기초감염재생산수

1. 개요

기초감염재생산수(R₀)는 감염에 취약한 인구 집단에서 한 명의 감염자가 직접 감염시키는 평균적인 사람 수를 의미한다. 1952년 조지 맥도널드에 의해 말라리아 연구에 처음 적용되었으며, 감염병 확산과 통제를 위한 수리 모델 연구에 활용되었다. R₀는 백신 접종으로 변경될 수 없고, 환경 요인과 감염 집단의 행동에 영향을 받으므로, 특정 맥락에서만 의미를 가진다. R₀는 감염병 초기에 감염자 수의 기하급수적 증가를 통해 예측할 수 있으며, 구획 모델, 네트워크 모델 등을 통해 계산할 수 있다. 유효 재생산수(Rₜ)는 면역력을 가진 인구를 고려하여 계산하며, R₀ 값은 질병의 종류, 변이, 시기에 따라 다르다. R₀는 대중 문화, 인구학에서도 활용되며, 인구학에서는 인구의 확대 및 축소를 판단하는 지표로 사용된다.

2. 역사

감염병 확산과 통제를 위한 수리 모델 연구는 18세기 스위스 수학자 다니엘 베르누이로부터 시작되었다고 볼 수 있다. 그는 천연두 사망률이 인간 수명에 미치는 영향을 연구하며 구획 모델의 기초를 마련했다. 또한, 특정 사망 원인(천연두)이 제거될 경우 수명이 얼마나 연장되는지를 분석하여 경쟁 위험 모델 연구의 시초가 되기도 했다.

다니엘 베르누이는 1766년 프랑스 왕립 과학 아카데미에 "소충을 사명으로 한 사망 예의 새로운 해석 (Essai d’une nouvelle analyse de la mortalite causee par la petite verole^프랑스어)"이라는 논문을 발표했다. 이 논문은 천연두 감염률과 사망률 데이터를 분석하여 예방 접종의 효과를 측정하고, 관찰 중단(censoring)과 같은 개념을 다룬 최초의 통계학적 분석 중 하나였다.

현대적인 기초 재생산수 개념 자체는 로널드 로스, 알프레드 로트카 등의 연구에서 그 기원을 찾을 수 있다. 하지만 역학 분야에서 이 개념이 본격적으로 적용된 것은 1952년 조지 맥도널드에 의해서였다. 그는 말라리아 확산에 대한 인구 모델을 만들면서 이 값을 기초 재생산율(basic reproduction rate)이라 부르고 $Z\_0$로 표기했다.

3. 정의

기초감염재생산수 $R\_0$는 모든 개체가 특정 감염병에 대한 면역이 없어 감염될 가능성이 있는(감수성이 있는) 인구 집단에서, 첫 감염자가 발생했을 때 그 한 명의 감염자가 평균적으로 감염시킬 수 있는 2차 감염자의 수를 의미한다. 이 정의는 다른 사람들이 아직 감염되지 않았으며, 선천성 면역이나 예방 접종(백신)을 통해 면역을 갖추지 않은 이론적인 상황을 가정한다. 오스트레일리아 보건부(Department of Health)의 정의와 같이 일부에서는 '감염병 전파를 막기 위한 계획적인 개입이 없는 상황'이라는 조건이 추가되기도 한다.

$R\_0$ 값 자체는 백신 접종이나 시간이 지남에 따른 인구 집단의 면역 수준 변화로 직접 수정되지 않는다. $R\_0$는 무차원수이며, 배가 시간처럼 특정 시간 단위를 가지는 비율이 아니라는 점에 유의해야 한다.

또한 $R\_0$는 특정 병원체에 고유한 생물학적 상수(constant)는 아니다. 이는 $R\_0$ 값이 감염이 발생하는 환경적 요인이나 감염된 집단의 사회적 행동 양식에 따라 달라질 수 있기 때문이다. 예를 들어, 사회적 거리두기와 같은 공중 보건 정책이나 사회적 개입 등을 통해 $R\_0$ 값은 달라질 수 있다. 역사적으로 일부 정의에서는 이러한 인위적인 개입(비약물적 개입)을 $R\_0$ 계산에서 제외하기도 했지만, 실제 연구에서는 비약물적 개입 포함 여부가 연구 맥락, 대상 질병, 개입 종류에 따라 달라지는 경우가 많다. 이는 $R\_0$가 고정된 값이 아니라는 점에서 혼란을 야기할 수 있는데, 수학에서 아래첨자 '0'이 붙는 다른 매개변수는 보통 상수를 의미하기 때문이다.

대중 매체에서 $R\_0$가 언급될 때 그 의미가 잘못 전달되거나 왜곡되기도 한다. $R\_0$는 다양한 수학적 모델을 통해 계산될 수 있으며, 각 모델은 서로 다른 가정을 바탕으로 하므로 $R\_0$ 추정치도 달라질 수 있다. 따라서 서로 다른 감염병의 전염성을 $R\_0$ 값만으로 직접 비교하려면 동일한 가정을 사용하여 재계산해야 하며, 그렇지 않다면 비교에 신중해야 한다. 과거 유행병의 $R\_0$ 값이 현재 유행하는 동일 질병에 그대로 적용되지 않을 수 있다.

4. 예측 방법

R₀를 예측하기 위해 다양한 방법이 사용될 수 있다. 감염병의 대확산 초기 단계에서는 감염자 수가 기하급수적으로 증가하는 경향을 보이는데, 이때 R₀는 대략적으로 '1 + (감염병의 전파율, 즉 감염자 증가 속도) * (세대 기간)' 공식을 이용하여 추정할 수 있다. 여기서 세대 기간(serial interval)이란 첫 감염자의 증상 발현 시점과 그로부터 감염된 2차 감염자의 증상 발현 시점 사이의 시간 간격을 의미한다. 이 외에도 구획 모델이나 네트워크 모델 등 다양한 수학적 모델링 기법이 R₀ 예측에 활용된다.

4.1. 초기 단계 예측법의 한계

감염병의 대확산 초기 단계에서는 감염자 수가 기하급수적으로 증가하는 경향을 보인다. 이 시기에는 R₀를 대략적으로 '1 + (감염병의 전파율, 즉 감염자 증가 속도) * (세대 기간)' 공식을 이용하여 추정할 수 있다. 여기서 세대 기간(serial interval)이란 첫 감염자의 증상 발현 시점과 그로부터 감염된 2차 감염자의 증상 발현 시점 사이의 시간 간격을 의미한다.

그러나 이러한 초기 단계 예측법에는 다음과 같은 한계점이 있다.
* 보고된 감염자 수의 신뢰성: 실제 감염자가 존재함에도 불구하고 보고 과정에서 누락되거나, 감염 발생 시점과 보고 시점 사이에 상당한 시간 지연이 발생할 경우, 이 방법으로 산출된 R₀ 값은 실제 값보다 더 높거나 낮게 편향될 수 있다.
* [[세대 기간]]의 불확실성: R₀ 계산 공식에 필요한 세대 기간을 정확하게 파악하기 어려운 경우(예: 감염자의 정확한 증상 발현 시점을 알 수 없는 경우) 예측의 정확성이 떨어질 수 있다.

4.2. 구획 모델

구획 모델은 전염병의 수학적 모델링에 자주 적용되는 일반적인 모델링 기법이다. 이러한 모델에서 인구 구성원은 S(감수성, Susceptible), I(감염성, Infected), 또는 R(회복, Recovered)과 같은 구획으로 나뉜다. 이 모델들은 $R\_0$를 추정하는 데 사용될 수 있다.

역학의 구획 모델의 대표적인 예로 SIR 모델이 있다. SIR 모델은 감수성(Susceptible), 감염된(Infected), 격리된(Removed: 회복 또는 사망) 사람의 수 변화를 통해 질병의 시간 경과에 따른 동태를 설명한다. 단, SIR 모델의 R(0)와 기초감염재생산수 $R\_0$를 혼동하지 않도록 주의해야 한다. R(0)는 시간 t=0에서의 격리자(Removed) 수를 나타낸다.

4.3. 네트워크 모델

유행병은 사람 간의 접촉 및 질병 전파의 네트워크를 통해 확산되는 질병으로 모델링할 수 있다. 이러한 네트워크에서 각 노드(점)는 개별 사람을 나타내고, 노드들을 연결하는 링크(선)는 사람들 간의 접촉이나 질병 전파 경로를 의미한다. 만약 이 네트워크가 국소적으로 트리 구조와 유사하다면, 기초감염재생산수(R₀)는 전파 네트워크의 평균 초과 차수를 이용하여 다음과 같이 계산할 수 있다.

$$R\_0\; =\; \backslash frac\; -\; 1$$

여기서 $\{\backslash langle\; k\; \backslash rangle\}$는 네트워크 전체 노드들의 연결 수(차수)의 평균값, 즉 평균 차수를 의미하며, $\{\backslash langle\; k^2\; \backslash rangle\}$는 전파 네트워크 차수 분포의 두 번째 모멘트를 나타낸다.

4.4. 이질적인 인구 집단

모든 인구 집단이 동일한 특성을 가지는 것은 아니므로, 균질하지 않은 집단에서 기초감염재생산수(R₀)를 정의하는 것은 좀 더 신중한 접근이 필요하다. 이는 감염을 전파하는 '전형적인' 감염된 사람이 집단 전체의 '평균적인' 사람과 다를 수 있기 때문이다.

예를 들어, 일부 사람들만 서로 활발하게 교류하고 나머지 사람들은 고립된 집단을 생각해 볼 수 있다. 이 경우, 무작위로 선택된 한 사람이 다른 사람에게 병을 옮길 확률이 낮더라도(즉, 평균적인 2차 감염자 수가 1 미만이더라도), 활발하게 교류하는 집단 내의 '전형적인' 감염자는 많은 사람에게 병을 옮겨 질병이 계속 퍼져나갈 수 있다.

또한, 유행 초기에 감염된 사람이 나중에 감염된 사람보다 평균적으로 더 많은 사람에게 병을 옮기거나 혹은 덜 옮길 수도 있다. R₀를 계산할 때는 이러한 차이점들도 고려해야 한다. 따라서 이질적인 집단에서의 R₀는 "완전히 취약한 집단에서 전형적인 감염된 개체가 발생시키는 2차 감염자 수의 기댓값"으로 정의하는 것이 더 정확하다.

기초 감염 재생산수는 알려진 시간당 비율들의 관계로 계산할 수 있다. 감염된 개인이 단위 시간당 β명의 다른 사람과 접촉하고, 그 접촉자들이 모두 감염된다고 가정하며, 평균 감염 기간이 1/γ이라면, 기초 감염 재생산수는 R₀ = β / γ 로 나타낼 수 있다. 일부 질병은 여러 잠복기를 가질 수 있으며, 이 경우 해당 질병 전체의 재생산수는 각 전이 단계별 재생산수의 합이다.

5. 유효 재생산수(Rₜ)

현실에서는 특정 시점에 인구 중 다양한 비율이 특정 질병에 대해 면역을 가지고 있다. 모든 사람이 감염에 취약한 이상적인 상황을 가정한 기초감염재생산수($R\_0$)와 달리, 실제 유행 상황을 더 잘 반영하기 위해 유효 재생산수($R\_t$ 또는 $R\_e$) 개념이 사용된다.

$R\_t$는 부분적으로 감수성이 있는 인구 집단 내에서 특정 시간 t에 감염된 사람 한 명이 감염시키는 새로운 감염자의 평균 수를 의미한다. 이는 기초감염재생산수 $R\_0$에 감수성이 있는 인구(즉, 면역이 없는 인구)의 비율(분율) S를 곱하여 계산할 수 있다 ($R\_t\; =\; R\_0\; \backslash times\; S$).

시간이 지남에 따라 백신 접종이나 감염 후 회복 등으로 인구 내 면역을 가진 사람의 비율이 증가하면 (즉, 감수성 인구 비율 S가 감소하면) $R\_t$는 1 미만으로 떨어지게 된다. $R\_t$가 1 미만이라는 것은 감염자 한 명이 평균적으로 한 명 미만의 사람을 감염시킨다는 의미이므로, 유행 규모가 점차 축소된다. 이 상태가 지속되면 집단 면역이 달성되었다고 보며, 감염병 발생 사례 수는 점차 줄어들어 0에 가까워진다.

유효 재생산수는 기초감염재생산수($R\_0$)와는 다른 개념이며, 때로는 실효재생산수(effective reproduction number) $R$과 같은 의미로 사용되기도 하지만, 맥락에 따라 구분될 필요가 있다. 실효재생산수는 특정 시점의 실제 인구 집단(면역을 가진 사람이 포함된) 내에서 감염자 한 명이 평균적으로 몇 명을 추가로 감염시키는지를 나타내는 값으로, 유행의 현재 확산 추세를 파악하는 데 중요한 지표이다.

광둥성 질병 예방 통제 센터에 따르면, 실제 전염력을 나타내는 데는 실효재생산수 $R$이 더 일반적으로 사용된다. 이는 감염 사례별로 발생하는 2차 감염 사례 수의 평균으로 정의되며, 특별한 방역 조치가 없는 경우 $R\; =\; R\_0\; \backslash times\; \backslash chi$ ($\backslash chi$는 감수성 인구 비율)로 표현될 수 있다. 예를 들어 코로나19(2019-nCoV)의 초기 실효재생산수는 2.9, SARS의 실효재생산수는 1.7로 보고된 바 있다.

6. 한계

R₀ 값은 다양한 수학적 모델을 통해 계산될 수 있으며, 각 모델과 사용된 매개변수에 따라 다른 추정치를 제공한다. 따라서 R₀ 값은 특정 모델의 맥락 안에서 해석되어야 하며, 동일한 가정을 사용하지 않고서는 서로 다른 감염병의 전염성을 R₀ 값만으로 직접 비교하기 어렵다. 과거 유행병에 대한 R₀ 값이 동일 질병의 현재 유행 상황에 그대로 적용되지 않을 수도 있다.

일반적으로 R₀는 유행의 확산 여부를 판단하는 임계값으로 사용된다. R₀ < 1이면 유행은 소멸하고, R₀ > 1이면 유행이 확산될 것으로 예측한다. 그러나 일부 모델에서는 R₀ < 1인 경우에도 자체적으로 지속되는 유행이 발생할 수 있다. 이는 인수공통감염병과 같이 숙주 사이에 매개체가 존재하는 경우, 예를 들어 말라리아와 같은 질병에서 특히 문제가 될 수 있다. 따라서 특정 질병의 R₀ 값들을 비교할 때는 신중해야 한다.

R₀는 예방 접종이나 인구 집단의 면역 상태 변화로 직접 수정되는 값은 아니지만, 여러 생물학적, 사회 행동적, 환경적 요인에 따라 달라질 수 있다. 또한, 사회적 거리두기와 같은 비약리학적 개입이나 기타 공공 정책을 통해서도 값이 변동될 수 있다. 이처럼 R₀는 고정된 상수가 아니라는 점에서, '0' 첨자가 붙는 다른 수학적 상수들과 달라 해석에 혼란을 야기하기도 한다.

R₀를 계산하는 방법은 생존 함수, 야코비 행렬의 최대 고유값 이용, 차세대 행렬 방법, 내재적 증가율 계산, 평균 감염 연령 계산, 최종 규모 방정식 등 다양하다. 그러나 이러한 방법들은 동일한 미분 방정식 모델에서 출발하더라도 서로 다른 결과를 내는 경우가 많으며, 계산된 값이 실제 평균 2차 감염자 수를 정확히 반영하지 못할 수도 있다. 특히 매개체가 있는 질병의 경우 이러한 불일치 문제가 더 두드러진다.

R₀는 실제 현장에서 직접 관찰하기 어렵고 주로 수학적 모델을 통해 추정되므로, 그 값의 실제적 유용성에는 한계가 있다. 이러한 불확실성 때문에 공공 정책 수립 시에는 R₀ 값 자체보다는 배증 시간이나 반감기 (t_1/2)와 같이 추정이 더 용이한 다른 지표들을 참고하는 것이 더 효과적일 수 있다.

7. 다양한 감염병의 R₀ 값 예시

인플루엔자 균주에 대한 추정치.


SARS-CoV-2 변이에 대한 추정치.

8. 대중 문화

2011년 영화 《컨테이젼》은 허구의 의학 재난 스릴러로, 치명적인 바이러스 감염의 진행을 고립된 사례에서 대유행으로 반영하기 위해 블로거가 R₀를 계산하는 장면이 묘사되었다.

9. 인구학

인구학에서 기본재생산수 R₀는 한 여성이 특정 연령까지 생존할 확률(생존율)과 해당 연령에서의 출산율을 곱한 값을 모든 연령에 걸쳐 합산한 수치를 의미한다. 이 값에 약 2.08을 곱하면 남녀 전체 평균 출생아 수, 즉 저출산 관련 논의에서 자주 언급되는 합계출산율(TFR)과 유사한 값이 된다。

기본재생산수는 어머니 세대 대비 딸 세대의 인구 비율을 보여준다. R₀가 1보다 크면 다음 세대 인구가 현재 세대보다 많아지는 확대 재생산을 의미하고, 1보다 작으면 인구가 줄어드는 축소 재생산을 의미한다。 따라서 장기적으로 R₀가 1보다 크면 인구가 증가하고, R₀가 1보다 작으면 인구가 감소하게 된다。

예를 들어, 2005년 일본의 R₀는 0.61이었는데, 이는 어머니 세대 인구의 약 61%에 해당하는 수의 딸만 태어난다는 것을 의미하며 심각한 인구 감소 추세를 나타낸다。