폴란드 공간

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1. 개요
2. 정의
3. 성질
4. 예
5. 일반화
6. 폴란드 군
7. 역사
8. 특징
9. 폴란드 거리 공간
참조

1. 개요

폴란드 공간은 제2 가산 완비 거리화 가능 공간이자 분해 가능 완비 거리화 가능 공간이며, Gδ 집합과 위상 동형이다. 힐베르트 입방체는 보편 폴란드 공간으로 여겨진다. 폴란드 공간은 거리 공간으로 계량화될 수 있지만, 그 자체로는 거리 공간이 아니며, 구별되는 완비 거리를 갖는 폴란드 공간을 폴란드 거리 공간이라고 한다. 폴란드 군은 폴란드 공간인 위상군으로, 바나흐, 프로이덴탈, 쿠라토프스키의 연구가 있으며, 보렐 가측 사상이 준동형이면 자동으로 연속적이다. 모든 폴란드 공간은 제2 가산 공리를 만족하며, 부분 공간이 폴란드 공간이 되기 위한 조건이 있다. 칸토어-벤딕슨 정리가 성립하며, 힐베르트 큐브의 Gδ-부분 집합과 위상 동형이다. 루신 공간과 수슬린 공간, 라돈 공간은 폴란드 공간의 일반화이며, 바츠와프 시에르핀스키, 카지미에시 쿠라토프스키, 알프레트 타르스키 등에 의해 연구되었다.

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폴란드 공간
기본 정보
유형	위상 공간
속성	분리 가능 공간, 완전 거리화 가능 공간
성질
예시	실수선, 베르 공간
포함 관계	모든 거리 공간
일반화	애널리틱 공간

2. 정의

위상 공간 $X$ 에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 위상 공간을 '''폴란드 공간'''이라고 한다.

제2 가산 완비 거리화 가능 공간이다.^[12]
분해 가능 완비 거리화 가능 공간이다.^[13]
$[0,1]^{\aleph_0}$ 의 Gδ 집합과 위상 동형이다.^[14] ('''힐베르트 입방체'''(Hilbert cube|힐베르트 입방체^영어) $[0,1]^{\aleph_0}$ 는 실수의 닫힌구간 $[0,1]$ 의 가산 무한 곱공간이다.)
$\mathbb R^{\aleph_0}$ 의 닫힌집합과 위상 동형이다.

마지막 조건에 따라, 힐베르트 입방체 또는

\mathbb R^{\aleph_0}

는 일종의 "보편 폴란드 공간"으로 여길 수 있다.

'''폴란드 군'''(Polish group|폴란드 군^영어)은 폴란드 공간인 위상군이다. 폴란드 군은 폴란드 공간의 성질을 그대로 이어받기 때문에 위상군으로서 다루기 편하다.

3. 성질

모든 폴란드 공간은 분리 가능하고 거리화 가능하기 때문에 제2 가산 공리를 만족시킨다.^[1]

3. 1. 연산에 대한 닫힘

'''마주르키에비치 정리'''(Mazurkiewicz theorem^영어)에 따르면, 폴란드 공간

X

의 부분 집합

A\subseteq X

에 대하여,

A

가 폴란드 공간인 것과

A

가

X

의 G_δ 집합인 것은 서로 동치이다.^[12]^[13]

특히, 모든 열린집합과 모든 닫힌집합은 G_δ 집합이므로, 폴란드 공간의 열린집합 또는 닫힌집합인 부분 집합은 그 자체로 폴란드 공간이 된다.

폴란드 공간들의 모임은 다음 연산들에 대하여 닫혀 있다.

가산 개의 폴란드 공간들의 곱공간은 폴란드 공간이다.^[12]
가산 개의 폴란드 공간들의 분리합집합은 폴란드 공간이다.^[12]
하우스도르프 공간 속의 폴란드 공간들의 가산 교집합은 폴란드 공간이다. 즉, $X$ 가 하우스도르프 공간이고, 그 부분 집합들 $(A_i)_{i\in\mathbb N}$ 이 각각 폴란드 공간이라면, 그 교집합 $\bigcap_{i\in\mathbb N}A_i$ 역시 폴란드 공간이다.

3. 2. 위상수학적 성질

임의의 위상 공간에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이다.

국소 콤팩트 폴란드 공간이다.^[13]
제2 가산 국소 콤팩트 하우스도르프 공간이다.^[13]
콤팩트 거리화 가능 공간이다.^[13]
콤팩트 거리화 가능 공간의 열린집합과 위상 동형이다.^[13]

그러나 폴란드 공간이 반드시 국소 콤팩트 공간일 필요는 없다.

폴란드 공간은 제2 가산 공간이므로, 칸토어-벤딕손 정리가 성립한다. 즉, 폴란드 공간

X

의 닫힌 부분 집합은 가산 집합과 완전 집합의 서로소 합집합으로 나타낼 수 있다. 또한,

X

가 폴란드 공간이면 그 Gδ 집합 부분 집합도 폴란드 공간이다. (알렉산드로프 정리)

베르 공간

\mathbb N^{\aleph_0}

은 가산 무한 이산 공간

\mathbb N

의 가산 무한 개 곱공간이며, 칸토어 공간

\{0,1\}^{\aleph_0}

은 크기 2의 이산 공간

\{0,1\}

의 가산 무한 개 곱공간이다. 이 공간들과 폴란드 공간 사이에는 다음과 같은 관계가 성립한다.

임의의 공집합이 아닌 폴란드 공간 $X$ 에 대하여, 연속 전사 함수 $\mathbb N^{\aleph_0}\to X$ 가 존재한다.^[13]
임의의 폴란드 공간 $X$ 에 대하여, $\mathbb N^{\aleph_0}$ 의 어떤 닫힌집합 $F\subseteq \mathbb N^{\aleph_0}$ 로부터 $X$ 로 가는 연속 전단사 함수 $F\to X$ 가 존재한다.^[13] (그러나 이는 위상 동형 사상이 아닐 수 있다.)
임의의 폴란드 공간 $X$ 에 대하여, 만약 $X$ 가 비가산 집합이라면, $X$ 는 칸토어 공간 $\{0,1\}^{\aleph_0}$ 과 위상 동형인 부분 집합 $A\subseteq X$ 을 갖는다.

폴란드 공간

X

에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.^[13]

$X$ 는 고립점을 갖지 않으며 공집합이 아니다.
연속 전사 함수 $f\colon\mathbb N^{\aleph_0}\to X$ 가 존재한다.

폴란드 공간의 부분 공간에 대한 다음 성질들이 성립한다.

폴란드 공간 $P$ 의 부분 공간 $Q$ 가 폴란드 공간인 것은 $Q$ 가 $P$ 의 열린 부분 집합들의 가산 교집합으로 나타낼 수 있을 때, 그리고 그때뿐이다.
위상 공간 $X$ 가 폴란드 공간인 것은 $X$ 가 힐베르트 큐브 $I^{\mathbb N}$ 의 열린 부분 집합들의 가산 교집합과 위상 동형일 때, 그리고 그때뿐이다.

다음과 같은 방법으로 폴란드 공간을 구성하거나 얻을 수 있다.

폴란드 공간의 닫힌 부분 집합
폴란드 공간의 열린 부분 집합
가산 개의 폴란드 공간들의 곱공간
하우스도르프 공간의 폴란드 부분 공간들의 가산 교집합
무리수 전체의 집합에 실수 직선의 부분 공간 위상을 부여한 공간

3. 3. 집합론적 성질

임의의 폴란드 공간 ''X''의 크기는 {0, 1, 2, ..., ℵ₀, 2^ℵ₀} 집합의 원소 중 하나이다. 즉, 모든 폴란드 공간의 크기는 2^ℵ₀ 이하이며, 연속체 가설과는 독립적으로, 크기 |''X''|가 ℵ₀ < |''X''| < 2^ℵ₀를 만족하는 폴란드 공간 ''X''는 존재하지 않는다.^[15]

모든 폴란드 공간은 분리 가능하고 거리화 가능하므로 제2 가산 공리를 만족시킨다.^[1]

폴란드 공간 ''P''의 부분 공간 ''Q''가 (유도된 부분 공간 위상에서) 폴란드 공간이 될 필요충분조건은 ''Q''가 ''P''의 열린 집합들의 가산 교집합, 즉 ''G''_δ 집합인 것이다.^[2] 이는 알렉산드로프 정리로 알려져 있으며, 폴란드 공간의 ''G''_δ 부분 집합은 항상 폴란드 공간임을 의미한다.

칸토어-벤딕손 정리에 따르면, 폴란드 공간 ''X''의 모든 닫힌 부분 집합은 완전 집합(perfect set)과 가산 집합의 분리합집합으로 나타낼 수 있다. 만약 폴란드 공간 ''X'' 자체가 비가산 집합이라면, ''X''는 완전 집합과 가산 열린 집합의 분리합집합으로 표현될 수 있다.

모든 폴란드 공간은 힐베르트 큐브 ''I''^ℕ (여기서 ''I''는 단위 구간, ℕ은 자연수 집합)의 ''G''_δ 부분 집합과 위상 동형이다.^[3] 역으로, 힐베르트 큐브의 ''G''_δ 부분 집합과 위상 동형인 위상 공간은 폴란드 공간이다.

다음 위상 공간들은 폴란드 공간이다.

폴란드 공간의 닫힌 부분 집합 또는 열린 부분 집합. (이는 ''G''_δ 집합 조건의 특수한 경우이다.)
가산 개의 폴란드 공간들의 곱공간 또는 분리합집합.
거리화 가능하고 σ-콤팩트한 국소 콤팩트 공간.
하우스도르프 공간 내에서 폴란드 공간인 부분 공간들의 가산 교집합.
실수 직선의 표준 위상을 부분 공간 위상으로 갖는 무리수의 집합.

3. 4. 측도론적 성질

폴란드 공간에 보렐 시그마 대수를 부여하면, 이는 가측 공간을 이룬다. 이와 같이, 폴란드 공간과 (가측 공간으로서) 동형인 가측 공간을 '''표준 보렐 공간'''(標準Borel空間, standard Borel space^영어)이라고 한다.

두 표준 보렐 공간

X

,

Y

에 대하여, 다음 두 명제가 서로 동치이다.^[15]

$X$ 와 $Y$ 는 서로 동형이다. 즉, $X$ 와 $Y$ 사이에 전단사 함수 $f\colon X\to Y$ 가 존재하며, 이는 $X$ 와 $Y$ 의 보렐 시그마 대수 사이의 동형 $f^*\colon\mathcal B(X)\to\mathcal B(Y)$ 을 유도한다.
$|X|=|Y|$ 이다. 즉, $X$ 와 $Y$ 의 크기가 같다.

모든 표준 보렐 공간은 다음 가측 공간 가운데 정확히 하나와 동형이다.^[15] (가측 공간으로서의 동형은 위상 동형보다 더 약하다.)

보렐 시그마 대수를 갖춘 실수선 $(\mathbb R,\mathcal B(\mathbb R))$
이산 시그마 대수를 갖춘 자연수 집합 $(\mathbb N,\mathcal P(\mathbb N))$
이산 시그마 대수를 갖춘, 크기가 $n$ 인 유한 집합 $(\{1,\dots,n\},\mathcal P(\{1,\dots,n\}))$ ( $n=0,1,2,\dots$ )

4. 예

이산 공간의 경우, 가산 집합인 것, 제2 가산 공간인 것, 폴란드 공간인 것은 서로 동치이다. 따라서 가산 이산 공간은 폴란드 공간이지만, 비가산 이산 공간은 제2 가산 공간이 아니므로 폴란드 공간이 아니다.

모든 유클리드 공간 $\mathbb R^n$ 은 폴란드 공간이다. 더 나아가, 모든 분해 가능 바나흐 공간은 폴란드 공간이다.^[13]

'''힐베르트 입방체'''(Hilbert cube^영어) $[0,1]^{\aleph_0}$ 는 실수의 닫힌구간 $[0,1]$ 의 가산 무한 곱공간이며, 폴란드 공간이다.

'''베르 공간''' $\mathbb N^{\aleph_0}$ 은 가산 무한 이산 공간 $\mathbb N$ 의 가산 무한 개 곱공간이다. 이는 무리수의 위상 공간 $\mathbb R\setminus\mathbb Q$ 과 위상 동형이며, 폴란드 공간이다.

'''칸토어 공간''' $\{0,1\}^{\aleph_0}$ 은 크기 2의 이산 공간 $\{0,1\}$ 의 가산 무한 개 곱공간이며, 폴란드 공간이다.

무리수 전체의 집합에 실수 직선상의 위상을 부여한 공간은 폴란드 공간이다.

5. 일반화

폴란드 공간의 개념을 확장하거나 관련 속성을 공유하는 여러 종류의 위상 공간들이 있다. 이러한 공간들은 폴란드 공간의 특정 성질을 일반화하거나 다른 관점에서 접근하며, 기술적 집합론 및 측도론 등에서 중요한 역할을 한다. 주요 일반화된 공간으로는 루신 공간, 수슬린 공간, 라돈 공간 등이 있다.

'''루신 공간''': 하우스도르프 공간이면서, 폴란드 공간이 될 수 있는 더 강한 위상을 허용하는 공간이다.^[4] 모든 폴란드 공간은 정의상 루신 공간이다.
'''수슬린 공간''': 하우스도르프 공간이면서, 어떤 폴란드 공간의 연속 사상에 대한 이미지로 표현될 수 있는 공간이다.^[9] 모든 루신 공간은 수슬린 공간이다.
'''라돈 공간''': 공간 위의 모든 보렐 확률 측도가 내부 정규 측도가 되는 위상 공간이다. 모든 수슬린 공간은 라돈 공간이며, 따라서 모든 폴란드 공간 역시 라돈 공간이다.

이들 공간 사이에는 다음과 같은 포함 관계가 성립한다:

폴란드 공간 ⊆ 루신 공간 ⊆ 수슬린 공간 ⊆ 라돈 공간

5. 1. 루신 공간

하우스도르프 위상 공간은 더 강한 위상을 가져 폴란드 공간이 되면 '''루신 공간'''(니콜라이 루신의 이름을 따서 명명됨)이다.

루신 공간을 형성하는 방법은 여러 가지가 있다. 특히 다음과 같은 경우들이 있다.

모든 폴란드 공간은 루신 공간이다.^[4]
루신 공간의 부분 공간이 보렐 집합일 경우, 그 부분 공간은 루신 공간이다.^[5]
하우스도르프 공간 내에 있는 루신 부분 공간들의 가산 합집합 또는 교집합은 루신 공간이다.^[6]
가산 개의 루신 공간들의 곱은 루신 공간이다.^[7]
가산 개의 루신 공간들의 분리 합집합은 루신 공간이다.^[8]

5. 2. 수슬린 공간

하우스도르프 공간이 연속 사상 아래에서 폴란드 공간의 이미지인 경우 '''수슬린 공간'''(미하일 수슬린의 이름을 따서 명명됨)이라고 한다. 따라서 모든 루신 공간은 수슬린 공간이다.

폴란드 공간에서 부분 집합은 수슬린 집합(수슬린 연산)의 이미지인 경우에만 수슬린 공간이다.^[9]

다음은 수슬린 공간이다.

수슬린 공간의 닫힌 부분 집합 또는 열린 부분 집합
수슬린 공간의 가산 곱과 분리 합집합
하우스도르프 공간의 수슬린 부분 공간의 가산 교집합 또는 가산 합집합
수슬린 공간의 연속적인 이미지
수슬린 공간의 보렐 부분 집합

다음과 같은 속성이 있다.

모든 수슬린 공간은 분리 가능하다.

5. 3. 라돈 공간

'''라돈 공간'''은 요한 라돈의 이름을 따서 명명되었으며, ''M''에 대한 모든 보렐 확률 측도가 내부 정규인 위상 공간이다. 확률 측도는 전체적으로 유한하며, 따라서 국소 유한 측도이므로 라돈 공간의 모든 확률 측도는 또한 라돈 측도이다. 특히 분리 가능 완전 거리 공간 (''M'', ''d'')은 라돈 공간이다.

모든 수슬린 공간은 라돈 공간이다.

6. 폴란드 군

'''폴란드 군'''은 폴란드 공간이 되는 위상군 ''G''이다. 즉, 가산 분리 가능한 완비 거리 공간과 위상 동형인 위상군이다. 폴란드 군 간의 준동형에 관해 바나흐, 프로이덴탈, 쿠라토프스키의 몇 가지 고전적인 결과가 있다.^[10] 첫째, 바나흐의 논증은 비가환 폴란드 군에도 적용되어, ''G''와 ''H''가 가산 분리 가능한 거리 공간이고 ''G''가 폴란드 군이면, ''G''에서 ''H''로의 모든 보렐 준동형은 연속이다.^[11] 둘째, 쿠라토프스키에 의한 열린 사상 정리 또는 닫힌 그래프 정리의 변형이 있다. 폴란드 부분군 ''G''에서 다른 폴란드 군 ''H''로의 연속적인 단사 준동형은 열린 사상이다. 결과적으로, 폴란드 군 사이의 보렐 가측 사상(열린 집합의 역상이 베어 성질을 갖는 사상)이 준동형이면 자동으로 연속이라는 놀라운 사실이 성립한다. 힐베르트 큐브 [0,1]^'''N'''의 위상 동형 군은 모든 폴란드 군이 그 닫힌 부분군과 동형이라는 의미에서 보편적인 폴란드 군이다.

예시는 다음과 같다:

가산 개의 연결 성분을 갖는 모든 유한 차원 리 군은 폴란드 군이다.
가산 분리 가능한 힐베르트 공간의 유니타리 군 (강한 작용소 위상 사용)은 폴란드 군이다.
콤팩트 거리 공간의 위상 동형 군은 폴란드 군이다.
가산 개의 폴란드 군의 곱은 폴란드 군이다.
가산 분리 가능한 완비 거리 공간의 등거리 변환 군은 폴란드 군이다.

7. 역사

바츠와프 시에르핀스키, 카지미에시 쿠라토프스키, 알프레트 타르스키 등이 도입하고 연구하였다. 이들이 모두 폴란드의 위상수학자·논리학자였기 때문에 ‘폴란드 공간’이라는 이름이 붙었다.^[12]

마주르키에비치 정리는 스테판 마주르키에비치가 증명하였다.

8. 특징

제2 가산 위상 공간이 거리화 가능할 조건을 알려주는 여러 특징이 있으며, 대표적으로 우레이손 거리화 정리가 있다.^[1] 어떤 거리화 가능 공간이 완전 거리화 가능한지를 결정하는 것은 더 복잡한 문제이다. 예를 들어, 열린 단위 구간 (0,1)과 같은 위상 공간은 완전 거리와 불완전 거리를 모두 가질 수 있다.^[1]

완전 분리 가능 거리 공간의 특징은 강력한 초케 게임(Choquet game)이라는 게임을 통해 설명될 수 있다. 어떤 분리 가능 거리 공간이 완전 거리화 가능할 필요충분조건은 이 게임에서 두 번째 플레이어가 승리 전략을 가지는 것이다.^[1]

또 다른 특징은 알렉산드로프 정리에서 나온다. 이 정리에 따르면, 분리 가능 거리 공간이 완전 거리화 가능할 필요충분조건은 그 공간이 원래 거리에서의 완비화의 G_δ 부분 집합이 되는 것이다.^[1]

폴란드 공간은 다음과 같은 중요한 성질들을 가진다.

알렉산드로프 정리: ''X''가 폴란드 공간이면, 그 ''G''_δ 부분 집합도 폴란드 공간이다.^[1]
칸토어-벤딕슨 정리: ''X''가 폴란드 공간이면, 그 닫힌 부분 집합은 가산 집합과 완전 집합의 비교집합으로 나타낼 수 있다.^[1]
폴란드 공간 ''P''의 부분 공간 ''Q''가 폴란드 공간일 필요충분조건은 ''Q''가 ''P''의 열린 부분 집합들의 가산 교집합으로 표현될 수 있다는 것이다.^[1]
위상 공간 ''X''가 폴란드 공간일 필요충분조건은 ''X''가 힐베르트 큐브 I^N의 열린 부분 집합들의 가산 교집합과 위상 동형이라는 것이다.^[1]

다음과 같은 공간들은 폴란드 공간이다.^[1]

조건	설명
닫힌 부분 집합	폴란드 공간의 닫힌 부분 집합
열린 부분 집합	폴란드 공간의 열린 부분 집합
비교집합 또는 곱	가산 개의 폴란드 공간의 비교집합 또는 곱
가산 교차	하우스도르프 공간의 폴란드 부분 공간의 가산 교차
특정 집합	무리수 전체의 집합에 실수 직선상의 위상을 도입한 공간

9. 폴란드 거리 공간

폴란드 공간은 거리 공간으로 계량화될 수 있지만, 그 자체로는 거리 공간이 아니다. 각 폴란드 공간은 동일한 위상을 갖는 많은 완비 거리를 허용하지만, 이들 중 어떤 것도 특별히 선택되거나 구별되지 않는다. 구별되는 완비 거리를 갖는 폴란드 공간을 폴란드 거리 공간이라고 한다.

여기서 제시된 방법과 동등한 다른 접근 방식도 있다. 먼저 "폴란드 거리 공간"을 "완비 가분 거리 공간"으로 정의한다. 그런 다음, 폴란드 거리 공간에서 거리를 잊어버림으로써 얻은 위상 공간을 "폴란드 공간"으로 정의하는 것이다.

참조

_[1] 서적 Elementary Topology http://archive.org/d[...] Addison-Wesley
_[2] 서적
_[3] 서적
_[4] 서적
_[5] 서적
_[6] 서적
_[7] 서적
_[8] 서적
_[9] 서적
_[10] 서적
_[11] 서적
_[12] 서적 위상수학: 집합론을 중심으로 http://www.kyungmoon[...] 경문사 2004
_[13] 서적 Classical descriptive set theory Springer-Verlag 1995
_[14] 서적 A course on Borel sets Springer-Verlag 1991
_[15] 서적 Functional analysis and its applications 1988

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