로그 (수학)

3. 특징

로그 함수는 다음과 같은 중요한 특징들을 가진다.

이러한 특징을 이용해 복잡한 곱셈 문제를 단순한 덧셈 문제로 바꾸어 풀 수 있다.^[4]

3. 1. 기본 연산

이러한 특징을 이용해 복잡한 곱셈 문제를 단순한 덧셈 문제로 바꾸어 풀 수 있다.

덧셈, 곱셈, 거듭제곱은 가장 기본적인 세 가지 산술 연산이다. 덧셈의 역연산은 뺄셈이며, 곱셈의 역연산은 나눗셈이다. 마찬가지로, 로그는 거듭제곱의 역연산이다.

로그를 도입한 주요 역사적 동기 중 하나는 곱셈 법칙(덧셈 법칙)을 통해 곱셈과 나눗셈을 덧셈과 뺄셈으로 단순화하여 계산을 편리하게 할 수 있다는 점이었다. 컴퓨터 발명 이전에는 로그 표를 이용하여 계산하였다.^[4]

밑 변환 공식을 사용하면 임의의 밑 $k$에 대한 $x$와 $b$의 로그를 통해 $\backslash log\_b\; x$를 계산할 수 있다.

:$$\backslash log\_b\; x\; =\; \backslash frac\{\backslash log\_k\; x\}\{\backslash log\_k\; b\}.$$

일반적인 공학용 계산기는 밑이 10인 상용로그와 밑이 e인 자연로그를 계산한다.^[5] 밑 변환 공식을 이용하면 이 두 로그를 통해 임의의 밑 $b$에 대한 로그를 구할 수 있다.

:$$\backslash log\_b\; x\; =\; \backslash frac\{\backslash log\_\{10\}\; x\}\{\backslash log\_\{10\}\; b\}\; =\; \backslash frac\{\backslash log\_\{e\}\; x\}\{\backslash log\_\{e\}\; b\}.$$

로그의 정의에 따라 다음이 성립한다.

:$a^\{\backslash log\_a\; x\}\; =\; x$

곱의 로그는 (밑이 같은) 로그의 합과 같다. (곱셈 법칙)

:$\backslash log\_a\; xy=\backslash log\_a\; x+\backslash log\_a\; y$

몫의 로그는 (밑이 같은) 로그의 차와 같다. (나눗셈 법칙)

:$\backslash log\_a\backslash frac\{x\}\{y\}=\backslash log\_a\; x-\backslash log\_a\; y$

$x$의 $p$승의 로그는 로그의 $p$배와 같다. (지수 법칙)

:$\backslash log\_a\; x^p\; =p\backslash log\_a\; x$

$a$의 $p$승을 밑으로 하는 로그는 로그의 $\backslash frac\{1\}\{p\}$배와 같다. ($p$는 0이 아닌 실수)

:$\backslash log\_\{a^p\}\; \{x\}\; =\backslash frac\{1\}\{p\}\backslash log\_a\; x$

3. 2. 밑의 변환

3. 3. 여대수

3. 4. 대수 값의 크기

밑의 값에 관계없이 진수가 1일 때 대수는 0이다.

:$\backslash log\_a\; 1=0$

인 경우, 대수는 협의 단조 증가한다.

:

이며,

:$\backslash lim\_\{x\backslash to\; 0+\}\; \backslash log\_a\; x=-\backslash infty$

:$\backslash lim\_\{x\backslash to\; \backslash infty\}\; \backslash log\_a\; x=\backslash infty$

이 성립한다.

인 경우, 대수는 협의 단조 감소한다.

:

이며,

:$\backslash lim\_\{x\backslash to\; 0+\}\; \backslash log\_a\; x=\backslash infty$

:$\backslash lim\_\{x\backslash to\; \backslash infty\}\; \backslash log\_a\; x=-\backslash infty$

이 성립한다.

대수의 발산은 "매우 완만"하며 에 대해

:$\backslash lim\_\{x\backslash to\; \backslash infty\}\; \backslash frac$

{x^p} =0

이 성립한다.

4. 표기

일반적으로 로그는 $\backslash log\_a\; x$ 형태로 표기하지만, 밑이 특수한 경우에는 다르게 표기한다.^[113]

4. 1. 특수한 밑

밑이 e인 경우 ln|ln^영어 ''x''로 표기하며, 밑이 2인 경우에는 극히 드물게 lb|lb^영어 ''x''로 표기하기도 한다. 밑이 10인 경우 lg|lg^영어 ''x''라고 표기하는 경우도 있다. 하지만, 많은 수학자들과 과학자들은 이들 모두를 log|log^영어 ''x''라고 표기하거나 위와 같은 표기에 밑을 추가하여 표기한다. 국제 표준화 기구에 따르면 밑을 2로 가지는 이진 로그는 lb|lb^영어 ''x'', 밑을 ''e''로 가지는 자연 로그는 ln|ln^영어 ''x'', 밑을 10으로 가지는 상용 로그는 lg|lg^영어 ''x''라 표기하는 것을 권고하고 있다.^[113]

밑을 10으로 한 로그는 '''상용로그''' (common logarithm|커먼 로그^영어) 또는 '''브리그스 로그''' (Briggsian logarithm|브리그시안 로그^영어)라고 불리며, 실험 등의 측정값에 사용하는 경우가 많다. 헨리 브리그스는 1617년에 1000 미만의 정수에 대해 8자리, 1624년에는 1~2만과 9만~10만의 정수에 대해 14자리의 상용로그 표를 출판했다. 다른 로그와 구별하기 위해 "Log"처럼 대문자를 사용하거나 "lg"라는 기호를 사용하는 경우가 있다 (ISO 31/XI에서는 "lg"로 되어 있다). "lg"는 이진 로그의 표기에도 자주 사용된다.

밑을 ''e'' (네이피어 수)로 한 로그를 '''자연 로그''' (natural logarithm|내추럴 로그^영어) 또는 '''네이피어 로그''' (Napierian logarithm|네이피어리안 로그^영어)라고 한다. 존 네이피어의 이름을 따왔지만, 네이피어 자신이 계산에 사용한 정의는 현재의 자연 로그와는 다르다. 미적분 등의 계산이 간단해지기 때문에 수학 등의 이론 분야에서 많이 사용된다. 다른 로그와 구별하기 위해 "ln"이라는 기호를 사용하는 경우가 있다.

밑을 2로 한 로그는 '''이진 로그''' (binary logarithm|바이너리 로그^영어)라고 하며, 정보 이론 분야에서 정보량 등을 표현하는 데 많이 사용된다. 또한, 음악 분야에서도 1옥타브는 주파수 비 1:2이며, 평균율에서는 반음이 주파수 비 1:2^1/12, 온음이 주파수 비 1:2^2/12로 정의되어 있으므로, 이진 로그를 사용하면 계산이 간편해진다. 다른 로그와 구별하기 위해 "lb"라는 기호를 사용하는 경우가 있다 (ISO 31/XI). 이진 로그에서는 "lg|lg^영어 ''n''"으로 표기되는 경우가 많다.^[110]

5. 역사

17세기 유럽에서 로그는 대수적 방법을 넘어 분석 영역을 확장하는 새로운 함수로 발견되었다. 1614년 존 네이피어는 ''경이로운 로그 계산법의 설명''이라는 책에서 로그를 공개적으로 제안했다.^[19][20]

로그는 덧셈, 곱셈, 거듭제곱과 같은 기본적인 산술 연산 중 거듭제곱의 역연산이다. 예를 들어, 2를 3제곱하면 8이 되는데, 이를 로그로 표현하면 $log\_2\; 8\; =\; 3$ 이 된다.

로그를 도입한 주요 목적은 다음 공식과 같이 곱셈과 나눗셈을 덧셈과 뺄셈으로 바꾸어 계산을 간편하게 만드는 것이었다.

$$\backslash log\_b(xy)=\backslash log\_b\; x\; +\; \backslash log\_b\; y,$$

이 공식은 컴퓨터 발명 이전 로그 표를 활용한 계산에 큰 도움을 주었다.

네이피어는 '로그'라는 용어를 중세 라틴어 logarithmus^la로 만들었는데, 이는 '비율-숫자'를 의미하며, 그리스어 (비율, 관계, 말) + (숫자)에서 유래했다.

상용 로그는 어떤 숫자를 나타내는 10의 거듭제곱의 지수이다.^[23] 자연 로그는 그레고리 드 생-뱅상이 직사각형 쌍곡선의 구적법을 연구하면서 시작되었으며, A. A. de Sarasa는 생-뱅상의 연구와 프로스타파에레시스의 로그 전통을 연결하여 "쌍곡선 로그"라는 용어를 만들었다.

로그는 요하네스 케플러의 천체 궤도 계산을 비롯한 과학 발전에 크게 기여했다. 이후 가스파르 드 프로니, 찰스 배비지, 공공 사업 촉진국 등에 의해 대수표의 정밀도를 높이려는 노력이 이루어졌다.

5. 1. 기원

기원전 2000년~1600년경 바빌로니아인들은 4분-제곱 곱셈법으로 두 숫자를 곱하는 방법을 개발했다.^[114][115]

:$\backslash frac\{(x+y)^2\}\{4\}-\backslash frac\{(x-y)^2\}\{4\}=xy$

미하엘 슈티펠은 1544년 뉘른베르크에서 정수 및 2의 제곱에 대한 표를 《산술백과_{''Arithmetica integra''}》에 수록했는데, 이는 가장 이른 로그표로 여겨진다.^{[116][117][118]}

16, 17세기에 곱셈과 나눗셈을 단순화하기 위해 삼각법(프로스타파에레시스)이 도입되었는데, 이는 다음과 같은 코사인 법칙을 이용했다.

:$\backslash cos\backslash ,\backslash alpha\backslash ,\backslash cos\backslash ,\backslash beta\; =\; \backslash frac12[\backslash cos(\backslash alpha+\backslash beta)\; +\; \backslash cos(\backslash alpha-\backslash beta)]$

5. 2. 네이피어에서 오일러까지

로그법은 존 네이피어에 의해 1614년 《로그의 법칙의 놀라움에 대한 서술》에서 발표되었다.^[119] 요스트 뷔르기도 독립적으로 로그를 발명하였으나, 네이피어보다 6년 늦게 발표하였다.^[120] 요하네스 케플러는 자신의 천문력을 집필하는 데에 로그표를 광범위하게 활용하였다.^[121]

네이피어가 활동하던 당시 사인값은 현재와 정의가 많이 달랐다. 현재의 사인값은 반지름이 단위길이 1인 원을 기준으로 계산하지만 네이피어 당시에는 매우 큰 값(네이피어의 경우에는 10⁷을 사용했다.)을 반지름으로 가지는 원에 대하여 사인값을 계산하였다. 이러한 큰 값을 간단하게 나타내기 위하여 네이피어가 도입한 것이 바로 로그법이다.^[123]

1647년 그레고리 드 세인트 빈센트는 쌍곡선과 로그를 관련지었다.^[125] 자연로그는 니콜라스 머카터의 1668년작 Logarithmotechnia에서 서술되었다.^[127] 1730년경, 레온하르트 오일러는 자연로그와 지수함수를 다음과 같은 극한식으로 정의하였다.

:$e^x\; =\; \backslash lim\_\{n\; \backslash rightarrow\; \backslash infty\}\; (1+x/n)^n,$

:$\backslash ln(x)\; =\; \backslash lim\_\{n\; \backslash rightarrow\; \backslash infty\}\; n(x^\{1/n\}\; -\; 1).$

오일러는 또한 두 함수는 서로의 역함수임을 증명하였다.^{[128][129][130]}

5. 3. 로그표, 계산자, 그리고 역사적 응용

로그는 복잡한 계산을 단순하게 만들어 주어 과학, 특히 천문학 발전에 크게 기여했다.^[131] 계산기와 컴퓨터가 없던 시절, 로그 계산을 돕는 핵심 도구는 1617년 헨리 브릭스가 처음 작성한 로그표였다.^[132] 로그표는 특정 밑(b, 주로 10)과 일정 범위의 수(x)에 대해 log_b(x)와 b^x 값을 모두 포함하고 있었다. 예를 들어 브릭스의 로그표는 1부터 1000까지의 상용로그 값을 소수점 아래 8자리까지 제공했다.

함수 f(x) = b^x는 log_b(x)의 역함수이므로, 역로그함수라고도 불린다.^[133] 로그를 이용하면 두 수의 곱셈과 나눗셈을 로그값의 덧셈과 뺄셈으로 쉽게 계산할 수 있었다.

:$c\; d\; =\; b^\{\backslash log\_b\; (c)\}\; \backslash ,\; b^\{\backslash log\_b\; (d)\}\; =\; b^\{\backslash log\_b\; (c)\; +\; \backslash log\_b\; (d)\}\; \backslash ,$

:$\backslash frac\; c\; d\; =\; c\; d^\{-1\}\; =\; b^\{\backslash log\_b\; (c)\; -\; \backslash log\_b\; (d)\}.\; \backslash ,$

또한, 로그를 사용하면 계산자로도 더 쉽게 계산할 수 있다. 계산자는 1에서 x까지의 거리가 로그 x에 비례하도록 눈금이 표시되어 있어, 로그의 덧셈(곱셈)을 기계적으로 수행할 수 있다.

6. 해석학적 특징

log_''b''^영어 함수는 지수 함수 $x\backslash mapsto\; b^x$의 역함수이다.^[3] 따라서, 그들의 그래프는 x좌표와 y좌표를 교환하거나 대각선에 대해 반사하면 서로 대응된다. 의 그래프에서 점 는 로그 함수의 그래프에서 점 를 생성하며 그 반대도 성립한다. 그 결과, 는 가 무한대로 증가하면 가 1보다 클 경우 무한대로 발산한다. 이 경우 는 증가 함수이다. 인 경우, 는 대신 마이너스 무한대로 향한다. 가 0에 가까워지면, 일 때 는 마이너스 무한대로 가고 각각 일 때는 플러스 무한대로 간다.

함수의 해석적 성질은 역함수로 전달된다.^[34] 따라서, 가 연속적이고 미분가능 함수이므로 도 마찬가지이다. 대략적으로, 연속 함수는 그래프에 날카로운 "모서리"가 없으면 미분 가능하다. 또한, 의 도함수는 지수 함수의 성질에 의해 로 평가되므로, 연쇄 법칙에 의해 의 도함수는 다음과 같이 주어진다.^[35][37]

$$\backslash frac\{d\}\{dx\}\; \backslash log\_b\; x\; =\; \backslash frac\{1\}\{x\backslash ln\; b\}.$$

즉, 점 에서 로그의 그래프에 접하는 기울기는 와 같다.

의 도함수는 이다. 이는 에 대해 값 0을 갖는 의 고유한 부정 적분이 임을 의미한다. "자연" 로그를 "자연"이라고 칭하게 된 것은 바로 이 매우 간단한 공식 때문이며, 이는 또한 상수 의 중요성의 주요 이유 중 하나이다.

일반화된 함수 인자 에 대한 도함수는 다음과 같다.

$$\backslash frac\{d\}\{dx\}\; \backslash ln\; f(x)\; =\; \backslash frac\{f\text{'}(x)\}\{f(x)\}.$$

오른쪽의 몫은 ''''의 로그 도함수라고 한다. 의 도함수를 사용하여 를 계산하는 것을 로그 미분법이라고 한다.^[38] 자연로그 의 부정 적분은 다음과 같다.^[39]

$$\backslash int\; \backslash ln(x)\; \backslash ,dx\; =\; x\; \backslash ln(x)\; -\; x\; +\; C.$$

관련 공식, 예를 들어 다른 밑의 로그에 대한 부정 적분은 밑 변환을 사용하여 이 방정식에서 파생될 수 있다.^[40]

의 자연로그는 다음과 같은 정적분으로 정의할 수 있다.

$$\backslash ln\; t\; =\; \backslash int\_1^t\; \backslash frac\{1\}\{x\}\; \backslash ,\; dx.$$

이 정의는 지수 함수나 삼각 함수에 의존하지 않는다는 장점이 있다. 즉, 간단한 역수의 적분으로 정의된다. 적분으로서, 는 에서 까지의 범위에서 축과 함수 의 그래프 사이의 면적과 같다. 이는 미적분학의 기본 정리와 의 도함수가 라는 사실의 결과이다. 곱과 거듭제곱 로그 공식은 이 정의로부터 유도될 수 있다.^[41] 예를 들어, 곱 공식 는 다음과 같이 유도된다.

$$\backslash begin\{align\}$$

\ln(tu) &= \int_1^{tu} \frac{1}{x} \, dx \\

& \stackrel {(1)} = \int_1^{t} \frac{1}{x} \, dx + \int_t^{tu} \frac{1}{x} \, dx \\

& \stackrel {(2)} = \ln(t) + \int_1^u \frac{1}{w} \, dw \\

&= \ln(t) + \ln(u).

\end{align}

등식 (1)은 적분을 두 부분으로 나누고, 등식 (2)는 변수 변환()이다. 아래 그림에서 분할은 면적을 노란색 부분과 파란색 부분으로 나누는 것에 해당한다. 왼쪽 파란색 영역을 수직으로 요인 만큼 다시 스케일하고, 수평으로 같은 요인만큼 축소해도 크기는 변하지 않는다. 이를 적절하게 이동하면, 면적이 함수 의 그래프에 다시 맞는다. 따라서, 에서 까지의 의 적분인 왼쪽 파란색 영역은 1에서 까지의 적분과 같다. 이는 등식 (2)를 보다 기하학적인 증명으로 정당화한다.

거듭제곱 공식 도 비슷한 방식으로 유도할 수 있다.

$$\backslash begin\{align\}$$

\ln(t^r) &= \int_1^{t^r} \frac{1}{x}dx \\

&= \int_1^t \frac{1}{w^r} \left(rw^{r - 1} \, dw\right) \\

&= r \int_1^t \frac{1}{w} \, dw \\

&= r \ln(t).

\end{align}

두 번째 등식은 변수 변환(치환 적분) 을 사용한다.

자연수의 역수의 합,

$$1\; +\; \backslash frac\; 1\; 2\; +\; \backslash frac\; 1\; 3\; +\; \backslash cdots\; +\; \backslash frac\; 1\; n\; =\; \backslash sum\_\{k=1\}^n\; \backslash frac\{1\}\{k\},$$

은 조화 급수라고 불린다. 이것은 자연로그와 밀접하게 관련되어 있다: 이 무한대로 갈 때, 차이,

$$\backslash sum\_\{k=1\}^n\; \backslash frac\{1\}\{k\}\; -\; \backslash ln(n),$$

는 수렴한다(즉, 임의로 가까워진다). 이 숫자는 오일러-마스케로니 상수 로 알려져 있다. 이 관계는 퀵 정렬과 같은 알고리즘의 성능 분석에 도움이 된다.^[42]

6. 1. 로그는 함수인가?

로그는 함수이다.^[134] 지수함수 $y\; =\; a^x$ (여기서 a는 1이 아닌 양수)에서, x의 값에 따라 항상 y값이 정해지기 때문이다. 또한 지수함수는 연속이고 단조함수이므로, $f(x)\; =\; y$는 유일한 해를 가진다. 이 해를 로그 함수라고 부른다.^[112]

좀 더 자세히 설명하면, 실해석학에서 연속적인 단조 증가 함수는 정의역과 치역 사이에서 전단사 함수라는 결론을 이끌어 낼 수 있다. 이와 같은 사실은 중간값 정리를 통해 유도된다.^[34] 지수함수 $f(x)\; =\; b^x$는 엄격하게 증가하거나 감소하며, 연속이고 정의역은 실수 전체, 치역은 양의 실수이다. 따라서 $f$는 실수에서 양의 실수로의 전단사 함수이다. 즉, 각 양의 실수 y에 대해 $b^x\; =\; y$가 되는 실수 x가 정확히 하나 존재한다.

$\backslash log\_b\backslash colon\backslash R\_\{>0\}\backslash to\backslash R$는 $f$의 역함수이다. 즉, $\backslash log\_b\; y$는 $b^x\; =\; y$가 되는 유일한 실수 x이다. 이 함수를 밑-b ''로그 함수'' 또는 ''로그 함수'' (또는 그냥 ''로그'')라고 부른다.

함수 $\backslash log\_b$는 지수 함수 $x\backslash mapsto\; b^x$의 역함수이므로, 그들의 그래프는 x좌표와 y좌표를 교환하거나 대각선 $x\; =\; y$에 대해 반사하면 서로 대응된다. 즉, $f$의 그래프에서 점 $(t,\; u\; =\; b^t)$는 로그 함수의 그래프에서 점 $(u,\; t\; =\; \backslash log\_b\; u)$를 생성하며 그 반대도 성립한다.

6. 2. 역함수의 존재

지수함수의 역함수는 로그함수이다. 따라서 로그함수의 역함수는 지수함수라 할 수 있다. 여기서, 지수함수는 (-∞, ∞)의 수 범위를 (0, ∞)로 바꾸어 주는 함수이므로, 이의 역함수인 로그함수는 (0, ∞)의 정의역을 가지게 된다.^[3]

함수 는 지수 함수 $x\backslash mapsto\; b^x$의 역함수이다. 따라서, 그들의 그래프는 오른쪽 그림과 같이 좌표와 좌표를 교환하거나 (또는 대각선 에 대해 반사하면) 서로 대응된다. 즉, 의 그래프에서 점 는 로그 함수의 그래프에서 점 를 생성하며 그 반대도 성립한다.^[3]

6. 3. 연속성

지수함수와 로그함수는 서로 역함수 관계이므로, 지수함수가 연속함수이면 로그함수 또한 연속함수이다. 지수함수가 연속임을 보이기 위해서는 입실론-델타 논법이 필요하다. 0과 ''e''^''a'' 사이에 있는 임의의 ε에 대하여 다음과 같은 δ를 생각할 수 있다.

$\backslash delta\; =\; \backslash min\; \{\backslash left\backslash \{\backslash ln\backslash left(1+\backslash frac\{\backslash epsilon\}\{e^a\}\backslash right),-\backslash ln\backslash left(1-\; \backslash frac\{\backslash epsilon\}\{e^a\}\backslash right)\backslash right\backslash \}\}$

이러한 δ로 |''e''^''x'' - ''e''^''a''|<ε인 ε이 항상 존재함을 보일 수 있다. 따라서 지수함수는 연속이고, 이에 따라 역함수인 로그함수 또한 연속임을 밝힐 수 있다.^[112]

실해석학에서 임의의 연속적인 단조 증가 함수는 정의역과 치역 사이에서 전단사 함수라는 것은 중간값 정리로부터 유도되는 표준적인 결과이다.^[34] 라고 하면, 는 (일 때) 엄격하게 증가하거나 (일 때) 엄격하게 감소하며,^[35] 연속이고, 정의역은 $\backslash R$이며, 치역은 $\backslash R\_\{>\; 0\}$이다. 따라서 는 $\backslash R$에서 $\backslash R\_\{>0\}$로의 전단사 함수이다. 즉, 각 양의 실수 에 대해 $b^x\; =\; y$가 되는 실수 가 정확히 하나 존재한다.

$\backslash log\_b\backslash colon\backslash R\_\{>0\}\backslash to\backslash R$를 의 역함수로 나타내면, 는 $b^x\; =\; y$가 되는 유일한 실수 이다. 이 함수를 밑- 로그 함수 또는 로그 함수 (또는 그냥 로그)라고 부른다.

6. 4. 미분

지수 함수는 미분 가능하다. 로그 함수는 지수 함수의 역함수이므로, 역함수의 미분법에 의해 로그 함수의 미분도 계산할 수 있다.

:$\backslash frac\{d\}\{dx\}\; \backslash log\_b\; x\; =\; \backslash frac\{1\}\{x\backslash ln\; b\}$

''b''가 자연상수 ''e''라면 위 식은 다음과 같이 바뀐다.

:$\backslash frac\{d\}\{dx\}\backslash ln\; x\; =\; \backslash frac\{1\}\{x\}$

또한 연쇄 법칙에 의해 다음과 같은 식을 유도할 수 있다.

:$\backslash frac\{d\}\{dx\}\; \backslash ln\; \{f(x)\}\; =\; \backslash frac\{f\text{'}(x)\}\{f(x)\}$

이를 로그 미분법이라 한다.^[112]

6. 5. 적분

로그의 적분은 부분적분법을 사용하여 계산한다.^[39]

:$\backslash int\; \backslash ln(x)\; dx\; =\; x\; \backslash ln\; x\; -\; x\; +\; C$

밑이 e^영어가 아닌 로그의 경우에도 위와 같이 계산할 수 있다.^[40]

:$\backslash int\; \backslash log\_a\; x\backslash ,\; dx=\backslash frac\{x\backslash ln\; x-x\}\{\backslash ln\; a\}\; +C\; =x\backslash log\_a\; x-x\backslash log\_a\; e+C=x\backslash log\_a\; \backslash frac\{x\}\{e\}\; +C$

6. 6. 적분과 로그

자연로그 ln^영어 ''t''는 다음과 같은 방법으로 계산할 수 있다.^[41]

:$\backslash ln\; t\; =\; \backslash int\; \_1\; ^t\; \backslash frac\; 1\; x\; dx$

다시 말해, ''t'' > 1에서 자연로그는 함수 1/''x''의 ''x'' = 1부터 ''t''까지의 아래 면적과 같으며, ''t'' < 1일 때에는 ''x'' = ''t''부터 1까지의 면적에 -1을 곱한 것과 같다. 이 정의에 의해, $\backslash ln\; tu=\backslash ln\; t+\backslash ln\; u$와 $\backslash ln\; t^r=r\backslash ln\; t$ (단, r은 유리수)의 연산 법칙들이 성립한다는 것을 보일 수 있다.

1647년 그레고리 드 세인트 빈센트는 쌍곡선의 면적이 ''f''(''tu'') = ''f''(''t'')+''f''(''u'')의 성질을 만족한다는 사실을 보였다. 함수 ''y'' = 1/''x''는 쌍곡선 함수이므로, 위와 같은 성질을 만족하는 함수는 모두 로그 함수로 표현할 수 있다.

6. 7. 수렴성

로그의 값은 로그의 밑이 0과 1 사이일 때 ''x''의 값이 무한대로 가면 음의 무한으로 발산하고, 밑이 1보다 크면 ''x''의 값이 무한대로 갈 때 양의 무한으로 발산한다. 이는 함수 ''y'' = 1/''x''의 넓이가 무한히 발산한다는 것을 의미한다.

로그의 적분값 형태는 조화수열과 상당히 유사하다. 이를 이용하여 오일러와 마스케로니는 오일러-마스케로니 상수를 고안했으며, 이는 다음과 같이 표현할 수 있다.^[135]

:$\backslash gamma\; =\; \backslash lim\_\{n\; \backslash rightarrow\; \backslash infty\; \}\; \backslash left(\; \backslash sum\_\{k=1\}^n\; \backslash frac\{1\}\{k\}\; -\; \backslash ln(n)\; \backslash right)=\backslash int\_1^\backslash infty\backslash left(\{1\backslash over\backslash lfloor\; x\backslash rfloor\}-\{1\backslash over\; x\}\backslash right)\backslash ,dx$

이 값은 소수점 이하 50자리까지 다음과 같이 구해진다.

:0.57721 56649 01532 86060 65120 90082 40243 10421 59335 93992

6. 8. 초월성

로그는 초월함수의 대표적인 예 중 하나이다.^[136] 실수 중 대수적 수가 아닌 수를 초월수라고 부른다.^[43] 예를 들어, π와 e는 그러한 수이다. 거의 모든 실수는 초월수이다. 겔폰트-슈나이더 정리는 로그가 일반적으로 초월적인, 즉 "어려운" 값을 갖는다고 주장한다.^[44] 실제로 ln 2가 초월수임이 증명되어 있다. 또한, 특수한 경우를 제외한 거의 대부분의 상수가 로그 함수에 통과되면 초월수가 된다는 것이 증명되어 있다.

6. 9. 복소수로의 확장

오일러 함수를 통해 복소수의 로그값을 구할 수 있다. 일반적으로 복소수 $z\; =\; a\; +\; bi$는 지수함수를 사용하여 다음과 같이 나타낼 수 있다.

$z\; =\; a\; +\; bi\; =\; r(\backslash cos\; \backslash theta\; +\; i\; \backslash sin\; \backslash theta)$

이때 $r\; =\; \backslash sqrt\{a\; ^\; 2\; +\; b\; ^\; 2\}\; ,\backslash tan\; \backslash theta\; =\; \backslash frac\{b\}\{a\}$이다.

오일러 공식에 의해

$z\; =\; r\; e\; ^\{i\; \backslash theta\}$

가 되고, 양변에 자연로그를 취하면

$\backslash ln\; z\; =\; \backslash ln\; r\; +\; i\backslash theta$

가 된다.

즉, 복소수의 로그값의 실수부는 복소수의 절댓값의 로그값이며, 허수부는 복소수의 기울기이다.

복소수의 로그값을 취함으로써, 복소수의 복소수 제곱을 계산할 수 있게 되었다. 예를 들어, ''i''^''i''을 계산하면 다음과 같다.

$i^i\; =\; e^\{i\backslash ln\; i\}\; =\; e^\{i\; \backslash frac\{\backslash pi\}\{2\}\; i\}\; =\; e^\{-\backslash frac\{\backslash pi\}\{2\}\}$

따라서 허수 ''i''의 ''i''제곱은 실수임을 알 수 있다.

방정식 $$e^a=z$$을 만족하는 모든 복소수 a를 z가 (복소수로 간주될 때) ''z의 복소 로그''라고 부른다. 복소수는 일반적으로 $z\; =\; x\; +\; iy$로 표현되며, 여기서 x와 y는 실수이고 i는 제곱이 -1인 허수 단위이다. 극형식은 0이 아닌 복소수 z를 그 절댓값, 즉, (양의, 실수) 원점까지의 거리 r와 실수(x) 축 Re와 원점과 z를 모두 통과하는 선 사이의 각도로 인코딩한다. 이 각도는 z의 편각이라고 한다.

z의 절댓값 r는 다음과 같다.

$$\backslash textstyle\; r=\backslash sqrt\{x^2+y^2\}.$$

사인과 코사인의 기하학적 해석과 $2\backslash pi$에서의 주기성을 사용하면, 모든 복소수 z는 다음과 같이 나타낼 수 있다.

$$\backslash begin\{align\}$$

z &= x + iy \\

&= r (\cos \varphi + i \sin \varphi ) \\

&= r (\cos (\varphi + 2k\pi) + i \sin (\varphi + 2k\pi)),

\end{align}

모든 정수 k에 대해. 분명히 z의 편각은 고유하게 지정되지 않는다. $\backslash varphi$와 $\backslash varphi\text{'}\; =\; \backslash varphi\; +\; 2k\backslash pi$는 모든 정수 k에 대해 z의 유효한 편각이다.

오일러 공식은 삼각 함수인 사인과 코사인을 복소 지수 함수와 연결한다.

$$e^\{i\backslash varphi\}\; =\; \backslash cos\; \backslash varphi\; +\; i\backslash sin\; \backslash varphi\; .$$

이 공식을 사용하고 다시 주기성을 사용하면 다음 항등식이 성립한다.^[94]

$$\backslash begin\{align\}$$

z &= r \left (\cos \varphi + i \sin \varphi\right) \\

&= r \left (\cos(\varphi + 2k\pi) + i \sin(\varphi + 2k\pi)\right) \\

&= r e^{i (\varphi + 2k\pi)} \\

&= e^{\ln(r)} e^{i (\varphi + 2k\pi)} \\

&= e^{\ln(r) + i(\varphi + 2k\pi)} = e^{a_k},

\end{align}



여기서 $\backslash ln(r)$은 고유한 실수 자연 로그이고, $a\_k$는 z의 복소 로그를 나타내며, k는 임의의 정수이다. 따라서 z의 복소 로그는 e의 $a\_k$ 거듭제곱이 z와 같은 모든 복소 값 $a\_k$이며, 무한히 많은 값이다.

$$a\_k\; =\; \backslash ln\; (r)\; +\; i\; (\; \backslash varphi\; +\; 2\; k\; \backslash pi\; ),$$

임의의 정수 k에 대해.

7. 활용

로그는 수학 내외적으로 많이 사용되며, 특히 크기 불변성과 관련된 분야에서 두드러진다. 앵무조개 껍질의 나선형 배열은 로그 나선과 유사하며,^[54] 첫 자리 수의 분포를 설명하는 벤포드의 법칙도 로그로 설명할 수 있다.^[55]

또한 로그는 자기유사성과 관련이 있다. 문제를 더 작은 문제로 나누어 해결하는 알고리즘 분석에 로그가 사용되며,^[56] 전체와 부분이 유사한 형태를 가지는 자기유사 기하학적 도형의 차원도 로그를 기반으로 한다. 로그 척도는 값의 상대적인 변화를 정량화하고 대규모 과학 데이터를 압축하는 데 유용하며, 치올콥스키 로켓 방정식, 네른스트 방정식과 같은 과학 공식에도 로그가 등장한다.

7. 1. 로그 단위 환산

로그는 앵무조개 껍질의 나선 배열, 벤포드의 법칙, 자기유사성, 알고리즘 분석, 지리적 구조, 치올콥스키 로켓 방정식이나 네른스트 방정식과 같은 과학적 공식 등 다양한 분야에서 활용된다.

로그는 과 같이 쉽게 계산할 수 있는 경우가 있다. 일반적인 로그 계산에는 멱급수, 산술 기하 평균, 미리 계산된 로그 표^[45][46], 뉴턴의 방법^[47] 등이 사용된다. 룩업 테이블과 CORDIC 유사 방법을 이용하면 덧셈과 비트 시프트 연산만으로 로그 계산이 가능하다.^[48][49] 이진 로그 알고리즘은 의 반복적인 제곱을 통해 를 재귀적으로 계산한다.^[49]

7. 1. 1. 수치 변환

데시벨은 소리에 대한 로그 단위 지표이다.^[57] 로그는 전기적 신호 송신 시 전압 단계 감소를 수치화하고, 음향학에서 소리 세기 단계를 정하며, 분광법 및 광학에서 빛의 세기와 흡수력을 정하는 데 사용된다. 지진의 세기는 모멘트 규모 척도나 릭터 규모 척도로 측정된다.^[60] 별의 세기는 별에서 받는 에너지를 로그로 전환하여 측정한다.^[61] 화학에서 pH는 물속 수소 이온의 농도를 음의 로그 값으로 나타낸 것이다.^[63]

7. 1. 2. 로그 그래프

로그는 범위를 줄여준다는 점에서 그래프에도 사용한다. 보통 십만이나 백만 단위의 그래프를 알기 쉽게 보여주기 위해 로그 그래프를 사용한다. 보통 수직 축에 로그 단위를 넣으나, 수평 축에만 혹은 둘 다 넣는 경우도 있다. 로그 그래프는 1부터 1000까지 증가하는 모습과 1000부터 백만까지 증가하는 모습을 동일한 거리 내에서 나타낼 수 있다는 점이다. y축이 로그인 수직 평면에서, 지수함수 ''f''(''x'')= ''a''^''bx''는 일반 평면에서의 일차함수와 같이 직선 형태를 나타낸다.^[54]

7. 1. 3. 피츠의 법칙

피츠의 법칙은 사람이 목표지점으로 이동하는 데 필요한 시간을 예측하는 법칙으로, 표적까지의 거리와 표적의 크기의 로그 함수에 관련되어 나타난다고 말한다.^[68]

7. 1. 4. 베버-페히너 법칙

베버-페히너 법칙은 사람이 운반하는 것의 실제 무게와 사람이 느끼는 무게와의 상관관계를 로그로 나타낼 수 있다는 것으로, 자극과 감각 사이에 로그 관계가 있음을 보여준다.^[69] 하지만 이 법칙은 스티븐스의 멱법칙과 같은 더 최근의 모델보다 정확도가 떨어진다.^[70]

7. 1. 5. 선형추정의 법칙

어린아이들에게 수직선에 수를 표시하라고 하면 로그 자와 같이 표시하는데, 충분히 교육받은 나이의 아이에게 이를 표시하라고 하면 수직선을 등분하여 표시한다. 이것은 인간이 본질적으로 수를 로그와 같이 인식한다는 것을 의미한다.^[71][72]

7. 2. 확률론과 통계론

로그는 확률론에서도 나타난다. 확률변수의 로그가 정규분포를 가지면 그 변수는 로그정규분포를 따른다고 하는데, 이러한 로그정규분포는 난류 연구와 같이 여러 독립적인 양의 확률 변수들의 곱으로 형성되는 다양한 분야에서 나타난다.^[74][75]

로그는 파라메트릭 통계 모델의 최대가능도추정에도 사용된다. 이 모델에서 가능도 함수는 추정해야 할 하나 이상의 매개변수에 의존한다. 로그는 증가 함수이므로, 가능도 함수의 최댓값은 그 로그("로그 가능도")의 최댓값과 동일한 매개변수 값에서 나타난다. 로그 가능도는 특히 독립적인 확률 변수에 대한 곱해진 가능도의 경우 최대화하기가 더 쉽다.^[76]

벤포드의 법칙은 여러 데이터 집합에서 숫자의 발생 빈도를 설명한다. 이 법칙에 따르면, 데이터 샘플 항목의 첫 번째 십진수 숫자가 d (1부터 9까지)일 확률은 측정 단위와 관계없이 log₁₀ (''d'' + 1) − log₁₀ (''d'')^영어와 같다.^[77] 따라서 데이터의 약 30%가 첫 번째 숫자로 1을, 18%는 2를 가질 것으로 예상된다. 감사관들은 벤포드의 법칙에서 벗어나는지를 조사하여 회계 부정을 탐지하기도 한다.^[78]

7. 3. 계산복잡도

알고리즘 분석은 컴퓨터 과학의 한 분야로, 알고리즘 (특정 문제를 해결하는 컴퓨터 프로그램)의 성능을 연구한다.^[79] 로그는 문제를 분할하여 더 작은 문제로 만들고, 하위 문제들의 해결책을 결합하는 알고리즘을 설명하는 데 유용하다.^[80]

예를 들어, 정렬된 목록에서 숫자를 찾기 위해, 이진 탐색 알고리즘은 중간 항목을 확인하고 숫자가 아직 발견되지 않으면 중간 항목의 앞이나 뒤 절반으로 진행한다. 이 알고리즘은 평균적으로 log₂ (N)번의 비교를 필요로 하며, 여기서 N은 목록의 길이다.^[81] 마찬가지로, 병합 정렬 알고리즘은 정렬되지 않은 목록을 절반으로 나누고, 결과를 병합하기 전에 먼저 정렬하여 정렬한다. 병합 정렬 알고리즘은 일반적으로 N · log(N)에 근사적으로 비례하는 시간이 필요하다.^[82] 여기서 로그의 밑은 지정되지 않는데, 다른 밑을 사용하더라도 결과가 상수 인자만큼만 변경되기 때문이다. 상수 인자는 표준 균등 비용 모델 하에서 알고리즘 분석에서 일반적으로 무시된다.^[83]

함수 f(x)가 x의 로그에 (정확히 또는 근사적으로) 비례하는 경우, 로그적으로 성장한다고 말한다. (그러나 유기체의 생물학적 설명은 이 용어를 지수 함수에 사용한다.^[84]) 예를 들어, 모든 자연수 N은 log₂ N + 1 비트 이하로 이진 형식으로 표현될 수 있다. 다시 말해, N을 저장하는 데 필요한 메모리의 양은 N과 함께 로그적으로 증가한다.

7. 4. 엔트로피와 무질서

엔트로피는 일반적으로 어떤 시스템의 무질서 정도를 측정하는 지표이다. 통계 열역학에서, 어떤 물리적 시스템의 엔트로피 ''S''는 다음과 같이 정의된다.^[85]

: ''S'' = -''k'' Σ_''i'' ''p''_''i'' ln(''p''_''i'')

여기서 합은 용기 내 가스 입자의 위치와 같이 문제의 시스템의 모든 가능한 상태 ''i''에 대한 것이다. ''p''_''i''는 상태 ''i''가 나타날 확률이고, ''k''는 볼츠만 상수이다. 마찬가지로, 정보 이론의 엔트로피는 정보의 양을 측정한다. 메시지 수신자가 ''N''개의 가능한 메시지 중 하나를 동일한 확률로 예상할 수 있다면, 이러한 메시지 하나가 전달하는 정보의 양은 log₂''N'' 비트로 정량화된다.

랴푸노프 지수는 동역학적 시스템의 혼돈 정도를 측정하기 위해 로그를 사용한다. 예를 들어, 타원형 당구대 위를 움직이는 입자의 경우, 초기 조건이 조금만 달라져도 입자의 경로는 매우 다르게 나타난다. 이러한 시스템은 초기 상태의 작은 측정 오류가 예측 가능하게 크게 다른 최종 상태로 이어지기 때문에 결정론적 시스템 방식으로 혼돈적이다.^[86] 결정론적으로 혼돈적인 시스템의 랴푸노프 지수는 적어도 하나 이상 양수이다.

7. 5. 프랙탈

로그는 차원의 정의에서 나타난다. 프랙탈은 작은 부분이 전체적인 구조를 적어도 대략적으로 재현한다는 점에서 자기 유사성을 갖는 기하학적 객체이다. 시에르핀스키 삼각형 (그림)은 원래 길이의 절반인 세 개의 복사본으로 덮을 수 있다. 이는 이 구조의 하우스도르프 차원을 log(3)/log(2) ≈ 1.58로 만든다.^[56] 차원의 또 다른 로그 기반 개념은 해당 프랙탈을 덮는 데 필요한 상자 수를 세는 것으로 얻어진다.

7. 6. 음악

평균율에서 주파수 비율은 개별 음의 특정 주파수나 음고가 아닌 두 음 사이의 음정에만 의존한다.^[54] 현대 서양 음악에서 흔히 사용되는 12음 평균율에서 각 옥타브 (주파수 두 배)는 반음이라는 12개의 동일한 간격으로 나뉜다. 예를 들어, 음 ''A''의 주파수가 440 Hz이면, 음 ''B-플랫''의 주파수는 466 Hz이다. ''A''와 ''B-플랫'' 사이의 음정은 반음이며, ''B-플랫''과 ''B'' (주파수 493 Hz) 사이의 음정도 같다. 따라서 주파수 비율은 다음과 같다.

:$\backslash frac\{466\}\{440\}\; \backslash approx\; \backslash frac\{493\}\{466\}\; \backslash approx\; 1.059\; \backslash approx\; \backslash sqrt[12]2.$

임의의 음고 사이의 음정은 주파수 비율의 밑-2^영어 로그를 취하여 옥타브 단위로 측정할 수 있으며, 밑- 로그 ( 곱하기 밑-2^영어 로그)를 취하여 동일하게 조율된 반음 단위로 측정할 수 있으며, 밑- 로그 ( 곱하기 밑-2^영어 로그)를 취하여 반음의 백분율인 센트 단위로 측정할 수 있다. 후자는 더 미세한 측정이나 불균등 조율에 필요하므로 더 미세한 인코딩에 사용된다.^[88]

음정 (두 음은 동시에 연주됨)	1/12 음	반음	정확한 장3도	장3도	트라이톤	옥타브
주파수 비율 $r$	$2^\{\backslash frac\; 1\; \{72\}\}\; \backslash approx\; 1.0097$	$2^\{\backslash frac\; 1\; \{12\}\}\; \backslash approx\; 1.0595$	$\backslash tfrac\; 5\; 4\; =\; 1.25$			$2^\{\backslash frac\; \{12\}\; \{12\}\}\; =\; 2$
반음 수 $12\; \backslash log\_2\; r$	$\backslash tfrac\; 1\; 6$	$1$	$\backslash approx\; 3.8631$	$4$	$6$	$12$
센트 수 $1200\; \backslash log\_2\; r$	$16\; \backslash tfrac\; 2\; 3$	$100$	$\backslash approx\; 386.31$	$400$	$600$	$1200$

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