절대평탄환

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1. 개요

절대평탄환은 환 R의 모든 원소가 약역원을 갖는 환으로, 폰 노이만 정칙환이라고도 불린다. 절대평탄환은 모든 원소가 약역원을 갖거나, 모든 주 왼쪽 아이디얼이 멱등원에 의해 생성되는 등 여러 가지 동치 조건을 만족한다. 절대평탄환은 가환환, 행렬환, 자기 준동형 사상환 등 다양한 예시를 가지며, 반단순환은 절대평탄환의 일종이다. 절대평탄환은 단위 정칙환, 강한 폰 노이만 정칙환 등으로 일반화될 수 있으며, 존 폰 노이만이 처음 소개했다.

절대평탄환

정의

정의	환 R의 모든 원소 a에 대해 a = axa를 만족하는 x가 R에 존재하면 R을 폰 노이만 정칙환이라고 함
조건	모든 단항 아이디얼이 주 아이디얼일 조건

성질

조건	모든 유한 생성 아이디얼이 주 아이디얼일 조건
조건	R의 모든 유한 생성 아이디얼이 사영 가군일 조건
조건	R이 절대 평탄환일 조건
조건	R의 모든 가군이 평탄 가군일 조건
조건	R의 모든 가군이 단사 가군일 조건
조건	R의 모든 소 아이디얼이 극대 아이디얼일 조건
조건	R의 스펙트럼이 하우스도르프 공간일 조건

역사

이름의 유래	존 폰 노이만의 이름을 따서 명명됨
최초 연구	1936년, 존 폰 노이만에 의해 연산자 대수의 연구에서 처음 등장

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1. 개요
2. 정의
3. 성질
- 3.1. 함의 관계
- 3.2. 가환 폰 노이만 정칙환의 특성
4. 예시
5. 일반화 및 특수화
- 5.1. 단위 정칙환
- 5.2. 강한 폰 노이만 정칙환
6. 역사

2. 정의

(항등원을 갖는) 환 $R$ 속의 원소 $r\in R$ 의 약역원(weak inverse element^영어)은 다음 조건을 만족시키는 원소 $s\in R$ 이다.
: $r = rsr$
만약 $r$ 가 가역원이라면, 그 약역원은 역원 $s=r^{-1}$ 밖에 없다. 그러나 가역원이 아닌 원소는 여러 개의 약역원들을 가질 수 있다. 특히, 0은 모든 원소를 약역원으로 갖는다. 이 경우, $rs=(rs)^2$ 및 $sr=(sr)^2$ 는 멱등원을 이룬다. $r$ 가 $s$ 의 약역원이라도, $s$ 가 $r$ 의 약역원일 필요는 없다. (예를 들어, 임의의 원소는 0의 약역원이지만, 0을 약역원으로 갖는 원소는 0 밖에 없다.)

(항등원을 갖는) 환 $R$ 에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 환을 절대평탄환 또는 폰 노이만 정칙환이라고 한다.
* $R$ 의 모든 원소는 (적어도 하나 이상의) 약역원을 갖는다.
* $R$ 의 모든 왼쪽 가군은 평탄 왼쪽 가군이다. 이는 $R$ 이 절대 평탄하거나, $R$ 의 약한 차원이 0임을 의미하기도 한다.
* $R$ 의 모든 오른쪽 가군은 평탄 오른쪽 가군이다.
* $R$ 의 모든 주 왼쪽 아이디얼은 어떤 멱등원에 의하여 생성된다. 즉, 임의의 원소 $r\in R$ 에 대하여, $Rr = Re$ 이며 $e=e^2$ 인 원소 $e\in R$ 가 존재한다. 이는 모든 유한 생성 왼쪽 아이디얼이 멱등원에 의해 생성된다는 것과 동치이다.
* $R$ 의 모든 주 오른쪽 아이디얼은 어떤 멱등원에 의하여 생성된다. 즉, 임의의 원소 $r\in R$ 에 대하여, $rR = eR$ 이며 $e=e^2$ 인 원소 $e\in R$ 가 존재한다. 이는 모든 유한 생성 오른쪽 아이디얼이 멱등원에 의해 생성된다는 것과 동치이다.
* 모든 단항 왼쪽 아이디얼은 왼쪽 R-가군 R의 직합 성분이다. 이는 모든 유한 생성 왼쪽 아이디얼이 왼쪽 R-가군 R의 직합 성분이라는 것과 동치이다.
* 모든 단항 오른쪽 아이디얼은 오른쪽 R-가군 R의 직합 성분이다. 이는 모든 유한 생성 오른쪽 아이디얼이 오른쪽 R-가군 R의 직합 성분이라는 것과 동치이다.
* 투영 왼쪽 R-가군 P의 모든 유한 생성 부분 가군은 P의 직합 성분이다.
* 왼쪽 R-가군의 모든 짧은 완전열은 순수 완전(pure exact)하다.

가환 환 R에 대해 다음 명제들은 동치이다.
* R은 폰 노이만 정칙 환이다.
* R은 크룰 차원 0을 갖고, 환원 환이다.
* R의 모든 극대 아이디얼에서의 국소화는 체이다.
* R은 각 원소 x에 대해 $xyx = x$ 와 $yxy = y$ 를 만족하는 유일한 원소 y (x의 "약한 역")를 갖는 연산에 대해 닫혀 있는 체들의 곱의 부분환이다.
* R은 V-환이다.
* R의 스펙트럼은 자리스키 위상에서 하우스도르프 공간이다.
* Spec(A)에 대해 구성 가능 위상과 자리스키 위상이 일치한다. (여기서 A는 R = A / nil(A)를 만족하는 가환환이다.)

3. 성질

가환환에 대하여, 다음 두 조건은 서로 동치이다.
* 절대평탄환이다.
* 그 위의 모든 단순 가군이 단사 가군이다.

또한, 절대평탄환에 대해 다음과 같은 성질들이 알려져 있다.

* 절대평탄환인 정역은 체 밖에 없다.
* 모든 나눗셈환은 절대평탄환이다.
* 불 대수는 가환환으로 간주하였을 때 절대평탄환이다. 이는 불 대수의 모든 원소가 멱등원이기 때문이다.
* 절대평탄환 K와 자연수 n에 대하여, 행렬환 Mat(n;K)은 역시 절대평탄환이다.

3.1. 함의 관계

폰 노이만 정칙환의 중요한 성질 중 하나는 모든 왼쪽(또는 오른쪽) R-가군이 평탄 가군이라는 점이다. 이 때문에 폰 노이만 정칙환은 절대 평탄환(absolutely flat ring)이라고도 불리며, 이는 환의 약한 차원이 0이라는 것과 동치이다.

다음은 폰 노이만 정칙환과 다른 종류의 환 사이의 주요 관계이다.

* [[반단순환]]과의 관계: 모든 반단순환은 폰 노이만 정칙환이다. 역으로, 왼쪽 뇌터 환이거나 오른쪽 뇌터 환인 폰 노이만 정칙환은 반단순환이다.
* [[반원시환]]과의 관계: 모든 폰 노이만 정칙환의 제이콥슨 근기는 {0}이다. 따라서 모든 폰 노이만 정칙환은 반원시환(semiprimitive ring)이다.
* 자기 준동형환: 환 S와 S-가군 M이 주어졌을 때, 만약 M의 모든 부분 가군이 M의 직합 인자이면 (이러한 가군 M을 반단순 가군이라고 한다), 자기 준동형환 End_S(M)은 폰 노이만 정칙환이다.

가환 폰 노이만 정칙환의 경우, 다음과 같은 추가적인 동치 조건들이 성립한다. 가환환 R에 대해 다음은 동치이다.
* R은 폰 노이만 정칙환이다.
* R은 크룰 차원이 0이고 축소환(reduced ring)이다.
* 모든 극대 아이디얼에서의 R의 국소화는 체이다.
* R은 모든 원소 x ∈ R에 대해 xyx = x이고 yxy = y를 만족하는 유일한 원소 y(약한 역원)를 취하는 연산에 대해 닫혀 있는, 체들의 직접곱의 부분환이다.

또한, 가환환 A에 대해 다음 조건들은 동치이다.
* 몫환 R = A / nil(A)은 폰 노이만 정칙환이다. 여기서 nil(A)는 A의 멱영원소 아이디얼이다.
* R의 스펙트럼 Spec(R)은 자리스키 위상에서 하우스도르프 공간이다.
* A의 스펙트럼 Spec(A)의 구성 가능 위상과 자리스키 위상은 일치한다.

3.2. 가환 폰 노이만 정칙환의 특성

가환 환 R에 대해 다음 명제들은 동치이다.
* R은 폰 노이만 정칙 환이다.
* R은 크룰 차원 0을 갖고, 축소환이다.
* 국소화된 R의 모든 극대 아이디얼은 체이다.
* R은 x ∈ R의 "약한 역원"(xyx = x 이고 yxy = y인 유일한 원소 y)을 취하는 연산에 닫혀 있는 체의 직적 부분환이다. (가환 폰 노이만 정칙환에서는 각 원소 x에 대해 이러한 유일한 원소 y가 존재한다.)
* R은 V-환이다.
* R은 Z[t] → Z[t^±] × Z에 의해 결정되는 환 준동형 사상에 대해 오른쪽 리프팅 성질을 가진다. 기하학적으로 말하면, 모든 정칙 함수 $\mathrm{Spec}(R) \to \mathbb{A}^1$ 는 스키마 사상 $\{0\} \sqcup \mathbb{G}_m \to \mathbb{A}^1$ 을 통과한다.

또한, 가환 환 A에 대해 다음 명제들도 동치이다.
* R = A / nil(A)는 폰 노이만 정칙 환이다. (여기서 nil(A)는 A의 멱영근기이다.)
* A의 스펙트럼 Spec(A)는 자리스키 위상에서 하우스도르프 공간이다.
* Spec(A)에 대해 구성 가능 위상(constructible topology)과 자리스키 위상이 일치한다.

4. 예시

* 모든 체와 모든 사체는 폰 노이만 정칙환이다. 0이 아닌 원소 a에 대해 x = a⁻¹로 놓으면 axa = a(a⁻¹)a = a가 성립한다. 정역이 폰 노이만 정칙환인 것은 그것이 체인 것과 동치이다.
* 폰 노이만 정칙환들의 직접곱은 다시 폰 노이만 정칙환이다.
* 체 K 위의 n × n 행렬환 M_n(K)은 폰 노이만 정칙환이다. 만약 A ∈ M_n(K)의 계수가 r이라면, 가우스 소거법을 통해 다음을 만족하는 가역 행렬 U와 V를 찾을 수 있다.
: $A = U \begin{pmatrix}I_r &0\\ 0 &0\end{pmatrix} V$
(여기서 I_r은 r × r 단위 행렬이다). 이때 X = V⁻¹U⁻¹로 설정하면,
: $AXA= U \begin{pmatrix}I_r &0\\ 0 &0\end{pmatrix} V V^{-1} U^{-1} U \begin{pmatrix}I_r &0\\ 0 &0\end{pmatrix} V = U \begin{pmatrix}I_r &0\\ 0 &0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}I_r &0\\ 0 &0\end{pmatrix} V = U \begin{pmatrix}I_r &0\\ 0 &0\end{pmatrix} V = A$
가 성립한다.
* 더 일반적으로, 임의의 폰 노이만 정칙환 위의 n × n 행렬 환은 다시 폰 노이만 정칙환이다.
* V가 체 또는 사체 K 위의 벡터 공간일 때, 자기 준동형 사상환 End_K(V)는 폰 노이만 정칙환이다. 이는 V가 유한 차원이 아닌 경우에도 성립한다.
* 환 S와 S-가군 M에 대해, 만약 M의 모든 부분 가군이 M의 직합 인자라면 (이러한 M을 반단순 가군이라고 한다), 자기 준동형 사상환 End_S(M)은 폰 노이만 정칙환이다.
* 모든 반단순환은 폰 노이만 정칙환이다. 실제로, 반단순환은 뇌터 환인 폰 노이만 정칙환과 정확히 일치한다.
* 유한 폰 노이만 대수의 결합 연산자(affiliated operator) 환은 폰 노이만 정칙환이다.
* 부울 환 (모든 원소 a에 대해 a² = a를 만족하는 환)은 폰 노이만 정칙환이다. a = a² = a⋅a⋅a 이므로 x = a로 놓으면 axa = a가 성립한다.

5. 일반화 및 특수화

폰 노이만 정칙환에는 여러 특수한 유형과 일반화된 개념이 존재한다.

특수한 유형
폰 노이만 정칙환의 특수한 유형으로는 단위 정칙환, 강한 폰 노이만 정칙환, 랭크 환 등이 있다. 이 중 단위 정칙환과 강한 폰 노이만 정칙환에 대한 자세한 내용은 아래 하위 문단에서 다룬다.

일반화
폰 노이만 정칙환을 일반화한 개념으로는 π-정칙환, 좌/우 반유전환, 좌/우 비특이환, 반원시환 등이 있다.

5.1. 단위 정칙환

환 R의 모든 원소 a에 대해, a = aua 를 만족하는 R의 단위 u가 존재하면, 이 환 R을 단위 정칙환(unit regular ring^영어)이라고 한다.

모든 반단순환은 단위 정칙환이다. 또한, 모든 단위 정칙환은 직접 유한 환이다. 이는 일반적인 폰 노이만 정칙환이 반드시 직접 유한 환일 필요는 없다는 점과 대비된다.

5.2. 강한 폰 노이만 정칙환

환 R은 R의 모든 a에 대해 a = aax를 만족하는 R의 어떤 x가 존재하면 강한 폰 노이만 정칙환이라고 한다. 이 조건은 좌우 대칭이다. 강한 폰 노이만 정칙환은 단원 정칙환이다. 모든 강한 폰 노이만 정칙환은 체의 subdirect product^영어이다. 어떤 의미에서 이것은 체의 부분 직적인 가환 폰 노이만 정칙환의 속성을 더 가깝게 모방한다. 가환환의 경우 폰 노이만 정칙환과 강한 폰 노이만 정칙환은 동등하다.

일반적으로 환 R에 대해 다음은 동등하다.
* R은 강한 폰 노이만 정칙환이다.
* R은 폰 노이만 정칙환이며 피약환이다.
* R은 폰 노이만 정칙환이며, R의 모든 멱등원은 중심원이다.
* R의 모든 주 아이디얼은 중심 멱등원에 의해 생성된다.

6. 역사

이 개념은 존 폰 노이만이 ‘정칙환’(regular ring^영어)이라는 이름으로 1936년에 도입하였다. 그러나 그 뒤 ‘정칙환’이라는 용어는 다른 뜻으로 쓰이게 되었으며, 혼동을 피하기 위하여 ‘폰 노이만 정칙환’(regular ring in the sense of von Neumann^영어) 또는 ‘절대평탄환’(absolutely regular ring^영어) 등의 용어로 대체되었다.