었다.^[8]^[9]^[10] 아이작 뉴턴은 이러한 효과를 연구하여 빛의 ''굴절(inflexion)''로 설명하였다. 제임스 그레고리 (1638년–1675년)는 새의 깃털이 만든 회절 무늬를 관찰했는데, 이는 사실상 최초로 발견된 회절격자였다.^[11] 토마스 영은 1803년에 유명한 실험을 수행하여 두 개의 가까이 놓인 슬릿으로부터의 간섭을 보여주었다.^[12] 그는 두 개의 다른 슬릿에서 나오는 파동의 간섭으로 그의 결과를 설명하면서, 빛이 파동으로 전파되어야 한다는 것을 추론했다. 오귀스탱 장 프레넬은 1816년^[13]과 1818년^[14]에 공개된 회절에 대한 보다 명확한 연구와 계산을 수행하여, 크리스티안 하위헌스^[15]가 제시하고 영이 다시 활기를 불어넣은 빛의 파동 이론을 뉴턴의 입자설에 맞서 크게 뒷받침했다.

3. 원리

고전 물리학에서 회절은 휘헌스-프레넬 원리와 파동의 중첩 원리로 설명된다. 파동의 전파는 파면 상의 매질의 모든 입자를 2차 구면파의 점 광원으로 간주하여 시각화할 수 있다. 어떤 지점에서의 파동 변위는 이러한 2차 파동의 합이다. 파동을 더할 때, 그 합은 개별 파동의 상대적인 위상과 진폭에 따라 결정되므로, 파동의 합산 진폭은 0에서 개별 진폭의 합까지 어떤 값이 될 수 있다. 따라서 회절 무늬는 일반적으로 일련의 최대값과 최소값을 갖는다.^[16]

현대 양자역학적 관점에서 슬릿(또는 슬릿들)을 통한 빛의 전파는 각 광자가 그 파동 함수로 설명되며, 이는 광자에 대한 확률 분포를 결정한다. 밝고 어두운 띠는 광자가 검출될 가능성이 더 높거나 낮은 영역이다. 파동 함수는 슬릿 기하학, 스크린 거리, 광자가 생성될 때의 초기 조건과 같은 물리적 환경에 따라 결정된다. 개별 광자의 파동 특성(다수의 광자 사이의 상호작용에서만 발생하는 파동 특성과는 대조적으로)은 G. I. 테일러가 1909년에 처음 수행한 저강도 이중 슬릿 실험에 의해 암시되었다. 양자적 접근 방식은 휘헌스-프레넬 원리와 몇 가지 유사점을 가진다. 그 원리에 따르면, 빛이 슬릿과 경계를 통과할 때, 이러한 장애물 근처 또는 따라 2차 점 광원이 생성되고, 결과적인 회절 무늬는 서로 다른 광 경로를 갖는 모든 광원의 집합적 간섭을 기반으로 하는 강도 프로필이 된다.

회절된 장을 계산할 수 있는 다양한 해석적 모델에는 키르히호프 회절 방정식(파동 방정식에서 유도됨),^[16] 키르히호프 방정식의 프라운호퍼 회절 근사(원거리장에 적용 가능), 프레넬 회절 근사(근거리장에 적용 가능) 및 파인만 경로 적분 공식이 포함된다.

개별 2차 파동 광원의 상대 위상이 어떻게 변하는지, 특히 위상차가 반 주기를 같을 때 파동이 서로 상쇄되는 조건을 고려하여 많은 회절 현상에 대한 정성적 이해를 얻을 수 있다.

회절에 대한 가장 간단한 설명은 상황을 2차원 문제로 줄일 수 있는 경우이다. 물결의 경우 이미 그렇다. 물결은 물 표면에서만 전파된다. 빛의 경우, 회절체가 그 방향으로 파장보다 훨씬 큰 거리에 걸쳐 뻗어 있다면 종종 한 방향을 무시할 수 있다. 작은 원형 구멍을 통과하는 빛의 경우, 문제의 완전한 3차원적 특성을 고려해야 한다.

3. 1. 프레넬 회절과 프라운호퍼 회절

고전 물리학에서 회절은 휘헌스-프레넬 원리와 파동의 중첩 원리로 설명된다. 파동의 전파는 파면 상의 매질의 모든 입자를 2차 구면파의 점 광원으로 간주하여 시각화할 수 있다. 어떤 지점에서의 파동 변위는 이러한 2차 파동의 합이다. 파동을 더할 때, 그 합은 개별 파동의 상대적인 위상과 진폭에 따라 결정되므로, 파동의 합산 진폭은 0에서 개별 진폭의 합까지 어떤 값이든 될 수 있다. 따라서 회절 무늬는 일반적으로 일련의 최대값과 최소값을 갖는다.

현대 양자역학적 관점에서 슬릿(또는 슬릿들)을 통한 빛의 전파는 각 광자가 그 파동 함수로 설명되며, 이는 광자에 대한 확률 분포를 결정한다. 밝고 어두운 띠는 광자가 검출될 가능성이 더 높거나 낮은 영역이다. 파동 함수는 슬릿 기하학, 스크린 거리, 광자가 생성될 때의 초기 조건과 같은 물리적 환경에 따라 결정된다. 개별 광자의 파동 특성(다수의 광자 사이의 상호작용에서만 발생하는 파동 특성과는 대조적으로)은 G. I. 테일러가 1909년에 처음 수행한 저강도 이중 슬릿 실험에 의해 암시되었다. 양자적 접근 방식은 휘헌스-프레넬 원리와 몇 가지 놀라운 유사점을 가진다. 그 원리에 따르면, 빛이 슬릿과 경계를 통과할 때, 이러한 장애물 근처 또는 따라 2차 점 광원이 생성되고, 결과적인 회절 무늬는 서로 다른 광 경로를 갖는 모든 광원의 집합적 간섭을 기반으로 하는 강도 프로필이 된다. 양자 형식에서, 이것은 슬릿과 경계 주변의 제한된 영역(광자가 더 많이 발생할 가능성이 있는 영역)을 고려하고, 결과적인 강도(고전 형식의 결과 강도에 비례)를 기반으로 확률 분포를 계산하는 것과 유사하다.

회절된 장을 계산할 수 있는 다양한 해석적 모델에는 키르히호프 회절 방정식(파동 방정식에서 유도됨),^[16] 키르히호프 방정식의 프라운호퍼 회절 근사(원거리장에 적용 가능), 프레넬 회절 근사(근거리장에 적용 가능) 및 파인만 경로 적분 공식이 포함된다.

장애물(또는 구멍)의 크기와 파원 및 관측점에서 장애물까지의 거리에 따라 회절은 두 종류로 분류할 수 있다.

프라운호퍼 회절(Fraunhofer diffraction): 장애물로부터 무한대의 거리에 있을 때. 입사파와 회절파가 평면파로 간주될 수 있다.
프레넬 회절(Fresnel diffraction): 장애물로부터 유한한 거리에 있을 때. 입사파와 회절파 모두 또는 한쪽이 평면파로 간주될 수 없다.

4. 종류

회절은 일상생활에서 흔히 볼 수 있는 현상으로, 빛뿐만 아니라 다양한 파동에서 발생한다.

빛의 회절:
CD나 DVD 표면의 촘촘한 트랙은 회절격자 역할을 하여 무지개 패턴을 만든다.
신용카드의 홀로그램도 회절 원리를 이용한 것이다.
대기 중 작은 입자에 의한 빛의 회절은 코로나나 글로리와 같은 현상을 일으킨다.
코로나는 밝은 광원 주위에 밝은 원반과 고리가 생기는 현상이다.
글로리는 관찰자 그림자 주위에 밝은 고리가 생기는 현상이다.
고체 물체의 그림자 가장자리에서 나타나는 작은 간섭 무늬도 회절 때문이다.
카메라의 조리개나 망원경의 지지대에 의해 발생하는 회절 스파이크도 회절 현상이다.
스페클 패턴은 레이저 광이 거친 표면에 닿을 때 나타나는 회절 현상이다.
델리 미트가 진주광택이 나는 것처럼 보이는 것은 고기 섬유에서의 회절 때문이다.^[18]

다른 파동의 회절:
해양 파도는 방파제와 같은 장애물 주위로 회절한다.

소리도 물체 주위로 회절될 수 있어, 나무 뒤에 숨어 있어도 소리를 들을 수 있다.^[19]

회절은 카메라, 망원경, 현미경의 해상도에 근본적인 한계를 설정하여 기술 응용 분야에서 문제가 되기도 한다.

4. 1. 단일 슬릿 회절

평면파 형태로 슬릿에 도달한 파면 위의 모든 점은 하위헌스의 원리에 따라 새로운 구면파의 파원이 된다. 슬릿 상의 모든 점파원에서 생긴 구면파를 P점에서 중첩하면 P점에서의 빛의 세기를 구할 수 있다.

슬릿 폭의 단위 길이당 전기장의 진폭을

E_0

라 하고, 슬릿을 m개의 구간으로 나누었을 때 그 중 하나의 작은 부분을

\Delta x_i

라 하면,

\Delta x_i

에 의한 P점에서의 전기장의 진폭(

E_i

)은 다음과 같다.

:

E  _{i} =E  _{o} \frac {\sin(\omega t-kr  _{i} )} {r_{i}}  \Delta x  _{i}

이 값을 슬릿의 전체 폭 b에 대하여 합하면 점 P에서의 진폭(E)은 다음과 같다.

:

E = \lim_{ m \to \infty } \sum_{i=1}^m E_i {}{}={}{} E_0 \int_{-b/2}^{+b/2} \frac {\sin{(\omega t-kr_i )}} {r_i} dx

위 식의 진폭과 위상을 평면파로 전파한다는 프라운호퍼 조건에 따라 근사한 후에 계산한다. 슬릿상의 각 점파원에 의한 점 P에서의 진폭은

\frac{E_0}{r_i}

로 각각 다르지만

b << L

이므로 모든

r_i

에 대하여

r_i \approx L

로 근사하여 슬릿의 모든 점파원에 의한 점 P에서의 진폭을

\frac{E_0}{L}

으로 근사한다.

점 P에서의 위상인

\sin(\omega t-kr_i)

을 근사하면, 슬릿에서 점 P로 진행하는 파동은 스크린이 멀리 있으므로 평면파라고 생각할 수 있고, 모든 점파원에서 점 P로 향하는 파동의 진행 방향은 평행하므로

r_i = L - x\sin\theta

로 근사할 수 있다. 위의 두 근사를 대입하고 정리하면 점 P에서의 전기장(E)은 다음과 같다.

:

E = \frac{E_o}{L} \int_ {-b/2}^{+b/2} {\sin{(\omega t -k(L - x \sin \theta))}}  dx

이 식을 적분하면 다음과 같다.

:

E = (\frac{E_{0}b}{L}) (\frac{\sin\beta}{\beta}) \sin(\omega t - kL)

이때 새로운 변수 β는 다음과 같다.

:

\beta =( \frac{kb}{2} )\sin \theta = \frac{\pi b\sin \theta }{\lambda }

빛의 세기(I)는 전기장을 제곱하여 평균한 값으로 구한다.

:

\begin{matrix}I &=& E ^2\\&=&(\frac {E_{0} b} {L} )^2 (\frac {\sin \beta }{\beta } )  ^2 \sin  ^2 (\omega t-kL)\\&=&\frac{1}{2} (\frac {E  _{0} b}{L} )  ^2 (\frac {\sin \beta } {\beta } )  ^2\end{matrix}

\theta =0

에서는

\beta=0

이 되어

{\sin \beta \over \beta} = 1

이 된다. 그러므로 θ=0 일 때의 빛의 세기(

I  _{\theta =0}

)는

I  _{\theta =0} = {1 \over 2} \left( {E_{0} b \over L} \right)^{2}

이다. 따라서 빛의 세기(I)는 다음과 같다.

:

I=I_{\theta =0} \left( {\sin \beta  \over \beta } \right)  ^2

분자의

\sin^2 \beta

은 0과 1 사이에서 진동하므로 β가 커짐에 따라 빛의 세기가 점점 약해 지면서 주기적으로 극대인 곳과 0인 곳이 나타난다.

무한히 작은 폭의 긴 슬릿에 빛이 비추면 빛이 일련의 원형파로 회절되고, 슬릿에서 나오는 파면은 휘헌스-프레넬 원리에 따라 균일한 세기의 원통형 파가 된다.

파장보다 넓은 슬릿에 빛이 비추면 슬릿 하류 공간에서 간섭 효과가 발생한다. 입사광이 결맞는 경우, 이러한 광원은 모두 같은 위상을 갖는다. 슬릿 하류 공간의 특정 지점에 입사하는 빛은 이러한 점 광원 각각의 기여로 구성되며, 이러한 기여의 상대 위상이

2\pi

이상으로 변하면 회절광에서 최소값과 최대값을 찾을 수 있다.

회절광에서 첫 번째 최소값이 얻어지는 각도는 다음과 같다. 슬릿 상단 가장자리에 위치한 광원에서 나오는 빛은 슬릿 중간에 위치한 광원과 파장 차이가

\lambda/2

일 때 상쇄 간섭을 일으킨다. 슬릿 전체 높이에 대해 이러한 추론을 계속하면, 최소 강도는 다음과 같이 주어지는 각도

\theta_\text{min}

에서 발생한다.

:

d\,\sin\theta_\text{min} = \lambda,

여기서

d

는 슬릿의 폭,

\theta_\text{min}

은 최소 강도가 발생하는 입사각,

\lambda

는 빛의 파장이다.

비슷한 논리로 슬릿을 4개, 6개, 8개 등으로 나눈다고 가정하면 최소값은 다음과 같이 주어지는 각도

\theta_{n}

에서 얻어진다.

:

d\,\sin\theta_{n} = n \lambda,

여기서

n

은 0이 아닌 정수이다.

회절 무늬의 최대값을 찾을 수 있는 간단한 논증은 없다. 강도 분포는 프라운호퍼 회절 방정식을 사용하여 다음과 같이 계산할 수 있다.

:

I(\theta) = I_0 \, \operatorname{sinc}^2 \left( \frac{d \pi}{\lambda} \sin\theta \right),

여기서

I(\theta)

는 특정 각도에서의 강도,

I_0

는 중앙 최대값(

\theta = 0

)에서의 강도이며, 이는

\theta = -\frac{\pi}{2}

에서

\theta = \frac{\pi}{2}

까지의 적분과 에너지 보존에 의해 결정될 수 있는 강도 분포의 정규화 계수이기도 하며,

\operatorname{sinc} x = \frac{\sin x}{x}

는 정규화되지 않은 싱크 함수이다.

이 분석은 원거리장(프라운호퍼 회절)에만 적용되며, 즉 슬릿 폭보다 훨씬 큰 거리에서 적용된다.

위의 강도 분포에서

d \ll \lambda

인 경우 강도는

\theta

에 거의 의존하지 않으므로 슬릿에서 나오는 파면은 방위각 대칭성을 갖는 원통형 파와 유사하다.

d \gg \lambda

인 경우

\theta \approx 0

만 상당한 강도를 갖게 되므로 슬릿에서 나오는 파면은 기하광학의 파면과 유사하다.

빛의 슬릿에 대한 입사각

\theta_\text{i}

가 0이 아닌 경우(경로 길이의 변화를 야기함), 프라운호퍼 영역(즉, 원거리장)의 강도 분포는 다음과 같이 된다.

:

I(\theta) = I_0 \, \operatorname{sinc}^2 \left[ \frac{d \pi}{\lambda} (\sin\theta \pm \sin\theta_\text{i})\right]

플러스/마이너스 부호의 선택은 입사각

\theta_\text{i}

의 정의에 따라 달라진다.

4. 2. 회절 격자

회절격자는 규칙적인 패턴을 가진 광학 부품이다. 격자에 의해 회절된 빛의 형태는 요소의 구조와 존재하는 요소의 수에 따라 달라지지만, 모든 격자는 다음과 같은 격자 방정식에 의해 주어지는 각도 θ_m에서 강도 최댓값을 갖는다.

:

d \left( \sin{\theta_m} \pm \sin{\theta_i} \right) = m \lambda,

여기서 θ_i는 빛이 입사하는 각도이고, d는 격자 요소의 간격이며, m은 양수 또는 음수일 수 있는 정수이다.

격자에 의해 회절된 빛은 각 요소에서 회절된 빛을 합산하여 찾을 수 있으며, 본질적으로 회절과 간섭 패턴의 컨벌루션이다.

그림은 격자 간격이 같은 2요소 및 5요소 격자에 의해 회절된 빛을 보여준다. 최댓값은 같은 위치에 있지만, 강도의 세부 구조는 다르다는 것을 알 수 있다.

4. 3. 원형 구멍 회절

원형 구멍에 입사하는 평면파의 원거리 회절은 종종 에어리 디스크라고 한다. 각도에 따른 세기의 변화는 다음과 같다.

:

I(\theta) = I_0 \left ( \frac{2 J_1(ka \sin \theta)}{ka \sin \theta} \right )^2 ,

여기서

a

는 원형 구멍의 반지름이고,

k

는

2\pi/\lambda

와 같으며,

J_1

은 베셀 함수이다. 구멍이 작을수록 주어진 거리에서 점 크기가 커지고 회절된 빔의 발산이 커진다.

4. 4. 결정 회절

양자 이론에 따르면 모든 입자는 파동의 성질을 나타내므로 회절될 수 있다. 전자와 중성자의 회절은 양자 역학을 뒷받침하는 강력한 증거 중 하나이다. 입자와 관련된 파장은 드 브로이 파장이다.

:

\lambda=\frac{h}{p} \, ,

여기서

h

는 플랑크 상수이고

p

는 입자의 운동량(느리게 움직이는 입자의 경우 질량 × 속도)이다. 예를 들어, 약 300m/s로 이동하는 나트륨 원자는 약 50피코미터의 드 브로이 파장을 가진다.

물질파의 회절은 전자, 중성자, 원자, 심지어 큰 분자와 같은 작은 입자에서 관찰되었다. 이러한 물질파의 짧은 파장은 고체의 원자 결정 구조, 작은 분자 및 단백질을 연구하는 데 이상적이다.

결정 내 수천 개의 원자와 같이 큰 3차원 주기적 구조에서의 회절을 브래그 회절이라고 한다. 이는 파동이 회절격자에서 산란될 때 발생하는 현상과 유사하다. 브래그 회절은 많은 다른 결정면에서 반사되는 파동 간의 간섭의 결과이다.

보강 간섭의 조건은 브래그 법칙으로 주어진다.

:

m \lambda = 2 d \sin \theta ,

여기서

\lambda

는 파장,

d

는 결정면 간의 거리,

\theta

는 회절파의 각도,

m

은 회절빔의 차수로 알려진 정수이다.

브래그 회절은 X선과 같은 매우 짧은 파장의 전자기파 또는 원자 간격 정도(또는 그보다 훨씬 작은)의 파장을 갖는 중성자 및 전자와 같은 물질파를 사용하여 수행될 수 있다.^[23] 생성된 패턴은 결정학적 평면

d

의 분리를 나타내는 정보를 제공하여 결정 구조를 추론할 수 있게 한다.

전자선이나 중성자선 등을 결정에 쬐어 얻어지는 회절무늬를 통해 결정구조를 해석할 수 있다. 이는 전자기파인 X선으로도 마찬가지로 결정구조 해석이 가능하다. 각각 전자회절법, 중성자회절법, X선회절법으로서 결정구조 해석 기법이 확립되어 있다.

5. 응용

담장 너머의 사람이 보이지는 않아도 말하는 소리는 들을 수 있다. 소리(음파)는 공기를 매질로 하는 파동이므로 회절이 일어난다. 따라서 담장 너머의 말소리는 담장 위쪽을 돌아 반대편까지 전달된다.^[19]

사진기의 조리개를 조이면 선명한 사진을 얻을 수 있지만 과도하게 조이면 오히려 사진의 품질이 떨어지기도 한다. 이것은 조리개를 구성하는 여러 개의 날 사이의 틈을 지나는 빛이 회절에 의해 분산되기 때문이다.

라디오의 AM방송은 FM방송에 비해서 수신이 잘 된다. 이는 AM방송에 쓰는 전파의 파장이 FM방송에 사용되는 파장의 길이보다 길어서 건물이나 장애물을 만났을 때 회절되어 구석구석 잘 전달되기 때문이다.

회절 효과는 일상생활에서 흔히 볼 수 있다. 회절의 가장 두드러진 예는 빛과 관련된 것들이다. 예를 들어, CD 또는 DVD의 밀집된 트랙은 회절격자 역할을 하여 디스크를 볼 때 익숙한 무지개 패턴을 형성한다.

이 원리는 원하는 회절 패턴을 생성하는 구조를 가진 격자를 설계하는 데 확장될 수 있다. 신용카드의 홀로그램이 그 예이다.

작은 입자에 의한 대기 중 회절은 코로나를 발생시킬 수 있는데, 이는 태양이나 달과 같은 밝은 광원 주위에 밝은 원반과 고리가 생기는 현상이다. 반대쪽 지점에서는 글로리를 관찰할 수도 있는데, 이는 관찰자 그림자 주위에 밝은 고리가 생기는 현상이다. 코로나와 달리 글로리 현상은 입자가 투명한 구체(안개 방울과 같음)여야 한다. 왜냐하면 글로리를 형성하는 빛의 후방 산란은 방울 내부의 굴절과 내부 반사를 포함하기 때문이다.

소형 광원에서 나오는 빛을 사용하여 고체 물체의 그림자를 보면 가장자리 근처에 작은 간섭 무늬가 나타난다.

원형 장애물 그림자 중앙에 보이는 밝은 점(아라고 점)은 회절 때문이다.

회절 스파이크는 카메라의 비원형 조리개 또는 망원경의 지지대에 의해 발생하는 회절 패턴이다. 일반적인 시력에서 속눈썹을 통한 회절이 이러한 스파이크를 생성할 수 있다.

밀레니엄 브리지 끝에서 본 풍경; 사우스워크 브리지 위로 떠오르는 달. 가로등이 템스 강에 비치고 있다.

레이저 광이 광학적으로 거친 표면에 닿을 때 관찰되는 스페클 패턴 또한 회절 현상이다. 델리 미트가 진주광택이 나는 것처럼 보이는 것은 고기 섬유에서의 회절 때문이다.^[18] 이러한 모든 효과는 빛이 파동으로 전파된다는 사실의 결과이다.

회절은 어떤 종류의 파동에서도 발생할 수 있다. 해양 파도는 방파제 및 기타 장애물 주위로 회절된다.

회절은 일부 기술 응용 분야에서 문제가 될 수도 있다. 회절은 카메라, 망원경 또는 현미경의 해상도에 근본적인 한계를 설정한다.

영상 시스템의 세부 묘사 해상도는 궁극적으로 회절에 의해 제한된다. 이는 원형 렌즈 또는 거울에 입사하는 평면파가 회절되기 때문이다. 빛은 한 점에 초점이 맞춰지는 것이 아니라 초점면에 중앙점을 갖는 에어리 원반을 형성하며, 그 반지름(첫 번째 영점까지 측정)은 다음과 같다.

:\Delta x = 1.22 \lambda N

여기서 \lambda는 빛의 파장이고 N은 영상 광학계의 F수(초점 거리 f를 구경 직경 D로 나눈 값)이다. 이는 N ≫ 1(파라악시알 경우)일 때 엄밀하게 정확하다. 물체 공간에서 해당 각 분해능은 다음과 같다.

: \theta \approx \sin \theta = 1.22 \frac{\lambda}{D},

여기서 D는 영상 렌즈(예: 망원경의 주 반사경)의 입사 동공 직경이다.

두 점 광원은 각각 에어리 패턴을 생성한다. 점 광원이 서로 가까워짐에 따라 패턴이 겹치기 시작하고, 궁극적으로 단일 패턴으로 합쳐져 영상에서 두 점 광원을 분해할 수 없게 된다. 레일리 기준은 두 점 광원의 분리가 에어리 원반의 반지름 이상일 때, 즉 한 광원의 첫 번째 최소값이 다른 광원의 최대값과 일치할 때 두 점 광원이 "분해되었다"고 간주한다.

따라서 렌즈의 구경이 파장에 비해 클수록 영상 시스템의 해상도가 더욱 정밀해진다. 이것이 천문 망원경이 큰 대물렌즈를 필요로 하고, 현미경 대물렌즈가 최대한 높은 해상도를 얻기 위해 큰 수치 구경(작동 거리에 비해 큰 구경 직경)을 필요로 하는 이유 중 하나이다.

2010년대 이후로 단일 생물학적 입자를 이미징하는 새로운 방법이 등장했는데, 이는 X선 자유전자레이저가 생성하는 밝은 X선을 이용한 것이다. 이러한 펨토초 지속 시간의 펄스는 단일 생물학적 거대분자의 (잠재적인) 이미징을 가능하게 한다. 이러한 짧은 펄스 덕분에 방사선 손상을 극복할 수 있으며, 단일 생물학적 거대분자의 회절 패턴을 얻을 수 있다.^[28]^[29]

사진 촬영에서도 조리개를 조이면 빛의 회절 현상으로 인해 영상의 선명도가 저하된다.

레이저는 전파될 때 회절에 의해 그 변화 양상이 결정된다. 레이저의 출력 미러가 구멍(開口部) 역할을 하며, 그 구멍에 의해 광선의 형태가 결정된다. 따라서 출력 광선이 작을수록 광선은 더 빨리 분기된다. 다이오드 레이저가 He-Ne 레이저보다 더 크게 분기되는 것은 이 때문이다.

그러나 반대로 이 레이저의 발산은 억제할 수 있다. 먼저 레이저 광을 볼록 렌즈를 사용하여 확장시킨다. 다음으로 두 번째 볼록 렌즈로 레이저 광을 평행하게 만든다. 이때 초점은 첫 번째 렌즈에 맞추도록 한다. 이 결과 레이저의 구멍(開口部)이 커지므로 광선의 발산은 억제된다.

1873년에 에른스트 아베(Ernst Abbe)는 광학 현미경의 분해능을 높이는 데 어려움이 있음을 다음 식으로 보였다.

:빛의 파장: λ, 매질의 굴절률: n, 입사각: θ, 개구수: NA

:d = λ / (2n \sin θ) = λ / (2NA)

기존의 기하광학계에서는 회절 한계 때문에 광학 현미경의 분해능은 200나노미터가 한계로 여겨져 왔다.^[30] 최근에 이 한계를 극복하는 초고해상도 현미경이 점차 보급되고 있다.^[30] 또한 집적회로 제조에서는 스테퍼에 사용되는 광원의 파장이 짧을수록 미세화가 가능하지만, 실용적인 파장을 짧게 하는 데는 한계가 있으므로 액침에 의해 굴절률을 높이거나 개구수를 크게 하면 분해능이 향상된다.

최근 제조업을 중심으로 회절 현상을 활용한 공업 제품이 증가하고 있다.

기업명	제품
주식회사 日立하이테크	X선 회절 장치(XDR)
주식회사 팔스텍공업	X선 잔류응력 측정 장치, 열처리 경화층 깊이 측정 장치
주식회사 시마즈제작소	평면 회절격자, 오목 회절격자

6. 회절 이론

하위헌스의 원리에 따르면, 평면파가 슬릿에 도달했을 때 파면 위의 모든 점은 새로운 구면파의 파원, 즉 점파원이 된다. 점 P에서 슬릿 상의 모든 점파원에서 발생한 구면파를 중첩하면 해당 지점의 빛의 세기를 구할 수 있다.

슬릿 폭의 단위 길이당 전기장 진폭을 $E_0$ 라 하고, 슬릿을 m개의 구간으로 나누었을 때 그 중 하나의 작은 부분을 $\Delta x_i$ 라 하면, $\Delta x_i$ 에 의한 P점에서의 전기장 진폭( $E_i$ )은 다음과 같다.

: $E _{i} =E _{o} \frac {\sin(\omega t-kr _{i} )} {r_{i}} \Delta x _{i}$

이 값을 슬릿의 전체 폭 b에 대하여 합하면 점 P에서의 진폭(E)은 다음과 같다.

: $E = \lim_{ m \to \infty } \sum_{i=1}^m E_i {}{}={}{} E_0 \int_{-b/2}^{+b/2} \frac {\sin{(\omega t-kr_i )}} {r_i} dx$

위 식의 진폭과 위상을 평면파로 전파한다는 프라운호퍼 조건에 따라 근사하여 계산한다. 먼저 점 P에서의 진폭( $\frac{E_0}{r_i}$ )을 근사한다. 슬릿상의 각 점파원에 의한 점 P에서의 진폭은 $\frac{E_0}{r_i}$ 로 각각 다르지만 $b << L$ 이므로 모든 $r_i$ 에 대하여 $r_i \approx L$ 로 근사하여 슬릿의 모든 점파원에 의한 점 P에서의 진폭을 $\frac{E_0}{L}$ 으로 근사한다.

다음으로 점 P에서의 위상인 $\sin(\omega t-kr_i)$ 을 근사한다. 위상은 각 점파원의 위치에 따라 크게 변하므로 주의해야 한다. 스크린이 멀리 있을 때 슬릿에서 점 P로 진행하는 파동은 평면파로 간주할 수 있다. 모든 점파원에서 점 P로 향하는 파동의 진행 방향은 평행하므로 $r_i = L - x\sin\theta$ 로 근사할 수 있다. 위의 두 근사를 대입하고 정리하면 점 P에서의 전기장(E)은 다음과 같다.

: $E = \frac{E_o}{L} \int_ {-b/2}^{+b/2} {\sin{(\omega t -k(L - x \sin \theta))}} dx$

이 식을 적분하면

: $E = (\frac{E_{0}b}{L}) (\frac{\sin\beta}{\beta}) \sin(\omega t - kL)$

이 된다. 이때 새로운 변수 β는 다음과 같다.

: $\beta =( \frac{kb}{2} )\sin \theta = \frac{\pi b\sin \theta }{\lambda }$

직접 관찰 가능한 빛의 세기(I)는 전기장을 제곱한 값이다. 전기장(E)은 시간에 따라 매우 빠르게 변하므로, 빛의 세기(I)는 다음과 같이 전기장을 제곱하여 평균한 값으로 구한다.

: $\begin{matrix}I &=& E ^2\\&=&(\frac {E_{0} b} {L} )^2 (\frac {\sin \beta }{\beta } ) ^2 \sin ^2 (\omega t-kL)\\&=&\frac{1}{2} (\frac {E _{0} b}{L} ) ^2 (\frac {\sin \beta } {\beta } ) ^2\end{matrix}$

$\theta =0$ (슬릿의 중심 방향) 에서는 $\beta=0$ 이 되어 분자와 분모가 0이 되지만 β가 0에 가까워질수록 sinβ는 β와 같은 값을 가지게 되며 결국 β=0 일 때 극한의 성질에 의하여 ${\sin \beta \over \beta} = 1$ 이 된다. 그러므로 θ=0 일 때의 빛의 세기( $I _{\theta =0}$ )는 $I _{\theta =0} = {1 \over 2} \left( {E_{0} b \over L} \right)^{2}$ 이다. 따라서 빛의 세기(I)는

: $I=I_{\theta =0} \left( {\sin \beta \over \beta } \right) ^2$

으로 나타낼 수 있다. 식을 해석하면 분모의 $\beta^2$ 은 점점 커지는데 비해서 분자의 $\sin^2 \beta$ 은 0과 1 사이에서 진동하므로 β가 커짐에 따라 빛의 세기가 점점 약해 지면서 주기적으로 최대값과 0이 나타난다.

점광원에서 발생하는 파동의 진폭 ψ는 위치 r에서 점광원에 대한 주파수 영역 파동 방정식(즉, 헬름홀츠 방정식)의 해로 주어진다.

: $\nabla^2 \psi + k^2 \psi = \delta(\mathbf r),$

여기서 $\delta(\mathbf r)$ 은 3차원 델타 함수이다. 델타 함수는 반지름 의존성만 가지므로, 구면 좌표계에서의 라플라스 연산자(스칼라 라플라시안)는 다음과 같이 간소화된다.

: $\nabla ^2\psi = \frac{1}{r} \frac {\partial ^2}{\partial r^2} (r \psi) .$

(원통 및 구면 좌표계에서의 델 연산자 참조) 직접 대입을 통해 이 방정식의 해는 스칼라 그린 함수임을 쉽게 보일 수 있으며, 구면 좌표계에서 (그리고 물리학적 시간 규약 $e^{-i \omega t}$ 를 사용하여) 다음과 같다.

: $\psi(r) = \frac{e^{ikr}}{4 \pi r}.$

이 해는 델타 함수 광원이 원점에 있다고 가정한다. 광원이 벡터 $\mathbf r'$ 로 표시되는 임의의 광원점에 위치하고, 계측점이 점 $\mathbf r$ 에 위치하는 경우, 임의의 광원 위치에 대한 스칼라 그린 함수를 다음과 같이 나타낼 수 있다.

: $\psi(\mathbf r | \mathbf r') = \frac{e^{ik | \mathbf r - \mathbf r' | }}{4 \pi | \mathbf r - \mathbf r' |}.$

따라서, 전기장 $E_\mathrm{inc}(x, y)$ 이 구멍에 입사하는 경우, 이 구멍 분포에 의해 생성되는 장은 다음 면적분으로 주어진다.

: $\Psi(r)\propto \iint\limits_\mathrm{aperture} \!\! E_\mathrm{inc}(x',y') ~ \frac{e^{ik | \mathbf r - \mathbf r'|}}{4 \pi | \mathbf r - \mathbf r' |} \,dx'\, dy',$

여기서 구멍의 광원점은 다음 벡터로 주어진다.

:

\mathbf{r}' = x' \mathbf{\hat{x}} + y' \mathbf{\hat{y}}.

원거리장에서 평행광선 근사를 사용할 수 있는 경우, 그린 함수

:

\psi(\mathbf r | \mathbf r') = \frac{e^{ik | \mathbf r - \mathbf r' |} }{4 \pi | \mathbf r - \mathbf r' |},

는 위 그림에서 볼 수 있듯이 다음과 같이 간소화된다.

:

\psi(\mathbf{r} | \mathbf{r}') = \frac{e^{ik r}}{4 \pi r} e^{-ik ( \mathbf{r}' \cdot \mathbf{\hat{r}})}

원거리장(프라운호퍼 영역)에 대한 식은 다음과 같이 된다.

:

\Psi(r)\propto \frac{e^{ik r}}{4 \pi r} \iint\limits_\mathrm{aperture} \!\! E_\mathrm{inc}(x',y') e^{-ik  ( \mathbf{r}' \cdot \mathbf{\hat{r}} ) } \, dx' \,dy'.

이제,

:

\mathbf{r}' = x' \mathbf{\hat{x}} + y' \mathbf{\hat{y}}

이고

:

\mathbf{\hat{r}} =  \sin \theta \cos \phi \mathbf{\hat{x}} + \sin \theta ~ \sin \phi ~ \mathbf{\hat{y}} +  \cos \theta \mathbf{\hat{z}},

이므로, 평면 구멍으로부터의 프라운호퍼 영역 장에 대한 식은 이제 다음과 같이 된다.

:

\Psi(r) \propto \frac{e^{ik r}}{4 \pi r} \iint\limits_\mathrm{aperture} \!\! E_\mathrm{inc}(x',y') e^{-ik \sin \theta (\cos \phi x' + \sin \phi y')} \, dx' \, dy'.

다음과 같이 하면

:

k_x = k \sin \theta \cos \phi

그리고

:

k_y = k \sin \theta \sin \phi \,,

평면 구멍의 프라운호퍼 영역 장은 푸리에 변환의 형태를 취한다.

:

\Psi(r)\propto \frac{e^{ik r}}{4 \pi r} \iint\limits_\mathrm{aperture} \!\! E_\mathrm{inc}(x',y') e^{-i (k_x x' + k_y y') } \, dx' \, dy' ,

원거리장/프라운호퍼 영역에서 이것은 구멍 분포의 공간 푸리에 변환이 된다. 구멍에 적용되는 호이겐스 원리는 원거리장 회절 패턴이 구멍 모양의 공간 푸리에 변환이라고 간단히 말하며, 이것은 평행광선 근사를 사용하는 것의 직접적인 부산물이며, 이것은 구멍 평면 장의 평면파 분해와 동일하다(푸리에 광학 참조).

레이저 빔의 빔 프로파일이 진행됨에 따라 변하는 방식은 회절에 의해 결정된다. 방출된 빔 전체가 평면적인 공간적으로 결맞는 파면을 가질 때, 그것은 가우시안 빔 프로파일을 근사하고 주어진 지름에 대해 가장 낮은 발산을 갖는다. 출력 빔이 작을수록 더 빨리 발산된다. 하나의 볼록 렌즈를 사용하여 먼저 레이저 빔을 확장한 다음, 초점이 첫 번째 렌즈의 초점과 일치하는 두 번째 볼록 렌즈를 사용하여 콜리메이트함으로써 레이저 빔의 발산을 줄일 수 있다. 그 결과 빔의 지름이 커지고 따라서 발산이 낮아진다. 전파 매질의 굴절률이 빛의 세기에 따라 증가하면 레이저 빔의 발산을 가우시안 빔의 회절보다 낮게 줄이거나 심지어 수렴으로 역전시킬 수 있다.^[20] 이것은 자체 집속 효과를 초래할 수 있다.

방출된 빔의 파면에 섭동이 있는 경우, 레이저 빔의 발산을 결정할 때 가우시안 빔 지름으로 가로 결맞음 길이(파면 섭동이 파장의 1/4 미만인 곳)만 고려해야 한다. 수직 방향의 가로 결맞음 길이가 수평 방향보다 높으면 레이저 빔 발산은 수평 방향보다 수직 방향에서 더 낮다.

레이저 포인터를 사용할 때 보이는 스페클 패턴은 또 다른 회절 현상이다. 이는 레이저 빔이 거친 표면을 비출 때 생성되는 서로 다른 위상을 가진 많은 파동의 중첩 결과이다. 이러한 파동들은 합쳐져서 진폭, 따라서 세기가 무작위로 변하는 합성파를 만든다.

회절에 대한 설명은 같은 광원에서 나와 스크린의 같은 지점에 도달하는 서로 다른 경로의 파동의 간섭에 의존한다. 이 설명에서 서로 다른 경로를 거친 파동 간의 위상차는 유효 경로 길이에만 의존한다. 이것은 스크린에 동시에 도착하는 파동이 광원에서 서로 다른 시간에 방출되었다는 사실을 고려하지 않는다. 광원이 파동을 방출하는 초기 위상은 시간에 따라 예측할 수 없는 방식으로 변할 수 있다. 즉, 너무 멀리 떨어진 시간에 광원에서 방출된 파동은 더 이상 일정한 간섭 무늬를 형성할 수 없는데, 그 이유는 그들의 위상 간의 관계가 더 이상 시간에 무관하지 않기 때문이다.^[24]

빛의 빔에서 위상이 상관되는 길이를 결맞음 길이라고 한다. 간섭이 발생하려면 경로 길이 차이가 결맞음 길이보다 작아야 한다. 이것은 때때로 파동에서 서로 다른 주파수 성분의 존재와 관련이 있기 때문에 스펙트럼 결맞음이라고도 한다. 원자 전이에 의해 방출되는 빛의 경우, 결맞음 길이는 원자가 전이를 일으킨 여기 상태의 수명과 관련이 있다.^[25]^[26]

파동이 넓은 광원에서 방출되는 경우, 이는 가로 방향의 비결맞음을 초래할 수 있다. 빛의 빔의 단면을 볼 때, 위상이 상관되는 길이를 가로 결맞음 길이라고 한다. 영의 이중 슬릿 실험의 경우, 가로 결맞음 길이가 두 슬릿 사이의 간격보다 작다면 스크린에 나타나는 패턴은 두 개의 단일 슬릿 회절 패턴처럼 보일 것이다.^[25]

전자, 중성자, 원자와 같은 입자의 경우, 결맞음 길이는 입자를 설명하는 파동 함수의 공간적 범위와 관련이 있다.^[27]

전자선이나 중성자선 등을 결정에 쬐어 얻어지는 회절무늬를 통해 결정구조를 해석할 수 있다. 이는 전자기파인 X선으로도 마찬가지로 결정구조 해석이 가능하다. 각각 전자회절법, 중성자회절법, X선회절법으로서 결정구조 해석 기법이 확립되어 있다.

회절에 대한 이론은 다음과 같이 분류할 수 있다.

구분	내용
운동학적 회절 이론	단일 산란만을 고려
동역학적 회절 이론	다중 산란을 고려

X선 회절과 중성자 회절은 산란 단면적이 작기 때문에 대부분 운동학적 회절 이론으로 다룰 수 있지만, 전자 회절은 산란 단면적이 크기 때문에 동역학적 회절 이론으로 다루어야 할 필요가 생긴다.

참조

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_[23] 서적 Diffraction physics North-Holland 1975
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_[25] 서적 Introduction to Modern Optics Courier Corporation 1975
_[26] 서적 Optics Addison Wesley 2002
_[27] 서적 Reflection High-Energy Electron Diffraction https://books.google[...] Cambridge University Press 2004-12-13
_[28] 학술지 Potential for biomolecular imaging with femtosecond X-ray pulses https://www.nature.c[...] 2000-08
_[29] 학술지 Diffraction before destruction 2014-07-17
_[30] 학술지 Beyond the diffraction limit: far-field fluorescence imaging with ultrahigh resolution https://api.semantic[...] Royal Society of Chemistry 2007

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