계산자

3. 기본 원리 및 작동 방식

계산자는 로그의 성질을 이용하여 곱셈과 나눗셈을 덧셈과 뺄셈으로 변환하여 계산하는 도구이다. 복잡한 곱셈과 나눗셈을 로그를 취하여 간단한 덧셈과 뺄셈으로 바꾸고, 계산이 끝나면 다시 로그의 역함수를 이용하여 원래의 값을 얻는다.^[1]

• 고정자 (기준자, 기척): 계산자에서 움직이지 않는 부분 (흰색 부분)이다. 활주자를 사이에 두고 위아래에 위치하며, 서로 움직일 수 없다.
• 활주자 (활주척, 갓척, 중자, 중척): 위아래 고정자 사이에 위치하며 좌우로 움직일 수 있는 부분 (연한 파란색 부분)이다.
• 커서: 고정자와 활주자를 가로질러 좌우로 움직이는 투명판 부분이다. 커서에는 값을 비교하는 데 사용되는 커서선 (모선)이 새겨져 있다.

3. 1. 로그 눈금

3. 1. 1. 곱셈

3. 1. 2. 나눗셈

3. 1. 3. 비례식 및 백분율 문제 해결

3. 2. 기타 눈금

S, T, ST 눈금은 삼각 함수와 삼각 함수의 배수를 위해 사용되며, 각도는 도(degree)로 표시된다.^[7] 약 5.7도에서 90도까지의 각도에 대한 사인 값은 S 눈금을 C(또는 D) 눈금과 비교하여 찾는다. 5.7도 미만의 각도에 대해서는 사인, 탄젠트 및 라디안이 대략 같으며, ST 또는 SRT (사인, 라디안 및 탄젠트) 눈금에서 찾거나, 단순히 57.3도/라디안으로 나누어 구할 수 있다. 역삼각 함수는 이 과정을 반대로 하여 찾는다.

많은 계산자는 S, T, ST 눈금에 도 및 분 단위로 표시되어 있거나, 도의 십진 분수를 사용한다.

(거의) 모든 엄격한 단조 척도를 사용하면 한 번의 움직임으로 다른 계산도 수행할 수 있다.^[9][10] 예를 들어, 역수 척도는 $\backslash frac\{1\}\{x\}\; +\; \backslash frac\{1\}\{y\}=\backslash frac\{1\}\{z\}$ (병렬 저항 계산, 조화 평균 등)에 사용할 수 있으며, 이차 척도는 $x^2\; +\; y^2\; =\; z^2$을 푸는 데 사용할 수 있다.

계산자의 주요 척의 명칭과 용도는 다음과 같다.

• '''C척, D척''': D척은 아래쪽 고정 척에 위치한 1~10의 대수 스케일이 새겨진 척, C척은 활주 척에 위치한 척으로, 존재하는 위치가 다를 뿐 눈금의 새김 방식은 같다. 곱셈, 나눗셈을 비롯하여 거의 모든 계산에 사용된다. C척에는 $\backslash sqrt\{\backslash frac\{4\}\{\backslash pi\}\}$ 위치에 "C" 게이지 마크가 있으며, 주로 원의 면적을 구하는 데 사용된다.
• '''A척, B척''': A척은 위쪽 고정 척에 위치한 척, B척은 활주 척에 위치한 척으로, 존재하는 위치가 다를 뿐 눈금의 새김 방식은 같다. D척을 절반으로 줄여 가로로 2개를 나란히 배열하여 눈금 범위를 1~100으로 만든 것이다. 제곱, 제곱근 계산에 사용된다.
• '''K척''': K척은 일반적으로 위쪽 고정 척에 위치한다. D척을 3분의 1로 줄여 가로로 3개를 나란히 배열하여 눈금 범위를 1~1000('''K'''ilo)으로 만든 것이다. 세제곱, 세제곱근 계산에 사용된다.
• '''CI척''': CI척은 활주 척에 있으며, C척을 반대 방향('''I'''nverse)으로 눈금을 새긴 것이다. 곱셈, 나눗셈을 비롯하여 거의 모든 계산에 사용되지만, 특히 연승 제산과 역수 계산에 사용된다.
• '''DF척, CF척, CIF척''': DF척은 고정 척, CF척은 활주 척에 있으며, 각각 D척, C척을 $\backslash sqrt\{10\}$ 또는 $\backslash pi$만큼 이동시킨('''F'''old) 것이다. CIF척은 활주 척에 있으며, 기준선이 CF척과 일치하도록 CI척을 이동시킨 것이다. 각각 D척, C척, CI척 대신 사용되는 것으로, 계산 시간 단축 및 눈금 밖으로 벗어나는 경우(해답이 척 밖으로 벗어나는 경우)의 계산에 사용된다.
• '''L척''': L척은 등간격의 눈금이 새겨져 있으며, 10을 밑으로 하는 지수, 로그 계산에 사용되는 척이다. 일부 계산자에는 네이피어 수 $e$를 밑으로 하는 자연 로그용 Ln척도 있다.
• '''S척, T척, ST척, SI척, TI척 등''': S척은 삼각 함수 $\backslash sin$의 계산에 사용되는 척이며, T척은 삼각 함수 $\backslash tan$의 계산에 사용되는 척이다. 삼각 함수 $\backslash cos$의 계산은 $\backslash cos\backslash theta=\backslash sin(90^\backslash circ-\backslash theta)$ 공식을 사용하여 S척에서 수행한다. ST척은 약 $0.6^\backslash circ$에서 약 $6^\backslash circ$의 삼각 함수 $\backslash sin$ 및 $\backslash tan$의 계산에 사용되는 척으로, 미소 각도에서는 $\backslash sin$과 $\backslash tan$의 값이 거의 같으므로 공용으로 사용된다. SI척은 S척을 역방향으로 눈금을 새긴 것이며, TI척은 T척을 역방향으로 눈금을 새긴 것이다. 이 척들의 명칭 및 척의 종류는 계산자에 따라 다를 수 있다. ST척이 없는 계산자에서 미소 각도를 구하는 경우 "$\backslash sin\backslash theta\backslash approx\backslash tan\backslash theta\backslash approx\backslash theta$ 라디안"임을 응용하여, C척에 있는 $\backslash rho^\backslash circ$, $\backslash rho$‘, $\backslash rho$” 게이지 마크를 사용하여 도수를 라디안으로 변환하여 구한다.
• '''LL1, LL02, LL/3 등''': 임의의 밑에 대한 지수, 로그를 계산할 때 사용된다. 이 척들의 명칭 및 척의 종류는 계산자에 따라 다를 수 있다.
• '''P척''': "피타고라스 척"이라고 불리며, 피타고라스 정리에 관한 계산에 사용된다.
• '''Sh척, Th척''': 쌍곡선 함수의 계산에 사용된다. Sh척, Th척이 없는 계산자에서 쌍곡선 함수를 계산하는 경우 LL척을 사용하여 $e^x$과 $e^\{-x\}$을 구하여 계산한다.

3. 3. 추가적인 연산

• 제곱근 및 거듭제곱: D 눈금에서 x를 찾고 A 눈금(이중 십진 눈금)에서 $x^2$ 값을 읽는다. 제곱근은 이 과정을 역으로 수행한다. A 눈금에 9가 두 개 있으므로, 9의 제곱근은 첫 번째 9를, 90의 제곱근은 두 번째 9를 사용한다. 3, 1/3, 2/3, 3/2 거듭제곱도 유사한 방식으로 계산할 수 있다.
• $x^y$ 계산 (LL 눈금 사용): C 눈금의 가장 왼쪽 1을 LL 눈금의 x와 맞춘다. C 눈금에서 y를 찾고 x가 있는 LL 눈금으로 내려가 답을 읽는다. y가 "눈금 밖"이면, $x^\{y/2\}$을 찾아 A와 B 눈금을 사용하여 제곱하거나, C 눈금의 가장 오른쪽 1을 사용하고 다음 상위 LL 눈금에서 답을 읽는다.
• 세제곱근: C/D 및 A/B 눈금만 있는 계산자를 사용하여 세제곱근을 구하려면, B 커서의 1을 A 눈금의 밑수와 맞춘다. C 커서의 1에 맞춰진 D 눈금의 숫자가 A 눈금의 밑수에 맞춰진 B 커서의 숫자와 같아질 때까지 슬라이드를 움직인다.
• 이차 방정식 풀이: 이차 방정식 $ax^2\; +\; bx\; +\; c\; =\; 0$을 $x^2\; -\; px\; +\; q\; =\; 0$ 형태로 변환한다. ($p\; =\; -b/a$, $q\; =\; c/a$) C 눈금의 지수("1")를 D 눈금의 값 $q$에 맞춘다. CI 눈금과 D 눈금의 숫자를 더한 값이 $p$가 되는 위치를 찾을 때까지 커서를 이동시킨다. 이 두 값이 방정식의 근이다.
• 복리 이자 계산: D를 이자율(%)로 설정하고, C 척도의 인덱스(척도의 오른쪽 또는 왼쪽 끝의 "1")를 D의 백분율에 맞춘다. 인덱스 바로 아래 LL2의 해당 값은 10주기 이자(일반적으로 연)의 승수가 된다. C 척도의 2 아래 LL2의 값은 20주기 후의 승수가 된다.
• 로그 및 지수: 10을 밑으로 하는 로그와 지수는 선형인 L 눈금을 사용하여 계산한다. 다른 밑을 사용하는 로그는 숫자의 거듭제곱을 계산하는 절차를 반대로 수행하여 계산할 수 있다. 예를 들어, log2 값을 구하려면 C 눈금의 맨 왼쪽 또는 맨 오른쪽 1을 LL2 눈금의 2에 맞추고, 로그를 계산할 숫자를 해당 LL 눈금에서 찾은 다음, C 눈금에서 log2 값을 읽는다.

3. 3. 1. 덧셈과 뺄셈

#* 이 방법은 로그 숫자 시스템을 사용하는 고속 전자 회로에서 GRAPE 슈퍼컴퓨터 및 은닉 마르코프 모델과 같은 특수 컴퓨터 응용 프로그램에 사용되는 덧셈/뺄셈 기술과 유사하다.

# 선형 L 눈금 사용 (일부 모델에서 사용 가능)

#* 커서를 오른쪽(덧셈) 또는 왼쪽(뺄셈)으로 이동한 후 슬라이드를 0으로 되돌리면 결과를 읽을 수 있다.

4. 계산자의 종류

계산자는 다양한 종류가 있으며, 크게 표준 선형 계산자, 원형 계산자, 원통형 계산자로 나눌 수 있다.

표준 선형 계산자는 가장 일반적인 형태로, 보통 25cm 길이의 눈금을 가진다. 주머니에 들어가는 약 12.70cm 크기의 포켓용 계산자도 있다.^[11] 눈금은 두 개의 유효 숫자로 표시되며, 사용자는 세 번째 숫자를 추정한다. 일부 고급 모델은 확대 커서를 사용하여 정확도를 높이기도 한다.^[11]

원형 계산자는 두 개의 커서를 사용하는 방식과 하나의 커서를 사용하는 방식으로 나뉜다. 두 커서 방식은 곱셈과 나눗셈에, 단일 커서 방식은 일반 계산자와 유사한 방식으로 작동한다.^[12] 원형 계산자는 10cm 크기로도 31.4cm 일반 계산자와 비슷한 정밀도를 낼 수 있다.^[12] 그러나 중앙 피벗의 정렬 정밀도가 매우 중요하며, 숫자를 찾기 어렵고 눈금 수가 제한적이라는 단점이 있다.^[12] E6B는 항공기 조종사들이 추측 항법을 할 때 사용하는 대표적인 원형 계산자이며, 브라이틀링은 비행 계산에 특화된 원형 계산자를 통합한 손목시계를 출시하기도 했다.

원통형 계산자는 나선형 눈금을 가진 풀러 계산자, 오티스 킹, 바이그레이브 계산자와 막대 형태를 가진 대처 계산자 등이 있다. 이들은 직선형이나 원형 계산자보다 훨씬 긴 눈금을 사용하여 정밀도를 높인다.

4. 1. 표준 선형 계산자

4. 2. 원형 계산자

4. 3. 원통형 계산자

5. 재료

전통적으로 계산자는 흑단이나 회양목과 같은 단단한 나무로 만들어졌으며, 유리와 금속으로 된 커서를 사용했다. 1895년, 일본 회사인 헴미(Hemmi)는 셀룰로이드로 덮인 대나무로 계산자를 만들기 시작했는데, 이는 치수 안정성이 뛰어나고 튼튼하며, 자연적으로 자체 윤활된다는 장점이 있었다. 이 대나무 계산자는 1933년 9월 스웨덴에 도입되었고,^[13] 아마 그보다 약간 일찍 독일에도 도입되었을 것이다.

눈금은 셀룰로이드나 다른 폴리머로 만들어지거나 알루미늄에 인쇄되었다. 나중에 커서는 아크릴 또는 폴리카보네이트로 성형되었으며, 때로는 테플론 베어링 표면이 사용되기도 했다.

모든 고급 계산자는 숫자와 눈금을 깊게 새긴 다음 페인트 또는 기타 수지로 채웠다. 칠하거나 인쇄된 계산자는 표시가 마모되거나 화학적으로 손상될 수 있기 때문에 품질이 떨어지는 것으로 간주되었다. 그럼에도 불구하고 미국의 계산자 회사인 피켓(Pickett)은 인쇄된 눈금만 사용한 계산자를 만들었다. 고급 계산자에는 우발적으로 계산자가 분해되는 것을 방지하는 정교한 기계식 잠금 장치와 눈금과 커서가 탁자 표면에 닿아 긁히는 것을 방지하는 범퍼가 포함되었다.

6. 현대적 의의와 활용

21세기에도 일부 사람들은 전자 계산기보다 실용적인 계산 장치로 계산자를 선호한다. 다른 사람들은 향수를 느끼거나 취미로 오래된 계산자를 보관한다.^[44]

인기 있는 수집 대상 모델은 Keuffel & Esser의 ''Deci-Lon''으로, 25cm "정규"(''Deci-Lon 10'')와 12.7cm "포켓"(''Deci-Lon 5'') 변형 모델이 모두 출시된 고급 과학 및 엔지니어링용 계산자이다. 또 다른 귀중한 미국 모델로는 20cm Scientific Instruments 원형 계산자가 있다. 유럽산 계산자 중에서는 Faber-Castell의 고급 모델이 수집가들 사이에서 가장 인기가 높다.

시중에는 매우 많은 계산자가 유통되고 있지만, 상태가 좋은 표본은 비싼 경향이 있다. 온라인 경매 사이트에서 판매되는 많은 계산자는 손상되었거나 부품이 없으며, 판매자가 관련 정보를 충분히 알지 못할 수도 있다. 교체 부품은 구하기 어렵고 비싸며 일반적으로 개별 수집가의 웹 사이트에서 별도로 구매해야 한다. 1950년까지의 Keuffel and Esser 계산자는 특히 문제가 있는데, 커서의 끝부분이 셀룰로이드로 만들어져 시간이 지남에 따라 화학적으로 분해되는 경향이 있기 때문이다. 플라스틱 물체의 보존 및 복원과 같은 방법으로 일부 오래된 계산자의 열화를 늦출 수 있으며, 3D 프린팅을 사용하여 없거나 복구할 수 없는 파손된 커서 부품을 재현할 수 있다.^[45]

여전히 새로운 계산자를 공급하는 소수의 곳이 있다. 1954년 7월 원형 계산자 제조업체로 시작한 Concise Company of Tokyo^[46]는 오늘날까지도 계산자를 제작하고 판매하고 있다. 2009년 9월, 온라인 소매업체 ThinkGeek는 "개별적으로 수공으로 제작된" "충실한 복제품"이라고 설명하는 자체 브랜드의 직선 계산자를 출시했다.^[47] 이 제품은 2012년에는 더 이상 판매되지 않았다.^[48] 또한, Faber-Castell은 2018년 중반까지 웹 스토어를 통해 국제적으로 구매할 수 있는 여러 계산자를 재고로 보유하고 있었다.^[49] 비례 휠은 그래픽 디자인에 여전히 사용된다.

안드로이드 및 iOS 기반 스마트폰과 태블릿에서 다양한 계산자 시뮬레이터 앱을 사용할 수 있다.

항공에 사용되는 E6B와 포술에 사용되는 포술 계산자와 같은 특수 계산자는 더 이상 일상적으로 사용되지는 않지만 여전히 사용된다. 이러한 계산자는 교육 및 훈련 과정의 일부로 사용되며, 이를 사용하는 방법을 배우면서 학생들은 계산의 원리도 배울 수 있으며, 일반적인 현대 전자 제품이 고장날 경우 이러한 기기를 백업으로 사용할 수 있게 된다.

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